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海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2018.5第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集 U {1,2,3, 4,5,6}, 集合 A { 1,2,4}, B { 1,3,5} ，则( e U A) I B = （A）{1} （ B） {3,5} （ C） {1 ,6} （ D） {1,3,5,6}（2）已知复数z在复平面上对应的点为(1, 1) ，则（ A ）z+1是实数（ B）z+1是纯虚数（ C）z+i是实数（ D）z+i是纯虚数（3）已知 x y 0 ，则1 1（B ）(1)x (1 )y（ A ）yx 2 2 （ C）cosx cosy （ D） ln( x 1) ln( y 1)（4）若直线x y a 0 是圆x2 y2 2y 0的一条对称轴，则a的值为（A）1 （B）1 （C）2 （D）2（5）设曲线C是双曲线，则“C的方程为x 2 y21”是“C的渐近线方程为y 2 x”4的（ A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）关于函数 f x sin x x cosx ，下列说法错误的是（A ）f x是奇函数（B）0不是f x的极值点（ C）f x 在(, )上有且仅有个零点32 2（D）f x的值域是R（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是开始（ A ）求首项为1，公比为 2 的等比数列的前2017 项的和S = 0， n = 1（ B）求首项为1，公比为 2 2018 S = S + 2n - 1的等比数列的前项的和n = n + 2（ C）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1009 项的和否n > 2018是（ D）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1010 项的和输出 S（8）已知集合M {x N* |1 x 15}，集合 A1, A2 ,A3满足结束① 每个集合都恰有5个元素②A1U A2 UA3 M ．集合 A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i 1, 2,3），则X1 X2 X3的值不可能为（）．（A）37 （B）39 （C）48 （D）57第二部分（非选择题共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2019.5本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中, 选出符合题目要求的一项 .1.集合 A x|（x 1）（x 2） 0 ，B x x 0 ，则 A B A ．（ ,0] B ．（ ,1] C ． [1,2] D ． [1, ）2.已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列，且 a 1 a 3 4，a 4 8，则 a 1 q 的值为ABCD 为平行四边形”的6.用数字 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位， 2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. 32B. 36C. 42D. 48 7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1,F 2，且 F 2恰为抛物线 y 2 4 x 的焦点，设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ，若 AF 1F 2是以 AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为A. 2B. 1 2C. 1 3D. 2 38. 若数列 {a n } 满足：存在正整数 T ，对于任意正整数 n 都有 a n T a n 成立，则称数列 {a n }A ． 3．2 ． 3或 2 D ．3或 33. 如图，在边长为 a 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 m,n ，则图形面积的估计值为A. manB.na mC.2ma nD.2na m4. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A. 180 B. 240C. 276D. 3005. 在四边形 ABCD 中，R ，使得 AB DC, AD BC ”是“四边形A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件a n 1, a n 1，为周期数列，周期为T .已知数列{an }满足a1 m (m 0) ，a n 1= 1 , 0 a n1.an则下列结论中错．误．的是A. 若a3 4，则m可以取 3 个不同的值B. 若m 2，则数列{a n}是周期为3的数列C. T N*且T 2，存在m 1，{a n} 是周期为T 的数列D. m Q 且m 2，数列{a n} 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2 的距离为 __________ .1 1110. 已知a ln 1,b sin1,c 2 2，则a,b,c按照从．大．到．小．排列为_______2 2．．．．11. 直线l1过点( 2,0)且倾斜角为30 ，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为___ .12. ________________________________________________ 在ABC中，A 30, B 45,a 2，则b __________________________________________________ ; S ABC _______________ .13. 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC AP的取值范围是_____________ .14. 在平面直角坐标系中，动点P( x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .(I) 给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y x 对称；③曲线W 与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于1；2 其中，所有正确结论的序号是_________________ ;(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为_______ .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13 分）已知函数cos2xf(x) 1 π.2 sin( x π)4（Ⅰ）求函数f （x）的定义域；（Ⅱ ）求函数f （x）的单调递增区间.16. （本小题满分13 分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和150 元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150 元奖金的概率为p，获得50 元奖金的概率为2%.（I）假设某顾客一次性花10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.17. （本小题满分14 分）如图1，在直角梯形ABCD 中，ABC DAB 90 ，CAB 30 ，BC 2 ，AD 4. 把DAC沿对角线AC折起到PAC的位置,如图 2 所示,使得点P在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC上，连接PB,点E,F 分别为线段PA,AB的中点．（I）求证：平面EFH / / 平面PBC ；（II）求直线HE与平面PHB 所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在一点M , 使得M 到点P,H,A,F 四点的距离相等？请说明理由.CBC18. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x) e x , 点 A(a,0) 为一定点 ,直线 x t(t a)分别与函数 f (x) 的图象和 x 轴交于点M , N ,记 AMN 的面积为 S(t).