实验三十七用动态悬挂法测定杨氏模量

157实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。

本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一 实 验 目 的（1）悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

（2）培养学生综合应用物理仪器的能力。

（3）设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神*。

二 实 验 原 理棒的振动方程为（如图1）： 02244=∂∂+∂∂t y EJ ps x y (1)解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。

用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（7-1）得 2244d d 1d d 1t T T EJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K ，得：0d d 444=-X K xX 0d d 422=+T s EJ K t T ρ 这两个线形常微分方程得通解分别为Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=)cos()(ϕω+=t A t T于是解振动方程式得通解为)cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中 214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s EJ K ρω (2） 称为频率公式。

对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。

我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。

如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：033=∂∂-=∂∂-=xy EJ x M F 弯距 022=∂∂=xy EJ M 即 0d d 033==x x X ， 0d d 33==l x x X ， 0d d 022==x x X ， 0d d 22==l x x X 将通解代入边界条件，得到1cos =⋅chKl Kl用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足 Kl =0，4.730，7.853，10.966… 。

实验二 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数, 它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化, 对脆性材料无法进行测量。

目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量,也是国家标准指定的一种测量方法。

其基本操作是: 将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振, 一只拾振）下面。

在两端自由的条件下, 使之作自由振动。

测出试样的固有基频, 并根据试样的几何尺寸、密度等参数, 测得材料的杨氏模量。

一、实验目的1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

2.培养学生综合应用物理仪器的能力。

3.学习确定试样节点处共振频率的方法。

二、仪器与用具动态杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、信号发生器）, 存贮示波器, 电子天平, 螺旋测微器, 游标卡尺三、实验原理对于一根水平放置的细棒, 以水平方向为 轴, 竖直方向为轴, 由棒的横振动方程:044222=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂x yS EJ t y ρ （2.1）用分离变量法解以上方程对圆形棒得: 。

2436067.1fd m l E = （2.2）上两式中, 为杨氏模量, 为棒长, 为棒的直径, 为棒的质量, 为棒的截面积, 为棒的密度。

如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率 , 即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 。

在国际单位制中杨氏模量的单位为（ ）。

本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号, 加在传感器I （激振）上。

通过传感器I 把电信号转变成机械振动, 再由悬线把机械振动传给试样, 使试样受迫作横向振动。

试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振）, 这时机械振动又转变成电信号。

该信号经放大后送到示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时, 试样不发生共振, 示波器上几乎没有信号波形或波形很小。

动态法测量固体材料的杨氏模量动态法测量固体材料的杨氏模量被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形，只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形。

3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在和的两个节点处。

但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。

实验时于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。

悬挂点偏离节点越远，可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。

于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。

为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。

所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。

外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。

本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点所对应的共振频率即试样的基频共振频率。

4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。

另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式～只适用于基频共振的情况。

因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。

⼤学物理实验报告实验35动态悬挂法测定杨⽒模量⼤学物理实验教案实验名称：动态悬挂法测定杨⽒模量1 实验⽬的1）⽤动态悬挂法测定⾦属材料的杨⽒模量； 2）培养学⽣综合应⽤物理仪器的能⼒； 3）进⼀步熟悉⽰波器的使⽤。

2 实验仪器YM-2型动态杨⽒模量测试台1台、YM-2型信号发⽣器1台、⽰波器S16B 、天平1台、游标尺和螺旋测微计各⼀只、试样铜棒和不锈钢棒各⼀根。

3 实验原理3．1 实验原理杨⽒模量是⼯业材料的⼀个重要参数，它标志着材料抵抗弹性形变多的能⼒。

本实验将⼀根截⾯均匀的试样棒悬挂在两只传感器（⼀只振荡，⼀只拾振）下⾯，在两端⾃由的条件下，使做⾃由振动。

根据棒的振动⽅程42420y S yx EJ t ρ??+=??求解该⽅程，对圆棒得3241.6067l m E fd =（1）式中l 为棒的长度，d 为棒的直径，m 为棒的质量，f 为固有频率。

