浙江省富阳市实验中学2008学年第一学期第三次教学质量检测高三年级数学学科问卷(文科)

2024年浙江省杭州市学军中学数学高三第一学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线(2)xy ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4-B ．8-C ．4D ．82．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3403．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=04．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )6．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}37．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭8．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A 1B 2C 1D 29．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．12B ．1C ．32D ．210．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 11． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4512．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60B ．80C ．90D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022学年第一学期期中教学质量检测七年级数学试题卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1. 的绝对值等于( )A.B. 2022C. D.2. 下列4个式子，计算结果最小的是( )A.B. C.D.3. 据统计，某地区2022年上半年GDP为421.6亿元，将数421.6亿用科学计数法表示为( )A.421.6×108B. 4.216×1010C. 421.6×109D. 4.216×10114. 下列计算正确的是( )A. B.C.D.5. 在，，，，,中，无理数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个6. 列出“m的2倍与n的差的平方”的代数式,正确的是( )A. 2m－n2B. (2m－n)2C. 2(m－n2)D. m－2n27. 下列4个说法：①1的立方根是它本身；②数轴上任意一点都对应一个有理数；③算式5÷6×=5；④对于任意一个实数a，都可以用表示它的倒数。

说法正确的是( )A. ①②B.③④C.①D.②③④8. 若3a-2b-5=0，则代数式6a-4b-6的值是( )A. －16B. 16C. －4D. 49. 若, 是最大的负整数，则等于( )A.8B. 6或－8C. －6D. －6或810. 有理数a,b,c在数轴上的位置如右图所示：①abc＞0；②(a－b)(b－c)(c－a)＜0；③；④，以上4个结论正确的有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. 2的倒数是.12. 当x=2时，代数式x2－4x+(－2)2的值为______.13. 在数轴上，若A点表示－3，在A点左侧到点A距离等于2的点所表示的数是_____.14. ，_____.（用＞、＜、=号连接）15. 在如右图所示的运算流程中，若输出的数y=7，则输入的数n= _____．16. 做个一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，a3=_______,________.三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出演算步骤）17.（本小题满分6分）（1）将下列各数表示在数轴上：（无理数近似表示在数轴上）（2）将上列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接.18.（本小题满分12分）计算（1）（－11）＋(－7) （2）（3）（4）19.（本小题满分8分）已知与互为相反数,求代数式(2a＋3b)(2b－3a)的值.20.（本小题满分8分）如图，用30米的铝合金制作一个长方形框架，设长方形的3根竖条长均为a米，（1）用a的代数式表示长方形的横条长以及长方形面积S（代数式不必化简）.（2）分别计算当a取5米，6米时长方形的面积.21.（本小题满分10分）网约车司机老张某天上午8：00～9：15沿着金桥北路在高桥和东吴公园之间营运，这条路近似看成南北走向．如果规定向北为正，向南为负，他这天上午行车里程(单位：km)如下：＋3，－2，＋3，－4，＋3，－2，－5.5，＋3 .（1）将第几名乘客送到目的地时，老张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，老张距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？（3）若该网约车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元（不足1km按1km算）．则老张在这天上午8：00～9：15一共收入多少元?22.（本小题满分10分）如图，每个小正方形的边长均为1．（2）估计边长a的值在两个相邻整数_____与_____之间.（3）我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(π－3)表示它的小数部分. 设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求(x－y)的相反数.23.（本小题满分12分）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是－2，4．请回答以下问题：（1）A与B之间距离为_____，A，B中点对应的数为_____,B点向左平移7个单位对应的数为_____（2）若点C对应的数为－3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左作匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左作匀速运动，P,Q 同时运动①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？2022学年第一学期期中教学质量检测七年级数学参考答案一、选择题：BABDA，BCDDB二、填空题11: ; 12: 0 ; 13: -5 ;14: > , > ; 15: 14或13 16：5 , 26三、解答题17.（1）------3分（2）-------3分18.（1）-18 （2）1 （3）-6 （4）-1119.a=-2, b=----------4分原式=----------4分20.（1）横条长：-----2分S=-----2分（2）当a=5时，原式=-----2分当a=6时，原式=36-----2分21.（1）+3-2+3-4=0，所以将第4名乘客送到目的地时，老张回到出发点。

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.125. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的.的A.B.C.D. 6. 如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. y =±C. y =D. y =7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞- B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（ ）A. 1012k a = B. 10111012a m a << C. m k≥ D. 212s s =10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一一组点,P Q ，使得AP PQ⊥.的D. 1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色小正方体的概率为124279=.故选：C5. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC======所以11111cos,sin3A OC A OC∠==∠=11cos A OC A OC∠==∠=又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC∠为钝角，所以sinα的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6. 如图，1F､2F是双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的左､右焦点，过2F的直线与双曲线C交于A､B两点.若A是2BF中点且12BF BF⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±B. y=±C. y =D. y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-， 222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，得到 ()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，则 ()g x 在R 上递增，当1x ≤时， ()()22g x a x =-+，则20a +<，即 2a <-成立；当1x >时， ()322213112326g x x ax a x =-+-，则 ()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得 12a ≤；当312a >，即23a >时， 231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，23BG BE ==AG∴===，又4ABC ABD ACD BCDS S S S=====，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABDV V V V V-----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDVRS S S S-=+++，又13A BCDV-==，R∴==，AO AG GO=-==，12AO AG R r r r=--=-=-，又1AHO AFO，可得11AO O HAO OF=即r=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a⋯<<<⋯<，记其中位数为k，均值为m，标准差为1s，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a+++⋯+的标准差为2s，下列结论正确的是（）A. 1012k a= B.10111012a m a<< C. m k≥ D. 212s s=【答案】AD【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因1232023a a a a<<<<，样本数据最中间项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,12022.n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024iii i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s ===，D 对.故选：AD 10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A. 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，的所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C 项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D. 1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，=212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B 正确；对A ， 3PA PB +=+=，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，的所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+()0,∞+恒成立，在即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e ex x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞. 故答案为：(],2e -∞16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b+=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b--+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故e =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一 根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，cos ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA ADCB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又224449cos 8a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得a =a =当a =时，32c =，则122DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11sin 22ABC S ab C ===△方法二 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有232a =，所以a =所以21πsin 23ABC S ab ===△18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PA SA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）PA SA =.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则0,,0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则0,,AP y z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，AS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得)1y a λ=-，z a =，即)1P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n = .设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，因为)112BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=- .因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60m n m n m n ⋅〈〉===︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得λ=，即PA SA =【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n ++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式n n a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n na n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n ++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n n n a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n na n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n ++=⋅∈N ，∴121n n a a n n +=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n n a n -=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】 ()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n =，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k k k k k k k b b k c k -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n nn T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n nn T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********n n n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||P M N P M N >21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01t g t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，的由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP NP FA MA ==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅， ∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB NF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。

