《机械制图》
（第六版）
习题集答案
第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度
1
2
5
1
2
●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
3、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的三面投影的投影规律做题。
4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。
●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为：
A（25，15，20）
B（20，10，15）
C（35，30，32）
D（42，12，12）
5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。
●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。）
6、已知点A距离W面20；点B距离点A为25；点C与点A是对正面投影的重影点，y坐标为30；点D在A的正下方20。补全诸点的三面投影，并表明可见性。
●根据点的三面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系、两点的相对位置及重影点判断做题。
各点坐标为：
A（20,15,15）
B（45,15，30）
C（20,30,30）
D（20,15,10）
第7页直线的投影（一）
1、判断下列直线对投影面的相对位置，并填写名称。
●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行判断。（具体参见教P73～77）
AB是一般位置直线； EF是侧垂线；
CD是侧平线； KL是铅垂线。
2、作下列直线的三面投影：
（1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。
（2）正垂线CD，从点C向后，长15。
●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77）
3、判断并填写两直线的相对位置。
●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77）
AB、CD是相交线； PQ、MN是相交线；
AB、EF是平行线； PQ、ST是平行线；
CD、EF是交叉线； MN、ST是交叉线；
4、在AB、CD上作对正面投影的重影点E、F和对侧面投影的重影点M、N的三面投影，并表明可见性。
●交叉直线的重影点的判断，可利用重影点的概念、重影点的可见性判断进行做题。
5、分别在图（a）、（b）、（c）中，由点A作直线AB与CD相交，交点B距离H面20。
●图(c)利用平行投影的定比性作图。
6、作直线的两面投影：
（1）AB与PQ平行，且与PQ同向，等长。
（2）AB与PQ平行，且分别与EF、GH交与点A、B。
●利用平行两直线的投影特性做题。
第8页直线的投影（二）
1、用换面法求直线AB的真长及其对H面、V面的倾角α、β。
●利用投影面平行线的投影特性及一次换面可将一般位置直线变换成投影面平行线做题。（具体参见教P74、P80）
2、已知直线DE的端点E比D高，DE＝50，用换面法作d’e’。
●利用投影面平行线反映实长的
投影特性及一次换面可将一般位置
直线变换成投影面平行线做题。
3、由点A作直线CD的垂线AB，并用换面法求出点A与直线CD间的真实距离。
●利用直角投影定理及一次换面可将一
般位置直线变换成投影面平行线做题。
（见教P83、P80）
4、作两交叉直线AB、CD的公垂线EF，分别与AB、CD交于
E、F,并表明AB、CD间的
真实距离。
●利用直角投影定理做题。
5、用换面法求两交叉直线AB、CD的最短连接管的真长和
两面投影。
●利用两次换面可将一般位置直线转变为投影面垂直
线及直角投影定理做题。
步骤：先将两交叉直线AB、CD中的一条直线转换为投影
面的垂直线，求出AB、CD的间的真实距离，再逆向返回旧投影面V/H，从而求出最短距离的两面投影。
6、用直角三角形法求直线AB的真长及其对H面、V面的倾角α、β。
●用直角三角形求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角。
