《双曲线》练习测试题经典(含参考答案)
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n d
A
e
i n g
《双曲线》练习题一、选择题：
1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是(
A )
A. B. C. D.r(17)r(15)f(\r(17))f(\r(15))
2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方
程为（ B ）
A ．3C A ．
．
或
D ．
4.A ）
5﹣=1A ）
A ．，
6．设双曲线
=1的距离
为，则双曲线的离心率为（ A ．．
7．已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线22219y x a
-=22
1259y x +
=165的离心率为（A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5
4
53
43
65
8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的
离心率为( B )
A. B. C. D.r(3)f(\r(6))f(\r(6))
f(\r(3))
n d
A
l g s
i n
9．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点
22
1(0,0)x y m n m n
-=>>，则m 等于(D)A ．9B ．4C ．2D ．,3
10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－，0)、F 2(，0)，M 是此双曲线上的一
r(10)r(10)点，且满足则该双曲线的方程是( A )
12120,||||2,MF MF MF MF ==
A A ＝1
11．设F 2的面积
1213．已知双曲线﹣交于A ．．﹣=1．
﹣
﹣
14．设双曲线﹣
=1A ．．15．过双曲线的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（C ）条。
12
2
2
=-y x A ．1B ．2C ．3D ．4
16．已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰
好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为
，则双曲线方程是（ C ）
A ．﹣=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1
D ．﹣=1
17．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别
交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
18．如图，已知双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一
点，F 2B ）
A 1920.21.22.AB
为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为(A)
A ．（2，+∞）
B ．（1，2）
C ．（
，+∞）D ．（1，
）3
2
32
23.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于
A ，
B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（D ）
A.（∞+，3）
B.（1，3）
C.（∞+，
2） D.（1，2）
A
l l 24．我们把离心率为e ＝的双曲线－＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲
f(\r(5)＋1)f(x 2)f(y 2)线．给出以下几个说法：①双曲线x 2－
＝1是
f(2y 2)黄金双曲线；
②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双
曲线．
其中正确的是( D)
252627．F 1、2829.﹣
=1Q
的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF 1|的最小值为 ．7
三、解答题：
30．已知曲线C ：＋x 2＝1.
f(y 2)(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足，求点P 的
3FP EP
轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
(2)如果直线l 的斜率为，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又
r(2)
g s
i ，求曲线C 的方程．
9
2
MA MB =- A 31．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>
OA OB （其中
O 为原点）
，求k 的取值范围32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
r(3)(3)33.）的离心率为，椭圆（Ⅰ（ⅡMN 已知曲线(1)上任一点轴作垂线，垂足为P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；M (0，直线解：(1)设E(x 00)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵，
3,FP EP =∴(x －x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,
2.3x x y y =⎧⎪⎨
=⎪⎩
代入＋x Error!＝1中，得＋x 2＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝
f(y\o\al(2,0))f(4y2)时，轨迹是圆．
f(4)
(2)由题设知直线l 的方程为y ＝x
－2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
r(2)联立方程组消去y 得：(λ＋2)x 2－4x ＋4－λ＝0.2
2,
2 1.y y x λ
⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩r(2)
∵方程组有两解，∴λ＋
2≠0且Δ>0，∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝，
f(4－λ)，
))31．().
解（21
=即213
≠k 且21<k .①设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则
2
9
13-+==-A B A B x y x y k
，由2∙> OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2
+=+++=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x
2
2
22
937
(1)2
1331
-+
=+++=
-
-
k
k k
k
k
.
于是
2
2
37
2
31
+
>
-
k
k
，即
2
2
39
31
-+
>
-
k
k
解此不等式得2
1
3.
3
<<
k②
由①+②得2
1
1
3
<<
k
故的取值范围为(1,
⎫
-⎪⎪
⎭
(3)
(3)由(2)得：x A＋x B＝，
f(6\r(2)k)
∴y A＋y B＝(kx A＋)＋(kx B＋)＝k(x A＋x B)＋2＝.
r(2)r(2)r(2)f(2\r(2))
∴AB的中点P的坐标为Error!.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
f(1)
t h
e 将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝.
f(4\r(2))∵<k <1，∴－2<1－3k 2<0.∴m <－2.∴m 的取值范围为(－∞，－2)．
f(\r(3))r(2)r(2)33.已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB |=2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．
【解答】又a 2﹣c 2=1+（Ⅱ）设+﹣
由P ，A ，即为=
可得s=1+
由P ，B ，即为
=，可得s=
﹣1可得QM ，即有•即有[1+
][
﹣1化为﹣4m 2解得m=0由P ，A 。
