福州市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷解析

2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。

2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号涂在相应的答题卡上．1．﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣2．下列方程中，是一元二次方程的为（）A．3x2﹣6xy+2=0B．x2﹣5=﹣2xC．x2+3x﹣1=x2D．x2+=03．近似数3.0×102精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°5．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定7．小张的爷爷每天坚持锻炼身体，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象的是（）A．B．C．D．8．如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y=的图象上，若菱形边长为4，则反比例函数解析式为（）A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=9．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC 于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE 10．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．9的算术平方根是．12．若方程x2﹣5x+3=0两根为x1，x2，则x1x2=．13．设点P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=1，则点P的坐标为．14．函数的自变量x的取值范围是．15．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=．16．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．17．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则BC=．18．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为．三、解答题：（本题共4个小题，第19，20，21、22题每题10分，共40分）19．（1）计算：（）﹣1+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|﹣2cos30°．（2）用公式法解方程：3x2+2x﹣1=0．20．先化简，（﹣）×，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．22．某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件．若该商店计划该商品每天获利1125元，求该商品的售价？四、（本题满分12分）23．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C 在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．五、（本题满分12分）24．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588 cos15°≈0.9659 tan≈.0.2677 ）六.（本题满分14分）25．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A 、B 、C 、D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号涂在相应的答题卡上．1．﹣的倒数是（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数，结合选项进行判断即可．【解答】解：﹣的倒数为﹣．故选：D ．【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数． 2．下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A ．3x 2﹣6xy +2=0B ．x 2﹣5=﹣2xC ．x 2+3x ﹣1=x 2D ．x 2+=0 【分析】根据判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”进行分析即可．【解答】解：A 、不是一元二次方程，故此选项错误；B 、是一元二次方程，故此选项正确；C 、不是一元二次方程，故此选项错误；D 、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．近似数3.0×102精确到（ ）A ．十分位B ．个位C ．十位D ．百位【分析】要判断科学记数法表示的数精确到哪一位，应当看最后一个数字在什么位，即精确到了什么位．【解答】解：近似数3.0×102精确到十位，故选：C．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可．【解答】解：如图，∵∠2=50°，并且是直尺，∴∠4=∠2=50°（两直线平行，同位角相等），∵∠1=30°，∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选：D．【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】先计算出判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣3）2﹣4×（﹣2）=17＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．7．小张的爷爷每天坚持锻炼身体，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象的是（）A．B．C．D．【分析】由爷爷锻炼身体的行程，可得出距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，再根据跑步的速度快于漫步的速度，对照选项即可得出结论．【解答】解：∵爷爷跑步去公园，漫步回家，且在公园停留打了一会儿太极拳，∴距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，且增加的快，减少的慢．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，根据爷爷锻炼身体的行程找出爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象是解题的关键．8．如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y=的图象上，若菱形边长为4，则反比例函数解析式为（）A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A=60°，菱形边长为4，∴OC=4，∠COB=60°，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵顶点C在反比例函数y=的图象上，∴2=，得k=﹣4，即y=﹣，故选：C．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标，利用反比例函数的性质解答．9．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC 于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．10．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）【分析】作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，根据A的坐标为（﹣4，5），得到A′（4，5），B（﹣4，0），D（﹣2，0），求出直线DA′的解析式为y=x+，即可得到结论．【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∵A的坐标为（﹣4，5），∴A′（4，5），B（﹣4，0），∵D是OB的中点，∴D（﹣2，0），设直线DA′的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线DA′的解析式为y=x+，当x=0时，y=，∴E（0，），故选：B．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的算术平方根是|±3|=3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．12．若方程x2﹣5x+3=0两根为x1，x2，则x1x2=3．【分析】直接由方程根与系数的关系可求得答案．【解答】解：∵方程x2﹣5x+3=0两根为x1，x2，∴x1x2=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．13．设点P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=1，则点P的坐标为（﹣2，1）．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数结合绝对值的性质求出x、y 的值，然后写出即可．