第9页平面的投影（一）
1、按各平面对投影面的相对位置，填写它们的名称和倾角（0°、30°、45°、60°、90°）。
●解题要点：利用各种位置平面的投影特性及有积聚性的迹线表示特殊位置平面的投影特性做题。
2、用有积聚性的迹线表示平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q;过直线DE的水平面R。
●利用有积聚性的迹线表示特殊
位置平面的投影特性做题。
3、已知处于正垂位置的正方形ABCD的左下边AB，α＝60°，补全正方形的两面投影。已知处于正平面位置的等边三角形的上方的顶点E，下方的边FG为侧垂线，边长为18mm，补全这个等边三角形EFG的两面投影。
●利用正垂面和正平面的投影特性做题。
4、判断点K和直线MS是否在?MNT平面上？填写“在”或“不在”。
●若点位于平面内的任一直线，则点在该平面内。
●若一直线通过平面内的两点，则该直线在该平面内。
点K不在?MNT平面上。
直线MS不在?MNT平面上。
5、判断点A、B、C、D是否在同一平面上？填写“在”或“不在”。
●不在同一直线的三个可确定一个平面，再看另外一个点是否在此平面上即可判断。
四点不在同一平面上。
6、作出ABCD的?EFG的正面投影。
●利用点和直线在平面上的几何条件来作图。
7、补全平面图形PQRST的两面投影。
●解题要点：利用点和直线在平面上的几何条件来作图。
8、已知圆心位于点A、 30的圆为侧平面，作圆的三面投影。
●利用侧平圆的投影特性做题。
9、已知圆心位于点B、?30的圆处于左前到右后的铅垂面上，作圆的三面投影（投影椭圆用四心圆近似法作出）
●利用铅垂面的投影特性、圆的投影特性；四心圆近似法作椭圆具体见教P23。
第10页平面的投影（二）直线与平面及两平面的相对位置（一）
1、求?ABC对V面的倾角β。
●解题要点：利用一次换面可将一般位置平面变换为投影面垂直面。
2、求ABCD的真形。
●利用两次换面可将一般位置平面变换为投影面平行面。
3、正平线AB是正方形ABCD的边，点C在点B的前上方，正方形对V面的倾角β＝45°，补全正方形的两面投影。
●利用正平线AB反映实长，再根据直角投影定理以及经一次换面将可将一般位置平面投影面垂直面。
4、作直线CD与?LMN的交点，并表明可见性。
●从铅垂面LMN在水平投影面积聚为一直线入手,先利用公有性得到交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。可见性判断可用重影点法进行判断；简单时可用直观法。
5、作出侧垂线AB与CDEF的交点，并表明可见性。
●从直线AB为侧垂线在侧面投影面积聚为一个点入手，先利用公有性得到交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。可见性判断可用重影点法进行判断；
简单时可用直观法。
6、作?EFG与PQRS的交线，并表明可见性。
●铅垂面PQRS与一般平面相交，从铅垂面的水平投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
7、作正垂面M与ABCD的交线，并表明可见性。
●正垂面MV与一般平面相交，从正垂面的正面投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
8、作?ABC与圆平面的交线，并表明可见性。
●利用圆平面为正平圆，?ABC为铅垂面，此两平面相交的交线在水平投影面积聚为一个点,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
9、作△EFG与MNPQ的交线，并表明可见性。
●利用?EFG，MNPQ都为正垂面，此两平面相交的交线在正
投影面积聚为一个点,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
第11页直线与平面及两平面的相对位置（一）用换面法求解点、直线、平面之间的定位和度量问题
1、作水平面P、平面ABCD、平面EFGD的共有点。
●先分别求水平面P与其余两平面的交线，再求两条交线的交点即可。
2、已知ΔBCD和PQRS的两面投影，并知ΔBCD上的点A的正面投影a’，在ΔBCD上作直线AE//PQRS。
●矩形PQRS为正垂面，过A点作一平面与矩形PQRS平行，再求所作平面与三角形ABC的交线，即为所求。
