近世代数之我见

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一对课程的看法: 1作用与意义
近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有
着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。

其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。

本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进
一步的学习打下必要的基础。

要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。

要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。

2.本课程的主要内容
本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。

其内容包括：群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定
义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶；
环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点
重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。

难点：商群、商环。

二、对教法的看法：
“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。

为此，下面介
绍五种常用的学习方法。

一、通过例子来加深对基本理论的理解
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。

例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是
模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的
因式分解理论的推广。

当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，
并不意味着真正地理解。

要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。

通常的做法是：去掉一个前提条
件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。

例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。

那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。

例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。

二、通过变换角度来寻求问题的解法
通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问
题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已
知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。

下面举例说明这种方法：
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例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，2= -1（N2），证明G1/N1同构于G2/N2。

对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2,而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。

三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类
“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。

这样就可以将对其中一个结构进行分析得到的性质迁移到其它结构上去。

例如，在群结构理论下，一个由元a所生成的循环群G,它的构造完全可以由a的阶来决定：如果a的阶无限，那么G与整数加群同构；如果a的阶是有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。

这样研究了整数加群和以n 为模的剩余类加群，整个循环群就都在我们掌握之中了。

运用同构的观点来学习“近世代数”,有利于弄清群、环、域间的纵横关系,有利于全面、深刻、系统的理解所学的知识,也有利于培养分析、综合、抽象、概括的能力。

四、通过重复加深理解
对于“近世代数”中很抽象的内容, 需要反复阅读, 逐渐推敲, 从不同角度去理解本质所在。

经常会出现这样的情况, 读第一遍时明白了, 而读第二遍时又糊涂了, 这时要联系前后内容认真思考未明白的地方。

实际上是第一遍没有真正明白, 或者只明白了表面的东西, 尚未理解本质所在。

三、学习心得
学习近世代数一个学期了, 如果问我对于这门课程是否有深刻的了解, 是否从中真正地学到了一些数学基本知识。

说真的, 对于诸如此类的问题, 我真的无法回答, 因为这一学期下来, 我就只认真做了一些老师布置的作业, 没有深入的学习、研讨这门课程, 而且所获得的知识也有点支离破碎的感觉, 很难将它们连贯起来。

但有一点是肯定的, 我确实从这门课程中收获了一些东西, 它对我思维能力的培养确实起了很大的作用。

例如数学直觉思维、发散思维、逆向思维。

1培养数学直觉思维
直觉思维是一种敏锐快速的综合思维, 它常常是创造性思维的前奏, 它既需要知识组块和逻辑推理的支持, 也需要形象经验和似真推理的推动, 在教学过程中可以从以下几方面来培养直觉思维．首先, 解决数学问题时要教会学生从客观上进行整体分析, 抓住问题的框架结构与体系关系, 从思维策略的角度确定解题的人手方向或总体思路, 在整体分析的基础上进行大胆尝试, 当相应知识和能力达到一定的熟练程度后再培养思维跳跃与创新能力, 在练习中注意方法探索、思路寻找与类型识别,逐步培养直觉判断和洞察能力．其次,提供丰富的背景资料,恰当地设置教学环境,促使学生整体思考,引导学生寻找并发现事物的内在联系, 从而为直觉思维留下广阔的天地．第三, 鼓励学生大胆猜测, 重视直觉猜想的合理性与必要性,养成归纳、分析、推测、类比的思维习惯．
2加强发散思维训练
发散思维是创造性思维的起点, 培养发散思维有助于发展学生的创造力．其中, 一题多解是训练发散思维的有效形式, 多向求解之所以能提高学生的创造性思维, 主要是因为它要求学
生的思路不局限于单一角度,不受一种思路的束缚,为了问题的解决, 多找几个途径, 最后
达到殊途同归的目的, 这对于培养学生的创造性思维是大有好处的．比如, 对于除环这个概念的理解,可以从环的定义再附加三个条件（①至少包含一
个非零元；②有一个单位元；③每一个非零元有一个逆元）的角度理解，也可以从除环由两
个群（加群和乘群）凑合而成的角度理解．对于证明有限集合作成除环的题目来说, 利用第二种角度去证明会相对简单些，例如，课本…％习题3和气例1 •另外，一题多变是激活发散性思
维的又一形式．一题多变,可引导学生克服静止、孤立地看问题的习惯,向远处着想,
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向深处发掘，不断变换条件和结论，由浅入深，由特殊到一般，达到由此及彼、触类旁通的目的，
这对于学生的创造性思维能发挥积极的推动作用．比如，在讲群的定义时，课本中举例说明全体非零整数对于普通乘法不作成一个群，可以引导学生去思考，若把条件变为全体非零有理数（或实数或复数）则会有什么结论，从而进一步思考要作成一个群，集合要满足什么条件．通过这样的引导，使学生养成对问题深入思考的习惯，有助于学生创造性思维的培养．开放性问题的训练也有助于创造性思维能力的提高．开放性问题表现为条件不完备或答案不固定，要求学生能动态分析可
能的条件与面临问题间的复杂关系，要求学生主动参与问题的建构与引申，这就不仅需要逻辑思维，还需要形象思维和直觉思维的参与．比如，在讲一一映射这一节时，可以引导学生去思考一个集合与它的真子集之间是否存在一一映射，这个问题的条件是不完备的，当这个集合是有限集时，答案是否定的；当这个集合是无限集时答案是肯定的．
3引导学生逆向思维逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向，这种思维的运动性是创造性思维的一个重要组成部分，也是培养学生创造新思维的有效方法之一．因此，在教学中必须加强培养逆向思维，使问题得到更为简便巧妙的解决．反向逆推，探讨某些命题的逆命题的真假，是逆向思维的方法之一，也是学生理解概念、定理的一种行之有效的方法．例如，课本第二章第十节在讲到群的中心是不变子群时，可以引导学生去反向思考：不变子群是否一定是群的中心? 若不一定，则举出反例．通过这样的反问逆推，引导学生去发问，去发现，从而使学生深入理解所学知识．运用反证法，证明事实和结论的正确性，也是逆向思维的方法之一．反证法是正向逻辑思维的逆过程，是一种典型的逆向思维．反证法首先假设与已知数学事实和结论相反的结果成立，然后推导出一系列与客观数学事实、原理和规律相矛盾的结果，进而导致否定原来的假设，从而更加有力地证明已知事实和结论的正确性．反证法在近世代数中有着极其广泛的应用，对于“唯一性”、“只有”、“都一样”、“最大”之类的命题的证明都用到反证法．在解决问题时，当正向思维较困难时，运用逆向反推可起到化难为易、事半功倍之效果，进而可培养学生的逆向思维能力．。