2016—高二高中立体几何证明垂直的专题训练(最新整理)

高中立体几何证明垂直的练习立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。

（3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。

(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,//1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ；分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F ⊥平面PDC 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面.分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PABE FBACDP（第2题图）（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。

高中数学必修2立体几何 垂直关系专题训练1．（05辽宁卷）已知三棱锥Ｐ－ABC 中，Ｅ、Ｆ分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ．证明PC ⊥平面PAB1．证明：连结CF.AC BC EF PE 2121=== ， ∴PC AP ⊥AB PF AB CF ⊥⊥, ，∴⊥AB 平面PCF ，PCF PC 平面⊂ ，∴AB PC ⊥ ∴⊥PC 平面PAB 2. 已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F (1)求证：AF ⊥SC(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD．证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC ∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB∴BC ⊥AE 又SB ⊥AE ∴AE ⊥平面SBC ∴SC ⊥平面AEF ∴AF ⊥SC (2)∵SA ⊥平面AC ∴SA ⊥DC ，又AD ⊥DCACBPFE∴DC ⊥平面SAD ∴DC ⊥AG 又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂平面AEF ∴SC ⊥AG ∴AG ⊥平面SDC ∴AG ⊥SD3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN ∶NB ＝１∶３，求证：C 1M ⊥MN ．3．证明１ 设正方体的棱长为ａ，则MN ＝a 45， C 1M ＝a a a a 23)2(222=++，C 1N ＝a a a a 441)43(222=++，∵MN ２＋MC 1２＝NC 1２，∴C 1M ⊥MN ． 证明２ 连结B 1M ，∵C 1B 1⊥平面A 1ABB 1， ∴B 1M 为C 1M 在平面A 1ABB 1上的射影．设棱长为a ，∵AN ＝a 41，AM ＝a 21，∴tan ∠AMN ＝21，又tan ∠A 1B 1M ＝21，则∠AMN ＝∠A 1B 1M ，∴B 1M ⊥MN ，由三垂线定理知，C 1M ⊥MN ．4．如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 ∵ ∠ACB=900 ∴ ∠A 1C 1B 1=900即B 1C 1⊥C 1A 1又由CC 1⊥平面A 1B 1C 1得：CC 1⊥B 1C 1 ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C∴ AC 1为AB 1在平面AA 1C 1C 的射影 由三垂线定理，下证AC 1⊥A 1M 即可 在矩形AA 1C 1C 中，AC=A 1C 1=3，AA 1=CC 1=6∵ 22326A C MC 111==，2263A A C A 111==∴ AA C A A C MC 111111=∴ Rt △A 1C 1M ∽Rt △AA 1C 1∴ ∠1=∠2 又∠2+∠3=900 ∴ ∠1+∠3=900 ∴ AC 1⊥A 1M ∴ AB 1⊥A 1M5．（06福建卷）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求点E 到平面ACD 的距离。

