正弦函数、余弦函数的性质(全)

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们具有许多重要的性质。

单调性是它们非常重要的性质之一。

在本文中，我们将详细讨论正弦函数和余弦函数的单调性，希望能帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的特性。

让我们来回顾一下正弦函数和余弦函数的定义。

正弦函数记作sin(x)，它表示的是单位圆上一个点的纵坐标，即sin(x) = y。

余弦函数记作cos(x)，它表示的是单位圆上一个点的横坐标，即cos(x) = x。

正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集合R，值域是[-1, 1]。

接下来，我们将分别讨论正弦函数和余弦函数的单调性。

首先讨论正弦函数的单调性。

在定义域内，正弦函数的单调性与其自变量的取值有关。

我们知道，在单位圆上，正弦函数表示的是一个点的纵坐标，而单位圆的纵坐标是在[-1, 1]之间变化的。

我们可以得出结论：正弦函数的单调性是周期性的。

具体地说，正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的。

这是因为在单位圆上，随着自变量从0增加到π/2，正弦函数的取值是逐渐增大的；而当自变量从π/2增加到π时，正弦函数的取值则逐渐减小；接着在从π增加到3π/2的过程中又是逐渐增大的；最后在从3π/2增加到2π时，又是逐渐减小的。

我们可以得出结论：正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的，是一个周期函数。

总结一下，正弦函数和余弦函数的单调性都是周期性的。

在每个周期内，正弦函数都是先增后减或者先减后增的；而余弦函数则是先减后增或者先增后减的。

这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学建模、物理学、工程等领域中有着广泛的应用。

掌握正弦函数和余弦函数的单调性是非常重要的。

希望本文的讨论能够帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质，为进一步的学习和研究打下良好的基础。

正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。

单调性是其中之一。

本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。

我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。

正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。

余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。

这两个函数都是周期函数，其周期为2π。

下面我们分别来介绍它们的单调性。

正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。

从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。

我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。

正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。

这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。

通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。

除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。

这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。

希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。

正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。

正弦函数余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)知识点包括周期性、正、余弦函数的奇偶性、求函数周期的三种方法、利用定义判断函数奇偶性的三个步骤、三角函数周期性与奇偶性的解题策略、探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式、函数的奇偶性与对称性的拓展等部分，有关正弦函数、余弦函数的性质(1)的详情如下：周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋t)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数y＝sin x(x∈r)和余弦函数y＝cos x(x∈r)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈z且k≠0)是它们的周期．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈r)是偶函数，图象关于y轴对称．求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋t)＝f(x)的非零常数t.该方法主要适用于抽象函数．(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．(3)公式法：利用定义判断函数奇偶性的三个步骤三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用求周期．(2)判断函数y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝a sin ωx或y＝a cos ωx其中的一个．即y＝a sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝时，为偶函数．y＝a cos(ωx＋φ)，当φ＝时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈r得z∈r，且函数y＝a sin z，z∈r及函数y＝a cos z，z∈r的周期都是2π.因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝，所以，自变量x增加函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现．即t＝是使等式a sin[ω(x＋t)＋φ]＝a sin(ωx＋φ)，a cos[ω(x＋t)＋φ]＝a cos(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝a sin(ωx＋φ)，x∈r及函数y＝a cos(ωx＋φ)，x∈r的周期t＝函数的奇偶性与对称性的拓展y＝sin x，(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋(k∈z)．y＝cos x也是如此，总结如下。