⽤悬挂法测量杨⽒模量时，共振频率和固有频率相⽐只偏低0.005%。

在本实验中测得的是共振频率，由于两者相差极⼩，故（1）式中的固有频率f 在数值上可以⽤试样的共振频率代替。

3．2 实验⽅法由（1）式，样品的尺⼨可以⽤卡尺和千分尺测量，质量的测量可以⽤天平。

固有频率f 的测量采⽤动态悬挂法进⾏。

由信号发⽣器输出的正弦波电压，加在传感器（激荡）上，通过传感器（激荡）把电信号转变成为机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做振动，试样另⼀端的悬线把试样的振动传给传感器（拾荡），这时机械振动⼜转变成电信号。

该信号经放⼤器后送到⽰波器中显⽰。

当信号发⽣器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发⽣共振，⽰波器上⼏乎没有信号或信号波形或波形很⼩。

当信号发⽣器的频率等于试样的共振频率时，试样发⽣共振。

这时⽰波器上的波形突然增⼤，读出的频率就是试样在常温下的共振频率。

4 教学内容（1）实验装置熟悉及安装（2）实验数据测量1）分别⽤卡尺、千分尺、天平测定试样（铜棒、不锈钢棒）的长度l 、直径d 、质量m ，其中直径d 应在不同位置多次测量取其平均值。

动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。

其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面。

在两端自由的条件下，使之作自由振动。

测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。

【实验目的】1. 用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

2. 学习确定试样节点处共振频率的方法。

【实验要求】1. 用外延法求出节点处的共振频率。

2. 测定室温下金属材料的杨氏模量。

【实验原理】根据棒的横振动方程044222=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂xy S EJ t y ρ (1) 用分离变量法解该方程，对圆形棒得 2436067.1f dm l E = (2) 上两式中，E 为杨氏模量，l 为棒长，d 为棒直径，S 为棒截面积，ρ为棒的密度，m 为棒的质量，f 为棒横振动的固有频率，J 为极性矩。

由式（2）可知，测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f 及各力学参数，即可计算出它在不同温度时的杨氏模量。