垂直证明习题——面面垂直⇒线面垂直1. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， 90BAF ∠=︒．求证：AF ⊥平面ABCD ．2. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA CC ⊥平面ABC ，1AC CA =，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．求证：CD ⊥平面1AB ．3. 如图，正方形 边长为 ，平面 平面 ， ， ．证明： ．4. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将A D E 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）．G 为AE 中点．求证:DG ⊥平面ABCE5. 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD的中点．若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD ．6. 如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点．求证：平面．7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若、分别为、的中点．求证：平面．8. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD，P ABCD -//AB CD 90BCD ∠=︒224AB BC CD ===PAB∆PAB ⊥ABCD Q PB AQ ⊥PBC P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD 2PA PD AD ==E F PC BD EF ⊥PDCPB ＝PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：OM ⊥平面PCD ．9. 如图，在四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，PA PD =，M 为CD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ．求证：BD PM ⊥．10. 已知四棱锥中，底面是菱形，侧面平面，且，．证明：平面．11. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，,90,1,2AB CD ADC AB AD PD CD ∠=︒====．求证：BC ⊥平面PBD ．A P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA =1AD =2PD =DB ⊥PAC12. 如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ︒===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．求证：BC ⊥平面ACFE ．垂直证明习题——面面垂直⇒线面垂直（教师版）1. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， 90BAF ∠=︒．求证：AF ⊥平面ABCD ．【解析】证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD ．2. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA CC ⊥平面ABC ，1AC CA =，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．求证：CD ⊥平面1AB ．【解析】证明：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥，∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥．又1AC A C =，D 为1AA 中点，则1CD AA ⊥．∴CD ⊥面11ABB A ．3. 如图，正方形 边长为 ，平面 平面 ， ，．证明： ．【解析】证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ， ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴又∵ ， ， ， 平面 ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ．4. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将A D E 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）．G 为AE 中点．求证:DG ⊥平面ABCE【解析】证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥．因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．5. 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD的中点．若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD ．【解析】证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D =，所以AF ⊥平面 PCD ．6. 如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点．求证：平面．【解析】证明：因为，，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面．又平面，所以，因为为中点，且为等边三角形，所以．P ABCD -//AB CD 90BCD ∠=︒224AB BC CD ===PAB∆PAB ⊥ABCD Q PB AQ ⊥PBC //AB CD 90BCD ∠=︒AB BC ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =BC ⊥PAB AQ ⊂PAB BC AQ ⊥Q PB PAB ∆PB AQ ⊥又，所以平面．7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若、分别为、的中点．求证：平面．【解析】因为平面平面，平面平面， 平面，又由矩形得，所以CD ⊥平面． 又平面，∴，因为，∴又，所以是等腰直角三角形，且，即又，∴而，平面，平面，所以平面 8. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：OM ⊥平面PCD ．【解析】连结PO ，因为且O 是BD 中点，所以又因为平面平面，平面平面，平面PB BC B ⋂=AQ ⊥PBC P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD 2PA PD AD ==E F PC BD EF ⊥PDC PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =CD ⊂ABCD ABCD CD AD ⊥PAD PA ⊂PAD CD PA ⊥//EF PA CD EF⊥PA PD AD ==PAD ∆π2APD ∠=PA PD ⊥//EF PA PD EF ⊥CD PD D ⋂=CD ⊂PDC PD ⊂PDC EF ⊥PDC PB PD =PO BD ⊥PBD ⋂ABCD BD =PBD ⊥ABCD PO ⊂，所以平面．又因为平面，所以．又， ， 平面，平面，所以平面．又平面，所以．在平面中，由(1)得，又，所以又，平面，平面，所以平面．9. 如图，在四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，PA PD =，M 为CD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ．求证：BD PM ⊥．【解析】证明：取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ．∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥．又∵E ，M 分别是AD ，DC 的中点，∴EM AC ，∴EM BD ⊥．∵PA AD =，∴PE AD ⊥． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE BD ⊥，EM PE E ⋂=，∴BD ⊥平面PEM ，PM ⊂平面PEM ，∴BD PM ⊥．10. 已知四棱锥中，底面是菱形，侧面平面，且，．证明：平面．PBD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PC ⊥PO PC P ⋂=PO ⊂PAC PO ⊂PAC CD ⊥PAC OM ⊂PAC OM CD ⊥PAC OM PA PA PC⊥OM PC ⊥CD PC C ⋂=PC ⊂PCD CD ⊂PCD OM ⊥PCD A P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA =1AD =2PD =DB ⊥PAC A【解析】在中，，，又侧面平面，侧面平面，平面 平面 平面在菱形中，，又，平面 11. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，,90,1,2AB CD ADC AB AD PD CD∠=︒====．求证：BC ⊥平面PBD ．【解析】因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥．又底面ABCD 是直角梯形，,90,1,2AB CD ADC AB AD CD ∠=︒===， 所以BD BC ==222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥．又PD BD D ⋂=，且PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ． 12. 如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ︒===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．求证：BC ⊥平面ACFE ．PAD ∆PA =1AD =2PD =222AD PA PD ∴+=PA AD ∴⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊂PAD PA ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ∴⊥ABCD AC BD ⊥PA AC A =BD ∴⊥PAC【解析】在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60°，∴AB =2，∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos 60°=3，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴BC ⊥AC ．又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD =AC ，BC 平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ．面面平行习题1. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且1A B 平面1AC D ，1D 是11B C 的中点．求证：平面11A BD ∥平面1AC D ．2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是1C C 、11B C 、11C D 的中点．求证：平面MNP ∥平面1A BD ．3. 如图所示， 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点，N 是EC 的中点，求证：平面DMN ∥平面ABC ．4. 如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．求证：平面//AFG 平面PCE ．5. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,,,,AB AD AB DC E F ⊥分别为,PC DC 的中点,222PA DC AB AD ====．证明：平面PAD 平面EBF ．6. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ， //,PD MA E G F 、、分别为MB PB PC 、、的中点，且2AD PD MA ==．求证：平面//EFG 平面PMA ．7. 如图，在四棱锥S ABCD -中，BCD ∆为等边三角形，,120AD AB SD SB BAD ︒===∠=．若点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，求证：平面//BMN 平面SAD ．8. 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF =DE ，点M 为棱AE 的中点．求证：平面BMD ∥平面EFC ．9. 如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ，求证：平面EFG ∥平面ABC ．10. 如图所示，P 是△ABC 所在平面外的一点，点A′，B′， ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面ABC ∥平面A′B′ ′．垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E F PDBD 2EF =PAD ⊥ABCD3. 如图所示， ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直（教师版）1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．【解析】证明：平面，．111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA 1AC ⊥1A BC 1AC BC ∴⊥，，平面．又平面，平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．【解析】过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO≌△BAO ，∴BO=PO=∵E ，F分别是PA ，BD 的中点，EF=，∴EF 是△PBD 的中位线， ∴， ∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵A ∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又PO 平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．3. 如图所示， ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．90BCA ∠︒＝BC AC ∴⊥BC ∴⊥11ACC A BC ⊂ABC ∴ABC ⊥11ACC A P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E F PD BD 2EF =PAD ⊥ABCD 2【解析】取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN //CF ． ∵BD //CF ，∴MN //BD ， ∴N ∈平面BDM ．∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA ． 又∵BN 平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA ．垂直证明习题——线面垂直⇒线线垂直13. 如图，三棱柱111A B C-A B C 中，12AB BC AC AA ====，123ABB π∠=．证明：1AB A C ⊥．14. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．证明：1B C AB ⊥．15. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点．证明：．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==．P ABCD -ABCD 2AB =120BAD ∠=AP ⊥ABCD ,M N ,BC PC AM ⊥PDA11（1）求证：CD ⊥PD ．（2）求证：BD ⊥平面P AB ．17. 如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点．求证：AF EF ⊥．垂直证明习题——线面垂直⇒线线垂直（教师版）1. 如图，三棱柱111A B C-A B C 中，12AB BC AC AA ====，123ABB π∠=．证明：1AB A C ⊥．【解析】取AB 中点D ，连11,A D A B ， 因为12AB BC AC AA ====，160BAA ∠= 所以1,CD AB AB A D ⊥⊥，所以AB ⊥平面1CDA ．因为1AC ⊂平面1CDA ，所以1AB A C ⊥． 2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．证明：1B C AB ⊥．A11A11【解析】连接1BC ， 因为侧面11BB C C 为菱形， 所以1B C 1BC ⊥，且1B C 与1BC 相交于O 点．因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥． 又1BC AO O =，所以1B C ⊥平面ABO ，因为AB Ì平面ABO ，所以1B C ⊥AB ．3. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点．证明：．【解析】因为底面为菱形，，所以为等边三角形， 又为中点，所以，又，所以 因为平面，平面，所以， 又，所以平面，所以．4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==． （1）求证：CD ⊥PD ．（2）求证：BD ⊥平面P AB ．P ABCD -ABCD 2AB =120BAD ∠=AP ⊥ABCD ,M N ,BC PC AM ⊥PD ABCD 120BAD ∠=ABC ∆M BC AM BC ⊥//BC AD AM AD ⊥AP ⊥ABCD AM ⊂ABCD AP AM ⊥ADAP A =AM ⊥PAD AM ⊥PD11【解析】（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ． 因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD ． 因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ．（2）因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A ． 在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥． 因为PA AB A =，所以BD ⊥平面P AB ．5. 如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点．求证：AF EF ⊥．【解析】证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥． ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PA AD ⊥，PA AB ⊥． ∵ADAB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥． ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB ⊥．∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ． ∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥．∵PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC ． ∵EF ⊂平面PBC ，．∴AF EF ⊥．线面平行习题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中， / / A B C D ．求证：CD ∥平面ABE ．2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是棱长为1的菱形，M 是PB 的中点．求证：PD //平面ACM ．3. 如图， 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是AB 的中点．求证：1//BC 平面1A CD ．4. 如图，在三棱柱ABC –A1B 1C 1中，D 为AC 的中点，O 为四边形B 1C 1CB 的对角线的交点．求证：OD ∥平面A 1ABB 1．5. 如图，在长方体ABCD －1111D C B A 中，面1BMD N 与棱1CC ，1AA 分别交于点M ，N ，且M ，N 均为中点．求证：AC ∥平面1BMD N ．6.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，且2P A P D==，2AD BC ==，PA CD ⊥，点E 在PC 上，且2PE EC =．求证：直线PA ∥平面BDE ．7. 如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB BC CD ==．若点M 是棱AB 的中点，求证：//BC 平面SDM ．8. ★如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点．证明：1//CA 平1BDC ．9. ★如图，在三棱柱111ABC A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．求证：直线1AB ∥平面1BC D ．10. ★在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点．求证：//EF 平面11A DC ．11. ★如图所示,在四棱锥C ABED -中,四边形ABED 是正方形,点,G F 分别是线段,EC BD 的中点. 求证：//GF ABC 平面12. ★如图，在直三棱柱ABC －111A B C 中，E 是棱1CC 的中点，F是AB 的中点．求证：CF ∥平面1AB E ．13. ★如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为4的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,D E 分别是线段11,BB AC 的中点． 求证：DE 平面ABC ．14. ★如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,PC BD 的中点．证明：//EF 平面PAD ．15. ★如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，P 为1AA 的中点，Q 为BC 的中点． 求证：//PQ 平面11A BC ．16. ★如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，四边形ABEF 是直角梯形，2FAB π∠=，AF BE ，22AF AB BE ===．证明：CE平面ADF ．17. 在三棱锥P ABC -中，H 为PA 的中点，,M N 分别为棱,PA PB 上的点，且3PN NB =，MN 平面HBC ，求:PM PA 的值．18. 如图，正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，,M N 分别是,PA BD 上的点，且::PM MA BN ND =．求证：直线MN 平面PBC ．19. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =．求证：MN 面11AA BB垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直18. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ．19. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点．求证： 平面 ．20. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=AC ，AC ⊥BC ，H 为PC的中点．求证：AH ⊥平面PBC ．21. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．求证：平面．22. 如图所示，已知P ABC -为正三棱锥，设D 为PB 的中点，且AD PC ⊥．