(I )当 a 0时, 求函数 S(t)的单调区间；(II )当 a 2时, 若 t 0 [0,2] , 使得 S(t 0) e , 求实数 a 的取值范围 .19. (本小题满分 14 分)22 已知椭圆 M : x 2 y21(a b 0)的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60 的菱形 ab的四个顶点I )求椭圆 M 的方程；1II )直线 l 与椭圆 M 交于 A ， B 两点，且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, 1) ，求 AOB O为原点)面积的最大值 .20. (本小题满分 13 分)设 A 是由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的数表， 如果某一行 (或某一列) 各数之和为负数， 则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”1(Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示，若必须经过两次 “操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．． a 的所有可能值； (Ⅲ)对由 m n 个实数组成的 m 行n 列的任意一个数表 A ， 能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由表2海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 参考答案及评分标准 2019.5、选择题（本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分）二、填空题（本大题共 6小题, 每小题 5分, 有两空的小题，第一空 3分，第二空 2分， 共 30 分）所以 x π k π, k Z4所以函数的定义域为 {x|x k π+π, k Z} 4 22 cos x sin xsinx cosx= 1 (cosx sin x)1 sinx cosx= 1 2sin( x 4π)又 y sin x的单调递增区间为 (2k π π,2k π π) ， k Z22πππ令2k πx2k π2 4 2解得 2k π 3π x 2k π π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 44 又注意到 x k π+ π,4所以 f ( x)的单调递增区间为 (2k π 3π,2k π π) ， k Z ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分4416. 解：（I ）设至少一张中奖为事件 A9． 2 10 ． c b a 11. (1, 3) 12．2; 32 113 ． [0,1]14．②③ ; 2 2三、解答题 （ 本大题共 6 小题 , 共 80 分 )15． 本小题满分 13 分）解： I )因为 sin(x π) 04II )因为 f (x) 12分 4分 6分8则P(A) 1 0.52 0.754分（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为则可以取5,0, 45, 145 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分的分布列为⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以的期望为 E 5 50% 0 (50% 2% p) ( 45) 2% ( 145) p2.5 90% 145p ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以当 1.6 145p 0时，即p 8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分7258所以当0 p 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分72517. 解：（I ）因为点P在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH 平面ABC ，所以PH AC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分因为在直角梯形ABCD 中，ABC DAB 90 ，CAB 30 ，BC 2 ，AD 4所以AC 4 ，CAB 60 ，所以ADC 是等边三角形，所以H 是AC 中点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以HE / /PC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分同理可证EF //PB又HE EF E,CP PB P所以平面EFH / /平面PBC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分II )在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则A(0, 2,0) ，P(0,0,2 3) ，B( 3,1,0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因为 E(0, 1, 3) ， HE (0, 1, 3)因为 HB ( 3,1,0) ， HP (0,0,2 3)所以有HB n 0 ，即 3x y 0HP n 0 z 01t令 S'(t) (t 1)e t 0 ，2设平面 PHB 的法向量为 n (x,y,z) y3n ( 3, 3,0)8分cos n,HE n HE|n||HE |10分直线HE成角 的正弦 值为11 分(III)存在，事实上记点 E 为M 即可12 分因为在直角三角形 1PHA 中， EH PE EA PA 2，213 分1 在直角三角形PHB中，点 PB 4, EF PB 22个 点 P,O,C,F以 点 E 到 四的距离相14 分118.解: (I) 因为 S(t) 1|t a|e t ，其中 t a1 当a 0，S(t) 1|t|e t ，其中 t 02 1tS(t) te t ， 2 S' t (当t 0 时，1tS'(t) (t 1)e t ， 2所S(t) 在2分(0, ) 上 递增，4分当 t 0 时， S(t) 2te t ，S'(t) 2(t 1)e t ，解得 t1，所以 S(t) 在 ( , 1)上递增z令S'(t) 1(t 1)e t 0，解得t 1，所以S(t) 在( 1,0)上递减⋯⋯⋯⋯⋯7 分2综上，S(t )的单调递增区间为(0, )，( , 1)S(t) 的单调递增区间为( 1,0)1(II )因为S(t) 1|t a | e t，其中t a2当 a 2 ，t [0,2] 时，S(t) 1 (a t)e t2因为t0 [0,2] ，使得S(t0) e，所以S(t)在[0,2] 上的最大值一定大于等于 e 1t S'(t ) [t (a 1)]e t，令S' t ( ，2t a 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分当a 1 2 时，即 a 3时1S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (0,2) 成立，S(t) 单调递增2所以当t 2时，S(t) 取得最大值S(2) 1(a 2)e221 2 2令(a 2)e2 e ，解得a 2 ，2e所a3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分当a 1 2 时，即 a 3时S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (0,a 1)成立，S(t) 单调递增2S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (a 1,2)成立，S(t) 单调递减2所以当t a 1时，S(t)取得最大值S(a 1) 1e a 121 a 1令S(a 1) e a 1 e ，解得 a ln 2 22所la⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分综上所述la13 分高三数学(理科)试题第8 页(共 4 页)22M: x 2 y 2 1(a b 0)的四个顶点恰好是一边长为 ab方程有两个不同的解6kt x1 x2 3k 2 1x 1 x 23kt22 3k 2 1 分19.解: (I)因为椭圆2，一内角为 60 的菱形的四个顶点 ,方程为2x2y134分1(II) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ) ， 显然直线 AB 有斜率，1 12 22 当直线 AB 的斜率为 0时,则AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x 1 x 2,y 1 y 2所以S AOB = 12 | 2 x 1 ||y 1 | |x 1 ||y 1 | |x 1| 1 x 31 x 12(1 x 31 ) 13 x 12(3 x 12)因为 22x 12(3 x 12) x1(3 x 1 ) 23，S AOB3，当且仅当 |x 1| 6时， S AOB 取得最大值为当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y kx t所以7分y kx t所以 x 2 2 ，代入得到 所以x 3 y 2 1，代入得到(3k 2 1)x 2 6ktx 3t 2 3 0当4(9k 2 3 3t 2) 0 ,即 3k 2 1 t 2 ①所以y 1 y 2t223k 21 y 1 y2 1 又 2x x 2 0 x 1 x 2 021，化简得到 k23k 2 1 4t 0t410 分|AB| 1 k1 2|x1 x2 | 1 k 2 4(9k 2 3 3t )3k 13 220.