测量时可采用图（1）的示意装置。

本实验只计算室温下的杨氏模量，故不用加热炉。

实验中有两个问题需加注意。

1. 式（2）给出杨氏模量E 的计算公式中的f 是棒横振动的基频，在实验中要加以判断。

2. 从图1中看到测试棒横振动的激发与拾振是通过悬丝与换能器连接的。

若连接点不在棒横振动的波节上，则横振动的方程不满足。

若连接点就在波节上，则不能激发与拾取试样的振动。

因此为测定固有频率，一般可采用外延测量法来计算固有频率。

具体做法如下：按照方程（1）的解，测试棒时应对基频的横振动的两个波节分别在0.224 l 与0.776 l 。

见图2。

(a) 先将激振与拾振的两悬丝分别连接在棒0.1l 与0.9 l 上，寻找其共振频率f 1。

(b) 将两悬丝逐渐从每间隔0.02 l 间距向里推进，分别寻找出对应的频率f 2、f 3……。

物理科学与技术学院级弘毅班吴雨桥【实验原理】对于长度≫直径、两段自由地做微小横振动地均匀细棒，其振动满足方程式中，ρ为棒地密度，为棒地截面积，称为惯量矩（取决于截面地形状），为杨氏模量，为棒振动地位移，为位置坐标，为时间变量.文档来自于网络搜索用分离变量法解方程，令（，）()()代入方程，有解得该振动方程地通解为（，）（）（ωφ）式中ω称为频率公式.频率公式对任意形状地截面、不同边界条件地试样都是成立地.我们只要用特定地边界条件定出常数，带入特定截面地惯量矩，就可以得到具体条件下地计算公式.如果悬线悬挂在试样地节点（处在共振状态地棒中，位移恒为零地位置）附近，则棒地两端均处于自由状态.此时其边界条件为自由端横向作用力和弯矩均为零，即文档来自于网络搜索弯矩故有文档来自于网络搜索将通解代入边界条件，可以得到*，可用数值解法求得本征值和棒长应满足，，，，，...文档来自于网络搜索一般将所对应地频率称为基频频率.试样在做基频振动时，存在两个节点，它们地位置距离端面为和处.将第一本征值代入频率表达式，得到自由振动地固有圆频率（基频）文档来自于网络搜索ω解出杨氏模量*对于直径为地圆形棒，惯量矩(代入上式可得式中，为棒长，为棒地直径，为棒地质量，为试样共振频率.在国际单位制中杨氏模量地单位为.文档来自于网络搜索实际上，还和试样地直径与长度之比地大小有关，所以乘以一个修正因子，则有当≫时，≈；当≫不成立时，圆棒地可查表试样与地关系当外力频率达到共振频率ω时，另一悬线处会接收到最大振幅，而固有频率与共振频率之间地关系为，为阻尼系数.对于一般地金属材料，β地最大值只有ω地左右，所以可用代替计算.文档来自于网络搜索实验中，由于细丝对试样地阻尼，所检测地共振频率大小是随悬挂点地位置而变地.理论上，测量试样地基频振动时，悬挂点应在节点处，即悬点距端点和处.但是在这种情况下，棒地振动无法被激发，振幅为零，在示波器上只能看到一条直线.欲激发棒地振动，悬点必须离开节点位置，故采用外延法测量试样地基频，即测量节点周围地点地振动频率，利用他们作图延伸至节点位置，从图像上得到试样地基频.（外延法：指所需要地数据在测量范围之外，一般较难测量，为了求得这个值，利用已得地数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求得所需地值.此方法只适用于在所研究范围内没有突变地情况.）文档来自于网络搜索【实验仪器】功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等.本实验地基本问题是测量在一定温度下试样地共振频率.实验中采用悬挂法.由信号发生器输出地等幅正弦波信号，加在换能器上.通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线（或支撑物）把机械振动传给试样，使试样做横向振动.试样另一端地悬线（或支撑物）把机械振动传给换能器，这时机械振动又转变成电信号.该信号输入示波器中显示.文档来自于网络搜索当信号发生器地频率不等于试样地固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形和波形很小.当信号发生器地频率等于试样地固有频率时，试样发生共振，示波器地波形突然增大，这时频率计上读出地频率就是试样在该温度下地共振频率.将此值代入，即可计算出该温度下地杨氏模量.文档来自于网络搜索若将试样置于可控温加热炉中，不断改变加热炉地温度，即可测出不同温度下地杨氏模量.【实验内容】.测量试样地长度、直径和质量用米尺测量试样地长度；用游标卡尺测量试样地直径（注意在不同地部位和不同地方向多次测量）；用电子天平称量试样地质量.为提高测量精度，以上各量至少测量次，记入表中.文档来自于网络搜索.测量试样在室温时地共振频率()室温下铜和不锈钢地杨氏模量分别为**和**，估算出共振频率，以便寻找共振点.文档来自于网络搜索()安装试样棒，对称悬挂并保持试样水平，悬丝与试样垂直，选择适当地悬丝长度.()将仪器连接好，并调整仪器到正常状态.()从试样端点开始，两悬点同时向中间移动，每间隔测量一次共振频率，记录在表中.每次测量时，调节信号发生器地输出频率，使示波器上观察到地共振峰地幅度达到最大值，此时信号发生器地输出频率即为该点地共振频率.文档来自于网络搜索()真假共振峰地判别（鉴频）在寻找共振频率时，调节信号发生器要极其缓慢，到共振频率附近时改用“频率微调”旋钮调节，换能器及整个系统都有自己地共振频率，换能器地输入伴随有许多次极大值，故测量时一定要找到真地共振峰进行测量.文档来自于网络搜索）峰宽判别法.真地共振峰地频率范围很窄，细微地改变信号发生器地输出频率，共振峰地幅度就会发生突变：假地共振峰频率范围很宽.文档来自于网络搜索）幅度判别法.用手将试样托起，如果是干扰信号，则示波器上正弦波幅度不变；如果是共振信号，则共振信号地周期不变，幅度逐渐衰减.文档来自于网络搜索）声音判别法.发生共振时，拾振器会发生尖锐地啸叫..测杨氏模量将试样棒放入到加热炉中，升温后测出不同温度下地共振频率.【数据处理】测量次数平均值长度直径质量测量次数平均值长度直径质量共振频率测量悬点共振频率共振频率测量悬点共振频率回归方程^所以地共振频率为510152025303540740741742743744745746747748x/mmf /H zf-x 曲线 Cu510152025303540831832833834835836837838839840x/mmf /H zf-x 曲线 Fe回归方程^^所以地基频对于，平均* * 平均* 平均±*±*文档来自于网络搜索对于，平均* * 平均* 平均±*±*文档来自于网络搜索【误差分析】.系统误差()仪器误差：）、、、地测量因为仪器地精度问题有一定地不确定度.）金属棒上地标定刻度线有一定误差.()理论误差）理论中使用了近似估计）理论中用了图像法，必定会产生一定地误差..随机误差）读数时有一定地误差.）温度等对各个物理量地大小有一定地影响【注意事项】.试样不可随意乱放，一定要保持清洁..悬挂试样时，悬丝必须将试样捆紧.测量时应尽量避免试样摆动..实验中拿放东西要轻，不可敲击桌面和大声说话，以免对实验造成影响.。

