下载文档原格式
数理逻辑与集合论精要与题解第一部分内容精要
第1章命题逻辑的基本概念1
11命题1
12命题联结词及真值表1
13合式公式2
14重言式2
15命题形式化3第2章命题逻辑的等值和推理演算4
21等值定理4
22等值公式4
23命题公式与真值表的关系6
24联结词的完备集6
25对偶式6
26范式7
27推理形式8
28基本的推理公式8
29推理演算9
210归结推理法9第3章命题逻辑的公理化11
31公理系统的结构11
32命题逻辑的公理系统11
33公理系统的完备性和演绎定理12
34命题逻辑的另一公理系统——王浩算法12
35命题逻辑的自然演绎系统13
36非标准逻辑13第4章谓词逻辑的基本概念15
41谓词和个体词15
42函数和量词15
43合式公式16
44自然语句的形式化16
45有限域下公式的表示法17
46公式的普遍有效性和判定问题17第5章谓词逻辑的等值和推理演算18
51否定型等值式18
52量词分配等值式18
53范式18
54基本推理公式19
55推理演算20
56谓词逻辑的归结推理法21第6章谓词逻辑的公理化22
61谓词逻辑的公理系统22
62谓词逻辑的自然演绎系统23
63递归函数24第7章一阶形式理论及模型25 71一阶语言及一阶理论25
72结构、赋值及模型26...。
初学数学分析，很多概念理解的并不深刻，这份笔记只是初学阶段的一点整理。
本篇为一些在数学分析中涉及的基本理论，包括集合论的基本概念与ZFC公理、数理逻辑基础，目的是为后续内容做好铺垫。
一、数理逻辑基础这一块内容是为了整个笔记的完整性，以重述概念为主。
1.1命题逻辑Definition 1.1.1命题是一个非真即假的陈述句。
通过逻辑连接符¬,∨,∧,→,↔，可以利用较简单的命题来构造复合命题，即Definition 1.1.2命题公式按如下规则生成：(1)命题变元是命题公式；(2)若P是命题公式，则¬P是命题公式；(3)若P,Q是命题公式，则P∧Q,P∨Q,P→Q,P↔Q是命题公式；(4)当且仅当有限次应用1-3条规则得到的包含命题变元，逻辑联结词和圆括号的有意义的符号串是命题公式。
一个非常简单的递归定义，看上去还是非常清晰的。
Definition 1.1.3若A→B是一个永真式，则称其为永真蕴含式，记作A ⇒B。
特殊地，若命题A蕴涵着某个假命题，则A为假，这即是反证法的思想：为了证明A为假，先假设A是真，再证明A蕴涵着某个一定为假的命题。
1.2变量与量词Definition 1.2.1变量是表示某种特定类型的数学对象的符号，称未被指定为某个具体对象的变量为自由变量，否则称之为约束变量。
Definition 1.2.2设P(x)是一个关于自由变量x的命题。
全称量词∀读作“对任意的”，即“∀x∈X:P(x)为真”与“P(x)对所有的x ∈X均为真”等价。
类似地，存在量词∃读作“存在”。
多个量词可以嵌套在一起，否定一个命题会使得该命题中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全程量词。
1.3相等相等遵守以下四条相等公理：Axiom 1.3.1(自反公理)给定任意的对象x，有x=x。
Axiom 1.3.2(对称公理)给定任意两个同类型的对象x,y,若x=y，则y=x。
Axiom 1.3.3(传递公理)给定任意三个同类型的对象x,y,z，若x=y 且y=z，则x=z。
数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解是针对数理逻辑与集合论
大学课程编辑的教学参考书，它把数理逻辑与集合论的一些基本概念
和部分重要的定理作了详细的讲述，尤其全书附带了相当多的实例题
和习题，有助于读者加强对数理逻辑与集合论的理解，使学生更好地
学习和理解数理逻辑与集合论的基本知识，以及运用它们解决相关问
题的过程。
数理逻辑与集合论作为一门综合性学科，其最大特点在于理论上
的逻辑性，它是从数学和逻辑学理论上结合出来的综合性学科，既提
供了可靠的知识体系，又表达出较强的抽象能力和综合能力。
其次，
它藉由符号运算，以及建立数学关系性质的抽象理论进行研究，以验
证各种具有实际意义的数学推理，简单的说，就是通过数理逻辑的基
本原语和推理规则，来推导出有证明性的结论，其收集许多实际问题
的解决技术，作为相关工业应用，依赖于数学发展，特别是工业上的
自动控制和机电系统，突出表现为微积分、实变函数理论和精细数学
等领域，被用来描述工程数学解决的实际问题。
可以说，数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解是一部很有价值
的参考书，它为大学生能够更好地了解数理逻辑与集合论的理论构建
及相关的研究手段提供了深入的参考资料，更是提供了实践性的内容，帮助高校的学生更好地掌握数理逻辑与集合论，培养学生良好的分析
解决实际问题、具有创新精神和实践能力的学术工作者。
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
集合论第二章集合及其运算子集：A⊆B iff ∀x(x∈A⇒x∈B)相等：A=B iff A⊆B & B⊆A真子集：A⊂B iff A⊆B & A≠B空集：不含任何元素的集合。
记为∅。
x∈A∪B iff x∈A or x∈Bx∈A∩B iff x∈A & x∈Bx∈A-B iff x∈A & x∉Bx∈～A iff & x∉A环和：A⊕B=A∪B-A∩B=(A-B)∪(B-A)幂集：x∈P(A) iff x⊆A广义并：x∈∪∏ iff ∃Y(Y∈∏ & x∈Y)广义交：x∈∩∏ iff ∀Y(Y∈∏⇒ x∈Y)}定理1 ①A∩(A∪B)=A②～(A∩B)=～A∪～B③A⊕B=～A⊕～B第三章映射（1）迪卡尔积:<x,y>∈A X B iff x∈A & y∈B关系：R⊆A X B恒等关系：<x,x>∈IAiff x∈A<x,y>∈IAiff x=y & x∈A定义域：Dom(R)={x|<x,y>∈R}值域： Ran(R)={y|<x,y>∈R}定理2 ①A X(B∪C)=(A X B)∪(A X C)②A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)第五章关系复合：<x,y>∈RoS iff ∃z∈B(<x,z>∈R & <z,y>∈S) 例：R={<1,2>,<1,3>} S={<2,1>,<2,2>},求RoS 关系的逆：<x,y>∈R-1 iff <y,x>∈RR⊆A X A关系的幂：①R0=IA②R n+1=R n oR自反性：R[ref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∈R)反自反性：R[irref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∉R) 对称性：R[sym]iff ∀x∀y(<x,y>∈R ⇒<y,x>∈R) 反对称性：R[asym] iff∀x∀y(<x,y>∈R & x≠y⇒ <y,x>∉R)拟反对称性：R[imasym] iff∀x∀y(<x,y>∈R ⇒ <y,x>∉R)传递性：R[tra] iff∀x∀y∀z(<x,y>∈R&<y,z>∈R ⇒ <x,z>∈R)自反闭包:R⊆A X A，若R*满足①R⊆R*②R*[ref]③∀S⊆A X A(R⊆S & S[ref]⇒R*⊆S)称R*是R的自反闭包，记r(R)。