（I ）解：法 1：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（II ） 每一列所有数之和分别为 2，0， 2 ，0，每一行所有数之和分别为 1，1;①如果首先操作第三列，则a a2 1 a 2 a 2a1 a 22a2a则第一行之和为 2a 1，第二行之和为 5 2a ， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 a 1 或 a 5221当 a 1 时，则接下来只能操作第一行，21 2 3 72 1 0 1改变第2行1 2 3 72 1 0 1改变第4列1 2 3 721 0 11 2 3 7 2 1 0112 分因为0 t 4，所以当 t 2时，即 k 7 时， S AOB 3取得最大值综上AOB 面积14 分又原点到直线的距离为2OB3t此时每列之和分别为 2 2a,2 2a2,2 2a,2a2 必有 2 2a2 0 ，解得a 0, 15当 a 5时，则接下来操作第二行2此时第 4 列和为负，不符合题意. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分② 如果首先操作第一行则每一列之和分别为 2 2a ， 2 2a2，2a 2 ，2a2当 a 1 时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当 a 1 时， 2 2a ，2a 2 至少有一个为负数，所以此时必须有 2 2a2 0，即 1 a 1，所以 a 0或 a 1经检验， a 0或 a 1符合要求综上：a0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2018.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（ ） （A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥ （C ）{3,4}（D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ） （A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）a b c << （D ）b ac << （3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A ）cos ρθ（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ= （D ）sin 1ρθ=-（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）2-（B ）0 （C ）2（D ）1（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计10()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100（B ）310（C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ） （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（8）若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ） （A ）不存在 （B ）有无数个 （C ）等于5 （D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高考理科数学第二次模拟考试试题2班别 姓名 座号 成绩 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]2．“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.32 B ．±32 C ．±12 D.124．如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋16．函数g (x )＝2e x ＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1) B ．(－1,1) C ．(1,2)D ．(2,3)7．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．68．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6π B ．12π C ．24＋12π D ．16π9．已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 310．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634D.37＋233411．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n＝2a 35，则1m ＋8n 的最小值是( ) A.157 B.95 C.53 D.7512．已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( ) A ．1<x 1x 2< e B.1e <x 1x 2<1 C ．2<x 1x 2<2 e D.2e13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．14．若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a的值为________．15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．18． (本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．19． (本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．20． (本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎡⎭⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎡⎦⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22． (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．23． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M.(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集．。
2018北京海淀区初三（二模）数 学 2018．5学校 姓名 成绩一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个．．． 1．若代数式31x -有意义，则实数x 的取值范围是 A 。
1x > B.1x ≥ C 。
1x ≠ D.0x ≠ 2．如图，圆O 的弦GH ，EF ,CD ,AB 中最短的是 A . GH B. EF C. CD D. AB3．2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为A. -25.1910⨯B 。
-35.1910⨯C 。
-551910⨯D. -651910⨯4．下列图形能折叠成三棱柱．．．的是ABC D5．如图，直线DE 经过点A ，DE BC ∥，=45B ∠°，1=65∠°，则2∠等于A ．60°E DB ．65°C ．70°D ．75°6．西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为a ．已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC ∠约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC 的长)约为A ．sin 26.5a ︒B ．tan 26.5a︒C ．cos26.5a ︒D ．cos 26.5a︒7．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b >，则下列结论中一定成立的是A.0b c +> B ．2a c +<- C 。
1ba< D. 0abc ≥8．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词,一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中,,,M N S T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是A ．MB ．NC ．SD ．T二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9． 分解因式：2363a a ++= ．10．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =,30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．立夏立秋春分秋分立春立冬夏至线冬至线南（午）BAEDCB A2111．如果3m n =，那么代数式n m mm n n m⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是 ．12．如图，四边形ABCD 与四边形1111A B C D 是以O 为位似中心的位似图形，满足11=OA A A ，E F ，,1E ，1F 分别是AD BC ，,11A D ,11B C 的中点，则11=E F EF．13．2017年全球超级计算机500强名单公布,中国超级计算机“神威·太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威·太湖之光”的运算时间比“天河二号"少18。
