[K12学习]2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示学案 文

2．1 函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有n m个．(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )(4)f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P23T2)下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )答案 C解析由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A，B，D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应．选项C 不符合，因为当x ＝4时，y ＝83∉B .故选C.典例2 (2018·秦都区校级月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数．对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数．对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52，与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________． ①y ＝x 与y ＝a log ax；②y ＝2x ＋1－2x与y ＝2x；③f (u )＝1＋u1－u，f (v )＝ 1＋v1－v； ④y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)． 答案 ②③ 解析 ①y ＝x 与y ＝a log ax定义域不同．②y ＝2x ＋1－2x＝2x(2－1)＝2x相同．③f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同． ④对应法则不相同．题型2 函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C解析 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B. [结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域． 解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1. (2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，2)答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，∴y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A. 题型3 求函数的解析式典例1已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．配凑法．解 f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，对f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )． 典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，可得f (x )＝23x ＋13.方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．见典例3. 3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值，设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1， 即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1， 则f (x )＝ln x ＋1，则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )． 解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，求f (x )．解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，①以1x代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x－1，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域．分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1， ∴720≤－74(2x ＋1)≤74， ∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. 角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1.∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调性原则求解．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x＋1>0恒成立，解得x ∈R . 因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x＋1复合的复合函数， 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x>0，所以，3x＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x＋1)>log 21＝0.故选A. 角度5 有界性型典例求函数y ＝1－2x1＋2x 的值域．本题用转化法．解 由y ＝1－2x1＋2x 可得2x＝1－y 1＋y . 由指数函数y ＝2x的有界性可知2x>0， ∴1－y1＋y>0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域．本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图． ∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法(见角度2典例(1)) 3．换元法(见角度2典例(2)) (1)代数换元；(2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例) 7．利用函数的单调性(见角度4典例) 冲关针对训练 求下列函数的值域： (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2； (2)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解 (1)∵x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2≤12，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外，逐层求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析 由题意作出y ＝|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y ＝ax 与y ＝ln (x ＋1)的图象在x >0时必有交点，所以当a ≤0，x ≥0时，|f (x )|≥ax 显然成立；当x <0时，要使|f (x )|＝x 2－2x ≥ax 恒成立， 则a ≥x －2恒成立，又x －2<－2，∴a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0.故选D. 方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例． 3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．见角度3典例．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]答案 D解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]．故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C. 2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞，2] B ．[0，2] C ．[－2，2] D ．[－2，0]答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x 增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516B ．89C ．－2716D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132D.15lg 2 答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15 (t >0)，∴f (t )＝lg t 15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a 2≤x ≤1－a2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C.7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1 C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23.故选C.二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9， 若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值； (2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值． 解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，K12学习教育资源K12学习教育资源 f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2， 故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。