特殊平行四边形知识点01 菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1) 菱形的四条边都相等；(2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3) 菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．3. 判定：定义判定：邻边相等的平行四边形是菱形菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形【例1】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【例2】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若4EF ，则菱形ABCD的周长为( )知识精讲A ．8B ．16C ．24D ．32【例3】如图，在ABC 中，90,6,8B AB BC ∠=︒==，将ABC 沿DE 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，并且//C D BC '，则CD 的长是( )A ．409B ．509C ．154D ．254【例4】如图，在ABC 中，作以A ∠为内角，四个顶点都在ABC 边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的．①分别以点A ，G 为圆心，大于12AG 的长为半径在AG 的两侧作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，连接PG ，GQ ；③分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于ABC 内一点F ，连接AF 并延长交边BC 于点G ；④以点A 为圆心，小于AC 长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ．则正确的作图步骤是( )A ．②④①③B ．④③②①C ．②④③①D ．④③①②【例5】一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为___________．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，点F 是AC 上一点，连接BF 、DF ．(1)证明：△ABF ≌△ADF ；(2)若AB //CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．知识点02矩形1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1) 矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的两条对角线相等．注意：(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)．3. 判定：定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．【例1】直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5【例2】如图，矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒得到矩形AB C D '''，此时点B '恰好在DC 边上，若15B BC '∠=︒，则α的大小为( )A ．15︒B ．25︒C ．30D ．45︒【例3】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为_____．【例4】 如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，且2AB =，3BC =，那么图中阴影部分的面积为__________．【例5】如图，在ABC ∆中，AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点，若12BC =，8AD =，则DE 的长为_____．【例6】已知：在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE ，且DE BC =，过点A 作AF DE ⊥于点F ．求证：AB AF =；【例7】如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．(1)求证：AE ＝AF ；(2)求GF 的长．【例8】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．(1)求证：四边形BOCE是矩形；(2)连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．知识点03 正方形1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2. 正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3. 性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4. 判定定理：定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．【例1】设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是()A．B．C．D．【例2】下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形【例3】有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是( )A．B．C．D．【例4】如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【例5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C 折叠纸片，使点C 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为1，则FM 的长为( )A ．1B ．2C ．2D ．12【例6】已知点P 是正方形ABCD 内部一点，且PAB △是正三角形，则∠CPD =______度．【例7】边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．【例8】如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线l 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．【例9】如图，在等边ABE △下方作一个正方形BCDE ，连接AC ，AD ．(1)求证：ABC ≌AED ；(2)求CAD 的度数．【例10】．如图，已知平行四边形ABCD ，若M ，N 是BD 上两点，且BM ＝DN ，AC ＝2OM ，(1)求证：四边形 AMCN 是矩形；(2)△ABC 满足什么条件，四边形AMCN 是正方形，请说明理由．1.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O 点，与DC 分别交于E 、F 两点。
第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形； （3）有一个角是直角的__________是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形．【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的． 【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ； （2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是A．400 B．192C．208 D．304九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；3．对角线互相垂直的矩形是正方形；4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．（1）判定四边形BECF的形状，并证明；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是 A ．对角线互相平分的四边形 B ．对角线互相垂直且平分的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A ．6B ．8C ．12D ．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是 A ．对角线相等，对边平行且相等 B ．一组对边平行，一组对角相等C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D ．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．159．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A ．AD 平分∠MANB ．AD 垂直平分BC C ．∠MBD =∠NCD D ．四边形ACDB 一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．。