物理实验中心实验指导书动态悬挂法测量金属的杨氏模量动态悬挂法测量金属的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。

其基本方法是：将一根截面均匀的试棒悬挂在两只传感器(一只激振，一只拾振)下面。

在两端自由的条件下，使之自由振动。

测出试件的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。

一、实验目的1．学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。

2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。

3．了解外延测量法及其适用条件。

4．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。

二、实验原理任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。

只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。

1．杆振动的基本方程一细长杆做微小横(弯曲)振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程：02244=∂∂⋅+∂∂tz EJ S x z ρ （1） 式中),(t x U 为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；J 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；ρ为密度。

用分离变量法求解方程得到通解，进而得到杆的振动频率与杨氏模量的关系式，即214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S EJ k ρω。

2．杨氏模量的测量杆的振动基频满足条件π506.11=L k ，代入频率公式，同时考虑转动惯量，即可得到振动法测量杨氏模量的公式2436067.1f dmL E = (2) 式中m 为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，f 为基频振动的固有频率，计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。

动态法测量杨⽒弹性模量动态法测量杨⽒弹性模量郑新飞杨⽒模量是固体材料在弹性形变范围内正应⼒与相应正应变（当⼀条长度为L、截⾯积为S的⾦属丝在⼒F作⽤下伸长ΔL时，F/S叫应⼒，其物理意义是⾦属丝单位截⾯积所受到的⼒；ΔL/L叫应变，其物理意义是⾦属丝单位长度所对应的伸长量）的⽐值，其数值的⼤⼩与材料的结构、化学成分和加⼯制造⽅法等因素有关。

杨⽒模量的测量是物理学基本测量之⼀，属于⼒学的范围。

根据不同的测量对象，测量杨式模量有很多种⽅法，可分为静态法、动态法、波传播法三类。

⼀、实验⽬的1、理解动态法测量杨⽒模量的基本原理。

2、掌握动态法测量杨⽒模量的基本⽅法，学会⽤动态法测量杨⽒模量。

3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和⽰波器的使⽤。

4、培养综合运⽤知识和使⽤常⽤实验仪器的能⼒。

⼆、实验仪器1、传感器I（激振）：把电信号转变成机械振动。

2、试样棒：由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做共振动。

3、传感器II（拾振）：机械振动⼜转变成电信号。

4、⽰波器：观察传感器II转化的电信号⼤⼩。

三、实验原理理论上可以得出⽤动态悬挂法测定⾦属材料的杨⽒模量，为2436067.1f dm l E = （1）式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。

