正方形判定课程案例

研究点一：正方形的判断第2课时正方形的判断【种类一】先证明是矩形再证明是正方形1．掌握正方形的判断方法；(重点 )2．会运用正方形的判断条件进行有关的论证和计算． (难点 )一、情形导入我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思虑一下，它们之间有如何的包括关系？请填入下列图中．经过填写让学生形象地看到正方形是特别的矩形，也是特别的菱形，仍是特别的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特别的平行四边形．1．如何判断一个四边形是矩形？2．如何判断一个四边形是菱形？3．如何判断一个四边形是平行四边形？4．如何判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判断一个四边形是正方形？二、合作研究已知：如下图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ BAC，∠ ABC 的均分线交于点D ，DE ⊥ BC 于点 E，DF ⊥AC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形．分析：欲证明四边形 CEDF 是正方形，先依据∠C＝ 90°， DE⊥ BC ， DF ⊥ AC，证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：如下图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点G.∵DF ⊥ AC， DE⊥ BC，∴∠ DFC ＝∠ DEC ＝90°.又∠ C＝90°，∴四边形 CEDF 是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形 )．∵AD 均分∠ BAC，DF ⊥ AC，DG ⊥ AB，∴DF＝DG.同理可得 DE ＝DG .∴ DE ＝DF . ∴四边形 CEDF 是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形)．方法总结：正方形的判断方法有好多，能够先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线相互垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．【种类二】先证明是菱形再证明是正方形如图， EG， FH 过正方形ABCD 的对角线的交点O，且 EG⊥ FH .求证：四边形 EFGH 是正方形．分析：已知 EG⊥ FH ，要证四边形 EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF 相互均分且相等即可，依据题意可经过三角形全等来证 OE＝ OH ＝ OG＝ OF.证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OB ＝ OC ，∠ ABO ＝∠ BCO ＝ 45°，∠BOC＝ 90°＝∠ COH ＋∠ BOH .∵EG⊥FH ，∴∠ BOE＋∠ BOH ＝ 90°，∴∠ COH ＝∠ BOE，∴△ CHO ≌△ BEO，∴ OE＝ OH.同理可证： OE＝OF ＝OG，∴OE＝OF ＝ OG＝ OH .又∵ EG⊥ FH ，∴四边形 EFGH 为菱形．∵EO＋GO＝ FO ＋ HO ，即 EG＝ HF ，∴四边形 EFGH 为正方形．方法总结：对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形．研究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系填空：(1)对角线 ________________ 的四边形是矩形；(2)对角线 ____________ 的平行四边形是矩形；(3)对角线 __________ 的平行四边形是正方形；(4)对角线 ________________ 的矩形是正方形；(5)对角线 ________________ 的菱形是正方形．解： (1) 相等且相互均分(2) 相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等方法总结：从对角线上剖析特别四边形之间的关系应充足考虑特别四边形的性质与鉴别，防备混杂．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特别的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具二者特征的更特别的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．三、板书设计经历正方形判断条件的研究过程，发展学生初步的综合推理能力，主动研究的学习习惯，逐渐掌握说理的基本方法．理解特别的平行四边形之间的内在联系，培育学生辩证看问题的观点. 别想一下造出海洋，一定先由小河川开始。

〖教案〗走进奇妙的几何世界——北师大版九（上）正方形的判定【关于课题的思考】〖教学目标〗遵照“新课标”的基本理念，根据《数学课程标准》要求，目标的制定应该是多元的，结合本课的教材内容和学生实际情况，我确立了如下教学目标：1、知识与技能目标：理解正方形的概念，掌握正方形的判定方法，了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.2、过程与方法目标：经历探索判定的过程，发展合情推理能力，提高逻辑思维能力.3、情感态度与价值观目标：培养学生动手操作能力、主动探究的习惯和合作交流的意识.其中，重难点分别为：怎样判定一个四边形是正方形，这是本章教学的一个难点.因为课本中没有具体的判定定理，学生不知道从哪里着手，具体证明时，常出现步骤混乱，或多用或少用条件的现象，解决这个问题的关键是从学生已有的认知出发，理清正方形、矩形、菱形的关系.我将本节课的重点确定为：探索正方形的判定方法。