3、已知点A作ΔBCD的垂线AK，K为垂足，并标出点A与ΔBCD的真实距离。由点A作平面P∥? BCD,由点A作铅垂面Q⊥?BCD,平面P、Q都用约定表示，即只画一条有积聚性的迹线。
●利用两平面互相平行几何条件以及两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积聚性的同面投影互相垂直做题。
4、根据下列诸投影图中直线与平面的相对位置，分别在下面的括号内填写“平
行”、“垂直”或“倾斜”。
●利用直线与平面、平面与
平面垂直的几何条件以及直线与平面、平面与平面平行的几何条件进行判
断。
5、根据铅垂面的水平投影和反映真形的V
面投影，作出它的真
1
面投影。
●根据点的投影变换规律作图。
6、补全等腰三角形CDE的两面投影，边CD＝CE,
顶点C在直线AB上。
●利用一次换面将三角形的底边DE变换为
正平线，顶点在反映实长的垂直平分线上，
求出C点的投影，再根据点的投影变换规律
求出等腰三角形的两面投影。
7、求作飞行员挡风屏ABCD和玻璃CDEF的夹角θ的真实大小。
●经过两次换面将两个平面同时
变换成同一投影面的垂直面，即将
两平面的交线变换成投影面垂直
面，则两平面的有积聚性的同面投
影夹角即为所求。
第四章立体的投影
第12页平面立体及其表面上的
点和线
1、作三棱柱的侧面投影，并补全
三棱柱表面上诸点的三面投影。
●可利用棱柱表面的积聚性进行
作图。
2、作六棱柱的正面投影，并作出表面上的折线ABCDEF的侧面投影和正面投影。
●可利用棱柱表面的积聚性进行作图，并进行可见性判断。
3、作斜三棱柱的侧面投影，并补全表面上的点A、B、C、D、E和F的三面投影。
●利用平面取线的方法作出各点的投影。注意点具体在斜棱柱的哪个面；并注意可见性的判断。
4、作三棱锥的侧面投影，并作出表面上的折线ABCD的正面投影和侧面投影。
●利用棱台的投影特点和其表面取线的方法作出折线的投影。注意折线的可见性的判断。
5、作四棱台的水平投影，并补全表面上点A、B、C、D、E 和F的三面投影。
●利用棱台的投影特点和其表面取线的方法作出各点的投影。
6、作左端为正垂面的凸字形侧垂柱的水平投影，并已知表面上折线的起点A的正面投影和终点E的侧面投影，折线的水平投影成一直线，作折线的三面投影。
●利用正垂面、正平面、水平面投影特性做题。
第13页曲面面立体及其表面上的点和线
1、作圆柱的正面投影，并补全圆柱表面上的素线AB、曲线BC、圆弧CDE的三面投影。
●利用圆柱的投影特点（积聚性）和其表面取点的方法做题，注意可见性的判断。
2、已知圆柱的轴线的两面投影以及圆柱的正面投影，作出圆柱及其表面上点A和点B的水
平投影。
●先用近似法把圆柱的水平投影作出，再利用圆柱形成的特点，采用素线法做题，并注意
各点的可见性判断。
3、作圆锥的侧面投影，并补全圆锥表面上的点A、B、C以及素线
SD、圆弧EF的三面投影。
●利用圆锥表面取点、取线的方法做题（素线法、纬圆法），注
意可见性的判断。
4、已知轴线为正垂线的圆台的水平投影，作圆台及其表面上的曲
线AB的正面投影。
●根据圆台的投影特点，采用纬圆法做题。
5、已知圆锥的锥顶S和轴线为水平线，作圆锥及其表面上点A
和点B的正面投影。
●先用近似法把圆锥的正面投影作出，再利用圆锥形成的特点，采用素线法做题。注意圆
锥和各点的可见性判断。
6、作半球及其表面上的诸圆弧AB、圆弧BC、圆弧CD的水平投影和侧
面投影。
●利用圆球的投影特点和圆球表面取点的方法做题。注意各圆弧的
可见性判断。
7、补全环的水平投影，并补全环面上诸点的两面投影（环面上的点
D、E、F、G是按由前向后的顺序配置的）
●利用圆环的投影特点和其表面取点的方法做题，并注意可见性的
判断。
7、补全回转体的正面投影，并作出回转面上的曲线AB的水平投影。
●利用回转体的投影特点和其表面取点的
方法做题（纬圆法），并注意可见性的判断。
（求曲线AB投影，有4个
特殊点要求）
第14页平面与平面立体
相交
1、作正垂面截断五棱台的
侧面投影，补全截断后的水平投影，并作断
面真形。
●利用棱台的投影特点和正垂面的投影特点做题。
2、作顶部具有侧垂通槽的四棱柱左端被正垂面
截断后的水平投影。
●利用正垂面、侧垂面、水平面、正平面的投
影特点做题。
3、作具有正方形通孔的六棱柱被正垂面截断后
的侧面投影，并求断面真形。
●利用棱柱的投影特点（积聚性）和正垂面
的投影特点做题，并考虑其可见性；再利
用换面法（一次换面）将投影面的垂
直面转变为投影面的平行面即可求
出断面的真形。