求证：PC ⊥平面PAB ．23. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=E 是BC 的中点．证明：AE ⊥平面PAD ．ACABCDCDE CD AE ⊥CDE AB ⊥ADE24. 如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB ==，BC =2AC =．证明：BC ⊥平面PAB ．25. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====．求证：AO ⊥平面BCD ．26. 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且，求证：直线平面．27. 如图，在三棱锥中，面平面PAE ．P ABC -G PA PC AC ⊥2PB AB ACBC ==== 1.PC =BG ⊥PAC P ABC -PA ⊥,,22,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥====,,22,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥=====DE ⊥28. 如图，在三棱锥中底面，为上一点，，．证明：平面．29. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点．证明：平面．30. 己知三棱在底面上的射影恰为的中点，，又知求证：．31. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，，，．证明：平面．32. 如图，已知ABC △是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，1DC =，F 是BE 的中点，AF ⊥平面EDB ．P ABC -PA ⊥ABC D BC 24AC AB ==BD CD ==AD ⊥PAB 1111ABCD A B C D -ABCD 1A D 1AD E AE ⊥ECD 111,ABC A B C -柱1A 点ABC AC D 90BCA ︒∠=2,AC BC ==11.BA AC ⊥11AC A BC ⊥平面P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD E PB 2PB =1PD =45BPC ∠=︒PC ⊥ADE33. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，AB =2BC =，12AA =．证明：1A C ⊥平面11AB C ．34. 如图，在五面体中，四边形为矩形，．证明： 平面．35. 如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，SD =E 为棱SB 的中点．求证：SC ⊥平面ADE ．垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直（教师版）1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ．【解析】证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ．ABCDEF CDEF AD CD ⊥AB ⊥ADF又PC ⊥CD ， PA PC P =，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC ．2. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点．求证： 平面 ．【解析】因为 ，点 为 中点，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ．又因为 ，所以 平面 ．（等腰三角形提供垂直） 3. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=AC ，AC ⊥BC ，H 为PC的中点．求证：AH ⊥平面PBC ．【解析】等腰三角形提供垂直．4. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．求证：平面．ACABCD CDE CD AE ⊥CDE AB ⊥ADE【解析】（正方形提供垂直）5. 如图所示，已知P ABC -为正三棱锥，设D 为PB 的中点，且AD PC ⊥．求证：PC ⊥平面PAB ．【解析】正三棱锥中PC AB ⊥．6. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=E 是BC 的中点．证明：AE ⊥平面PAD ．【解析】有一个内角是600的菱形提供垂直．7. 如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB ==，BC =2AC =．证明：BC ⊥平面PAB ．【解析】（勾股定理）8. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====．求证：AO ⊥平面BCD ．B【解析】证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．（勾股定理）9. 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且，求证：直线平面．【解析】连接，因为，所以． 由已知得，， 所以，所以， 又，所以平面（勾股定理）10. 如图，在三棱锥中，面P ABC -G PA PC AC ⊥2PB AB AC BC ==== 1.PC =BG ⊥PAC CG BP BA =BG PA⊥12CG PA ==2BG =222BG CG BC +=BG CG ⊥PA CG G ⋂=BG ⊥.PAC P ABC -PA ⊥,,22,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥=====平面PAE ．【解析】，，又为正三角形， 又，由余弦定理可知，，根据勾股定理可知．又，，．（勾股定理）11. 如图，在三棱锥中底面，为上一点，，．证明：平面．【解析】证明：在中，，，， 所以在中，，故． 因为，所以．（勾股定理）,22,B PA AD DC AE AB =====DE ⊥ABAC ⊥AB =3AC AD DC =+=tan AC B AB∴==60B ︒∴=AEAB ==ABE ∴30DAE DAB BAE ︒∴∠=∠-∠=2AD =AE=1DE ==222AE DEAD ∴+=AE DE ⊥PA ABC 面⊥PA DE ∴⊥DE PAE ∴⊥面P ABC -PA ⊥ABC D BC 24AC AB ==BD CD ==AD ⊥PAB ABC ∆24AC AB ==BD CD ==2cos 7ABC ∠==ABD ∆247223AD =+-⨯=AD =222437AB AD BD +=+==AB AD ⊥因为底面，所以，又，所以平面．12. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点．证明：平面．【解析】证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 ．又，，所以平面，所以．因为，，所以是正方形，所以．又，所以平面．（直棱柱提供垂直）13. 己知三棱在底面上的射影恰为的中点，，又知求证：．【解析】在三棱柱中，由得， 因为底，所以，且，所以面， 又由平面，所以，PA ⊥ABC PA AD ⊥PA AB A =AD ⊥PAB 1111ABCD A B C D -ABCD 1A D 1AD E AE ⊥ECD 1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD 1AA CD ⊥CD AD ⊥1AA AD A =CD ⊥11AA D D CD AE ⊥1AA AD ⊥1AA AD =11AA D D AE ED ⊥CD ED D =AE ⊥ECD 111,ABC A B C -柱1A 点ABC AC D 90BCA ︒∠=2,AC BC ==11.BA AC ⊥11AC A BC ⊥平面111ABC A B C -BCA 90∠=︒BC AC ⊥1A D ⊥ABC 1A D BC ⊥1A D AC D ⋂=BC ⊥1A AC 1AC ⊂1A AC 1BC AC ⊥因为，，由线面垂直的判定定理，可得平面．（射影提供垂直） 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，，，．证明：平面．【解析】取的中点，连接，，则．由题知平面，面PDC ，所以面PDC 平面， 又底面为矩形，故平面，所以，在中，，，则．因为，所以，，即△CDP 为等腰三角形， 又F 为的中点，所以．因为，所以平面，即平面．15. 如图，已知ABC △是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2E A A B ==，1DC =，F 是BE 的中点，AF ⊥平面EDB ．【解析】因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 EA 垂直于平面ABC ∴CM ⊥AE ，11BA AC ⊥1BA BC B ⋂=1AC ⊥1A BC P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD E PB 2PB =1PD =45BPC ∠=︒PC ⊥ADE PC F EF FD EF AD ∥PD ⊥ABCD PD ⊂⊥ABCD ABCD AD ⊥PDC AD PC ⊥Rt CB P ∆2PB =45BPC ∠=︒CB =1PD=BD =1CD =PC DF PC ⊥DF AD D ⋂=PC ⊥ADF PC ⊥ADE又 AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF 面EAB∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ，因F 是BE 的中点，EA ＝AB ，所以AF ⊥EB ．EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ．16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，AB =2BC =，12AA =．证明：1A C ⊥平面11AB C ．【解析】由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1CC BC ⊥，又因为AC BC ⊥，1AC CC C =，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥， 又因为11BC B C ，所以111B C AC ⊥， 在Rt ABC ∆中，AB =2BC =，AC BC ⊥，所以2AC =， 又因为12AA =，所以四边形11ACC A 为正方形，所以11A C AC ⊥． 因为1111B C AC C =，11B C ⊂平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，所以1A C ⊥平面11AB C ．17. 如图，在五面体中，四边形为矩形， ．证明：平面．ABCDEF CDEF AD CD ⊥AB ⊥ADF【解析】证明：因为，，， 所以平面，因为四边形为矩形，所以．又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，平面平面，所以， 又所以又平面，所以平面18. 如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，SD =E 为棱SB 的中点．求证：SC ⊥平面ADE ．【解析】取BC 的中点F ，连结EF ，AF ．如图：因为SD ⊥底面ABCD 所以SD AD ⊥，又因为AD DC ⊥且SD DC D =，所以AD ⊥平面SDC ，得AD SC ⊥．又因为CD ⊥面ASD 且//AB CD 所以AB ⊥面ASD ，在Rt ∆SAD中1,SD AD SA ===在Rt ∆SAB 中1,2AB SB ==，F 为BC 的中点，故112AE SB ==， 在t R SCD ∆中2,SD CD SC ===12EF SC ==CD AD ⊥CD DF ⊥AD DF D ⋂=CD ⊥ADF CDFE //EF CD EF ⊄ABCD CD ⊂ABCD //EF ABCD //EF ABCD EF ⊂ABEFABEF ABCD AB =//EF AB //,EF CD //,CD AB CD ⊥ADF AB ⊥ADF在ABD ∆中，1,AB AD BD ===45ABD ∠=，在CBD ∆中，BD BC ==90DBC ∠=，在ABF ∆中，1,1352AB BF ABF ==∠= ，由余弦定理知AF在AEF ∆中，1AE =，EF =，AF =AE EF ⊥， 从而AE SC ⊥．所以SC ⊥平面ADE ．。