2024学年第一学期八年级期中教学质量检测语文试题卷卷首语：眨眼之间，学期已过半。

在这半个学期中，同学们结合课本，组织进行了多个语文实践活动，请你跟随他们的脚步，一同温故而知新。

【品山水意趣】一、“山水与文化”主题实践活动各组同学收集、整理了一些材料并设计了以下学习任务。

请根据要求，完成1-3题。

（37分）1.第一组同学分享了他们研究“山水与画卷”的材料。

（8分）①山水的世界，始终都是人类心灵的阳光雨露，每当我们的心灵聚焦某种困境时，就敞开胸膛走进山水。

让山水的自然景观，赋予灵魂yōu闲自由、给精神滋养启迪，给情绪愉悦美感，给良心感动震hàn，给步履智慧清醒。

②虽然我不是从山水的襁褓里分娩出来，但流淌的血脉里，却一直对山水有着一份特别的眷爱。

面对大江南北诸多的山山水水，总有一种（）的情怀，有走近它亲临它拥抱它的期待。

(1)根据拼音，写出相应的汉字。

（2分）①yōu(▲)闲②震hàn( ▲)(2)为下列加点的字选择正确的读音。

（2分）①赋予▲A．yú B．yǔ②步履▲ A．lǔ B．lǚ(3)文中划线句有一处标点使用有误，请找出并纠正。

（2分）▲(4)给语段中“（）”处选择合适的成语（▲）（2分）A．绵绵不绝B．依依不舍2．第二组同学研究“山水与诗情”，请帮助他们完善下面的表格。

（10分）解读诗句作品秋意正浓，落寞渐染。

树树皆秋色，①▲。

（唐）王绩《野望》大漠落日，豪情万丈。

大漠孤烟直，②▲。

（唐）王维《使至塞上》家园荒芜，慷慨激愤。

柴门何萧条，③▲。

（三国）曹植《梁甫行》月光皎洁，闲适雅致。

④▲，⑤▲，盖竹柏影也。

（宋）⑥▲《记承天寺夜游》荒原大江，豪情万丈。

⑦▲，江入大荒流。

（唐）李白《渡荆门送别》天地迷蒙，⑧▲。

面对迷蒙的江景，漂泊在外的游子不禁发出“⑨▲？⑩▲”的慨叹。

（唐）崔颢《黄鹤楼》3.第三组同学搜寻课内外材料，探究“山水与游记”，请你帮助他们完成下列助读任务。

2023学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1 2 3 4 5 6 7 8 AB D A BC AA二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1514．√1315．－216．√2四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解：（1）由题知，A ＋C ＝180°，所以cos A ＝－cos C ，根据余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ， 即 BD 2＝5－4cos A ，BD 2＝13－12cos C ． 所以 5－4cos A ＝13－12cos C ，所以cos C ＝12． 所以 BD ＝√7．（2）因为 BD 2＝PB 2＋PD 2－2PB ·PD cos A ＝(PB ＋PD )2－3PB ·PD ≥(PB ＋PD )2－3·(PB ＋PD)24＝(PB ＋PD)24，所以(PB ＋PD )2≤28，所以PB ＋PD ≤2√7（当且仅当PB ＝PD 时取等号） 所以√7＜PB ＋PD ≤2√7．18．（1）由①得：2a ＝b ＋1； 由②得：ax b ＋x 2＝a1xb ＋1x 2，（x ＞0）恒成立，即b ＋x 2＝bx 2＋1恒成立，所以b ＝1，所以a ＝1， 所以f (x )＝x 1＋x 2；（2）因为f ′(x )＝(1−x)(1+x)(1＋x 2)2，所以f (x )在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递减．不妨设A (t ，0)，t ∈(0，1)，由f (x )＝f (1x )知B (1t ，0)． 那么|AB |＝1t －t ，|AD |＝t1+t 2；S ＝(1t −t)∙t 1＋t 2＝－1＋2t 2＋1，因为t ∈(0，1)，所以0＜S ＜1．19．（1）如图，以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立坐标系．那么P (0，0，b √3)，D (0，b ，0)，C (a ，a ，0)，E (0，b4，√3b4)，B (a ，0，0)．故BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−a ，b 4，√3b 4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，b ，−b√3)，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BE ⊥PD ． （2）因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ，0，0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 故AB ⊥PD ，所以PD ⊥平面ABE ， 故平面ABE 的法向量n ⃗ ＝PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，b ，−b√3)，设直线PC 与平面ABE 所成角为θ，则： sin θ＝|cos<PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|＝ab ＋b 23√b 2＋b 23∙√2a 2＋b23＝√104， 整理得 b ＝2a ，即12a b ．20．（1）设事件A 为挑战者获胜，事件B 为不多于两次答题比赛结束． P (A | B )＝0.5×0.5＝0.25．（2）设P 为先答题者获胜的概率，则P ＝0.5×(0.5＋0.5P )，解得P ＝13．（3）设随机变量X 为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，P 1为此时挑战者获胜的概率；Y 为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，P 2为此时挑战者获胜的概率． P 1＝P (X ≥6)＝C 86(13)6(23)2＋C 87(13)7(23)1＋C 88(13)8＝12938， P 2＝P (X ≥7)＝C 97(13)7(23)2＋C 98(13)8(23)1＋C 99(13)9＝16339．显然，P 1＞P 2，即该挑战者胜利的概率没有增加．21．（1）由S 1＝a 1＝1；令n ＝2，得k(S 2＋2a 1)＝3S 1＋3k ，故a 2＝2k ＋33k，a 2a 1＝2k ＋33k；因为k(S n ＋2a n )＝3S n−1＋3k ，其中k >0，n ≥2，n ∈N ． 所以当n ≥3时，k(S n−1＋2a n−1)＝3S n−2＋3k ， 两式相减得：k (3a n −2a n−1)＝3a n−1， 整理得：a n a n−1＝2k ＋33k，(n ≥3)．综上，数列{a n }是首项为1，公比为2k ＋33k 的等比数列．（2）由题意得：f (k )＝2k ＋33k，(k >0)，1bn＝f (b n−1)＝2b n−1＋33b n−1＝1bn−1＋23，b 1＝1，故1b n＝2n ＋13．当n 为偶数时，1b 1b 2−1b2b 3＋1b3b 4−＋⋯＋(−1)n ＋11bn b n ＋1＝1b 2(1b 1−1b 3)＋1b 4(1b 3−1b 5)＋⋯＋1b n(1bn−1−1bn ＋1)＝−43(1b 2＋1b 4＋⋯＋1b n)＝−29n(n ＋3)．当n 为奇数时， 1b1b 2−1b2b 3＋1b3b 4−⋯＋(−1)n ＋11bn b n ＋1＝−29(n −1)(n ＋2)＋2n ＋13∙2n ＋33＝2n 2＋6n ＋79综上：1b1b2−1b2b3＋1b3b4−⋯＋(−1)n＋11b n bn＋1＝{−29n(n＋3)，(n为偶数)2n2＋6n＋79，(n为奇数)．22．（1）因为f′(x)＝－ax2＋1x＝−a＋xx2，x∈(0，＋∞)，当a≤0时，则f′(x)＞0 ，f (x)在(0，＋∞)单调递增，与题不符；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=a，所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，∴在x=a取极小值，且f(a)=1＋lna；又g′(x)=a−1x，当a≤0时：g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)单调递减，无极值，与题不符；当a>0时：令g′(x)=0，解得：x=1a，所以g(x)在(0，1a )单调递减，在(1a，＋∞)单调递增，∴在x=1a 取极小值，且g(1a)=−1＋lna；由题(1＋ln a)＋(－1＋ln a)＝0，解得a=1．（2）令m=1x1，n=1x2，因为x1≠x2，所以m≠n，由f(x1)=f(x2)=2(x1≠x2)可得：{ax1＋lnx1=2a x2＋lnx2=2⇒{am−lnm=2⋯(1)an−lnn=2⋯ (2)，(1)−(2)得：a(m−n)=lnm−lnn，所以1a =m−nlnm−lnn，要证：1x1＋1x2>2a，只要证：m＋n>2a，只要证：m＋n>2m−nlnm−lnn，不妨设0<n<m，所以只要证：ln mn >2(m−n)m＋n，即证：ln mn >2(mn−1)mn＋1，令t=mn(t>1)，只要证：lnt>2(t−1)t＋1(t>1)，令ℎ(t)=lnt−2(t−1)t＋1(t>1)，ℎ′(t)=1t−2(t＋1)−2(t−1)(t＋1)2=1t−4(t＋1)2=(t−1)2t(t＋1)2，所以ℎ(t)在t∈(1，＋∞)上单调递增，所以有lnt>2(t−1)t＋1(t>1)成立，所以1x1＋1x2>2a成立．。