4、楔形块的顶面、底面是水平矩形，左、右侧面为正垂面，前后侧面为侧垂面，左右、前后对称，被水平面、正垂面切割掉左上角，补全楔形块切割后的侧面投影和水平投影。
●利用水平面、正垂面、侧平面、侧垂面的投影
特性做题。
4、作具有正垂的矩形穿孔的侧面投影。
●三棱柱被两侧平面和两水平面挖通孔，利用棱
柱的投影特点和侧平面、水平面的投影特性做题，
注意可见性。
6、具有正方形通孔的四棱台被正垂面和侧平面切
割掉左上角，补全切割后的水平投影，补画切割后的侧面投影。
●利用正垂面面、侧平面的投影特性做题，注意可见性。
第15页分析曲面立体的截交线，并补全这些截断的、缺口的、
穿孔的曲面立体的三面投影（第1、8题还需要作出断面真形）
1、●解析：作圆柱体被一正垂面截切，其截交线为椭圆。再利
用换面法（一次换面）将投影面的垂直面转变为投影面的平行面即可。
2、●解析：圆柱被水平面和侧平面截去左右两块。利用圆柱投影的投影特性和
水平面、侧平面的投影特性做题。
3、●解析：圆柱中部被两水平面和两侧平面挖成一通孔。利用圆柱投影的投影特性和水平
面、侧平面的投影特性做题。注意可见性判断。
4、●解析：圆柱中部被两正垂面和一水平面挖成一通孔。利用圆柱投影的
投影特性和正垂面、水平面的投影特性做题。注意可见性判断。
5、●解析：圆柱被正垂面和水平面截去部分。利用圆柱投影的投影特性和正垂面、水平面的投影特性做题。注意要做出特殊点的投影。
6、●解析：圆柱通孔被正垂面和水平面截去部分。利用圆柱投影的投影特性和
正垂面、水平面的投影特性做题。注意要做出特殊点的投影及可见性的判断。
7、●解析：圆锥被正垂面截去部分，截平面与轴线夹角大于锥顶角，其截交线为椭圆。利
用圆锥投影的投影特性和正垂面投影特性做题。注意要做出特殊点（椭圆的特征点、转向
轮廓线上的点）的投影。
8、●解析：圆锥被正垂面截去部分，截平面与轴线夹角等于锥顶角，其截交线为抛物
线。利用圆锥投影的投影特性和正垂面投影特性做题。注意要做出特殊点的投影。
第16页
分析曲面立体的截交线，并补全这些截断的、缺口的的
曲面立体的三面投影
1、●解析：圆锥被过顶点的正垂面、水平面、侧平
面截切。可利用①截平面通过锥顶，
交线为通过锥顶的两条相交直线。②截平面垂直于轴线
(θ=90°)，交线为圆。③平行于轴线(θ=0°),交线为
双曲线（纬圆法），进行做题。注意可见性。
2、●解析：圆锥被水平面、两个侧平面挖通孔。可
利用①截平面垂直于轴线(θ=90°)，交线为圆。
②平行于轴线(θ=0°),交线为双曲线（纬
圆法），进行做题。注意可见性。
3、●解析：由圆锥、大圆柱、小圆柱构成的
组合回转体被一水平面截切。可利用圆锥
表面取点（纬圆法）求圆锥部分的截交线；再利
用圆柱的投影特性求圆柱部分的截交
线，并注意可见性。
4、●解析：半球被两个正平面和一水平面挖一通槽。可利用平面与球的截交线是圆进行做题；并注意可见性。
★1当截平面平行于投影面时，截交线的投影为真形。
★2当截平面垂直于投影面时，截交线的投影为直线，且长度等于截交线圆的直径。
5、●解析：圆球被水平面和正垂面截切。可利用平面与球的截交线是圆进行做题；并
注意可见性。
★1当截平面平行于投影面时，截交线的投影为真形。
★2当截平面垂直于投影面时，截交线的投影为直线，且长度等于截交线圆的直径。
★3当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆。（用纬圆法，并注意特殊点）
6、●解析：曲线回转体被水平面和正平面截切。可利用纬圆法做题。
第17页
分析曲面立体的交线，补全立体相贯、切割、穿孔后的诸投影（一）
1、补全水平投影。
●解析：曲面立体由圆台与圆柱相贯而成。利用圆柱的投影有积聚性可知该曲面立体的相
贯线的正面投影，再利用相贯线的投影特点，利用纬圆法求出相贯线的水平投影。注意特
殊点1是必做的点（最右点）
2、补全侧面投影。
●解析：由圆柱与半圆柱相贯而成。利用圆柱投影的积聚性做题。
3、补全正面投影。
●解析：圆柱被穿圆柱孔。利用圆柱投影的积聚性做题，并注意可见性。
4、补全水平投影和正面投影。
●解析：由圆柱与半球相贯而成。利用圆柱投影的积聚性和球面上取点（纬圆法）做题。
注意特殊点和可见性。
5、●解析：该物体由球面、小内环面、小圆柱面、大内环面、大圆柱面构成。可分步作其截交线。★1截平面与球相交求截交线的投影（为圆）。★2截平面与小内环面相交为曲线（纬圆法）。注意最右点的投影。★3截平面与小圆柱面没有交线。★4截平面与大圆柱相交，截平面与大圆柱的轴线平行，截交线为矩形。★5截平面与大内环面相交为曲线（纬圆法）。注意最左点的投影。