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（理科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）1（10）10（11）1；（12（13）答案不唯一，0a <或4a >的任意实数 （14）5三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分） 解：（Ⅰ）2A =，2ω=，3πϕ=-． ······································································· 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()2sin(2)3f x x π=-．因为()1f α=，所以1sin(2)32πα-=． ·········································· 8分 因为 52(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ-∈． ································· 9分 所以5236παπ-=， ··································································· 11分 所以726απ=， ········································································· 12分所以7cos 2cos 62απ==-． ····················································· 13分16. （本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ·· 1分所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610=， ································································ 3分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.································································································································· 4分（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分. ······················································ 5分 由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ······································· 6分 所以，232631()155C P A C ===. ························································· 9分 （Ⅲ）12x x =，2212s s >. ··································································· 13分17. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AB AC ⊥． ······································································· 1分因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ，所以AC ⊥平面11AB C ． ······························································ 3分 因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥． ······································································· 4分 （Ⅱ）法一：取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 的中点， 所以ME ∥11A C ，且ME 1112A C =． ··············································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11ADA C ，且1112AD AC =， 所以ME ∥AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形， ·············· 6分 所以DE ∥AM ． ······································· 7分 又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·························· 9分 注：与此法类似，还可取AB 的中点M ，连接MD 、MB 1． 法二：取AB 的中点M ，连接MD 、1MB ． 因为D 、M 分别是AC 、AB 的中点，所以MD ∥BC ，且MD 12=BC ． ·················· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，1B EBC ，且112B E BC =， AC1A 1 CB 1BDEMA C 1A 1CB 1DEAC 1A 1CB 1BDE yxz所以MD ∥B 1E ，且MD =B 1E ，所以四边形B 1E DM 是平行四边形， ············ 6分 所以DE ∥MB 1． ······································ 7分 又1MB ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·························· 9分 法三：取BC 的中点M ，连接MD 、ME ．因为D 、M 分别是CA 、CB 的中点，所以，//DM AB ． ···································································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，因为E 、M 分别是11C B 和CB 的中点， 所以，1//MB EB ，1MB EB =，所以，四边形1MBB E 是平行四边形， ··········· 6分 所以，1//ME BB ． ··································· 7分又因为MEMD M =，1BB AB B =，ME ,MD ⊂平面MDE ，BB 1,AB ⊂平面11AA B B ， 所以，平面//MDE 平面11AA B B ． ·············· 8分 因为，DE ⊂平面MDE ，所以，//DE 平面1AA BB ． ······················· 9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1//Cz AB ， 因为，1AB ⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．···························· 10分 建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则(0,0,0)C ,(2,0,0)B ,1(0,2,2)B ,1(2,2,2)C -,(0,1,0)D ,(1,2,2)E -.(1,1,2)DE =-，(2,0,0)CB =，1(0,2,2)CB =． ···························· 11分 设平面11BB C C 的法向量为(,,)x y z =n ，则10CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩， 得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)=-n ． ····························· 12分 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，AC 1 A 1C B 1BD EM则sin θ＝cos ,||||DEDE DE ⋅<>=⋅n n n6=， 所以直线DE 与平面11BB C C . ·························· 14分18. （本小题共14分）解：（Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c == ····························································· 2分 故椭圆C 的焦距为2c =， ······················································ 3分 离心率2c e a ==． ··································································· 5分 （Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >），则220014x y +=，故220014x y =-． ·················· 6分 所以2222220003||||||14TP OP OT x y x =-=+-=，所以0||TP x =， ·································· 8分01||||2OTP S OT TP x ∆=⋅=． ··········· 9分又(0,0)O ，F ，故0012OFP S OF y y ∆=⋅=． ···················· 10分 因此00()2OFP OTP OFPTx S S S y ∆∆=+=+四边形 ································ 11分==． 