【解答】解：∵点P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=1，∴x=﹣2，y=1，∴点P的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．14．函数的自变量x的取值范围是x≥2．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．15．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=15°．【分析】由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等比三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB=AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AEB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，又∵AB=AE，∴∠AEB==15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．16．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯2+2米．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．17．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则BC=1．【分析】作CD⊥AB，由AC=、∠A=30°知CD=，由∠B=45°知CD=BD=，最后由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=，∠A=30°，∴CD=AC=，∵在Rt△BCD中，∠B=45°，∴CD=BD=，则BC==1，故答案为1；【点评】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．18．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为199．【分析】根据条件第二个比第一个大2，第三个比第二个大3，第四个比第三个大4，依此类推，可以得到：第n个比第n﹣1个大n．则第100个三角形数与第99个三角形数的差100，第99个三角形数与第98个三角形数的差99，∴第100个三角形数与第98个三角形数的差为100+99=199．【解答】解：第100个三角形数与第98个三角形数的差为199．【点评】这是一个探索性问题，是一个经常出现的问题．三、解答题：（本题共4个小题，第19，20，21、22题每题10分，共40分）19．（1）计算：（）﹣1+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|﹣2cos30°． （2）用公式法解方程：3x 2+2x ﹣1=0．【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先求出b 24ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）（）﹣1+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|﹣2cos30°=2+1﹣（2﹣）﹣2× =1；（2）3x 2+2x ﹣1=0，a=3，b=2，c=﹣1，∵b 2﹣4ac=22﹣4×3×（﹣1）=16＞0，∴x=，∴x 1=，x 2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）的关键．20．先化简，（﹣）×，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，在从1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（﹣）×===，当x=1时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【分析】证出∠ADE=∠CBF，AD=CB，由AAS证△ADE≌△CBF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．22．某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件．若该商店计划该商品每天获利1125元，求该商品的售价？【分析】设商品售价为每件（30+x）元，则每天销售（100﹣5x）件，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入30+x中即可求出该商品的售价．【解答】解：设商品售价为每件（30+x）元，则每天销售（100﹣5x）件，根据题意得：（30+x﹣20）×（100﹣5x）=1125，整理得：x2﹣10x+25=0，解得：x1=x2=5，∴x+30=35．答：该商品的售价为35元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．四、（本题满分12分）23．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C 在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，=S△ACD=6，∴S△ADO∴k=﹣12；（2）联立得：，解得：或，即A（﹣2，6），B（2，﹣6），根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．五、（本题满分12分）24．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588 cos15°≈0.9659 tan≈.0.2677 ）【分析】（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD•sin15°求得答案即可；（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得AF即可．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵∠CBD=15°，BD=20，∴CD=BD•sin15°，∴CD≈5.2m；答：小明与地面的垂直距离CD的值是5.2m；（2）在Rt△AFE中，∵∠AEF=45°，∴AF=EF=BC，由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m），∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．答：楼房AB的高度是26.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角和坡角的问题，解题的关键是构造直角三角形．六.（本题满分14分）25．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF ∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（3）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．【解答】解：（1）∵正方形EGHF∴EF∥BC∴△AEF∽△ABC（2）设EG=EF=x∵△AEF∽△ABC∴∴∴x=48∴正方形零件的边长为48mm，（3）设EG=a∵矩形EGHF∴EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴∴EF=120﹣a∴矩形面积S=a（120﹣a）=﹣a2+120a=﹣（a﹣40）2+2400当a=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，即：当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AEF∽△ABC．。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度九年级数学上学期第二次质检试题（含解析）新人教版______年______月______日____________________部门一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案.1．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣22．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列事件中：①在足球赛中，中国队战胜日本队；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形；③任意两个正数的乘积为正；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上．其中属于不确定事件的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，则m的值为( )A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．无法确定5．抛物线y=x2+mx+n可以由抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn值为( )A．6 B．12 C．54 D．666．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是( )A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜7．