第18页
分析曲面立体表面的交线，补全立体相贯、切割、穿孔后的诸投影。
1、补全正面投影和侧面投影。
●解析：两轴线斜交的圆柱相贯，相贯线为封闭空间曲线，相贯线在水平投影有积聚性。用辅助平面法求相贯线。（作正平面）
2、补全正面投影。
●解析：圆柱与圆环相贯，相贯线为封闭空间曲线，相贯线在
水平投影有积聚性。用辅助平面法求相贯线。（作正平面）
3、补全侧面投影。
●解析：通孔圆柱由上到下穿通一圆柱孔。利用相贯线在水平投影有积聚性做题。
4、补全三面投影（形体分析提示：带有轴线为铅垂线的两个圆柱形通孔的球体）。
●解析：可分两部分，①球与圆柱相贯。两同轴回转体的相贯线，是垂直于轴线的圆。
②两圆柱孔相贯。当两圆柱直径相等时，两正交圆柱的相贯线为两条平面曲线（椭
圆），其正面投影为两条相交直线。
5补全正面投影（形体分析提示：由球冠、大圆柱、小圆柱三个同轴回转体构成的组合回转体，球冠和大圆柱被切割成四个圆柱槽。）
●解析：该组合回转体可分两部分，①球冠与圆柱相贯。利用相贯
线的水平投影有积聚性，用纬圆法求；注意正确作出特殊点（相贯
线的最高点）。
②两圆柱相贯。（圆柱槽的投影）
6、补全正面投影和侧面投影（形体分析提示：相贯体的主体是半球与圆
柱相切；左侧由一个轴线通过半球球心的侧垂圆台，上方与半球相交，
下方与圆柱相交；主体内有一个铅垂的圆柱通孔，圆台也有一个与圆台同轴的圆柱孔，与
铅垂的圆柱孔相通，这两个圆柱孔的直径相等）。
●解析：该组合回转体可分部分①半球与圆柱相切。（光滑过渡，没有相贯线）②左侧侧
垂圆台，上方与半球相交，两同轴回转体的相贯线，是垂直于轴线的圆。③左侧侧垂圆台，
下方与圆柱相交，其相贯线在水平投影有积聚性，可采用表面取点法求相贯线。④两个圆
柱孔相交的相贯线为两条平面曲线（椭圆），其正面投影为两条相交直线。⑤半球与铅垂
的圆柱孔相贯。（两同轴回转体的相贯线，是垂直于轴线的圆。）
第五章组合体的视图与形体构型
第19页三视图的形成及其投影特性（第1、2题补画组合体视图中所缺图线；
第3~7参照立体图补画组合体视图中所缺图线。）
2、补画组合体视图中所缺图线
3. 4.
5. 6.
7.
第20页由立体图画组合
体三视图的徒手草图
（槽和孔是通槽和通
孔，曲面是圆柱面）
1 2
3
4 5 6
7 8
第21页由立体图画组合体的三视图（比例1：1）
1、
2、
3、
4、
第22页补画视图中所缺图线
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
第23页
在组合体上作线面分析
（对指定的图线和线框标出其
它投影，并判别它们与投影面以
及相互之间的相对位置，第1~4题要补画视图中所缺图线）
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
第24页读图初步
1、
2、
3、选择在三视图右侧与其相对应的立体图编号填入圆圈内。
4、选择与主视图相对应的俯视图及立体图的编号填入表格内。
第25页读懂两视图后，补画第三视图
（一）
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
第26页读懂两视图后，补画第三视图（二）2、
3、
4、
5、
6、
第27页组合体的尺寸标注
1、
2、
3、
4、
5、
第28页根据立体图在A3
图纸上用1：2画出组合体的三视图，并标注尺寸。
1、
2、
3、
4、
5、
第29页构型设计
1、本题有多解。
2、本题有多解。
3、想象组合体的形状，补画左视图。（1）
（2）
（3）
（4）
4、想象下列三
种组合体的形状，补画左视图。
（1）
（2）
（3）
5、构思一个物体，使其能够完全吻
合地分别通过一块板上三个不同形状的孔，画出该物体的三视图。
第30页展开图
1、分别作出吸气罩的上部正四棱台和下部具有斜截口的正四棱柱的侧面展开图。
2、画出斜截口正圆锥的展开图。
3、画出五节直角弯管中，下部半节的展开图。
4、画出矩形口与圆变形接头的展开图。
第31页用简化伸缩系数画出下列物体的正等轴测图（一）
●解题要点：正等轴测图的轴间角各为120°；轴向伸缩系数采用简化轴向伸缩系数
p=q=r=1。
1、
2、
3、
4、
第32页用简化伸缩系数画出下列物体的正等轴测图（二）1、
2、
3、
第33页画出下列物体的斜二轴测图
●解题要点：斜二轴测图的轴间角∠XOZ=90°，∠XOY=∠YOZ=135°；轴向伸缩系数p= r=1, q=1/2.