如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨⽒模量E 。

四、实验内容1、测定试样的长度l 、直径d 和质量m 。

每个物理量各测六次，列表记录。

2、在室温下不锈钢和铜的杨⽒模量分别为211102m N ?和211102.1m N ?，先由公式（1）估算出共振频率f ，以便寻找共振点。

3、把试样棒⽤细钢丝挂在测试台上，试样棒的位置约距离端⾯l 224.0和l 776.0处，悬挂时尽量避开这两个位置。

4、把2-YM 型信号发⽣器的输出与2-YM 型测试台的输⼊相连，测试台的输出与放⼤器的输⼊相接，放⼤器的输出与⽰波器的1CH（或CH）的输⼊相接。

动态法测杨氏模量班级：姓名：学号：一．实验原理：实验原理1．杆的弯曲振动基本方程：对一长杆作微小横振动时可建立如下方程：（1）式中E为杨氏模量。

I为转动惯量，ρ为密度。

对二端自由的杆，其边界条件为：：；用分离变数的试探解：以及上述边界条件带入（1）得超越方程ChHCosH=1 （2）解这个超越方程。

经数值计算得到前n个H的值是，， n>2.因振动频率若取基频可推导对圆棒于是有：（3）同理对b为宽度，h为厚度的矩形棒有：（4）式中：尺寸用m，质量用Kg，频率用Hz为单位。

计算出杨氏模量E的单位为N/m22．理论推导表明，杆的横振动节点与振动级次有关，Hn值第1，3，5……数值对应于对称形振动，第2，4，6……对应于反对称形振动。

最低级次的对称振动波形如图3所示。

图3 二端自由杆基频弯曲振动波形表1 振动级次――－节点位置―――频率比表中L为杆的长度由表1可见，基频振动的理论节点位置为0.224L（另一端为0.776L）。

理论上吊扎点应在节点，但节点处试样激发接收均困难。

为此可在试样节点和端点之间选不同点吊扎，用外推法找出节点的共振频率。

不作修正此项系统误差一般不大于0.2％。

推荐采用端点激发接收方式非常有利于室温及高温下的测定。

3．须注意（3）式是在d<<1时推出，否则要作修正，E（修正）=KE（未修正），当材料泊松比为0.25时，K值如下表：径长比d/L 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10修正系数K 1.002 1.008 1.019 1.033 1.051二．实验目的1.测量材料在常温下的杨氏模量；2.测量材料在不同温度下的杨氏模量；三．实验所用仪器函数信号发生器，换能器，温控器，示波器，加热炉。

四．实验数据记录及数据处理常温下共振频率试棒参数：f 1 f2 f3 f/Hz764 765 764 764E=215GPa高温（变温条件）下杨氏模量的测量 试棒参数：t/C 50 100 150 200 250 300 f/Hz762755 747 740 734 726 E/GPa 214210206 202198194t-E 图18018519019520020521021522050100150200250300系列1五．思考题对于相同材料的，长度和截面积都相等的圆截面试样和方截面试样，哪一种共振频率更高？答：方截面试样的共振频率更高。

动态法测量杨氏模量南昌大学物理实验报告课程名称：普通物理实验（2）实验名称：动态法测量杨氏模量学院：理学院专业班级：应用物理学152班学生姓名：学号：实验地点：B510 座位号：22实验时间：第二周星期五下午4点开始杨氏模量。

了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。

学会用示波器观察判断样品共振的方法。

培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

二、实验仪器：信号发生器，动态弹性模量测定仪，铜棒，示波器。

如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为02244=∂∂+∂∂t EJ y S x y ρ （1） 其中，棒的轴线沿x 方向， y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位移，E 为杨氏模量，单位为2；ρ为材料密度；S 为截面积；J 为某一截面的转动惯量，⎰⎰=sds y J 2。