上数学课时，老师给出了一个一元二次方程x2+ax+b=0，并告诉学生，从数字1、3、5、中随机抽取一个作为a，从数字2、6中随机抽取一个作为b，组成不同的方程共m个，其中有实数解的方程共n 个，则=( )A．B．C．D．8．若实数a，b满足a+b2=2，则a2+6b2的最小值为( )A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．49．已知二次函数y=x2+bx﹣4图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线( )A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣210．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A．B．C．D．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在第一象限内y随x 的增大而增大的概率是__________．12．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是__________．13．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式__________；自变量的取值范围__________．14．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为__________．15．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为__________．16．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且其过点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有__________：①abc＞0②方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根③a﹣b+c=0④当x＞0时，y随x的增大而增大⑤不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3⑥3a+2c＜0．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．（1）y=﹣6x（2）y=2x2﹣12x+18．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．19．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（）且经过点A（1，0），直线y2=x+m恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x取何值时，函数值y2＞y1；（3）当0≤x≤2时，直接写出y2和y1的最小值分别为多少？20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求此二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，并根据这些点画出函数大致图象；（3）若0＜y＜3，求x的取值范围．21．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若降价的最小单位为1元，则当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？22．已知A=a+2，B=2a2﹣3a+10，C=a2+5a﹣3，（1）求证：无论a为何值，A﹣B＜0成立，并指出A，B的大小关系；（2）请分析A与C的大小关系．23．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y 轴的交点且S△ABC=6（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值；②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点，则三角形ACM的最大面积是多少？20xx-20xx学年浙江省××市××区高桥中学九年级（上）第二次质检数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案.1．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由于原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，∴m+1＜0，即m＜﹣1．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质．2．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点是（﹣3，﹣21），∴顶点（﹣3，﹣21）在第三象限，故选C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y=a （x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．下列事件中：①在足球赛中，中国队战胜日本队；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形；③任意两个正数的乘积为正；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上．其中属于不确定事件的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：①在足球赛中，中国队战胜日本队是随机事件，故①正确；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形，是不可能事件，故②错误；③任意两个正数的乘积为正，是必然事件，故③错误；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上，是随机事件，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．已知二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，则m的值为( )A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由题意二次函数的解析式为：y=（m﹣2）x2+m2﹣m﹣2知m﹣2≠0，∴m≠2，再根据二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，把（0，0）代入二次函数，解出m的值．【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m ﹣8，∴（m﹣2）≠0，∴m≠2，∵二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，∴m2+2m﹣8=0，∴m=﹣4或2，∵m≠2，∴m=﹣4．故选B．【点评】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．5．抛物线y=x2+mx+n可以由抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn值为( )A．6 B．12 C．54 D．66【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】首先在抛物线y=x2确定顶点，进而就可确定顶点平移以后点的坐标，根据待定系数法求函数解析式．【解答】解：抛物线y=x2顶点坐标（0，0）向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到（﹣3，2）代入y=（x﹣h）2+k得：y=（x+3）2+2=x2+6x+11，所以m=6，n=11．故mn=66；故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是得到所求抛物线上的顶点，利用平移的规律即可解答．6．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是( )A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由题意二次函数y=x2+x+m知，函数图象开口向上，当x 取任意实数时，都有y＞0，可以推出△＜0，从而解出m的范围．【解答】解：已知二次函数的解析式为：y=x2+x+m，∴函数的图象开口向上，又∵当x取任意实数时，都有y＞0，∴有△＜0，∴△=1﹣4m＜0，∴m＞，故选B．【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当函数图象与x轴无交点时，说明方程无根则△＜0，若有交点，说明有根则△≥0，这一类题目比较常见且难度适中．7．上数学课时，老师给出了一个一元二次方程x2+ax+b=0，并告诉学生，从数字1、3、5、中随机抽取一个作为a，从数字2、6中随机抽取一个作为b，组成不同的方程共m个，其中有实数解的方程共n 个，则=( )A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，则m=12，根据判别式的意义可判断a=3，b=2；a=5，b=2；a=5，b=6时，方程有实数解，则n=3，然后计算的值．【解答】解：画树状图：共有12种等可能的结果数，则m=12，其中a=3，b=2；a=5，b=2；a=5，b=6时，方程有实数解，则n=3，所以==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了根的判别式．