导数题型-极值最值型
- 格式:doc
- 大小:42.00 KB
- 文档页数:13
题型三极值最值型
1.求函数的极值
必背结论一极大值极小值
⑴在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值;
⑵在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值;
⑶极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点。
注:①极值是局部概念,只能反映在某一点附近的大小状况.
②在定义域或某区间上,极值可以不止一个,也可没有.
③极大值不一定大于极小值.
④极大值与极小值交替出现.
⑤极值只能出现在区间的内部,不会出现在区间端点。
必背结论二极值的判定
一般的,当函数y=f(x)在x0处连续时
⑴如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)为函数的极小值;
⑵如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)为函数的极大值;注:①导数为0的点不一定是极值点,例如y=x3在x=0处的导数是0,但它并不是极值点.
②对于可导函数,极值点的导数必为0.
③函数导数不存在的点也可能是极值点.
例如y=|x|在x=0处取得极值,但导数不存在.
例1.函数f(x)=
3e x
3+4x²
,求f(x)的极值点.
例2.求f(x)=x3-3x²-2在(a-1,a+1)(a>0)内的极值.
例3.f(x)=x²-1-2alnx(a≠0),求f(x)的极值.
例4.f(x)=ln(x+1)+a(x²-x),讨论f(x)极值点的个数.
2.求函数的最值
必背结论三最大值,最小值
⑴函数f(x)在区间[a,b]的最大值点x0是指:∀x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0),最大值在极大值点取得,或者在区间的端点取得.
⑵函数f(x)在区间[a,b]的最小值点x0是指:∀x∈[a,b],都有f(x)≥f(x0),最小值在极小值点取得,或者在区间的端点取得.
注:最值点不一定为极值点,极值点也不一定是最值点,当定义域为开区间时,最值一定是极值。
解题模板求函数在闭区间上的最值的步骤
⑴求f(x)在(a,b)内的极值;
⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较得出f(x)在[a,b]的最值.
例1.求f(x)=x²-alnx在[1,+∞)上的最小值.
例2.f(x)=ax²+1(a>0),g(x)=x3+bx.当a²=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求在区间(-∞,-1]上的最大值.
例3.求f (x )=e x
x -1在[m ,m +1](m >1)上的最小值.
3.已知极值求参数
例1.函数f(x)=x3+ax²+bx+a²(a,b∈R)在x=1处的极值为10,求实数a,b的值.
例2.若x=2是f(x)=x-1
2
ax²-ln(1+x)的极值点,求a的值.
例3.求f(x)=2x3+3ax²+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值,求a,b的值.
例4.函数f(x)=e x
x²-
k(
2
x+
lnx)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
例5.f(x)=e2x-e-2x-cx有极值,求c的取值范围.
例6.f(x)=x3+ax²+(a+6)x+1在(-2,2)上既有极大值又有极小值,求a的范围. 例7.函数f(x)=ax3+ax²+7x不存在极值点的充要条件是.
4.已知最值求参数
例1.f(x)=x3+3x²-9x+1在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
例2.f(x)=-1
3
x3+
1
2
x²+2ax,0<a<2在[1,4]上最小值为-
16
3
,求f(x)在该区
间上的最大值.
2ax+a²-1
x²+1在[0,+∞)上存在最大值和最小值,求a的取值范围.
例3. f(x)=
a
x-(a+1)lnx在[1,e]最小值为-2,求a.
例4. f(x)=x-