由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以OFPT S =四边形，·········································· 13分 当且仅当2200142x y ==，即0x =02y =时等号成立. ················· 14分 （Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02πθ<<），········································ 6分 则222222||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=，所以||TP θ=， ································································ 8分 1||||2OTP S OT TP θ∆=⋅=．········································· 9分 又(0,0)O ，F ，故01sin 22OFP S OF y θ∆=⋅=． ················ 10分因此(cos sin )OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=+四边形·························· 11分)4πθ=+≤·········································· 13分当且仅当4πθ=时，即0x 02y =时等号成立．···················· 14分19. （本小题共13分）解：（Ⅰ）法一：'()(1)ax axf x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ·················· 1分 令'()0f x =，得0x =． ······························································ 2分 ①当0a >时，'()f x 与1ax -e 符号相同，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：②当0a <时，'()f x 与1ax -e 符号相反，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·································· 7分法二：'()(1)ax axf x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ····························· 1分 令'()0f x =，得0x =． ······························································ 2分 令()(1)ax h x a =⋅-e ，则2'()axh x a =⋅e ， ······································· 3分 易知'()0h x >，故()h x 是(,)-∞+∞上的增函数，即'()f x 是(,)-∞+∞上的增函数． ················································· 4分所以，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·································· 7分 （Ⅱ）'()3()axg x ax f x =--=e (0,)a x >∈R ， ····································· 8分 故'()1g x =-⇔()1f x =-． ······················································· 9分注意到(0)21f =-<-，22()51f a =->-e ，22()11f a--=->-e ，所以，12(,0)x a ∃∈-，22(0,)x a∈，使得12()()1f x f x ==-．因此，曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())Px f x 处的切线斜率均为1-. ································································································ 11分 下面，只需证明曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P x f x 处的切线不重合. 法一：曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线方程为()()i i y g x x x -=--，即()i i y x g x x =-++．假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线重合，则2211()()g x x g x x +=+． ······························· 12分 法二：假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x (1,2i =，12x x ≠)处的切线重合，则2121()()1g x g x x x -=--，整理得：2211()()g x x g x x +=+． ····························· 12分法一：由'()31iax i i g x ax =--=-e，得2i ax i ax =+e ，则221112()(2)322i i i i i i i i g x x ax ax x x ax x a a+=+--+=--+．因为12x x ≠，故由2211()()g x x g x x +=+可得122x x a+=-．而12(,0)x a ∈-，22(0,)x a ∈，于是有12220x x a a+>-+=-，矛盾！法二：令()()G x g x x =+，则12()()G x G x =，且'()'()1()1G x g x f x =+=+. 由（Ⅰ）知，当12(,)x x x ∈时，()1f x <-，故'()0G x <．所以，()G x 在区间12[,]x x 上单调递减，于是有12()()G x G x >，矛盾！因此，曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x (1,2i =)处的切线不重合．········· 13分20. （本小题13分）解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ． ······················ 1分 理由如下：由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=⨯=，解得113k =，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． ··· 3分 （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则 ①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！ ·············································· 4分②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！···························································································· 6分③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅设112t t k a a a ++⋅=，213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！···························································································· 8分综上，10a ≥，0d ≥．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ，21220182018k a a a =≠=⋅，这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠． 