考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3杭州市高三教学质量检测数学试题．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．∩RBA ．[0，3]B ．[1，3]C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．设复数z 满足z (1＋i)＝－2＋i （i 是虚数单位），则| z |＝（ ）A ．√102B ．54C ．52D ．√523．在数列{a n }中，“数列{a n }是等比数列”是“a 22＝a 1a 3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设平面向量a ＝(1，3)，| b |＝2，且| a －b |＝√10，则(2a ＋b )·(a －b )＝（ ）A ．1B ．14C ．√14D ．√105．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D (10，2)后，下列说法正确的是（ ） A ．相关系数r 变小 B ．决定系数R 2变小 C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 6．已知a ＞1，b ＞1，且log 2√a ＝log b 4，则ab 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32（第5题）OA (1，4) C (3，5)B (2，6)E (8，11)D (10，2)xy7．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满．．足．直线MN //平面ABC 的是（ ）A ．127B ．1817C ．617D ．3017二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若直线y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，则| AB |的长度可能．．等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数f (x )（x ∈R ）是奇函数，f (x ＋2)＝f (－x )且f (1)＝2，f ′(x )是f (x )的导函数，则（ ） A ．f (2023)＝2 B ．f ′(x )的周期是4 C ．f ′(x )是偶函数D ．f ′(1)＝111．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件A 1，A 2为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件C ．P (B )＝25D ．P (C |A 2)＝3412．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则（ ） A ．球与圆柱的体积之比为2∶3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为(0，32]C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE ＋PF 的取值范围为[2＋2√5，4√3]BCAMA ．NBCAMB ．NB CAM C ．NBCAMD ．N（第12题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．14．已知sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=，则224cos 2cos 2αβ-=_____． 15．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P (3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ ．16．已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋2x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为l ：y ＝g (x )， 若对任意x ∈R ，都有(x －x 0)(f (x )－g (x ))≥0成立，则x 0＝ ．四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos B ＋sin A+C2＝0．（1）求角B 的大小；（2）若a ∶c ＝3∶5，且AC 边上的高为15√314，求△ABC 的周长．18．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 32＝a 2a 5．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋b n ＋1＝(√2)a n，求数列{b 2n }的前n 项和．19．在三棱锥S —ABC 中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠SAB ＝∠SCB ＝∠ABC ＝90°．（1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，SC ＝2√2，求平面SAC 与平面SBC夹角的余弦值．SABC（第19题）21．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X t－2，X t－1，X t，X t＋1，…，那么X t＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P(X t＋1 | …，X t－2，X t－1，X t)＝P(X t＋1 | X t)．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A（A∈N*，A＜B），赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)时，最终．．．．．．P(n)，请回答下列问．．输光的概率为题：（1）请直接写出P(0)与P(B)的数值．（2）证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d．（3）当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P(A)的统计含义．22．已知函数f (x)＝e x－a（a∈R）．x（1）讨论函数f (x)零点个数；（2）若| f (x) |＞a ln x－a恒成立，求a的取值范围．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40杭州市高三教学质量检测数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．CD10．BD11．ACD12．AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．70 14．0 15．2 16．－ln2四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（1）因为 sinA+C 2＝sinπ−B 2＝cos B2，所以 cos B +cos B 2＝0，即 2cos 2B 2+cos B2－1＝0，解得 cos B 2＝12或cos B2＝－1，因为0＜B ＜π，所以0＜B2<π2，则cos B 2＞0，故 cos B 2＝12， 则 B2＝π3，故B ＝2π3．………………5分（2）令c ＝5m （m ＞0），则a ＝3m ，由三角形面积公式，得 12ac sin B ＝12b ×15√314，所以 b ＝7m 2，由余弦定理可，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 则 49m 4＝49m 2，解得 m ＝1，从而 a ＝3，b ＝7，c ＝5，故△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝15．………………5分18．（1）由题意，知a +d a +d a +d a +d ⎩⎪=⎨⎪⎧=,(2)()(4)5102011121，解得 a 1＝0，d ＝2． 所以 a n ＝2n －2． ………………4分（2）因为 b n ＋b n ＋1＝2n －1①所以 b 1＋b 2＝1，又因为b 1＝1，所以b 2＝0． 当n ≥2时，b n －1＋b n ＝2n －2②①－②，得 b n ＋1－b n －1＝2n －2，即b n －b n －2＝2n －3（n ≥3）． 所以b 2n －b 2n －2＝22n －3，b 2n －2－b 2n －4＝22n －5，……，b 4－b 2＝21， 累加，得 b 2n －b 2＝23(4n−1−1)（n ≥2）， 所以b 2n ＝23(4n−1−1) （n ≥1），所以数列{ b 2n }的前n 和为b 2＋b 4＋…＋b 2n ＝n n ⋅--9394222．………………8分19．（1）证明：设AC 的中点为E ，连结SE ，BE ， 因为AB ＝BC ，所以BE ⊥AC ，在△SCB 和△SAB 中，∠SAB ＝∠SCB ＝90°，AB ＝BC ．所以 △SCB ≌△SAB ，所以SA ＝SC ． 所以SE ⊥AC ， 所以AC ⊥平面SBE ， 因为SB ⊂平面SBE ， 所以 AC ⊥SB ． ………………5分（2）过S 作SD ⊥平面ABC ，垂足为D ，连接AD ，CD ， 所以SD ⊥AB ，因为 AB ⊥SA ，所以 AB ⊥平面SAD ， 所以 AB ⊥AD ，同理，BC ⊥CD ． 所以四边形ABCD 是边长为2的正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)， 所以SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，－2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，2，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，0，0)， 设平面SAC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则{n 1⋅SC ⃗⃗⃗⃗ ＝2y 1−2z 1＝0， n 1⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝−2x 1+2y 1＝0，取x 1＝1，y 1＝1，z 1＝1，所以n 1＝(1，1，1) ．同理可得平面SBC 的法向量n 2＝(0，1，1)． 设平面SAC 与平面SBC 夹角为θ， 所以cos θ＝|cos< n 1，n 2>|＝|n 1⋅n 2||n 2||n 2|＝√63，所以平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值为√63．………………7分20．（1）当n =0时，赌徒已经输光了，因此P (0)=1. 当n =B 时，赌徒到了终止赌博的条 件，不再赌了，因此输光的概率P (B )=0.………………3分（2）记M:赌徒有n 元最后输光的事件，N:赌徒有n 元下一场赢的事件P (M )=P (N )P (M |N )+P (N ̅)P(M|N ̅) 即P (n )=12P (n −1)+12P(n +1)， 所以P (n )−P (n −1)=P (n +1)−P(n)， 所以{P (n )}是一个等差数列．设()()1--=P n P n d ，则()()12---=P n P n d ，……，()()10-=P P d ， 累加得()()0-=P n P nd ，故()()0-=P B P Bd ，得1=-d B．………………6分（3）由()()0-=P n P nd 得()()0-=P A P Ad ，即()1=-A P A B． 当B =200，P (A )=50%， 当B =1000，P (A )=90%，当B →∞，P (A )→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．………………3分设h (x )＝x e x ，则 h ′(x )＝(x ＋1)e x， 所以，在(－1，0)，(0，＋∞)上单调递增；在(－∞，－1)上单调递减，所以h (x )min ＝h (－1)＝－1e ． 据此可画出大致图象如右，所以（ⅰ）当a ＜－1e或a ＝0时，f (x )无零点；（ⅱ）当a ＝－1e 或a ＞0时，f (x )有一个零点；（ⅲ）当－1e＜a＜0时，f (x)有两个零点；…………6分（2）①当a＝0时，e x＞0，符合题意；②当a＜0时，因x＞0，则e x－ax＞0，则e x－ax ＞a ln x－a，即e x＞(1x＋ln x－1)a，设m(x)＝1x ＋ln x－1，则m′(x)＝－1x2＋1x＝x−1x2，所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以m(x)≥m(1)＝0，所以，当a＜0时，e x＞0≥(1x＋ln x－1)a，即| f (x) |＞a ln x－a成立，即a＜0合题意；③当a＞0时，由（1）可知，h(x)－a＝x e x－a，在(0，＋∞)上单调递增．又h(0)－a＝－a＜0，h(a)－a＝a(e a－1)＞0，所以∃x0∈(0，a)，使h(x0)－a＝x0e x0－a＝0．i）当x∈(0，x0)时，x e x－a＜0，即e x－ax＜0，设g(x)＝ax－e x－a ln x＋a＞0，则g′(x)＝－ax2－e x－ax＜0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，所以x∈(0，x0)时，g(x)＞g(x0)＝－a ln x0＋a；ii）当x∈(x0，＋∞)时，x e x－a＞0，即e x－ax＞0，设t(x)＝e x－ax－a ln x＋a＞0，因为t′(x)＝e x+ax2−ax＝x2e x+a−axx2，令p(x)＝x2e x+a−ax，x∈(x0，+∞)，则p′(x)＝(x2+2x)e x−a，又令n(x)＝(x2+2x)e x−a，x∈(x0，+∞)，则n′(x)＝(x2+4x+2)e x>0，得n(x)在(x0，+∞)上单调递增．有p′(x)＝n(x)≥n(x0)＝(x02+2x0)e x0−a＝ax0+a>0，得p(x)在(x0，+∞)上单调递增，有p(x)≥p(x0)＝x02e x0+a−ax0＝a>0．则t′(x)＝p(x)x2>0，得t(x)在(x0，+∞)上单调递增．则x∈(x0，+∞)时，t(x)≥t(x0)＝−a ln x0+a．又x∈(0，x0)时，g(x)>g(x0)＝−a ln x0+a，得当a>0时，|f(x)|>a ln x−a时，−a ln x0+a>0⇒0<x0<e，由上可知a＝x0e x0，ℎ(x)＝xe x在(0，+∞)上单调递增，则此时0<a<e e+1；综上可知，a的范围是(−∞，e e+1)．………………6分。