横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。

用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有224411dt T d T EJ S dx X d X ∙-=ρ 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两4y x O 图1 细长棒L)cos()sin cos ()4321ϕω+∙+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a 21 ）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。

如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到1=∙chKL 采用数值解法可以得出本征值K 和棒长L 应满足如下关系K n L =0，4.730，7.853，10.996，14.137第一个根K 0L =0对应试样静止状态；第二个根=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a ）所示；第三个根n =1n232243108870.7109978f J m L J SL --⨯=⨯ωρ 如果试样为圆棒(d <<L )，则644d J π=，所以式（10）可改写为2436067f d mL 同样，对于矩形棒试样则有2339464.6f bh mL 为棒的质量，f 为基频振动的固有频率，d 为圆棒直径，分别为矩形棒的宽度和高度。

南昌大学物理实验报告课程名称：普通物理实验（2）实验名称：动态法测量杨氏模量学院：理学院专业班级：应用物理学152班学生姓名：学号：实验地点：B510 座位号：22实验时间：第二周星期五下午4点开始一、实验目的：1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。

3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。

学会用示波器观察判断样品共振的方法。

4、培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

二、实验仪器：信号发生器，动态弹性模量测定仪，铜棒，示波器。

三、实验原理：1、杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。

测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。

此实验中所采用动态法，既可测量金属的杨氏模量，也可以测量玻璃、陶瓷材料的杨氏模量，测量准确度也较高。

2、如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为2244=∂∂+∂∂tEJySxyρ（1）其中，棒的轴线沿x方向，y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，⎰⎰=sdsyJ2。

横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。

用分离变量法求解方程（1），令)()(),(tTxXtxy=，则有224411dtTdTEJSdxXdX•-=ρ（2）由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。

假设此常数为K4，则可得到下列两个方程yxO图1 细长棒的弯曲振动xL444=-X K dx X d （3） 0422=+T SEJ K dt T d ρ （4）如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为⎩⎨⎧+=+++=)cos()(sin cos )(4321ϕωt b t T Kxa Kx a shKx a chKx a x X （5） 于是可以得出)cos()sin cos (),(4321ϕω+•+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a t x y （6）式中214⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=S EJK ρω （7） 式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。

实验三十五用动态法测定金属的杨氏模量(最全)word资料实验三十五 用动态法测定金属的杨氏模量杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量。

用静态拉伸法可以测出杨氏模量，但此方法的缺点是负荷大，加载速度慢，存在弛豫过程，不能真实地反映材料内部结构的变化；在拉伸过程中，样品的横向和纵向都有形变，而此法忽略横向形变；另外，也不能用于测量脆性材料。

动态悬挂法可以克服这些缺点，是一种非常实用的测量方法。

【实验目的】1. 学会用动态悬挂法测量金属材料的杨氏模量。

2. 培养学生综合应用物理仪器的能力。

【实验仪器】DCY-3型动态杨氏模量测定仪，信号发生器，示波器，游标卡尺，千分尺，物理天平等。

【实验原理】若将一均匀棒悬挂起来，如图5-35-2所示，并使之发生横向振动，其振动方程为02244=∂∂⋅+∂∂t yEJ S x y ρ 式中, y 为振动位移, x 为纵向变量, t 为时间, ρ为棒的密度, S 为棒的截面面积, E 为棒的 杨氏弹性模量, J 称为惯性矩。

振动方程为偏微分方程。

用分离变量法 求解方程(求解过程见附录)，得:圆形棒图5-35-2（5-35-1）图5-35-1 DCY-3型动态杨氏模量测定仪 信号发生器 支撑支架2436067.1f dm l E =式中，l 为棒长，d 为棒的截面直径，m 为棒的质量，f 为棒的固有频率。