设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+则2121()k k a a xd k k d -==-⋅，因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数．由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅，即(2018)20182017m k d --⋅=⨯． 因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯． 当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故 12018,1009,0a =，共3种可能； 当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故 12018,1a =，共2种可能； 当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故 12018,0a =，共2种可能；当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能； 当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故 12018a =，共1种可能；当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能．综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）．经检验，这些数列均符合题意． ························································ 13分。
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B =（A ）{1}（B ）{3,5}（C ）{1,6}（D ）{1,3,5,6}（2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ）+1z 是实数 （B ）+1z 是纯虚数 （C ）+i z 是实数 （D ）+i z 是纯虚数（3）已知0x y >>，则（A ）11x y>（B ）11()()22x y>（C ）cos cos x y >（D ）ln(1)ln(1)x y +>+（4）若直线0x y a ++=是圆2220xy y +-=的一条对称轴，则a 的值为（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-（5）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是（A ）()f x 是奇函数（B ）0不是()f x 的极值点（C ）()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点 （D ）()f x 的值域是R（7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（A ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 （B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 （C ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 （D ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和（8）已知集合*{|115}Mx x =∈≤≤N ，集合123,,A A A 满足① 每个集合都恰有5个元素 ②123A A A M =．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的值不可能为（）． （A ）37（B ）39（C ）48（D ）57第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）极坐标系中，点(2,)2π到直线cos 1ρθ=的距离为________.（10）在52()x x +的二项展开式中，3x 的系数为 .（11）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且满足||2=a ，||1=b ，则⋅=a b ，2+=|a b | .（12）在ABC ∆中，::4:5:6a b c =，则tan A = .（13）能够使得命题“曲线221(0)4x y a a-=≠上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 .（14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为_________.A 1M三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><在一个周期内的图象经过(,0)6B π，2(,0)3C π，5(,2)12D π三点． （Ⅰ）写出A ，ω，ϕ的值；（Ⅱ）若52(,)123ππα∈，且()1f α=，求cos2α的值．16. （本小题共13分） 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小. （只需写出结论）17. （本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点．（Ⅰ）证明：11ACB C ⊥（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；（Ⅲ）求DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值.AC 1A 1CB 1BDE18. （本小题共14分）已知椭圆C ：2214x y +=，F 为右焦点，圆O ：221x y +=，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 两侧. （Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.19. （本小题共13分）已知函数()3ax f x ax =--e （0a ≠）（Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a >时，设211()32ax g x ax x a =--e .求证：曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线.20. （本小题共13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,i j ，i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j a a a =”，则称数列{}n a 具有“性质P”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d .（Ⅰ）若12a =，公差3d =，判断数列{}n a 是否具有“性质P”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，求证：10a ≥且0d ≥；（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列{}n a 共有多少个？并说明理由海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（理科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）1（10）10（11）1；（12（13）答案不唯一，0a <或4a >的任意实数 （14三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分） 解：（Ⅰ）2A =，2ω=，3πϕ=-． ······································································ 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()2sin(2)3f x x π=-．