1、
2、
3、
第34页基本视图、向视图、局部视图和斜视图
1、在指定位置作仰视图。
2、在指定位置作出各个向视图。
3、把主视图画成局部视图，并在指定位置画出A向斜视图。
4、在指定位置作局部视图和斜视图。
第35页剖视图的概念与全剖视图
1、分析图中的错误画法，在指定位置作正确的剖视图。
2、补全图中漏画的图线，在指定位置吧左视图画成全剖视图。
3、补全图中漏画的图线。
4、在指定位置把主视图画成全剖视图。
5、在指定位置把主视图画成全剖视图。
6、在指定位置把主视图画成全剖视图。
第36页全剖视图
1、作A-A剖视图。
2、作A-A剖视图。
3、作C-C的剖视图。
4、作A-A、B-B剖视图。
第37页半剖视图
1、把主视图画成半剖视图。
2、把主、俯视图画成半剖视图。
3、把主视图画成半剖视图。
4、把主、左视图画成半剖视图。
●第4小题解析：如果机件的某些内部结构在半剖视图中没有表达清楚，则在表达外部形状的半个视图中应用虚线画出。本题的左视图即为该种情况。
第38页局部剖视图
1、把主视图画成局部剖视图。
2、分析视图中的错误画法，作出正确的视图。
3、把主、俯视图画成局部剖视图。
4、把主、俯视图画成局部剖视图。
第39页用两个平行的或相交的剖切平面剖开物体后，把主视图画成全剖视图。
●解题要点：要标注剖切符号。
1、
2、
3、
4、
第40页剖视图综合练习
1、在指定位置把主视图和左视图画成半剖视图和全剖视图。
2、在指定位置把主视图和左视图画成全剖视图和半剖视图。
3、用斜剖作A-A剖视图。
4、用展开画法的旋转剖作A-A剖视图。
第38页断面图
1、在两个相交剖切平面迹线的延长线上，作移出端面。
2、作B-B、A-A断面。
3、画出指定的断面图（左面键槽深4mm，右面键槽深
3.5mm）。
●本题解析：当剖切平面通过回转面形成的孔或凹坑的轴线时，这些结构应按剖视图绘制。
第39页根据所给视图，在A3图纸上画出机件所需的剖视图，并标注尺寸。
1、
2、
第40页
3、
4、
第41页螺纹的规定画法和标注
1、按规定的画法绘制螺纹的主、左视图。
（1）外螺纹：大径M20、螺纹长30mm、螺杆长画40mm后断开，螺纹倒角C2。
●解题要点：①注意小径=0.85大经；
②螺纹牙底画3/4圈。
（2）内螺纹：大径M20、螺纹长30mm、孔深40mm，螺纹倒角C2。
●解题要点：①注意剖面线要画至粗实线处；
②螺纹牙底画3/4圈。
2、将题1（1）的外螺纹掉头，旋入题1（2）的螺孔，旋合长度为20mm，作旋合后的主视图。
●解题要点：①以剖视图表示内、外螺纹连接时，其旋合部分按外螺纹绘制，其余部分仍
按各自的画法表示。
②特别注意剖面线要画至粗实线处。
3、分析下列错误画法，并将正确的图形画在下边的空白处。
4、根据下列给定的螺纹要素，标注螺纹的标记或代号：
（1）粗牙普通螺纹，公称直径24mm,螺距3mm,单线，右旋，螺纹公差带：中径、小径均为6H，旋合长度属于短的一组。
（2）细牙普通螺纹，公称直径30mm,螺距2mm,单线，右旋，螺纹公差带：中径5g，小径为6g，旋合长度属于中等的一组。
●解题要点：标注细牙螺纹时，必须注出螺距。
（3）非螺纹密封的管螺纹，尺寸代号3/4，公差等级为A级，右旋。
(4)梯形螺纹，公称直径30mm，螺距6mm，双线，左旋，中径公差带为7e，中等旋合长度。
5、根据标注的螺纹代号，查表并说明螺纹的各要素：
（1）该螺纹为梯形螺纹；
公称直径为20mm ；
螺距为4mm ；
线数为 2 ；
旋向为左旋；
螺纹公差代号为 7H 。
（2）该螺纹为非密封管螺纹；
尺寸代号为 1/2 ；
大径为 20.955mm ；
小径为 18.631mm ；
螺距为 1.814mm 。
●解题要点：该题查P363附表3和P365附表4
第45页
1、查表填写下列各紧固件的尺寸：
（1）六角头螺栓：螺栓 GB /T 5782-2000 M16×65
●解题要点：该题查P332 附表10
(2)开槽沉头螺钉：螺钉 GB /T 68-2000 M10×50
●解题要点：该题查P330 附表7
2、根据所注规格尺寸，查表写出各紧固件的规定标记：
（1）A级的1型六角螺母
螺母GB/T6170-2000 M16
●解题要点：该题查P372 附表12
（2）A级的平垫圈
垫圈GB/T 97.1-2000 16
3、查表画出下列螺纹紧固件，并注出螺纹的公称直径和螺栓、螺钉的长度l。
（1）已知：螺栓 GB/T 5782-2000 M20×80。画出轴线水平放置、头部朝右的主、左视图（1：1）。
●解题要点：参教P370 查附表10、P263画图。
(2) 已知：螺母 GB/T 6170-2000 M20。画出轴线水平放置、头部朝左的主、左视图
（1：1）。
●解题要点：参教P372 查附表12、
P263画图
（3）已知：开槽圆柱螺钉：螺钉 GB/T 65 -2000 M10×30。画出轴线水平放置、头部朝左的主、左视图（2：1）。
●解题要点：参教P367 查附表5画图
第43页螺纹紧固件的连接画法
1、已知：螺柱GB/T 898-1988 M16×40、螺母 GB/T 6170 - 2000 M16，垫圈GB/T 97.1-2002
16、用近似画法作出连接后的主、俯视图（1：1）。
●解题要点：参教P263—264、螺纹小径为0.85大径为13.6
双头螺柱紧固端的螺纹长度为2d=2×16=32；
倒角为0.15d×45°=2.4×45°；
=1.25d（GB/T 898-1988）=20；
旋入端的螺纹长度为b
m
+0.5d=28；
螺孔的长度为b
m
光孔的长度为0.5d=8；
伸出端的长度为0.3d=0.3×16=4.8
有效长度l= +h+m+a=18+0.15d+0.8D+4.8=38；查P371附表，取l=40
2、已知：螺栓GB/T 5780-2000 M16×80、螺母 GB/T 6170 - 2000 M16，垫圈GB/T 97.1-2002
16、用近似画法作出连接后的主、俯视图（1：1）。
●解题要点：参教P263
螺栓：螺栓小径0.85d=13.6；
螺纹长度为2d=2×16=32；
螺栓螺母的高度：0.7d=11.2；
倒角为0.15d×45°=2.4×45°；
3
1.
用1
2.
齿顶圆和齿根圆的直径及传动比。用1：2完成下列直齿圆柱齿轮的啮合图。将计算公式写在图的左侧空白处。
●解题要点：
大齿轮：
分度圆直径d=mz=4×38=152mm；
齿顶圆直径da=m（z+2）=160mm；
齿根圆直径df=m（z-2.5）=142mm
中心距a=m（z
1+ z
2
）/2=116mm
小齿轮的齿数z
1=232/m- z
2
=20
小齿轮：
分度圆直径d=4×20=80mm；
齿顶圆直径da=4×22=88mm；齿根圆直径df=4×17.5=70mm；
传动比i= z
2/ z
1
=38/20=1.9
第48
页
键、滚
动轴
承和
圆柱
螺旋
压缩
弹簧
的画
法
1.已
知齿
轮和
轴，用
A型圆
头普通平键联接。轴孔直径为40mm。写出键的规定标记；查表确定键和键槽的尺寸，用1：2画全下列视图、剖视图和断面图，并标注出（1）（2）图中轴径和键槽的尺寸，在（3）中画出连接后的图形。
●解题要点：根据轴径查P374、P376附表15、16
键的规定标记：键12×40 GB1096-1979
（1）轴（2）齿轮
（3）齿轮和轴连接后
总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.
抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