2023学年第一学期九年级期中学情调研数学调研卷一．选择题：（共10小题，3×10＝30分）1.下列事件中是不可能事件的是（）A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.水中捞月D.百步穿杨2.已知点A 在直径为8cm 的⊙O 内，则OA 的长可能是（）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm3.二次函数2x y =的图象平移后经过点），（02，则下列平移方法正确的是（）A.向右平移2个单位，向上平移1个单位B.向右平移1个单位，向下平移1个单位C.向左平移1个单位，向上平移2个单位D.向左平移2个单位，向下平移2个单位4.从－1，2，3，6这四个数中任取不同的两数，分别记为m ，n ，那么点（m ，n ）在函数xy 6=图象上的概率是（）A.61 B.41 C.31 D.215.已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A ．6或64B ．6或7C ．6或212D ．7或96.下列命题正确的是（）A.相等的弦所对的弧相等.B.平分弦的直径平分弦所对的两条弧.C.过三点能作一个圆.D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等.7.已知二次函数mx x y 22+=－，对于其图象和性质，下列说法错误的是（）A ．图象开口向下B ．图象经过原点C ．当2>x 时，y 随x 的增大而减小，则2<m D ．函数一定存在最大值8.如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，使得折痕AB 垂直半径OC ，当恰好经过CO 的三等分点D （靠近端点O ）时，折痕AB 长为（）A.28 B.154 C.8D.549.如图，已知°=60∠BAC ，AB=4，AC=6，点P 在ABC ∆内，将APC ∆绕着点A 逆时针方向旋转60°得到AEF ∆.则AE+PB+PC 的最小值为（）A.10B.192 C.35 D.13210.已知二次函数c bx ax y ++=2满足以下三个条件：①c ab 42>，②0<c b a ＋－，③c b <，则它的图象可能是（）A. B.C.D.二．填空题：（共6小题，4×6＝24分）11.掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是.12.已知二次函数162－＋－x x y =，其顶点坐标为.13.如图，在⊙O 中，BA=BC ，的度数为80°，则CO ∠B =.14.如图，已知一次函数221－x y =，二次函数)(22为常数，－c b c bx x y ++=，两函数图象交于点（3，m ），（n ，－6），当21y y <时，x 的取值范围为.15.如图，一条形状一定的抛物线与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点P 在线段MN 上移动.若点M 、N 的坐标分别为（-1，-2）、（1，-2），点A 的横坐标的最小值为－3，则点B 横坐标的最大值为.16.如图，抛物线8212－x y =与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是.三．解答题：（共8小题，6＋6＋6＋8＋8＋10＋10＋12＝66分）17.（本小题6分）已知二次函数c bx x y ++=221－的图象经过点（1，0），（0，23）.（1）求该二次函数的表达式；（2）求出二次函数的图象与x 轴的另一个交点坐标.18.（本小题6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，ΔABC 在坐标系中的位置如图所示.（1）作出ΔABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°后的111ΔA C B ；（2）作出ΔABC 的点B 绕原点O 逆时针方向旋转90°后经过的路线.第14题第13题第15题第16题（3）请直接写出ΔABC 的外接圆圆心坐标为.19.（本小题6分）在一个不透明的口袋中装有若干个相同的红球，为估计袋中红球的数量，九（1）班学生分组进行摸球试验：每组先将10个与红球形状大小完全相同的白球装入袋中，搅匀后随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.以下是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（1）按表格数据格式，表中的a =；b =；（2）请估计：当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（3）请推算：摸到红球的概率是（精确到0.1）；（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有个.20.（本小题8分）已知：如图，在⊙O 中，=，AB 与CD 相交于点M.求证:（1）AB=CD ；（2）AM=DM.21.（本小题8分）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O ，桥下水面宽度AB 为18m ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，CD=3m.（1）求该圆弧形拱桥的半径；（2）现有一艘宽6m ，船舱顶部高出水面2m 的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？22.（本小题10分）已知二次函数22)12++=k kx x k y －－（的图象与x 轴有交点.（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个交点，且满足022=－－k k .①求k 的值；②当2+≤≤k x k 时，求y 的取值范围.摸球的次数s 15030060090012001500摸到白球的频数n63a 247365484606摸到白球的频率sn0.4200.4100.4120.4060.403b23.（本小题10分）如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，连结OA ，OC.（1）求证：AOB Δ≌AOC Δ.（2）当BA=BD 时，求的度数.（3）当OCD Δ是直角三角形时，求B 、C 两点之间的距离.24.（本小题12分）如图,已知排球场的长度OD 为18米,位于球场中线处的球网AB的高度2.43米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.8米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为7米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若排球运行的最大高度为3.2米，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x 的取值范围)；(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗?如果能够过网，是否会出界?请说明理由；(3)若队员发球既要过球网，排球又不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的范围.备用图2023学年第一学期九年级期中学情调研数学参考答案一、选择题（每题3分，共30分）题号12345678910答案CDBACDCABD二、填空题（每题4分，共24分）11.2112.()83，13.50°14.32<<x －15.316.27三、解答题（共8小题，66分）17.解：（1）二次函数的表达式为()()232131212+=+=x x x x y －－－－········4分（2）另一个交点坐标：（-3，0）···········2分18.解：（1）（2）问如图：（3）ΔABC 外接圆圆心坐标为(0,3).··········2分每题，共6分19.解：（1）a=123，b=0.404；··········1分每空，共2分（2）0.4·········1分（3）0.6·········1分（4）15个·········2分20.解：（1）∵=∴+=+∴=∴AB=CD···········3分（2）如图，连结OM.过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F.由AB=CD ，得AE=BE=CF=FD.∴OE=OF.又OM=OM ，∴Rt∆OEM ≌Rt∆OFM.∴EM=FM ，∴AE+EM=FD+FM ，即AM=DM.···········5分补充：若有利用圆周角定理知识的，例连AD ，证∆AMB 为等腰三角形或连结AC ，BD 证三角形全等的皆可.21.解：（1）∵OC ⊥AB ，∴AD=21AB=9.连结AO ，设AO=r ，得：()22239－r r +=15=r .∴圆弧形拱桥的半径为15米.···········4分（2）∵ED=2，OD=12∴EO=14.且MN ⊥CO ，∴ME=21MN.连结OM ，OM=15.∴ME=329141522>=－，∴该货船可以顺利通过.···········4分22.解：（1）∵y 为x 的二次函数，∴1≠k .···········1分∵函数图象与x 轴有交点，∴0≥Δ；即：()()0≥2k 1-k 4-4k Δ2+=解得：2≤k .···········2分综上，k 的取值范围为：2≤k 且1≠k .···········1分（2）∵函数图象与x 轴有两个交点，∴2<k 且1≠k .又022=－－k k ，∴()舍21=k ，12－=k ∴1－=k .···········3分（3）即当11≤≤x －时，求1222++=x x y －的范围.对称轴21=x 时，23max =y ；1－=x 时，3in －=m y ；∴y 的取值范围为：23≤≤3y －.···········3分23.解：（1）在∆OAB 和∆OAC 中∵OA=OA ，AB=AC ，OB=OC ，∴∆OAB ≌∆OAC （SSS ）···········2分（2）由（1）得：∠OAB=∠OAC=∠OBA ∴∠BAD=∠OAB+∠OAC=2∠ABD ∵BA=BD∴∠BDA=∠BAD=2∠ABD在∆ABD 中，∵∠BDA+∠BAD+∠ABD=180°，即5∠ABD=180°∴∠ABD=36°∴∠AOB=108°,∴的度数为108°.···········3分（3）①当∠ODC=90°时，如图：∵BD ⊥AC ，OA=OC ，∴AD=DC ，∴BA=BC=AC ，∴∆ABC 是等边三角形，在Rt∆OAD 中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=21OA=21，∴AD=2322=OD OA －，∴BC=AC=2AD=3.···········3分②当∠COD=90°时，如图：∆BOC 是等腰直角三角形，∴BC=2.···········2分综上，BC=3或2.24.解：（1）∵排球运行至离开点O 的水平距离OE 为7m 时，到达的最大高度为3.2m ，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2）.设抛物线的解析式为()2.372+=－x a y ,∵抛物线过点C （0，1.8），∴()2.3708.12+=－a ,∴351－=a .∴()2.373512+=－－x y .···········4分（2）当x=9时，()43.23542.32.3793512>=+=－－－y .当x=18时，()0351212.32.37183512<=+=－－－y .∴这次发球可以过网且不出边界.···········3分（3）设抛物线的解析式为()k x a y +=27－,代入点C （0，1.8），得：49a+k=1.8∴k=1.8-49a ，···········1分此时，抛物线得解析式为()a x a y 498.172－－+=,根据题意，不过边界时有：()0498.17182≤+a a －－,解得：0.025≤－a ,···········2分要使排球过界：()43.2498.1792>+a a －－,解得：0.014－<a ,综上，a 的取值范围为0.025≤－a .···········2分。