矩形棒2339464.0f bhm l E =式中，b ，h 分别为棒的宽和厚。

在国际单位制中，杨氏模量的单位为牛顿/米2（N ·m -2）。

实验原理图如5-35-3所示。

由信号发生器输出的正弦信号，加到激发换能器Ⅰ上，通过激发换能器Ⅰ把信号转变成机械振动，再由悬丝把机械振动传给待测试样，使试样受迫做横向振动，试样另一端的悬丝将振动传给接受换能器Ⅱ，这时机械振动又转变成电信号。

该信号送到示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于待测试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上没有电信号，或波形幅度很小。

动态法测量金属的杨氏模量实验步骤嘿，朋友们！今天咱来唠唠动态法测量金属杨氏模量的实验步骤哈。

咱先得把实验要用的那些玩意儿都准备齐全咯，就好比战士上战场
得把武器带好一样。

什么测试样品啊，激发换能器啊，接收换能器啊，可都不能少。

然后呢，把测试样品给它固定好喽，这就好比给房子打地基，得稳
稳当当的。

接下来，把激发换能器和接收换能器给它放好位置，就像
给两个好朋友找到最合适的位置聊天一样。

这时候，可别着急忙慌地就开始测啊，得先调整好各种参数，就跟
给汽车做保养似的，让它处在最佳状态。

等一切都准备就绪啦，就可以开始激发信号啦！这信号就像是给金
属样品发出的挑战书，看它能不能经得住考验。

在测量的过程中，咱得仔细盯着那些数据，就像猎人盯着猎物一样，不放过任何一个小细节。

你想想，要是错过了重要的数据，那不就跟
猎人放走了大猎物一样可惜嘛！
每一次测量都得认真对待，不能敷衍了事。

这可不是闹着玩的，就
跟走路一样，一步一个脚印，才能走得稳当。

测完一组数据还不算完事儿呢，还得再来几次，确保数据的准确性
和可靠性。

这就好比做题，多检查几遍才放心呀！
最后，把得到的数据好好整理分析一下，就像厨师烹饪美食一样，
精心调味，才能得出最终的结果。

总之啊，做这个实验可不能马虎，每一个步骤都得用心去做。

只有
这样，咱才能得到准确可靠的杨氏模量呀！大家说是不是这个理儿呢？可别小瞧了这些步骤，它们就像是通向成功的一个个小台阶，只有踏
踏实实地走上去，才能领略到科学的美妙啊！。

实验名称 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量一.目的与要求1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

2.培养综合应用物理仪器的能力。

3.学习用图示法表达实验结果。

二.原理根据棒的横振动方程：02244=∂∂+∂∂tyYJ S x y ρ （1） 式中J Y S 、、、ρ分别表示材料的密度、样品（棒）的截面积、材料的杨氏模量、特定截面的惯量矩。

求解方程，得圆形棒的杨氏模量为2436067.1f dm l Y = （2）式中 为棒长，d 为棒的界面直径，m 为棒的质量。

若是矩形棒，则为3339464.0f bhm l Y = （3）式中 为棒长，h b 、分别为棒的宽、厚，m 为棒的质量。

在实验中测出样品棒的固有频率f ，即可由（2）、（3）式计算出样品的杨氏模量Y 。

在国际单位制中扬氏模量的单位为牛顿·米-2。

本实验装置如图1所示。

图1 动态悬挂法测量扬氏模量实验装置图将信号发生器输出的等幅正弦波信号，经过放大器加在激振器上，把电信号转变成机械 振动，在由悬线把机械振动传给样棒，使得样棒受迫横振动。

样棒另一端的悬线把样棒的振动传给拾振器，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大后送到示波器上显示。