高考复习 立体几何大题第一问精练题型1 线线平行、垂直1.（2016新课标Ⅱ卷）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.（1）证明：AC ⊥HD ′.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ， 折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.2.（2015新课标Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由).解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：题型2 线面平行3.（2017新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=21AD ，∠BAD=∠ABC=90°.（1）证明：直线BC ∥平面PAD.4.（2016新课标Ⅲ卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB.解析 (Ⅰ)由已知得AM=32AD=2.取BP 的中点T ，连结AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN=21BC=2.(3分) 又AD ∥BC ，故TN ∥AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(6分)5.（2016四川卷）如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝21AD.（1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由.（2）证明：平面PAB ⊥平面PBD.(1)解 取棱AD 的中点M(M ∈平面PAD)，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM.所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB. 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)6.（2014新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC.(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.题型3 线面垂直7.（2017新课标Ⅲ卷）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD.[解析] (1)证明：取AC中点O，连OD，OB，∵AD＝CD，O为AC中点，∴AC⊥OD，又∵△ABC是等边三角形，∴AC⊥OB，又∵OB∩OD＝O，∴AC⊥平面OBD，BD 平面OBD，∴AC⊥BD；8.（2018新课标Ⅱ卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC.（1）证明：∵AB=BC=22，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；9.（2015广东卷）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.（1）证明：BC ∥平面PDA ；（2）证明：BC ⊥PD ．解 (1)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD.10.（2016北京卷）如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC.（1）求证：DC ⊥平面PAC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PAC.(1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥DC.又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC.(2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAC.11.（2014山东卷）如图，四棱锥PABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝21AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ；（2）求证：BE ⊥平面PAC.证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC.由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ， 所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F为PC的中点，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.12.（2016新课标Ⅰ卷）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明：G是AB的中点.解：(Ⅰ)证明：∵P−ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；题型4 面面垂直13.（2018新课标Ⅲ卷）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D 的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC.解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，∴AD⊥平面BCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．14.（2018新课标Ⅰ卷）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC.解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM=90°，∴AB ⊥AC ，又AB ⊥DA ．且AD ∩AB=A ，∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊂面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；15.（2017新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD .（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD16.（2015新课标Ⅰ卷）如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.（1）证明：平面AEC ⊥平面BED.解 (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE.所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED.17.（2015湖南卷）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1．(1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.。