浙江省杭州市富阳区城区2024年数学九年级第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下表记录了四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数x 与方差2s :甲乙丙丁平均数x 173175175174方差2s 3.5 3.512.515如果选一名运动员参加比赛，应选择（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2、（4分）如图，CD 是△ABC 的边AB 上的中线，且CD ＝12AB ，则下列结论错误的是（）A ．AD ＝BD B ．∠A ＝30°C ．∠ACB ＝90°D ．△ABC 是直角三角形3、（4分）下列命题正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．一组邻边相等的矩形是正方形4、（4分）下列调查中，适合采用普查的是()A ．了解一批电视机的使用寿命B ．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量C ．了解某校八(2)班学生每天用于课外阅读的时间D ．了解苏州市中学生的近视率5、（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，函数k y x =与函数1y kx =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6、（4分）下列说法:(1)8的立方根是2±.(2)14±.(3)负数没有立方根.(4)正数有两个平方根,它们互为相反数.其中错误的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7、（4分）下列命题中，有几个真命题()①同位角相等②直角三角形的两个锐角互余③平行四边形的对角线互相平分且相等④对顶角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、（4分）以下各组数中，能作为直角三角形的三边长的是()A ．6，6，7B ．6，7，8C ．6，8，10D ．6，8，9二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．10、（4分）如图，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴的交点坐标为（1，0），则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②b >0；③关于x 的方程kx +b =0的解为x =1；④不等式kx +b >0的解集是x >1．其中说法正确的有_________（把你认为说法正确的序号都填上）．11、（4分）等腰三角形的一个外角为100︒，则这个等腰三角形的顶角为_________.12、（4分）一个班有48名学生,在期末体育考核中，优秀的人数有16人，在扇形统计图中，代表体育考核成绩优秀的扇形的圆心角是__________度．13、（4分）某县为了节约用水，自建了一座污水净化站，今年一月份净化污水3万吨，三月份增加到3.63万吨，则这两个月净化的污水量每月平均增长的百分率为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线EF 交x ，y 轴子点F ，E ，交反比例函数k y x （x ＞0）图象于点C ，D ，OE=OF=CD 为边作矩形ABCD ，顶点A 与B 恰好落在y 轴与x 轴上．（1）若矩形ABCD 是正方形，求CD 的长；（2）若AD ：DC=2：1，求k 的值．15、（8分）阅读下面的情景对话，然后解答问题:老师:我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢？小红:等边三角形一定是奇异三角形.(1)根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，则小红提出的命题是.(填“真命题”或“假命题”)(2)若Rt ABC ∆是奇异三角形，其中两边的长分别为2、，则第三边的长为.(3)如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒,以AB 为斜边作等腰直角三角形ABD ,点E 是AC 上方的一点，且满足,AE AD CE CB ==.求证:ACE ∆是奇异三角形．16、（8分）阅读材料：换元法是数学学习中最常用到的一种思想方法，对结构较复杂的数字和多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化．换元法在较大数的计算，简化多项式的结构等方面都有独到的作用．例：设则上式应用以上材料，解决下列问题：（1）计算：（2）化简：17、（10分）如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）求△AOB 的面积．18、（10分）解不等式组：31251422x x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在平面直角坐标系中，点P （-3,2）关于x 轴对称的点P 1的坐标是______________.20、（4分）在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长是_______.21、（4分）已知：线段AB ，BC ．求作：平行四边形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C 为圆心，AB 长为半径作弧；②以点A 为圆心，BC 长为半径作弧；③两弧在BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ．四边形ABCD 即为所求平行四边形．（如图1）乙：①连接AC ，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点M ；②连接BM 并延长，在延长线上取一点D ，使MD =MB ，连接AD ，CD ．四边形ABCD 即为所求平行四边形．（如图2）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢______的作法，他的作图依据是：______．22、（4分）在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （km ）与甲车行驶时间t （h ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km ；③乙车出发527h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km ．其中正确的是______（填写所有正确结论的序号）．23、（4分）已知关于x 的不等式组的整数解共有5个，则a 的取值范围是_________二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：捐款（元）2050100150200人数（人）412932求：（Ⅰ）m=_____，n=_____；（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？25、（10分）已知反比例函数5(m y m x -=为常数，且5m ≠).(1)若在其图像的每个分支上，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围.(2)若其图象与一次函数y=−x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m 的值。

