2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合UA B 是( )A. {1,3,5,6}B. {1,3,5}C. {1,3}D. {1,5}【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求出集合UA B .【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6UB =，因此，{}1,5UA B =.故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数． 【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36． 故选：B ．【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象5.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9πC. 10πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得：BC == ∴222AC BC AB +=，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点， 设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 2AB==1，又11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 13=，所以可得AA 1＝2， 因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（12AA ）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．6.已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c ＜a ＜b B. b ＜c ＜a C. a ＜c ＜b D. b ＜a ＜c【答案】C 【解析】 【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论．【详解】由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log 12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log 12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln 1212e =，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ． 故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数．下列判断正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D. 函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增 【答案】D 【解析】试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则；,2T πω==, 又函数()12f x π+是偶函数，可知；()sin(2())sin(2),,()sin(2)12633f x x x f x x ππππϕϕϕ=++=++==+则得；A 错误，B ，图像对称点横坐标为；2,,362k x k x k Z ππππ+==-+∈错误； C ，图像的对称直线方程为；2,,32122k x k x k Z πππππ+=+=+∈，错误； D ，函数的增区间为；5222,,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈ 71,,1212k x πππ=≤≤+3[,]4ππ为它的子集．正确．考点：三角函数的性质的综合运用．8.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.+1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，将其代入双曲线方程可求得y ，当确定点P 的坐标后就能得到点M 的坐标，由于△OFM 为等腰直角三角形，可根据|MF |＝|OF |建立a 、b 、c 的关系式，再结合b 2＝c 2﹣a 2和1ce a=＞即可得解． 【详解】抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有22221c y a b -=，解得2b y a=，∴点P 的坐标为2b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点M 为线段PF 的中点，且F （﹣c ，0），∴M （﹣c ，22b a），∵△OFM 为等腰直角三角形，∴22b c a=即2ac ＝b 2＝c 2﹣a 2，∴2()210c c aa -⋅-=，解得1c a =（舍负），∴1c a=+ 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A ()1,2,04⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦B. ()12,0,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)12,0,4⎛⎤--+∞⎥⎝⎦D. [)1,20,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()()g x f x x m =-+恰有三个零点则()f x x m =-的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.【详解】根据()22,01,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图像,取绝对值可知()f x x m =-如图.当()f x x m =-的函数图像有三个交点时分两种情况①当直线y x m =-与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为y x m =-过原点时,此时0m =,以及与抛物线相切,此时2220x x x m x x m -=-⇒--=判别式11404m m ∆=+=⇒=-,故1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦②当直线y x m =-与抛物线部分相交于1个点,与1y x=-相交于两点,此时临界条件为直线y x m =-与1y x =-相切,此时2110x m x mx x-=-⇒-+=判别式2402m m ∆=-=⇒=±,由图得y x m =-中0m <,故2m =-为临界条件. 故此时(),2m ∈-∞-综上所述, ()1,2,04m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.）6的展开式中常数项是_____． 【答案】-160 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为0得常数项．【详解】展开式的通项为T r +1＝362r r rC x --（）令3﹣r ＝0得r ＝3所以展开式的常数项为3362C -（）＝﹣160 故答案为：﹣160．【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12.已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____． 【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 【解析】 【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．【详解】由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（32-，12），又12312AB k --==--+，∴AB 的垂直平分线方程为113232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即x ﹣3y +3＝0．联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____． 【答案】 (1). 950 (2). 35【解析】 【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105⨯=． 故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y yx y y y y -∴+=+=--, 令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111334551999t t t t x y t t t t ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+=（）（, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案：1(1)2(2)1 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32MN =，若()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅=______. 【答案】2- 【解析】 【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.【详解】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，可得1()2MN MO ON AB DC =+=+， 平方可得()()2222119242444MN AB DC AB DC DC AB DC =++⋅=++⋅=， 即有25122AB DC DC ⋅=-，3()2MN AD BC ⋅-=，即有1()()2AB DC AB BD BC +⋅+-()()2221113()()42222AB DC AB CD AB CD CD =+⋅+=-=-=， 解得21CD =，所以2151522222AB CD DC ⋅=-=-=-，故答案为：−2.【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为22（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a = ，42sinC =（Ⅱ4273-）【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且21221,,133b c cosA sinA cos A -==∴=-=, ABC的面积为122222,6,3,22233bc bc sinA bc bc b c ⋅=⋅==∴=∴==, 22129423233a b c bc cosA ∴=+-⋅=+-⋅⋅⋅=． 再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,922sinC sinC =∴=． （Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA ∴==⨯⨯=） 272219cos A cos A =-=-,故734214273222666929218cos A cos Acossin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【解析】 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=，由AE 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，(1,1,3)PC =-，11(,,0)22BC =，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =-，则1y =，z =(n =-，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，cos ,1mn m n m n⋅<>===⨯，∴平面P AD 与平面PBC ；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD =，AP =，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+(，又平面PBC的一个法向量是(n =-， ∴1)0AE n λ⋅=--+=，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）()211543()2n n b n -=-+⋅．【解析】 【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．【详解】（1）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20， 即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20， 解得a 1＝1，q ＝2， 所以12n na ；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1． 由（1）可知12n na ，所以()11141()2b b n -+-=-⋅n n n ，故()21145()22n n b b ---=-⋅≥，n n n ，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）()()2310111145()49()7()3()2222n n --=-⋅+-⋅++⋅+⋅n n ，设()()013211113()7()49()45()22222T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅≥，n n n ， 所以()()2211111137()49()45()22222n T n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅n n n ， 相减可得()22111111344()4()45()22222T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅n n n =3+4•211122112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（4n ﹣5）•（12）n ﹣1， 化简可得()211443()22T n n -=-+⋅≥，n n ，又b 1＝1，所以()211543()2n n b n -=-+⋅．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.已知点A ，B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=，且该椭圆的离心率为12； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为OP k ，直线MN 的斜率为MN k ，且28OP MNb k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程. 【答案】（1）22:143x y C +=（2）3260x y ±+=【解析】 【分析】（1）依题意表示出BA ，BF ，根据1BA BF ⋅=，和离心率为12，求出,a b 的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 联立直线方程与椭圆方程，消去y 即可用含k 的式子表示P 、H 的坐标，即可表示出AP 中垂线方程，求出N 的坐标，最后根据28OP MN b k k a⋅=-求出参数k 即可得解.【详解】解：（1）依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--，(,)BF c b =-，则21BA BF ac b ⋅=-+=，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=.（2）由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+ 所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=221612(2)34P k x k-∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭2634P OP P y k k x k∴==-，222234234MNk k k k kk +==+ 22263481234OP MNk k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+，即3260x y ±+=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 20.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解； （3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明； 【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =--所以定义域为0,6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x > 令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数， 且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-==得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>； 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即2ln 02g a a e =-<⇒>；因为10x <<2x >21x t x =(1)t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-， 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a tx t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>， 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=； 故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