因为()1f α=，所以1sin(2)32πα-=． ·········································· 8分 因为 52(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ-∈． ································· 9分 所以5236παπ-=， ··································································· 11分 所以726απ=， ········································································· 12分所以7cos 2cos 6απ== ····················································· 13分16. （本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ·· 1分所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610=， ································································· 3分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. ································································································································ 4分（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分. ························································· 5分 由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ······································· 6分 所以，232631()155C P A C ===. ························································· 9分 （Ⅲ）12x x =，2212s s >. ··································································· 13分17. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AB AC ⊥． ······································································· 1分因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ，所以AC ⊥平面11AB C ． ······························································ 3分 因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥． ······································································· 4分 （Ⅱ）法一：取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 的中点， 所以ME ∥11A C ，且ME 1112A C =． ··············································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11ADA C ，且1112AD AC =， 所以ME ∥AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形， ·············· 6分 所以DE ∥AM ． ······································· 7分 又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·························· 9分 注：与此法类似，还可取AB 的中点M ，连接MD 、MB 1． 法二：取AB 的中点M ，连接MD 、1MB ． 因为D 、M 分别是AC 、AB 的中点，所以MD ∥BC ，且MD 12=BC ． ················· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，1B EBC ，且112B E BC =， 所以MD ∥B 1E ，且MD =B 1E ，AC1A 1 CB 1BDEMA C 1A 1CB 1BDEMAC 1A 1CB 1BDE yxz所以四边形B 1E DM 是平行四边形， ············ 6分 所以DE ∥MB 1． ······································ 7分 又1MB ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ，所以//DE 平面1AA BB ． ·························· 9分 法三：取BC 的中点M ，连接MD 、ME ．因为D 、M 分别是CA 、CB 的中点，所以，//DM AB ． ···································································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，因为E 、M 分别是11C B 和CB 的中点， 所以，1//MB EB ，1MB EB =，所以，四边形1MBB E 是平行四边形， ··········· 6分 所以，1//ME BB ． ··································· 7分又因为MEMD M =，1BB AB B =，ME ,MD ⊂平面MDE ，BB 1,AB ⊂平面11AA B B ， 所以，平面//MDE 平面11AA B B ． ·············· 8分 因为，DE ⊂平面MDE ，所以，//DE 平面1AA BB ． ······················· 9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1//Cz AB ， 因为，1AB ⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．···························· 10分 建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则(0,0,0)C ,(2,0,0)B ,1(0,2,2)B ,1(2,2,2)C -,(0,1,0)D ,(1,2,2)E -.(1,1,2)DE =-，(2,0,0)CB =，1(0,2,2)CB =． ···························· 11分 设平面11BB C C 的法向量为(,,)x y z =n ，则10CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩， 得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)=-n ． ····························· 12分 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，AC 1A 1C B 1BD EM则sin θ＝cos ,||||DEDE DE ⋅<>=⋅n nn 6=， 所以直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值为6. ·························· 14分18. （本小题共14分）解：（Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c = ····························································· 2分 故椭圆C 的焦距为2c = ······················································ 3分 离心率2c e a ==． ··································································· 5分 （Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >），则220014x y +=，故220014x y =-． ·················· 6分 所以2222220003||||||14TP OP OT x y x =-=+-=，所以0||2TP x =， ·································· 8分01||||2OTP S OT TP x ∆=⋅=． ··········· 9分又(0,0)O ，F ，故0012OFP S OF y y ∆=⋅=． ···················· 10分 因此00()2OFP OTP OFPT x S S S y ∆∆=+=+四边形 ································11分==由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以OFPT S =四边形， ·········································· 13分当且仅当2200142x y ==，即0x 02y =时等号成立. ················· 14分 （Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02πθ<<），········································ 6分 则222222||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=， 所以||TP θ=， ································································ 8分 1||||22OTP S OT TP θ∆=⋅=． ········································· 