《线性代数》课程教学大纲 英文名称：Linear algebra 课程编码：0 总学时：40 学分：2.5 适用对象：本科各理工科专业 先修课程：高等数学 大纲主撰人：万冰蓉大纲审核人： 一、课程性质、目的和任务 1、本课程是本科各理工科专业的一门学科基础课。线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛适用于各个学科。 2、目的是使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养逻辑推理能力，抽象思维能力，计算能力和解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。 二、教学内容及要求 本课程内容按教学要求的不同分两个层次；对较高要求的必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用的概念理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述；对教学中必不可少的，但在要求上低于前者的概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 第1章：行列式 授课学时：6 基本要求： 1-1掌握二阶与三阶行列式的定义。 1-2了解全排列与逆序数。 1-3了解n阶行列式的概念。 1-4掌握行列式的性质，并会应用行列式的性质计算行列式。 1-5会用行列式按行（列）展开定理计算行列式。 1-6会用克莱姆（Cramer）法则。 重点：利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。
难点：n阶行列式的概念，利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。 作业：课本32页，3，4（4），5（2）、（4）、（5），6，7（3）、（4）、（6），8（1），9 第2章：矩阵及其运算 授课学时：6 基本要求： 2-1理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵及其性质； 2-2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式及其运算规律。 2-3理解逆矩阵的概念、逆矩阵存在的条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 2-4了解分块矩阵及其运算。 重点：矩阵的乘法、逆矩阵的定义及伴随矩阵算法。 难点：矩阵的乘法，分块矩阵的乘法。 作业：课本66页，2，3，5，6，8，9，10，11（4）、（6），12（3），13（2），16，18，19，20 第3章：矩阵的初等变换与线性方程组 授课学时：6 基本要求： 3-1掌握矩阵的初等变换，会用矩阵的初等行变换解线性方程组，了解初等矩阵的性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。 3-2理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，了解矩阵的秩的性质。 3-3理解齐次线性方程有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程有解的充分必分条件。 重点：求线性方程组通解的方法，矩阵的秩的概念和求逆矩阵的初等变换方法，线性方程组的相容性定理。 难点：矩阵的秩的概念，初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，线性方程组的相容性定理。作业：课本92页，2，3，4，5（1），6（1），7（1）、（3），8，10，11（1），12（2） 第4章：向量的线性相关性 授课学时：8 基本要求： 4-1理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示，会用矩阵的秩判断向量的线性表示关系。 4-2理解向量组线性相关、线性无关的定义，会用矩阵的秩判别向量组的线性相关性，了解
同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2
解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间
第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无
第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长
第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)2 2 ),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2 2 1)1ln(y x x y x z --+ -+= 解：22 22 10 11010 x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1) 2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22 (,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2) xy xy y x 4 2lim )0,0(),(+-→ 解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4 x y x y x y xy xy →→→=-=-=- 解二： (,)(0,0)(,)(,)1 lim lim lim 4x y x y x y →→→===-
2-5高等数学同济大学第六版本
2-7 1. 已知y =x 3 -x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案9-1
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q . 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分 ??=D d y x Q σμ),(. 2. 设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2}; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)??=D d σσ (其中σ为D 的面积);
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 证明 由二重积分的定义可知, ??∑=→?=D n i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以, σσσσλλ==?=→=→??∑0 10lim lim D n i i d . (2)????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数); 证明 ∑??∑=→=→?=?=n i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ??∑=?==→D n i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)??????+=2 1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 ∑∑∑===?+?=?2 222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有 ∑=→?n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→?+?=2222221111111 010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,