2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BD 11．BCD 12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．4014．x ＝－5π2415．e ∈(1，√2)∪(√2，√213)16．a ＞e 1e四、解答题17．（1）由题意，知 S n +1=(a 1+1)⋅2n−1 ① 所以 S n−1+1=(a 1+1)⋅2n−2（n ≥2） ② ①－②，得 a n =(a 1+1)⋅2n−2(n ≥2)，因为{a n }为等比数列，所以a 2＝2a 1，又因为a 2＝a 1＋1，所以a 1＝1．所以 a n =2n−1．………………5分（2）因为 na n =n ⋅2n−1， ∴T n =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−2 + n ⋅2n−1 ① 2T n = 1⋅21+2⋅22+⋯+(n −2)⋅2n−2+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ②①－②，得 −T n =1+(2+22+⋯+2n−1)−n ⋅2n=1⋅(1−2n )1−2−n ⋅2n =(1−n )⋅2n −1，所以 T n =(n −1)⋅2n +1．………………5分18．（1）由题意，知 (2a －c ) a ＋(2c －a ) c ＝2b 2， 即 b 2=a 2+c 2−ac ，因为 cos B ＝12，所以B ＝π3．………………4分（2）根据正弦定理，得 a sin A=c sin C=2sin π3=√3，所以a A =，c C ，所以a +c =√3A +sin (2π3−A)]=4sin(A +π6)， 因为A +C =2π3，且△ABC 锐角三角形，所以 π6<A <π2，所以√32<sin(A +π6)≤1，所以 a +c =4sin(A +π6)∈(2√3，4]，则 2√3+2<a +b +c ≤6，即△ABC 周长的取值范围是(2√3＋2，6]．………………8分19．（1）由题意，得 f (x )＝2f (－x )＋3x －1， f (－x )＝2f (x )－3x －1， 所以 f (x )＝4 f (x )－3x －3，解得：f (x )＝x ＋1． ………………3分 （2）显然k ≠0，所以 1k =|x 2−x−1x+1|=|(x +1)+1x+1−3|，只需要函数()1131y x x =++-+与y ＝1k 的图象有四个不同交点，（ⅰ）当x ＜－1时，函数 y ＝(x +1)+1x+1在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，－1)上单调递减，所以当x ＝－2时，()min11315x x ++-+=； （ⅱ）当x ＞－1时，函数 y ＝(x +1)+1x+1在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以 (x +1)+1x+1≥2，则(x +1)+1x+1−3≥−1， 又当x =1±√52时，(x +1)+1x+1−3＝0；由此，可作画出()1131y x x =++-+与y ＝1k 的草图如右所示．根据图象，知 0<1k <1或1k >5， 解得 k >1或0<k <15，即实数k 的取值范围为(0，15)∪(1，+∞)．………………9分 20．（1由K 2=20n (10n×10n×9n×11n=99，得99≈4.040，n ∈N ∗，所以n=20，因为3.841<K 2≈4.040<5.024 ， 所以有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关． ………………6分 （2）①由列联表知不了解冬奥会的学生中，男生：女生=4：5，故抽取的9人中，男生为4人，女生为5人，则抽取的3人中，记“至少抽到一名女生”为事件A ， 所以 P (A )=1−C 43C 93=2021；②样本中了解冬奥会的频率为1120，将频率视为概率，用样本估计总体，即从全校学生中任取一人，恰好了解冬奥会的概率为1120．由题意得，对冬季奥运会项目的了解的人数X 服从二项分布，且X ∼B (10，1120)，所以X 的数学期望E (X )=10×1120=112．………………6分 21．（1）x 24＋y 2＝1．………………3分（2）由题意知直线TM 的方程为y ＝xt＋1，直线TN 的方程为y ＝3x t－1． 由 {x 24+y 2=1y =x t+1，得E (−8t t 2+4，t 2−4t 2+4)．同理，F (24t t 2+36，−t 2−36t 2+36)．所以直线EF 的方程为：y −t 2−4t 2+4=−t 2−1216t(x +8tt 2+4)，即t 2−1216tx +y −12=0．所以，直线EF 过定点P (0，12)． （3）S △TEF ＝S △TMN －S △FPN +S △PEM ＝|t|−18|t|t 2+36+2|t|t 2+4． 因为 S △TMN ＝| t |， 所以k ＝S △TMNS △TEF=t 4+40t 2+144t 4+24t 2+144＝1+16t 2+144t2+24≤12√144+24=43．当且仅当 t 2＝144t 2，即 t ＝±2√3 时，等号成立．所以当 t ＝±2√3 时，k 取得最大值43．………………9分22．（1）因为f ′(x )＝(ax+1)(x+1)x， 因为1是f (x )的极值点，所以f ′(1)＝0，解得 a ＝－1．所以 f ′(x )＝(1−x )(x+1)x，易知x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，即f (x ) 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以1是f (x )的极大值点，满足题设．综上，a ＝－1．（2）由（1）知，①当a ≥0时，f ′(x )＝(ax+1)(x+1)x>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，令f ′(x )＞0，解得10x a<<-；令f ′(x )＜0，解得x ＞－1a ；所以f (x )在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，综上：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减．（3）（i ）由题意，知ax ＋ln x ＝0在(0，＋∞)上有两个解．设g (x )＝ax ＋ln x （x ＞0），则g ′(x )＝ax+1x ．当a ≥0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，至多有一个零点；当a ＜0时，易知g (x )在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，即g (x )的极大值为g (−1a )．当g (−1a )＞0时，解得−1e ＜a ＜0．当10xa<<-时，因为g(1)＝a＜0，所以g(x)在10,a⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一零点；当x＞−1a时，令φ(x)=e x−x2(x>1)，则φ′(x)=e x−2x，再令u(x)=e x−2x(x>1)，则u′(x)=e x−2>e1−2>0，故u(x)在(1，+∞)上单调递增，所以u(x)>u(1)=e−2>0，即φ′(x)>0，故φ(x)在(1，+∞)上单调递增，所以φ(x)>φ(1)=e−1>0，因为−1a>e>1，所以φ(−1a )>0，即e−1a−(−1a)2>0，即e−1a>1a2，即a2e−1a>1，故a2e−1a−1>0，所以g(e−1a)=ae−1a+ln e−1a=ae−1a−1a =a2e−1a−1a<0，故g(−1a)g(e−1a)<0，又g(x)在(−1a ，+∞)上单调递减，所以g(x)在(−1a，+∞)有唯一零点；综上：当−1e <a<0时，g(x)在(0，+∞)上两个零点，即f(x)=12ax2+x有两个解x1，x2(x1<x2)时，−1e<a<0，即a∈(−1e，0)；（ii）由（i）得，0<x1<−1a<x2，{ax1+ln x1=0ax2+ln x2=0，故a=−ln x2−ln x1x2−x1，又f′(s)<0，所以(as+1)(s+1)s<0，即s>−1a，即λ(x1+x2)>x2−x1ln x2−ln x1，故λ>x2−x1(ln x2−ln x1)(x1+x2)=x2x1−1ln x2x1(1+x2x1)，令t=x2x1(t>1)，则λ>t−1(1+t)ln t，令v(t)=t−11+t(t>1)，则v′(t)=2(1+t)2>0，所以v(t)在(1，+∞)上单调递增，即v(t)>v(1)=0，当λ≥12，即0<1λ≤2时，1λ⋅t−11+t≤2(t−1)1+t，故ln t−1λ⋅t−11+t≥ln t−2(t−1)1+t，下证ln t−2(t−1)1+t>0：令ℎ(t)=ln t−2(t−1)1+t(t>1)，则ℎ′(t)=1t−2(1+t)−2(t−1)(1+t)2=(1+t)2−4t(1+t)2=(t−1)2(1+t)2>0，所以ℎ(t)在(1，+∞)上单调递增，故ℎ(t)>ℎ(1)=ln1−2(1−1)1+1=0，综上，ln t>1λ⋅t−11+t，故λ>t−1(1+t)ln t恒成立；当0<λ<12，即1λ>2时，1λ⋅t−11+t>2(t−1)1+t，故ln t−1λ⋅t−11+t<ln t−2(t−1)1+t，即ln t−1λ⋅t−11+t>0不恒成立，即λ>t−1(1+t)ln t不恒成立，不满足题意；综上：λ≥12，即λ∈[12，+∞)．。