3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC , PA=AC , AC丄BC, H为PC的中点•求证：AH丄平面PBC.4.如图，正方形|ABCD|所在平面与三角形|CDE所在平面相交于［CD，AE丄I平面|CDE •求证：I AB|平面|ADE|.1.垂直证明习题--- 线线垂直□线面垂直/4BC, [AB]丄UC, I AB BC 1, [PA 丄平面| ABCD| , 如图所示，在梯形ABCD中，L AD2.面点网为岡的中点.求证：匡工］平5.如图所示，已知|P ABC|为正三棱锥，设 回为国的中点，且|AD PC|.求证：［PC 平 面 PAB .平面PAB .6. 如图所示,7. 平面| ABCD|， ABC 60oE 已知四棱锥|P ABCD 中，底面| ABCD 为菱形，，PA 是匹的中点.证明:如图，四面体P ABC，AC 2 •证明：BC8. 如图，四面体ABCD中,CA CB CD BD 2 .AB AD 20、E分别是BD、BC的中点,求证: A0 平面BCD .1如图，在三棱锥|P ABC |中，G 是棱两的中点，PC AC 且| PB AB ACBC 2, I PC 1.1求证：直线 |BG |平面PAC .12.如图，在直四棱柱|ABCD 中，底面| ABCD 是矩形，屈与交于点［E •证明：［AE 工］平面HCD •13.己知三棱柱ABC AEG ，点A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点 回,| BCA 90 , AC BC 2,又知 BA AC 「求证：AC i 平面ABC9. ■hB14.如图，在四棱锥|P ABCD］中，底面［AfCD为矩形，叵口平面|ABCD|, |~E为棱的中点，|PB 21, | PD 1,BPC 45 | .证明：|PC平面FADE.15.如图，已知△ ABC|是正三角形,EA，CD都垂直于平面ABC，且EA AB 21，|DC 11，F 是BE 的中点，|AF 平面EDB .DC 2 |, SD 72，叵|为棱［SB］的中点•求证：|SC |平面［XDE18.如图, 四棱锥S ABCD中, SD 底面ABCD AB//CD , AD DC AB AD 1垂直证明习题——线线垂直匚I线面垂直（教师版）1.如图所示，在梯形| ABCD |中，而 //麼，屈丄函,| AB BC l|, ［PA丄平面| ABCD，\C D］丄［P C］.证明：［CD丄平面|PAC|.【解析】证明：••• [PA]丄平面| ABCD|, [c^n平面pABCp, •••[PA丄[CD.又[PC丄[CD, |PAI PC P, [pm平面|PAC |, I PC I平面I PAC|, •CD丄平面I PAC 2.如图，在三棱锥严［丙中，莎p平面网，口二個,点冋为脛的中点.求证：|叵口平【解析】因为巫回，点创为迺中点，所以匹歴］•因为円~T|平面晦，阿可平面网，所以田丄3.又因为p沖门沖再/，所以戸:口平面闻.（等腰三角形提供垂直）3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC , PA=AC , AC丄BC, H为PC的中点.求证：AH丄平面PBC.H【解析】等腰三角形提供垂直4.如图，正方形|ABCD|所在平面与三角形|CDE |所在平面相交于 更,[AE ^平面|CDE |•求 证：| AB |平面 |ADE .【解析】（正方形提供垂直）5.如图所示，已知|P ABC |为正三棱锥，设 回为亟的中点，且|AD PC I .求证：[PC 平 面 PAB .【解析】有一个角是600的菱形提供垂直.平面PAB .6. 平面| ABCD|， ABC 60oE 7. 如图，四面体| P ABC|中，PA |平面| ABC , | PA AB 1，BC 吴，AC 2| .证明：如图所示，已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，，pA是_BC 的中点.证明:【解析】（勾股定理）8.如图，四面体ABCD 中, 0、E分别是BD、BC的中点，AB AD 72 ,CA CB CD BD 2 .【解析】证明：连接0C,B0= DO , AB=AD ,「. AO丄BD,••• B0= DO , BC= CD,••• CO 丄BD .在厶AOC中，由题设知I AO 1 CO 431, AC= 2,••• AO2+CO2= AC2,•••/ AOC= 90° 即AO丄OC.••• AO丄BD , BD AOC = O,••• AO丄平面BCD .（勾股定理）9.如图，在三棱锥|p ABC |中，［G是棱l~PA的中点，［Pc AC|,且|PB AB AC BC 2所以|BG2 CG2 BC2|,所以I BG CG 又—G,所以BG 平面PAC.（勾股定理） 10.如图，在三棱锥|P ABCI 中，pO 面［ABC,AC AB ,PA AD 2DC 2,AE AB 73 •求 证：DE 平面PAE .由余弦定理可知 DE J A D 2 AE 2 2AD?AEcos DAE 1，AE 2 DE 2 AD 2，根据勾股定理可知AE DE .又Q PA 面ABC ，I PA DE ， DE 面PAE .（勾股定理）11.如图，在三棱锥|P ABC I 中I PA 底面FABC ，回为而上一点,BD CD V 7 .