当信号发生器的频率不等于样棒的固有频率时，样棒不发生共振，示波器显示屏上的信号的幅度不大。

当信号发生器的信号频率等于样棒的固有频率时，样棒发生共振，示波器上波形幅度突然增大，读出此时的频率为共振频率。

由于样棒的固有频率与共振频率相差甚小，可作为样棒的固有频率。

三.仪器悬挂法杨氏模量测量仪，示波器，低频信号发生器，电子秤，游标卡尺，铜棒和不锈钢圆棒样品。

四.实验内容与步骤1.测定样棒的长度、直径和质量；2.在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为11102⨯牛顿·米-2和111021⨯.牛顿·米-2，先估算出共振频率，以便寻找共振点。

3.分别测出不锈钢棒和铜棒的固有频率。

4.利用（2）式分别计算出不锈钢棒和铜棒的扬氏模量。

实验三十五 用动态法测定金属的杨氏模量杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量。

用静态拉伸法可以测出杨氏模量，但此方法的缺点是负荷大，加载速度慢，存在弛豫过程，不能真实地反映材料内部结构的变化；在拉伸过程中，样品的横向和纵向都有形变，而此法忽略横向形变；另外，也不能用于测量脆性材料。

动态悬挂法可以克服这些缺点，是一种非常实用的测量方法。

【实验目的】1. 学会用动态悬挂法测量金属材料的杨氏模量。

2. 培养学生综合应用物理仪器的能力。

【实验仪器】DCY-3型动态杨氏模量测定仪，信号发生器，示波器，游标卡尺，千分尺，物理天平等。

【实验原理】若将一均匀棒悬挂起来，如图5-35-2所示，并使之发生横向振动，其振动方程为02244=∂∂⋅+∂∂t yEJ S x y ρ 式中, y 为振动位移, x 为纵向变量, t 为时间, ρ为棒的密度, S 为棒的截面面积, E 为棒的 杨氏弹性模量, J 称为惯性矩。

振动方程为偏微分方程。

用分离变量法 求解方程(求解过程见附录)，得:圆形棒图5-35-2（5-35-1）图5-35-1 DCY-3型动态杨氏模量测定仪 信号发生器 支撑支架2436067.1f dm l E =式中，l 为棒长，d 为棒的截面直径，m 为棒的质量，f 为棒的固有频率。

矩形棒2339464.0f bhm l E =式中，b ，h 分别为棒的宽和厚。

在国际单位制中，杨氏模量的单位为牛顿/米2（N ·m -2）。

实验原理图如5-35-3所示。

由信号发生器输出的正弦信号，加到激发换能器Ⅰ上，通过激发换能器Ⅰ把信号转变成机械振动，再由悬丝把机械振动传给待测试样，使试样受迫做横向振动，试样另一端的悬丝将振动传给接受换能器Ⅱ，这时机械振动又转变成电信号。

该信号送到示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于待测试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上没有电信号，或波形幅度很小。

当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，这时示波器上电信号波形幅度最大，此时信号发生器输出的信号频率，就是试样在该温度下的共振频率，代入公式（5-35-2），即可求出该温度下圆形棒试样的杨氏模量。

157实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。

本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一 实 验 目 的（1）悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

（2）培养学生综合应用物理仪器的能力。

（3）设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神*。

二 实 验 原 理棒的振动方程为（如图1）： 02244=∂∂+∂∂t y EJ ps x y (1)解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。

用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（7-1）得 2244d d 1d d 1t T T EJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K ，得：0d d 444=-X K xX 0d d 422=+T s EJ K t T ρ 这两个线形常微分方程得通解分别为Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=)cos()(ϕω+=t A t T于是解振动方程式得通解为)cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中 214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s EJ K ρω (2） 称为频率公式。

对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。

我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。

如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：033=∂∂-=∂∂-=xy EJ x M F 弯距 022=∂∂=xy EJ M 即 0d d 033==x x X ， 0d d 33==l x x X ， 0d d 022==x x X ， 0d d 22==l x x X 将通解代入边界条件，得到1cos =⋅chKl Kl用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足 Kl =0，4.730，7.853，10.966… 。