8．若实数a，b满足a+b2=2，则a2+6b2的最小值为( )A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4【考点】二次函数的最值．【分析】由a+b2=2得出b2=2﹣a，代入a2+6b2得出a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12，再利用配方法化成a2+6b2=（a﹣3）2+3，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2=2，∴b2=2﹣a，∴a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12=（a﹣3）2+3，当a=3时，a2+6b2可取得最小值为3．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+6b2=（a ﹣3）2+3是关键．9．已知二次函数y=x2+bx﹣4图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线( )A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设A点坐标为（a，），则可求得B点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于a和b的方程组，可求得b的值，则可求得二次函数的对称轴．【解答】解：∵A在反比例函数图象上，∴可设A点坐标为（a，），∵A、B两点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣a，﹣），又∵A、B两点在二次函数图象上，∴代入二次函数解析式可得．故选C．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得b的值是解题的关键，注意关于原点对称的两点的坐标的关系的广泛应用．10．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm，∴y=PC2=（）2+（1.5﹣x）2=x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在第一象限内y随x 的增大而增大的概率是．【考点】概率公式；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】先求出函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1中，在第一象限内y随x的增大而增大的只有y=x2+1一个函数，∴所得函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质是本题的关键，用到的知识点是概率=所求情况数与总情况数之比．12．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．【解答】解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．【点评】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．13．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式s=﹣3x2+24x；自变量的取值范围≤x＜8．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．【解答】解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米．这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，故答案为：S=﹣3x2+24x，≤x＜8．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．14．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．【解答】解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．15．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为（﹣1，2）．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．【分析】首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P．【解答】解：连接AC．在y=﹣x2﹣2x+3中，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或1．则A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（1，0），则对称轴是x=﹣1．令x=0，解得y=3，则C的坐标是（0，3）．设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．根据题意得：，解得：，则AC的解析式是y=x+3，令x=﹣1，则y=2．则P的坐标是（﹣1，2 ）．故答案是（﹣1，2）．【点评】本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定P的位置是本题的关键．16．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且其过点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有①②③⑥：①abc＞0②方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根③a﹣b+c=0④当x＞0时，y随x的增大而增大⑤不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3⑥3a+2c＜0．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴有两个交点，∴﹣=1，b=﹣2a，另一个交点为（﹣1，0）；∵抛物线开口向上，∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，∴abc＞0，故①正确；由图象知抛物线与x轴有两个交点，故②正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c=a﹣b+c=0，故③正确；由抛物线的对称性及单调性知：x＞1时，y随x的增大而增大故④错误；不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3或x＜﹣1，故⑤错误；⑥∵a＞0，c＜0，∴3a+2c＜0，故⑥正确．故答案为：①②③⑥．【点评】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析、解答是关键．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．（1）y=﹣6x（2）y=2x2﹣12x+18．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可；（2）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可．【解答】解：（1）∵a=，b=﹣6，c=0，∴b2﹣4ac=36＞0，∴二次函数的图象与x轴有两个交点．令y=0，则x2﹣6x=0，解得：x=0或9．则与x轴的交点是（0，0）和（9，0）；（2）∵a=2，b=﹣12，c=18，∴b2﹣4ac=（﹣12）2﹣4×2×18=0，∴二次函数与x轴只有一个交点．令y=0，则2x2﹣12x+18=0，解得：x=3，则与x轴的交点是（3，0）．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图求得点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的有（1，4），（4，1），∴P（点（x，y）落在反比例函数y=的图象上）=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（）且经过点A（1，0），直线y2=x+m恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x取何值时，函数值y2＞y1；（3）当0≤x≤2时，直接写出y2和y1的最小值分别为多少？【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可设出其顶点式，再由抛物线过A（1，0），可得出抛物线的解析式，再把A点坐标代入直线y2=x+m求出m的值即可；（2）在同一坐标系内画出一次函数与二次函数的图象，利用函数图象即可得出结论；（3）根据（2）中函数图象可直接得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（），∴y1=a（x﹣）2﹣，∵抛物线经过点A（1，0），∴a（1﹣）2﹣=1，解得a=1，∴y1=（x﹣）2﹣．