证明：I AD 平面［?ABcos ABC （2“2 .4 16 2 72 2丁7 2 7AC tan B — AB DAE DABB 60 AE AB V 3，丨VABE ］为正三角形, BAE__301 又 AD 2|, AE 品AC 2AB 4【解析】证明：在 ABC 中, AC 2AB 百，BD CD 47【解析】QAB AC ,77耳7 3，故n. 所以在丨ABD中，AD2 4 7 2 2因为AB 2 AD 2 4 3 7 BD 2，所以|AB AD|.（勾股定理） 因为［p □底面ABC,所以| PA AD|，又PAI AB A ，所以AD 平面［?AB如图，在直四棱柱|ABCD 佔诃中，底面|ABCD ］是矩形，RD ］与阿交于点匡］.证明: AE 丄平面ECD所以AA 1 平面ABCD ，贝卩AA| CD又 CD AD ， AA I AD A所以CD 平面AADQ ，所以CD AE因为 AA AD ， AA i AD所以AAD i D 是正方形，所以|AE ED 又|CDI ED D |，所以［7E 丄平面［ECU ］.（直棱柱提供垂直） 己知三棱柱ABC ABC ，点A i 在底面|ABC 上的射影恰为［AC 的中点商，BCA 90AC BC 2,又知 BA AC 1.求证:因为AQ 底|ABC ，所以AQ BC ，且AQ AC D ，所以| BC 面A/C又由AC 1 平面A 1AC ，所以BC AC 112.【解析】证明：因为四棱柱 ABCD A3CQ !是直四棱柱,13. 【解析】在三棱柱ABC ABG 中，由 BCA 90 得 BC ACAC 1 平面 A （ BC因为BA i AC i , BA i BC B由线面垂直的判定定理，可得|ACi平面|AiBC .（射影提供垂直）14.如图，在四棱锥|P ABCD|中，底面两而］为矩形, 阿平面CABCD, ［E为棱西的中点，| PB 21, PD 1，BPC 45 .证明：|PC 平面CADE.【解析】取PC的中点［F］，连接U F,亟，则|EF // AD .由题知阿H平面PABCD，匡□面PDC，所以面PD匸|平面I ABCD］，又底面|ABCD |为矩形，故|AD ］平面| PDC |，所以|AD PC |，在|Rt PCB 中，|PB 21，| BPC 4引，则|CB 42 .因为|PD 11，所以BD 灵，|CD 1，即△ CDP为等腰三角形,又F为［PC的中点，所以|DF PC .因为|DF AD 可，所以|PC |平面|ADF |，即|PC |平面| ADE .15.如图，已知△ ABC|是正三角形,EA，CD都垂直于平面ABC，且I EA AB日，I DC 1又EA垂直于平面ABC A CM丄AE,又AEMB = A,所以CM 丄面EAB,v AF?面EAB••• CM 丄 AF ,又 CM // FD ，从而 FD 丄AF ,因F 是BE 的中点，EA =AB ，所以AF 丄EB .EB , FD 是平面EDB 两条相交直线，所以 AF 丄平面EDB .16.如图，在直二棱柱 ABC AiB 1C 1 中，AC BC ， AB 2>/21， BC 2， AA 2 .证明：AQ 平面AB i C i所以BC 丄平面ACC iA又因为AC 平面ACC i A ，所以BC A i C又因为BC P BQ ，所以B i C i AC在［Rt ABC 中，AB 2J2，|BC 2，|AC BC ，所以| AC 2又因为AA i 2，所以四边形ACC i A 为正方形，所以AC AC i因为四边形ICDFE 为矩形，所以IEF//CD .又|EF 平面| ABCD|，|CD 平面| ABCD|，所以| EF//|平面| ABCD CD AD CD DF AD DF D| 所以平面鼻PF ］， 【解析】证明：因为 又因为AC BC AC I CC 1 C CC i 平面 ACC i A | ， 因为 B i C i I AC i C i B i C i 平面 AB i C i 平面AB i C i ，所以AC 平面 AB i C i AB I 平面I ADF .【解析】由题意，三棱柱AC 平面 ACC i A i ， AC i i7.如图，在五面体lABCDEF .证明:因为|EF //1平面|ABCD ］, U 口平面|ABEF|,平面|ABEF 『平面|ABCD 匚AB 又QD —平面pA5F|,所以pA 瓦平面pADF【解析】取［BC1的中点E ，连结匡刃, 两.如图： 因为| SD 底面| ABCD ］所以［SD AD I , 又因为|AD DC|且|SDI DC ©, 所以 | AD 平面 |SDC |，得［AD又因为 |CD 面 P ASD ］且 | AB//CD ］所以［A 茁面 I ASD I , 在|Rt |SAD 中|SD Q AD 1,SA 勇, 在［ROSAB 中I AB 1,SB 习，闫为［BC 的中点，故从而|AE SC I •所以|sc 平面FADE .所以EF//AB又 EF / /CD,所以 CD //AB, 18.如图，四棱锥|S ABCD |中,AB//CD , AD DC AB AD 1SD 底面ABCD |DC 2, SD 迈 SD ©CD 2,SC 46 ,所以 AB AD 1,BD 42 ,故 EF 1 SC ' 6 2 2 ABD 45° , BD BC x/2 ,故 DBC 90° , AB 1，BF 孚 ABF 135° AF ,由余弦定理知AF 10 2 乎满足勾股定理所以I AE EF I ,AE 1 SB 1 2。