9分 又(0,0)O ，F ，故01sin 22OFP S OF y θ∆=⋅=． ················ 10分因此(cos sin )2OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=+四边形·························· 11分)4πθ=+≤·········································· 13分当且仅当4πθ=时，即0x =02y =时等号成立． ··················· 14分19. （本小题共13分）解：（Ⅰ）法一：'()(1)ax ax f x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ·················· 1分 令'()0f x =，得0x =． ······························································ 2分 ①当0a >时，'()f x 与1ax -e 符号相同，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：②当0a <时，'()f x 与1ax -e 符号相反，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·································· 7分法二：'()(1)ax axf x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ····························· 1分 令'()0f x =，得0x =． ······························································ 2分 令()(1)ax h x a =⋅-e ，则2'()axh x a =⋅e ， ······································· 3分 易知'()0h x >，故()h x 是(,)-∞+∞上的增函数，即'()f x 是(,)-∞+∞上的增函数． ················································· 4分所以，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·································· 7分 （Ⅱ）'()3()axg x ax f x =--=e (0,)a x >∈R ， ····································· 8分 故'()1g x =-⇔()1f x =-． ······················································· 9分注意到(0)21f =-<-，22()51f a =->-e ，22()11f a--=->-e ，所以，12(,0)x a ∃∈-，22(0,)x a∈，使得12()()1f x f x ==-．因此，曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())Px f x 处的切线斜率均为1-. ································································································ 11分 下面，只需证明曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P x f x 处的切线不重合. 法一：曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线方程为()()i i y g x x x -=--，即()i i y x g x x =-++．假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线重合，则2211()()g x x g x x +=+． ······························· 12分 法二：假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x1,2i =，12x x ≠ 处的切线重合，则2121()()1g x g x x x -=--，整理得：2211()()g x x g x x +=+． ····························· 12分法一：由'()31iax i i g x ax =--=-e，得2i ax i ax =+e ，则221112()(2)322i i i i i i i i g x x ax ax x x ax x a a+=+--+=--+．因为12x x ≠，故由2211()()g x x g x x +=+可得122x x a+=-．而12(,0)x a ∈-，22(0,)x a ∈，于是有12220x x a a+>-+=-，矛盾！法二：令()()G x g x x =+，则12()()G x G x =，且'()'()1()1G x g x f x =+=+. 由（Ⅰ）知，当12(,)x x x ∈时，()1f x <-，故'()0G x <．所以，()G x 在区间12[,]x x 上单调递减，于是有12()()G x G x >，矛盾！因此，曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x 1,2i = 处的切线不重合． ········ 13分20. （本小题13分）解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ． ······················ 1分 理由如下：由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=⨯=，解得113k =，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． ·· 3分 （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则 ①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！ ·············································· 4分②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！···························································································· 6分③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅设112t t k a a a ++⋅=，213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！···························································································· 8分综上，10a ≥，0d ≥．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ， 21220182018k a a a =≠=⋅，这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠． 设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+则2121()k k a a xd k k d -==-⋅， 因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数． 由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数． 由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅， 即(2018)20182017m k d --⋅=⨯．因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯．当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故 12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故 12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故12018,1009,0a =，共3种可能；当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故12018,1a =，共2种可能； 当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故12018,0a =，共2种可能；当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能； 当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能．综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）． 经检验，这些数列均符合题意． 13分。