2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}210,lg 0A x x B x x =-<=≤∣∣，则A B ⋃=（）A.{01}x x <<∣B.{01}xx <≤∣C.{11}xx -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,A B ,根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得{}{}210{|11},lg 0{|01}A xx x x B x x x x =-<=-<<=≤=<≤∣∣，故{|11}A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2.若复数4i1iz =+（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.【详解】因为()()()4i 1i 4i 22i 1i 1i 1i z -===+++-，则||z ==.故选：C ．3.已知1tan 2α=-，则sin 22cos24cos24sin 2αααα+=-（）A.114B.114-C.52D.52-【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】2222221sin 22cos22sin cos 2cos 2sin tan 1tan 1474cos24sin 24cos 4sin 8sin cos 22tan 4tan 142αααααααααααααααα++-+-====-----.故选：A ．4.已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式()2log g x x >的解集是（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】作出函数()g x 与2log y x =的图象，数形结合可得出不等式()2log g x x >的解集.【详解】根据图中信息作出函数()g x 、2log y x =的图象如下图所示：因为()01f =，则()21g =，且2log 21=，由图可知，不等式()2log g x x >的解集为()0,2.故选：C.5.已知非零向量,a b的夹角的余弦值为15，且(3)(2)a b a b +⊥- ，则||||a b =（）A.1B.23C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于||||a b、的齐次方程，即可进一步求得||||a b 的值.【详解】1cos ,5a b <>= 由(3)(2)a b a b +⊥-得2222(3)(2)253230a b a b a ab b a a b b+⋅-=+-=+-=.∴2230a ab b ⎛⎫⎪+-= ⎪⎝⎭，令0at b=> ，∴2230t t +-=，解得1at b ==或32-（舍去）.故选：A.6.冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为22．A.①③B.③④C.②③D.②④【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，41x =，123567117x x x x x x ++++++<，所以1235676x x x x x x +++++<，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，且12356701x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤，所以1234567,,,,,,x x x x x x x 都不超过5，②正确.对于④，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，123456727x x x x x x x ++++++=，123456714x x x x x x x ++++++=，()()()()()()()22222221234567222222227x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，()()()()()()()22222221234567222222214x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，若自然数x 大于5，则()2216x -≥，矛盾，所以123567,,,,,x x x x x x 都不超过5，④正确.综上所述，正确的为②④.故选:D7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（）A.10x ±-=B.10x y ±-=C.220x y ±-= D.210x y ±-=【分析】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，根据4||||5DE AB =求出r ，进而得到M 点横坐标；再设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，由韦达定理得到k 与M 横坐标的关系，进而求出k ．【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==，故||1MN r =-，所以8||5DE r ==，即21650250r r -+=，解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k++==，解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=．故选：C ．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．8.若过点(,)a b 可以作曲线1(0)y x x x=->的两条切线，则（）A.0b a >> B.1a b a a >>- C.10a b aa<-<< D.10a b a a-<<<【答案】B 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，结合导数法有000|x y bk y x a-='=-，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.【详解】设切点为()00,x y ，则00x >，∴211(0)y x x '=+>，则0002000111x b y b x k x x ax a---=+==--，化简得：200()20a b x x a --+=①，则44()a a b ∆=--，∵过点(,)a b 可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴()202Δ00a b aa b -⎧->⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪>-⎪⎩，∴1a b a a >>-.故选：B ．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x ．下列命题中正确的是（）A.()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B.()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x，最小值为0D.()f x【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项A,由()0f x ≥，知()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，可验证选项B ,通过单调性，即可求得最大值和最小值.【详解】对于选项A ，由(3)()f x f x -=，得()f x 的对称轴为直线32x =，因此()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项BCD ，因为2()0,()3f x f x ≥=+，函数()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，而2()y f x =在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32x =时，()f x ；当0x =或3时，()f x 取到最小值故选：ABD.10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B.()1522P A B =C.()25P B = D.()245|8P A B =【答案】BD 【解析】【分析】由题设求出()i P A 、(|)i P B A (1,2,3)i =，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，根据()(),()i i P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性.【详解】由题意11()2P A =，21()5P A =，33()10P A =，先1A 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则15(|)11P B A =，先2A 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则24(|)11P B A =，先3A 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则34(|)11P B A =，所以1115()(|)()22P A B P B A P A ==，B 正确；2224()(|)()55P A B P B A P A ==，3336()(|)()55P A B P B A P A ==，()1122339(|)()(|)()(|)()22P B A P A P B A P A P B B A A P P ++==，C 错误；则11()()()P A P B P A B ≠，22()()()P A P B P A B ≠，33()()()P A P B P A B ≠，A 错误；()2222()(|)()|()(845)P A B P B A P A P A B P B P B ⋂===，D 正确.故选：BD11.若函数()π1sin 2(0)62f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在区间0,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则（）A.存在ω，使得函数()f x 为奇函数B.函数()f x 的最大值为12C.ω的取值范围为(0,4]D.存在4个不同的ω，使得函数()f x 的图象关于直线π2x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】对A 选项，计算()f x -，得到其与()f x -的关系即可判断，对B 选项，根据正弦函数的值域即可求出()f x 的最大值，对C 选项，根据()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得到不等式组ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ，解出即可，对D 选项，令πππ2π,Z 262m m ω⨯+=+∈，解出ω，再结合C 选项ω范围则可得到ω的值.【详解】解：()π1sin 262f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为R ，()()π1π1sin 2sin 26262f x x x f x ωω⎛⎫⎛⎫-=-+-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，则不存在ω，使得函数()f x 为奇函数，故A 错误;由π1sin 216x ω⎛⎫-+⎪⎝⎭ ，得31()22f x - ，则()f x 的最大值为12，故B 正确;由于()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ,Z k ∈解第一个不等式得13k ≤，Z k ∈ ,故max 0k =，解二式得244k ω≤+，故4ω≤，又0ω>，所以04ω< ，故C 正确;令πππ2π262m ω⨯+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，Z m ∈，由04ω< 知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D 选项的判断，根据()f x 的某个单调增区间，则其整体应该在ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，即应该是后者的子集，再结合0ω>，从而得到关键的不等式组，解出ω范围，而D 选项我们采取代入法，将π2x =代入则内部整体应等于对称轴通项即ππ2x k =+，Z k ∈再结合ω范围，则得到所有ω取值.12.已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A.函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由()()1f x f x -+=可判断；对B ，根据函数单调递增可求解；对CD ，根据()f x 的性质画出函数图象，表示出直线AD 的方程，根据,B C 均在直线AD 上方建立不等关系可得.【详解】对A ，()()3313113133113x x xx x x xf x f x ---+=+=+=++++ ，∴函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B ，31()11313x x xf x ==-++ 在R 上单调递增，且()102f =，则1(1)2f x ->化为()(1)0f x f ->，则10x ->，解得1x >，故不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >，故B 正确；对CD ，30x >，则可得101113x<-<+，且()f x 关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，在R 上单调递增，可得()f x 函数图象如下：,B C 均在直线AD 上方，其中直线AD 的方程为()23231122f x x y x x x +-=++，则可得()()2322231122f x x f x x x x +->++，()()2333231122f x x f x x x x +->++，所以()()()()()232323232323231111122222f x x f x x f x f x x x f x x x x x x +-+-+>+++=++++，()()()23111f x x f x f x +=-=- ，()()()231112f x f x f x ∴+>-+，即()()()12332f x f x f x ++>，故C 错误，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()241(12)xx ++的展开式中3x 的系数为_______________.