难点确定为：灵活应用正方形的判定方法进行证明.〖学情分析〗一方面，学生已具备一定的推理能力和认识水平，有较好的阅读习惯和讨论交流的习惯，另一方面，学生正处于青春萌动期，对发现有着强烈的追求，对审美已经有了较高要求.这是初中数学带给学生最为震憾的其中一课.〖教法设计〗通过学习方案引导和教师启发指导，通过学生的欣赏、思考、动手实践、听讲、讨论等方式实现学生自主探究学习.使用的教学软件为“几何画板”和PPT相结合，加深学生直观美感，促使学生学以致用、整合现有资源以及迁移能力的锻炼.〖课时安排〗1课时【关于教学过程的设计】导语——人们很早的时候就从自然界接触到各种几何形状：太阳是圆的，月亮有时候是镰刀形的，树木长得笔直也有弯曲的……紧跟着是人们模仿制造出了各种各样的几何形状：圆形的、方形的、立体的等，这些几何形状让人拍案叫绝，也成为了建立几何抽象概念的基础。

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。

它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

正方形的性质与判定（1）主讲：叶良国课题：正方形的性质与判定（1）课型：新授课教学目标：1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重难点：重点：探索正方形的性质与判定。

难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。

关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程教学过程：一、回忆童年，情境引入想一想：什么是矩形？是菱形？做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形看一看：几何画板演示动画设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。

我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】二、实践探究，交流新知师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形．平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．生：画图展示设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构．师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？生：学生独立完成，并相互交流师：正方形有几条对称轴？生：思考或者画图验证师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示）设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。

正方形的性质与判定教学目标：1. 理解正方形的定义及其性质。

2. 学会使用正方形的性质进行判定。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 正方形的性质。

2. 正方形的判定方法。

教学难点：1. 正方形性质的灵活运用。

2. 正方形判定方法的掌握。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 正方形模型或图片。

3. 练习题。

教学过程：第一章：正方形的定义1.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察并猜测正方形的定义。

1.2 讲解：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形。

1.3 互动：让学生举例说明生活中常见的正方形，如棋盘、正方形纸等。

第二章：正方形的性质2.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察正方形的性质。

2.2 讲解：正方形的性质包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。

2.3 互动：让学生运用正方形的性质解决问题，如计算正方形对角线的长度。

第三章：正方形的判定3.1 引入：展示非正方形的模型或图片，引导学生思考如何判断一个四边形是否为正方形。

3.2 讲解：正方形的判定方法包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。

3.3 互动：让学生举例说明如何判断一个四边形是否为正方形。

第四章：正方形的应用4.1 引入：展示正方形应用的例子，如正方形图案设计、正方形桌面等。

4.2 讲解：正方形在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。

4.3 互动：让学生举例说明正方形在实际生活中的应用。

第五章：总结与练习5.1 总结：回顾本节课所学的内容，强调正方形的定义、性质和判定。

5.2 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

教学反思：本节课通过展示正方形模型或图片，引导学生观察和思考正方形的性质和判定。

通过互动和举例，让学生更好地理解和应用正方形的性质。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与，培养他们的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

第六章：正方形边的性质6.1 引入：通过正方形模型或图片，引导学生关注正方形边的性质。

正方形的判定(公开课教案)本教案旨在教授学生如何判定一个图形是否为正方形。

通过本课程，学生将学会使用几何知识和相关技巧来判断一个图形是否满足正方形的定义。

教学目标- 了解正方形的定义- 掌握判断正方形的几何特征- 学会应用几何知识进行正方形判定的问题- 发展学生的逻辑思维和判断能力教学准备- 教师准备一个正方形模型和一些图形示例- 教师准备一些与正方形判定相关的问题和练题- 学生准备纸和笔教学过程1. 导入- 教师向学生介绍正方形的定义，并展示一个正方形模型。