∵直线y2=x+m恰好也经过点A，∴1+m=0，解得m=﹣1，∴y2=x﹣1；（2）如图所示，当1＜x＜3时，y2＞y1；（3）由图可知，当0≤x≤2时y1的最小值为﹣，y2的最小值为﹣1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求此二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，并根据这些点画出函数大致图象；（3）若0＜y＜3，求x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）三点，把三点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式；（2）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；分别令x=0，y=0，得到方程，解方程从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）把y=3代入解析式求得横坐标，从而求出x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）三点，则，解得∴y=x2﹣x﹣2；（2）∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣∴对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）；∵x=0，y=﹣2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）∵y=0，∴x2﹣x﹣2=0，∴x1=2，x2=﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）、（﹣1，0）．画出函数图象如图：（3）把y=3代入得，x2﹣x﹣2=3，解得x=∴＜x＜﹣1 或 2＜x＜．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用，（2）整理成顶点式形式求解更简便．21．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若降价的最小单位为1元，则当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意，卖出了（60﹣x）（300+20x）元，原进价共40（300+20x）元，则y=（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）．（2）根据x=﹣时，y有最大值即可求得最大利润．【解答】解：（1）y=（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），即y=﹣20x2+100x+6000．因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当x=﹣=2.5时，y有最大值=6125，即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．当x=2或3时，y的最大值为6120元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意正确列出代数式和函数表达式是解决问题的关键．22．已知A=a+2，B=2a2﹣3a+10，C=a2+5a﹣3，（1）求证：无论a为何值，A﹣B＜0成立，并指出A，B的大小关系；（2）请分析A与C的大小关系．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】（1）计算A﹣B后结论，从而判断A与B的大小；（2）同理计算C﹣A，根据结果来比较A与C的大小．【解答】解：（1）A﹣B=﹣2a2+4a﹣8=﹣2（a﹣1）2﹣6＜0，∴A＜B；（2）C﹣A=a2+4a﹣5，当a＜﹣5或a＞1时，C＞A，当a=﹣5或a=1时，C=A，当﹣5＜a＜1时，C＜A．【点评】本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．23．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y 轴的交点且S△ABC=6（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值；②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点，则三角形ACM的最大面积是多少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据根据三角形的面积公式，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；（3）①根据垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标，可得函数解析式，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案，②根据面积的和差，可得三角形的面积，根据QM最大时，三角形的面积最大，可得答案．【解答】解：（1）由A、B关于x=﹣1对称，得B（1，0），将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）S△BOC=•OB•OC=S△poc=•OC•|Px|=4S△BOC=6，|px|=4，解得x=4或x=﹣4，当x=4时，y=42+2×4﹣3=21，即P1（4，21）当x=﹣4时，y=（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3=5，即P2（﹣4，5）综上所述：P1（4，21）P2（﹣4，5）．（3）①yAC=﹣x﹣3，设点Q（a，﹣a﹣3），则点D（a，a2+2a﹣3），∴QD=﹣a2﹣3a且﹣3≤a≤0，当a=时，QD的最大值为；②如图，S△ACM的最大值=S△AQM+SCQM=QM•AF+QM•OF=QM•OA=××3=．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，函数值相等的两点关于对称轴对称；（2）利用三角形的面积得出P点的横坐标是解题关键；（3）利用垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标得出函数解析式是解题关键，②利用面积的和差是解题关键．。

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）A．B．C．D．1．（4分）观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）A．B．C．D．2．（4分）下列选项中，y不是x函数的是（ ）A．2：3B．4：9C．8：18D．16：813．（4分）已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的对应角平分线比为（ ）A．x（x+1）=28B．x（x-1）=28C．x（x+1）=28D．x（x-1）=284．（4分）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）1212A．4B．2C．2D．45．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=60°，AC=4，则AD的长为（ ）M3M3 A．2022B．2023C．2024D．20256．（4分）若m,n是方程x2+2x-2026=0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（ ）7．（4分）学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）A．中位数为67分钟B．众数为88分钟C．平均数为73分钟D．方差为0A．B．C．D．8．（4分）函数y=ax2-1与y=ax（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）B．在对称轴左侧，y随x增大而增大C．抛物线的对称轴是直线x=D．函数y=ax2+bx+c的最大值为69．（4分）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：x…-2-1012…y…04664…从上表可知，下列说法中错误的是（ ）12A．2.5B．3C．D．10．（4分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）M5M6 11．（4分）如果点A（-2，a）在函数y=-x+3的图象上，那么a的值等于．12三．解答题（共9小题，共86分）12．（4分）把抛物线y =2x 2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为 ．13．（4分）如图，AD ∥BE ∥CF ，若AB =2，AC =5，DE =4，则EF 的长是 ．14．（4分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接OE ，若AB =10，OE =6，则对角线AC 的长为 ．15．（4分）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：=[2+3+]，根据算式信息，这组数据的平均数是 ．S 216（7-x ）2（8-x ）2（9-x ）216．（4分）已知抛物线y =x 2-2x +c 经过A （n +3，y 1），B （2n -1，y 2）两点，若A 、B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且y 1<y 2，则n 的取值范围是 ．17．解方程：（1）（x +1）2=16；（2）x 2-6x +1=0．18．如图，已知点D 是△ABC 的边上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA =MC ．求证：四边形ADCN 是平行四边形．19．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求w 与x 之间的函数关系式．20．