2015全国初中数学联赛第一、二试试题

2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第二试（A）
（3月22日上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
求所有的两位数 ，使得 的末两位数字构成的数恰好为 .
二、（本题满分25分）
在四边形 中， ， ， ＝ ，求 .
2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试（A）
（3月22日上午8﹕30——9﹕30）
考生注意：1.本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.
2.用圆珠笔或钢笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．若 ，则 （）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
2．设实数 满足： ， ，则
（）
A.9 B. 6 C. 3 D. 0
3．锐角△ 中， 边的中垂线和 的角平分线相交于点 ．若 ， ，则 ＝（ ）
A．24°B．28°C．30°D．36°
4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（）
A．11 B．12 C．17 D．18
三、（本题满分25分）已知 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为．
3．设 是小于100的正整数且使 是6的倍数，则符合条件的所有正整数 的和是．
4．将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为．

第3题图AB东第2题图1-2 -1M2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月13日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、(21211-+--的值为（ ）A 、2-B 、2C 、22-D 、222、如图，观察图中的数轴，用字母a ，b ，c 依次表示点A 、B 、C 对应的数，则ab 1，a b -1，c1这三个数的大小关系为（ ）A 、ab c a b 111- B 、ab a b c 111- C 、cab a b 111 -D 、c a b ab 111 - 3、如图，一艘船以h km /32速度向正东方向航行。

在A 处时看见灯塔M 在北偏东︒60方向，半小时后到达B 处，看见灯塔M 在北偏东︒15方向，此时，灯塔M 与船的距离是（ ）ECM D第4题图AB 第5题图 GECFD第8题图 ABA 、km 28B 、km 216C 、km 8D 、km 164、如图，平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB DE ⊥，M 是BC 的中点，︒=∠35DEM ，则B ∠的大小是（ ）A 、︒100B 、︒110C 、︒120D 、︒1255、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数434+-=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转︒90，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则BC A '∆的面积为（ ）A 、2524B 、2512C 、256D 、253 6、满足2=++b a ab 的有序正整数对（a ，b ）共有（ ）A 、17对B 、18对C 、34对D 、36对 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知2241622=---x x ，则_________41622=-+-x x ．8、如图所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CE ，设AF 、CE 的交于点G ，若矩形ABCD 的面积是1，则四边形AGCD 的面积是 ．9、已知0≠y ，且089222=+-y xy x ，则22223484y xy x y xy x ++--的值为 ．10、若关于x 的不等式()()n m x n m 352-- 的解集为1 x ，则关于x 的不等式()m x n m 25 -n 3-的解集是 ．三、（本大题满分20分）11、已知正数a ，b 满足b a b a +=-211，求3333b a a b +的值。

第一试（A）
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3, a2 b2 c2 4 ，则 A．0 【答】D． 【解析】 B．3 C．6
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 =（ 2c 2a 2b
D．9
）
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 9 ． 2c 2a 2b 2c 2a 2b
2． 若抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点， 且过 A(m, n) ，B(m 8, n) ， 则 n （ A．8. 【答】 C 【解析】法一（LTX） ： 依题意，设抛物线解析式为 y ( x h)2 ， 因为它过 A(m, n) ， B(m 8, n) ， 所以 h m 4 ，故 n (m h)2 (4)2 16 ，选 C . 法二： 由题意， b 8 2m ，
2 2 2
）
A．3 【答】D．
B．6.
C ．9
D．12
【解析】设 x y t ，则 x y t ， 代入题设等式得 ( y t )2 ( y t ) y y 2 3 ，整理得 3 y 2 3ty t 2 3 0 . 由判别式 (3t )2 12(t 2 3) 3 得 2 3 t 2 3 ，故 ( x y)2 t 2 12 . 5．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 6．设 n 是小于 100 的正整数且使 2n2 3n 2 是 6 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和 是（ ） B．850 C．1536 D．1634

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14．12
【详解】
设三角形的三边长为 ，则 ， ，所以 ，故 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组 可以为：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， .
共12组，所以，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12
15．4
【详解】
连接 ， ，作 于 ， 于 .
∵ 平分 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ ，∴ .
因此 ，从而可得 ，所以 .
又因为 ，所以有 ，整理即得
20．最小值为
【详解】
解因为 ，所以 ，所以
.
设 ，则 ，
当 时取得等号.
所以， ， .
因此，当 ， 时， 取得最小值 .
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
证明（1）在 上取一点 ，使得 ，则 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
16．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数 ， ， ， ， ，使得 最小，则这个最小值为___________．
三、解答题
17．关于 的方程 有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围．
18．如图，圆内接四边形 的对角线 、 交于点 ，且 ， ．过点 作 ，交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 、 于点 、 ．
3．矩形 中， ， ， 、 分别为矩形外的两点， ， ，则 （）
A． B．15C． D．
4．已知 为坐标原点，位于第一象限的点 在反比例函数 的图象上，位于第二象限的点 在反比例函数 的图象上，且 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．2
5．已知实数 ， 满足关系式 ，则 的最小值为（）
A． B． C．1D．
22．若关于 的方程 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 的值．