习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=2 22]3[ ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π )][sin(dx y x x x
(2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; ? ?? ???+--+---++=1 1 1 1 1 1 x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d e σ ??+---+--+=1 1101 11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ??---+-+-=1 120 1 11 2)()(dx e e dx e e x x
3. 如果二重积分??D dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )?f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D ???????=?=?])()([)()()()(212121, 而 ??=?d c d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a d c D ????=?])()([)()(2121. 由于?d c dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 4. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同 的两个二次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24 1 ,40}, 所以 ? ?=x x dy y x f dx I 24 0),(或??=y y dx y x f dy I 4 40 2),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且
习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=
习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到
解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
2009-2010学年第一学期《线性代数》考试试卷--1 同济大学课程考核试卷 2009 — 2010学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号： 课名：线性代数 考试考查： 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷 年级 专业 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分） 1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 。 2. 设分块矩阵A O C O B ?? = ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 4 。 (A). 若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B). 若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C). 若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D). 若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 。 4、设向量组(I):12,,,r ααα 可由向量组(II):12,,,s βββ 线性表示，则 D 成立。(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关 5、已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E -+=2A E +。 6、当矩阵A 满足下面条件中的 A, B, C 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立。（注：此题可多选） (A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠ 7、设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2-为A 的特征值，B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2, 6 。 8、设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 。 二、（10分）已知矩阵200011031A ?? ?= ? ???，100052021B ?? ?= ? ???, 112101030C ?? ? =- ? ??? . 矩阵P ，X 满足PA B =,PX C =. 求矩阵X . 解：1 P BA -=，11 X P C AB C --==, 1 100012025B -?? ?=- ? ?-?? , 224191131P ?? ?=- ? ?--?? 三、（10分）设线性方程组12312312 3304235 x x x x x ax b x x x --=?? --=??-+=? ， 问当参数,a b 取何值时， (1). 此方程组无解? (2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解? 解：设A 为该方程组的系数矩阵，B 为此方程组增广矩阵。 131******** 014011011121350555002-1321323132215 B a b a b a b r r r r r r r r r ?------?????? ? ? ? =--??????→--?????→ ? ? ? ? ? ?-+?????? +-- 由此可知： (1). 当2,1a b =≠时，()2,()3,()()R A R B R A R B ==≠，此方程组无解。 (2). 当2,a ≠时，()3R A ==未知量个数， 此方程组有唯一解。 (3). 当2,1a b ==时，()()23R A R B ==<，此方程组有无穷多解。