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 在AC 上，且∠EAD =∠ADE ．（1）求证：△DCE ∽△BCA ；（2）若AB =6，DE =4，求的值．BD CD21．已知：二次函数y =x 2-（m +2）x +m -1．（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A 、B （A 在原点左边，B 在原点右边），且AB =3，求此时抛物线的解析式．22．某学校开展劳动教育，并在活动前、后实施两次调查．活动前随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），并分组整理，绘制成如下的条形统计图（其中A 组0≤t <2，B 组2≤t <4，C 组4≤t <6，D 组6≤t <8，E 组t ≥8）．活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数据C 组人数与活动前B 组人数相同．请根据图中信息解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）活动后调查数据的中位数落在 组；（3）若该校共有2400名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数．23．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，AC =BC ，AE 是△ABC 的中线．（1）按要求作图：①在AD 取一点F 使得EF ∥CD ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．②画出△ABC 的高CH ．（要求：仅使用无刻度的直尺画图）．（2）在（1）的条件下，若AB =2，∠B =60°，求CH 的长．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx 经过A （4，0），B （1，3）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．（1）求抛物线的表达式；（2）若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；（3）如图，OP 交AB 于点C ，PD 交AB 于点D ，PD ∥OB ．记△CPB ，△BCO 的面积分别为S 1，S 2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．S 1S 225．在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点B 重合，展开铺平，折痕为EF ；第2步：再将BC 边沿CE 翻折得到GC ；第3步：延长EG 交AD 于点H ，则点H 为AD 边的三等分点．证明如下：连接CH ，∵正方形ABCD 沿CE 折叠，∴∠D =∠B =∠CGH =90°，CG =CB =CD ，又∵CH =CH ，∴△CGH ≌△CDH （①_____）∴GH =DH ．设DH =x ,∵E 是AB 的中点，则AE =BE =EG =AB =3，在Rt △AEH 中，可列方程：②_____，解得：DH =2，即H 是AD 边的三等分点．“破浪”小组进行如下操作：第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A 与点B 重合，展开铺平，折痕为EF ；第2步：再将正方形纸片对折，使点B 与点D 重合，展开铺平，折痕AC 与折痕DE 交于点G ；第3步：过点G 折叠正方形纸片ABCD ，使折痕MN ∥AD ．【过程思考】（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是；②处所列方程是；（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M 是否为AB 边的三等分点，并证明你的结论；【拓展提升】（3）①如图3，将矩形纸片ABCD 对折，使点A 和点D 重合，展开铺平，折痕为EF ，将△EDC 沿CE 翻折得到△EGC ，过点G 折叠矩形纸片，使折痕MN ∥AB ，若点M 为边AD 的三等分点，请求出的值；②在边长为6的正方形ABCD 中，点E 是射线BA 上一动点，连接CE ，将△EBC 沿CE 翻折得到△EGC ，直线EG 与直线AD 交于点H ．若DH =AD ，请直接写出BE 的长．12AD DC13。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区三牧中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题。

（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（4分）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个多边形是（ ）A．正九边形B．正八边形C．正七边形D．正六边形3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（ ）A．（3，0）B．（0，3）C．（1，0）D．（0，1）4．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．20°B．40°C．60°D．80°5．（4分）若1是关于x的一元二次方程ax2﹣a2x＝0的一个根，则a的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．0或16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6．将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转至△A′B′C的位置，此时，点A′恰好在AB上，则点B与点B′的距离是（ ）A ．6B ．C ．D ．7．（4分）将二次函数y ＝（x +3）2﹣10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝（x +5）2﹣2B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x +1）2﹣2D ．y ＝（x ﹣5）2+28．（4分）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°9．（4分）如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．C ．D ．10．（4分）如图，在△ABO 中，∠AOB ＝90°，∠BAO ＝30°，BO ＝6，⊙O 的面积为12π，点M ，N 分别在⊙O 、线段AB 上运动，则MN 长度的最小值等于（ ）A．B．C．D．二.填空题。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区五年级（上）期末数学试卷一、认真审题，灵活计算。

1．直接写出得数。

3.4×0.6＝0.1÷0.01＝0.72×50＝ 3.5+0.65＝9.9÷33＝40÷0.8＝10﹣0.01＝0.32＝2．解方程。

12÷x＝155（x﹣1.3）＝9.5x﹣0.72x＝12.63．计算下面各题，怎样算简便就怎样算。

6.7×999.4÷1.25÷818.36÷（6﹣0.5×8.4）1.25×3.2×0.5 3.6÷2.5×40.47×32+47×0.68二、反复比较，谨慎选择。

（选择正确答案序号填在括号里）4．如果4x﹣3的值是15，那么5x+6的值是（）A．21B．22.5C．28.5D．无法确定5．把28m长的彩带平均分给16名同学，除法算式中框起来的数表示（）A．120m B．120dm C．120cm D．120mm6．计算1.25×（8×0.8），下面做法正确的是（）A．1.25×8×1.25×0.8B．1.25×8×0.8C．1.25×8+1.25×0.8D．1.25×8+0.87．把一个长方形活动框架拉成一个平行四边形，拉成的平行四边形与原来长方形比，（）A．周长不变，面积变小B．面积不变，周长变大C．周长不变，面积变大D．面积不变，周长变小8．今年女儿m岁，妈妈（m+26）岁，再过n年后，她们相差（）岁。

A．m B．n C．26D．n+269．李涵和王萱玩骰子游戏。

游戏规则如下：同时投两个骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。

两人的胜算相比，（）A．李涵胜算大B．王萱胜算大C．同样多D．无法确定10．我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。