高二数学：立体几何垂直的证明练习题主编：贾海琴老师1、如图,.AB O PA O C O是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC⊥平面；(II)设//.∆为的中点，为的重心，求证：平面Q PA G AOC QG PBC2、如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.证明:BD⊥面PAC ;3、如图.在直菱柱ABC-A1B1C1中,,AB=AC,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.证明:AD⊥C1E;4、如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD5、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.证明:1AB AC ⊥; C 1B 1AA 1B C6、如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点（1）求证:CE PAD ∥平面; （2）求证:EFG EMN ⊥平面平面7、如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=.已知2,PB PD PA === .证明:PC BD ⊥8、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:（1）平面//EFG 平面ABC ;（2）SA BC ⊥.9、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点。

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

高二数学垂直试题答案及解析1.在类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为__________________________．【答案】【解析】如图所示，两两垂直，则平面，所以,在直角三角形中有,平面,则,又,故平面,那么,在直角三角形中，,可得.【考点】线面垂直的判定与性质.2.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】(1)详见解析;(2）.【解析】（1）要证AM⊥平面EBC，关键是寻找线线垂直，利用四边形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，从而有BC⊥AM．故可证；（2）先求出二面角A-EB-C的平面角．再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．设EA=AC=BC=2a可得AB＝2a，EB＝2a，∴AH＝＝．从而可求二面角A-EB-C的平面角 .证明：（1）∵四边形是正方形，∵平面平面，又∵，平面．平面，．平面． 6分（2）过作于，连结．平面，．平面．是二面角的平面角．∵平面平面，平面．．在中，，有．设可得，，．．．∴二面角等于． 12分.【考点】1.用空间向量求直线与平面的夹角； 2.用空间向量求平面间的夹角.3.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析;(2) ．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）点到平面的距离是棱锥D-PCB顶点D到底面的高,求出棱锥的体积和底面三角形PCB的面积,可以求出点到平面的距离．试题解析：(1)如图,连接，由3AD=DB知，点D为AO的中点,又∵AB为圆O的直径，∴，由知，，∴为等边三角形,故．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，得平面.（2）由（1）可知，，∴，又，，，∴为等腰三角形，则，设点到平面的距离为，由得，，解得．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.点到平面距离．4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，直线B1C与平面ABC成45°角。

线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ．∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．∵PA ⊥平面ABC ，BC⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDAD B O C证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O 。

高二立体几何垂直练习题1.已知四个点A、B、C、D，它们在同一平面内，且满足AB ⊥ BC，AC ⊥ CD，BD ⊥ AD。

证明ABCD四边形是一个平行四边形。

解析：设E为BD和AC的交点。

由题意可知，AB ⊥ BC，因此∠ABC = 90°。

同理，AC ⊥ CD，∠ACD = 90°。

在平行四边形中，对角线互相垂直，因此AC ⊥ BD。

所以，∠AEC = 90°。

由此可得，∠ABC = ∠ACD = ∠AEC = 90°。

同时，∠BAE =∠BCD = 90°，∠DAE = ∠DCB = 90°。

综上所述，ABCD四边形是一个平行四边形。

2.已知正方体ABCDEFGH的棱长为a，M、N分别为AB和DE的中点。

求证：MN ⊥ AC。

解析：连接MN和AC。

首先，由对称性可知∠CMN = 90°。

又因为MN是AB和DE的中线，所以MN平分AD。

设MN与AD的交点为P，那么MP = PN。

又因为DE ⊥ AD，所以∠EDP = 90°，且∠DEN = 90°。

由此可得，在三角形EDP和MNP中，由两个角相等且边长相等，可以推出两个三角形全等。

所以，∠MNP = ∠EDP = 90°。

综上所述，MN ⊥ AC。

3.已知棱长为a的正方体ABCDEFGH，P为面ABCD的中心点，Q 为面DEFG的中心点。

求证：PQ ⊥ AG。

解析：连接PQ和AG。

首先，利用对称性可知∠QAG = 90°。

又因为P是面ABCD的中心点，所以P也是线段BC的中点。

设PQ与BC的交点为R，那么BR = RC。

又因为AG ⊥ BC，所以∠GAR = 90°，且∠CBR = 90°。

由此可得，在三角形GAR和PBR中，由两个角相等且边长相等，可以推出两个三角形全等。

所以，∠PBR = ∠GAR = 90°。

高二数学垂直试题答案及解析1.如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，，点是的中点，点在且.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求锐二面角平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直，只需要证明直线的方向向量垂直与平面的法向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．则依题意,可得以下各点的坐标分别为．∴∴∴，．又∴平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，而∴，令得．又∵是平面的法向量，∴．所以锐二面角平面角的余弦值为．【考点】利用空间向量证明线面垂直和求夹角.2.如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求BP的长；（Ⅲ）求直线AP与平面BCD所成的角．【答案】（I）见解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°【解析】（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，由沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，，因此直线AP与平面BCD所成的角为45°.试题解析：（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ 又CQ⊥BC∴CQ⊥面ABC∴CQ⊥AB；（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，设AB=1，则BD=2，设BP=x，由题意AP=DP，∴，∴x=1；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，∴∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，∴∠APO=45°，∴直线AP与平面BCD所成的角为45°．【考点】1.空间直线的位置关系的判定;2.空间两点间的距离;3.线面角的求解3.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析;(2) ．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）点到平面的距离是棱锥D-PCB顶点D到底面的高,求出棱锥的体积和底面三角形PCB的面积,可以求出点到平面的距离．试题解析：(1)如图,连接，由3AD=DB知，点D为AO的中点,又∵AB为圆O的直径，∴，由知，，∴为等边三角形,故．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，得平面.（2）由（1）可知，，∴，又，，，∴为等腰三角形，则，设点到平面的距离为，由得，，解得．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.点到平面距离．4.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）作出二面角的平面角，证明符合二面角的定义，再在三角形中求二面角的平面角,从而求出所求的二面角．试题解析：(1)如图,连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由得，平面，又平面，∴．（2）方法1:（综合法）如图,过点作，垂足为，连接,由（1）知平面，又∵平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∴为二面角的平面角．由（Ⅰ）可知，，∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．方法2:（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，设二面角的平面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.二面角的平面角及求法．5.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，直线B1C与平面ABC成45°角。