【答案】40【解析】【分析】利用4(12)x +的展开式的通项，令x 的指数等于3和1，即得展开式中3x 的系数.【详解】因为4(12)x +的展开式的通项()14422C C rrr r r r T x x +==，令3r =和1r =，可得3x 的系数为331442C 2C 842440+=⨯+⨯=.故答案为：40.14.将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-##5π24-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知双曲线2221y x a-=，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．【答案】213⎭【解析】【分析】设出切线方程，联立双曲线方程消元得一元二次方程，则两条切线等价于Δ0=有两个不等实根，即可进一步列判别式不等式求得参数范围，从而求得离心率的取值范围.【详解】设切线方程为(22)y k x -=-代入2221y x a-=得()222224(1)4(1)0a k x k k x k a -+----=，易得k a ≠±，由2203840k k a ∆=⇒-++=，由题意此方程有两个不等的实根，故()22146412403a a ∆=-+>⇒<，则22713c a =+<，所以13c e =<，即13e <<，又k a =±代入223840k k a -++=得1a =±，所以e =，故离心率e 的取值范围为3⎫⎪⎭．故答案为：213⎫⎪⎭．16.已知不等式()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1e e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知得出()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，而在0a >，1x >上10x a ->，()ln 10x ->，可得1a >，将()1ln ln 1x a a x ->-化为()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅，令()e x f x x =，根据导数得出其单调性，则()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅可化为()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，即可根据单调性得出ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，根据导数得出()()1e 1eg x g ≤+=，即可得出1ee a >，即可得出答案.【详解】()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，0a > ，1x >，10x a -∴>，()ln 10x ->，则要满足()1ln ln 1x aa x ->-，则ln 0a >，即1a >，()1ln ln 1x a a x ->-化为：()()1ln ln e ln 1x a a x ->-，两边乘1x -得：()()()()()()1ln ln 11ln e1ln 1ln 1ex ax x a x x x ---⋅>--=-⋅，令()e x f x x =，则()e e x xf x x ='+，令()e e 0xxf x x =+>'，解得1x >-，则()e xf x x =在()1,-+∞上单调递增，不等式()()ln ln10,1x a a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，即1x >时，()()()()1ln ln 11ln e ln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅恒成立，则()()()()1ln ln 11ln eln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅可化为：()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，当1x >，1a >时，(1)ln 0x a ->，()ln 10x ->，则根据单调性可得()()1ln ln 1x a x ->-，则ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，则()()()21ln 11x g x x --'=-，令()0g x '>，解得e 1x <+，即()ln(1)1x x g x -=-在()1,e 1+上单调递增，令()0g x '<，解得e 1x >+，即()ln(1)1x x g x -=-在()e 1,∞++上单调递减，则()()1e 1e g x g ≤+=，则1ln ea >，即1e e a >，10ee e 1>= ，综上1ee a >，故答案为1ee ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】(1)由数列{}1n S +是公比为2的等比数列，写出通项公式，用1(2)n n n a s s n -=-≥求得通项公式.(2)考查用错位相减法求和,写出n T ，n qT ，两式错位作差，化简.【小问1详解】()11112n n S a -+=+⋅，①2n ≥时，()211112n n S a --+=+⋅，②①-②()()21222n n a a n -⇒=+⋅≥，∵{}n a 为等比数列∴211111221aa a a a +=⇒=⇒=∴12n n a -=【小问2详解】12n n na n -=⋅，∴()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，①()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，②①-②得，2112222n nn T n --=++++-⋅ ()()112221212112n n n n n n n n ⋅-=-⋅=--⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）2,6]+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【小问1详解】在ABC 中，()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得222b ac ac =+-，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0B π<<，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，3B π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3a cb A C B π====，则,a A c C ==，而23A C π+=，令,33A C ππθθ=+=-，在锐角ABC 中，032032ππθππθ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得66ππθ-<<，cos 12θ<≤，于是得(sin sin 2sin cos 4cos 24333a c πππθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎤+=++-==∈ ⎪ ⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎦，则26a b c +<++≤，所以ABC周长的取值范围是2,6]+.19.已知函数()f x 满足()2()31f x f x x =-+-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程2()1f x k x x =--恰有四个不同的实根，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()1f x x =+（2）10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）构造等式()2()31f x f x x -=--，即可解得()f x 的解析式；（2）对k 的符号分类讨论，其中0k >时，由参变分离可得11(1)31x k x =++-+恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.【小问1详解】由题意得：()2()31f x f x x -=--，∴()2[2()31]31f x f x x x =--+-，解得()1f x x =+；【小问2详解】i.当0k <时，明显无解；ii.当0k =时，|1|0x +=只有一个实根，不符合条件；iii.当0k >时，2111(1)311x x x k x x --==++-++恰有四个不相等的实根.∴11(1)31x x k ++=++与11(1)31x x k++=-+共有四个不相等的实根.∴132132k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得15k >或101k <<，∴105k <<或1k >，∴实数k 的取值范围是10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为()10n n *∈N，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得24.040K≈.男生女生合计了解6n不了解5n合计10n 10n（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）20n =，有95%的把握；（2）①2021；②()112E X =.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可解得正整数n 的值，结合临界值表可得出结论；（2）①分析可知这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：22⨯列联表如下表所示：男生女生合计了解6n 5n 11n 不了解4n 5n9n 合计10n10n20n()2220654520 4.040101011999n n n n n n K n n n n⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，N n *∈ ，可得20n =，()2 3.8410.05P K ≥= ，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；【小问2详解】解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421-=-=；②由题意可知11~10,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111110202E X =⨯=.21.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为32，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点(,2)(0)T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若TMN △的面积为TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）t =±【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；（2）分别联立直线TM 、直线TN 与椭圆的方程，解出E F 、坐标，即可写出直线EF 方程，判断定点；（3）设EF 交y 轴与P ，由TMN TMNTEF TMN FPN PEMS S S S S S =-+△△△△△△得到关于t 的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.【小问1详解】由题意可得2221,MN b b ==⇒=由椭圆的离心率为2可得22223144b e a a =-=⇒=，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】由题意知直线TM 的方程为1x y t =+，直线TN 的方程为31x y t=-．由22141x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．同理，2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以()()()()()()2222222243222236814416192436443636424824436364EFt k t t t t t t t t t t t t t t t t t t -===+----+--++-+++++++()()()2222121212161612t t ttt t -+-=-=-+，所以直线EF 的方程为：222241284164t t t y x t t t --⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即21210162t x y t -+-=，所以，直线EF 过定点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问3详解】设EF 交y 轴与P ，则2218||2||||364TEF TMN FPN PEM t t S S S S t t t =-+=-+++△△△△．因为||TMNS t =△，所以424222401441641114424144324TMN TEF S t t k S t t t t++===+≤+++++△．当且仅当22144t t=，即t =±时，等号成立．所以当t =±时，k 取得最大值43．【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。