2018-2019学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（）A．4：9B．2：3C．：D．3：23．（4分）已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．34．（4分）事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则（）A．事件①是必然事件，事件②是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是随机事件D．事件①和②都是必然事件5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD6．（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）．B （1，y2）两点，则不等式ax+b﹣＜0的解集为（）A．x＜﹣2B．x＜﹣2或0＜x＜1C．0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y≥5时，x的取值范围是（）A．x≤0B．0≤x≤4C．x≥4D．x≤0或x≥4 8．（4分）如图，⊙O是△ABP的外接圆，半径r＝2，∠APB＝45°，则弦AB的长为（）A．B．2C．2D．49．（4分）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于D、E．若∠A＝60°，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．3π10．（4分）如图，正方形ABCO的边长为4，点E在线段AB上运动，AE＝BF，且AF与OE相交于点P，直线y＝x﹣3与x轴，y轴交于M、N两点，连接PN，PM，则△PMN 面积的最大值（）A．10.5B．12C．12.5D．15二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共40分．11．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是．12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．13．（4分）已知点A（1，y1），B（﹣，y2），C（﹣2，y3）在y＝2（x+1）2﹣0.5的函数图象上，请用“＜“号比较y1，y2，y3的大小关系．14．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB＝9，BD＝3，那么CF的长度为．15．（4分）如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．（4分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC 与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（2，2），∠BAC＝60°，则k的值是．三、解答题（共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0（2）x（x﹣3）＝x﹣3．18．（8分）在边长为1的正方形网格中，△AOB的位置如图所示．（1）将△OAB绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△OCD；（2）直接写出旋转过程中，点A所经过路径的长为．19．（8分）小芳从家骑自行车去学校，所需时间y（min）与骑车速度x（m/min）之间的反比例函数关系如图．（1）写出y与x的函数表达式；（2）学校要求学生每天7点20分前到校，而小芳的骑车速度最快不超过300m/min，为了安全起见，她每天至少要几点出发？20．（8分）已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）21．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）以坐标原点为圆心，4为半径作圆，求出点（x，y）在圆内的概率．22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CE为△ABC外接圆的切线，AE⊥CE于点E．（1）求证：∠ACE＝∠B．（2）若AE＝2，求CE的长．23．（10分）一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出5件．（1）请确定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？（2）若要使每周的销售利润不低于7680元，请确定销售单价x的取值范围．24．（12分）已知锐角△ABC内接于O，AD⊥BC．垂足为D．（1）如图1，若＝，BD＝DC，求∠B的度数．（2）如图2，BE⊥AC，垂足为E，BE交AD于点F，过点B作BG∥AD交⊙O于点G，在AB边上取一点H，使得AH＝BG；①连接CG，试探究∠ABC，∠ACG的数量关系，并给予证明．②求证：△AFH是等腰三角形．25．（14分）已知：二次函数y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），顶点为C．（1）求该二次函数的解析式和顶点C的坐标；（2）如图，过B、C两点作直线，并将线段BC沿该直线向下平移，点B、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，P≤y≤．2018-2019学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：B．2．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3，∴这两个三角形的相似比为：，∴这两个三角形的周长的比为：，故选：C．3．【解答】解：设方程x2+4x﹣m＝0的另一个根为：x1，由根与系数的关系得：﹣1+x1＝﹣4，解得：x1＝﹣3，故选：A．4．【解答】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；购买一张彩票，没中奖是随机事件，故选：C．5．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D．6．【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b﹣＜0的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．7．【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，并且x＝2时函数有最小值1，因为x＝0时，y＝5，所以，x＝4时，y＝5，所以，y≥5时，x的取值范围为x≤0或x≥4．故选：D．8．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：则∠AOB＝2∠APB＝90°，∵OA＝OB＝r＝2，∴AB＝＝＝2；故选：C．9．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO＝∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BOD+∠COE＝360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵BC＝6，∴OB＝OC＝3，∴S阴影＝＝3π，故选：D．10．【解答】解：由题意易得△AEO≌△AFB（SAS）∴∠BAF＝∠EOA∵四边形ABCO是正方形∴∠BAF+∠P AO＝90∴∠EOA+∠P A0＝90∴∠APO＝90点P在以AO为直径的圆上要使得△PMN的面积最大，点P到直线y＝x﹣3的距离最大，即平移直线MN使其与圆相切于点P，使距离最大，则过点P做直线MN的垂线与MN交于点H，此时PH一定过圆心G，如图所示当y＝0时，0＝x﹣3得x＝4，M（4，0）当x＝0时，y＝x﹣3得y＝﹣3，∴N（0，﹣3）∴MN＝5，GN＝5，sin∠OMN＝＝在R△GNH中，有sin∠GNH＝＝，∴GH＝4，∴PH＝6，△PMN的最大面积＝×PH×MN＝×6×5＝15故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共40分．11．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．12．【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，∴m≤1答：m的取值范围是m≤1．13．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2﹣0.5的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，而A（1，y1）点离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣，y2）点离直线x＝﹣1最近，∴y2＜y3＜y1．故答案为y2＜y3＜y1．14．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD＝AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF＝AE：EF，∴AB：BD＝CD：CF，即9：3＝（9﹣3）：CF，∴CF＝2．故答案为：2．15．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故答案为：4区．16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（2，2），∴OA＝2，∴BO＝＝＝2，∵直线AC的解析式为y＝x，∴直线BD的解析式为y＝﹣x，∵OB＝2，∴点B的坐标为（﹣2，2），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×2＝﹣12，故答案为：﹣12．三、解答题（共9小题，共86分）17．【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，（x+1）2＝2，x+1＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝x﹣3，x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，x1＝3，x2＝1．18．【解答】解：（1）△OCD如图所示．（2）旋转过程中，点A所经过路径的长＝＝π故答案为π．19．【解答】解：（1）设y＝，当x＝240时，y＝10，解得：k＝2400，故y与x的函数表达式为：y＝；（2）当x＝300时y＝8，∵k＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小，20﹣8＝12∴她每天至少要7：12出发．