- 教师提问学生：你们认为怎样的图形才能被称为正方形？- 学生回答后，教师给予正面的评价并引导学生思考正方形的特征。

2. 规则讲解- 教师向学生介绍正方形必须满足的几何特征：- 四条边长度相等- 四个角度都是直角- 教师解释为什么这两个特征是定义正方形的必要条件，并给予实例加以说明。

3. 示例展示- 教师展示一系列图形示例，要求学生判断每个图形是否为正方形，并解释判断的依据。

- 学生参与讨论，教师引导学生发现和总结判断正方形的方法和策略。

4. 练与巩固- 教师提供一些正方形判定的问题和练题，让学生自行判断并解答。

- 学生完成练后，教师与学生一起讨论答案，讲解解题思路和方法。

5. 总结- 教师带领学生总结判断正方形的要点和方法。

- 教师强调几何知识在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生继续探索和应用几何知识。

教学评估- 教师观察学生在判定正方形的过程中的表现和回答问题的能力。

- 学生完成的练题答案是否正确和解答是否合理。

扩展阅读- 推荐学生阅读相关的几何知识书籍或网站，继续深入研究和应用几何知识。

该教案通过引导学生探索和应用几何知识，帮助他们掌握判断正方形的方法和技巧。

通过学习，学生将提高他们的逻辑思维和判断能力，并将几何知识应用于实际问题的解决中。

该教案可作为正方形判定的基础教学内容，为学生打下坚实的几何学习基础。

第2课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点) 2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点) 一、情境导入 老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形． 小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？ 小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．解析：要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．∵DE ＝DF ，∴矩形CEDF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE . (1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC .又∵CF ＝AE ，∴可证BE ＝EC ＝BF ＝FC .根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF 是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A ＝45°.解：(1)四边形BECF 是菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝FC ，BE ＝EC ，∴∠3＝∠1.∵∠ACB ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC ＝AE ，∴BE ＝AE .∵CF ＝AE ，∴BE ＝EC ＝CF ＝BF ，∴四边形BECF 是菱形；(2)当∠A ＝45°时，菱形BECF 是正方形．证明如下：∵∠A ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF ＝2∠3＝90°，∴菱形BECF 是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．探究点二：正方形的判定的应用 【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用如图，点E ，F ，P ，Q 分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF ＝BP ＝CQ ＝DE .求证：(1)EF ＝FP ＝PQ ＝QE ； (2)四边形EFPQ 是正方形． 解析：(1)证明△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP ，即可证得EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)由EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，可判定四边形EFPQ 是菱形，又由△APF ≌△BQP ，易得∠FPQ ＝90°，即可证得四边形EFPQ 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD .∵AF ＝BP ＝CQ ＝DE ，∴DF ＝CE ＝BQ ＝AP .在△APF 和△DFE 和△CEQ 和△BQP 中，⎩⎨⎧AF ＝DE ＝CQ ＝BP ，∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠B ，AP ＝DF ＝CE ＝BQ ，∴△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP (SAS)，∴EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)∵EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，∴四边形EFPQ 是菱形．∵△APF ≌△BQP ，∴∠AFP ＝∠BPQ .∵∠AFP ＋∠APF ＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ ＝90°，∴∠FPQ ＝90°，∴四边形EFPQ 是正方形．方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP .【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题如图，△ABC 中，点O 是AC上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F ，连接AE 、AF .(1)求证：∠ECF ＝90°；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF 为正方形，△ABC 应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．解析：(1)由CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠BCE ＝∠OCE ，∠GCF ＝∠OCF ，则∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)由MN ∥BC ，可得∠BCE ＝∠OEC ，∠GCF ＝∠OFC ，可推出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，得出EO ＝CO ＝FO ，点O 运动到AC 的中点时，则EO ＝CO ＝FO ＝AO ，这时四边形AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF 是正方形．(1)证明：∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠GCF .又∵∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠OFC ，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF .又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．(3)∠ACB ＝90°.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．三、板书设计1．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形． 2．正方形性质和判定的应用本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．。