20．【解答】解：如图，直线BD即为所求．21．【解答】解：（1）画树状图得：∴共有12种等可能的结果数，即点P所有可能的坐标为（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；（2）其中事件点（x，y）在圆内的点有：（1，2），（1，3）（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）∴在圆内的概率．P＝＝．22．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OC，∵CE为△ABC外接圆的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠OCE﹣∠ACO＝∠ACB﹣∠ACO，即∠ACE＝∠OCB，∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACE＝∠B；（2）解：∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∵∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC，∴＝，∵AE＝2，AB＝8，∴AC2＝2×8＝16，∴AC＝4，Rt△ACE中，CE＝＝2．23．【解答】解：（1）根据题意得y＝（x﹣40）[300﹣5（x﹣60）]＝﹣5（x2﹣160x+4800）＝﹣5（x﹣80）2+8000，∵a＜0，∴当x＝80时，y的值最大＝8000，即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大；（2）当y＝7680时，﹣5（x﹣80）2+8000＝7680，整理得：（x﹣80）2＝64，∴x﹣80＝±8，∴x1＝88，x2＝72，∴72≤x≤88．24．【解答】解：（1）∵＝，∴AB＝BC．∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°；（2）①连接GC，GA，∵BG⊥BC，∴GC是⊙O的直径，∴∠GAC＝90°，∵∠ABC＝∠AGC，∴∠ABC+∠ACG＝90°；②∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠GAC＝90°，∴AG∥BE．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠GBC＝90°，∴BG∥AD，∴四边形GBF A是平行四边形，∴BG＝AF．∵BG＝AH，∴AH＝AF，∴△AFH是等腰三角形．25．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+，∴顶点C的坐标为（﹣1，2）；（2）如图，过C作CH⊥x轴于H，∵C（﹣1，2），∴CH＝2，OH＝1，∵BO＝1，∴BH＝CH＝2，∴△BCH是等腰直角三角形，∴∠1＝45°，∴BC＝＝2，在Rt△DEF中，DE＝DF＝BC＝2，∠FDE＝90°，∴∠2＝45°，EF＝＝4，∴∠1＝∠2＝45°，∴EF∥CH∥y轴，∵B（1，0），C（﹣1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设F（m，﹣m2﹣m+）（m＞1），则点E（m，﹣m+1），∴EF＝（﹣m+1）﹣（﹣m2﹣m+）＝m2﹣＝4，解得：m1＝3，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴点F的坐标（3，﹣6）；（3）当y＝时，﹣x2﹣x+＝，解得：x1＝﹣2，x2＝0，∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，当x＜﹣1时，y随x的增大二增大，当x＞﹣1时，y随x的增大二减小，当x＝1时，y由最大值2；∵当p≤x≤q时，P≤y≤，∴可分三种情况：①当P≤Q≤﹣1时，由增减性得，当x＝q＝﹣2时，y最小＝，当x＝p时，y＝p代入y＝﹣（x+1）2+2，解得：p1＝﹣2+，p2＝﹣2﹣＜﹣1（不合题意，舍去），∴p＝﹣2+，q＝﹣2；②当p＜﹣1≤q时，当x＝﹣1时，y最大＝2＞（舍去），③当﹣1≤p＜q时，由增减性得，（Ⅰ）当x＝p＝0时，y最大＝，把x＝p＝0，y＝代入y＝﹣（x+1）2+2得，p＝﹣（p+1）2+2，解得：p1＝0，p2＝﹣1（不合题意，舍去），∴p＝0，（Ⅱ）当x＝q时，y最小＝p＝0，把x＝q，y＝p＝0代入y＝﹣（x+1）2+2，得﹣（p+1）2+2＝0，解得：q1＝1，q2＝﹣3＜﹣1（不合题意，舍去），∴p＝0，q＝1，综上所述，满足条件的实数p，q的值为：p＝﹣2+，q＝﹣2或p＝0，q＝1．。

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区九年级第一学期期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝2608．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选：A．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【分析】直接由抛物线的顶点式即可求得答案．解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），故选：A．4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】将x＝1代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，解得：c＝1，故选：C．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．解：y＝x2的顶点坐标是（0，0）．y＝x2+2的顶点坐标是（0，2）．所以将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝x2+2，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解：A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意；B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意；C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意；D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意；故选：C．7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．8．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b，则a＝，b ＝，二次函数的图象的顶点在第一象限，则﹣＞0，﹣＞0，即可求解．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，而t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：﹣＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t≠，故：﹣1＜t＜，故选：D．二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，故答案为：．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m的值．解：若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．故答案为：﹣3．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．【分析】根据弧长公式计算即可．解：此扇形的弧长＝＝，故答案为．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为8．【分析】设点D的坐标为（a，b），即可得到ab＝4，再根据AD＝a，AO＝b，即可得到▱ABCD面积．解：设点D的坐标为（a，b），∵双曲线y＝经过点D，∴ab＝4，∵AD∥x轴，∴AD＝a，AO＝b，又∵点O为AC的中点，∴AC＝2AO＝2b，∴▱ABCD面积＝2×AD×AC＝a×2b＝2ab＝8，故答案为：8．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为4．【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径．解：如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM＝60°，∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝＝4，∴该圆的半径为4．故答案为：4．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣10）．【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故答案为：（3，﹣10）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．【分析】（1）以AC为直径作圆交直线l2于B，D，四边形ABCD即为所求．（2）证明△ABE是等边三角形，利用勾股定理求出AD即可解决问题．解：（1）如图，所作的四边形ABCD是矩形．（2）∵AE＝BE，∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵∠BAD＝90°，∴AD＝＝＝4，所以，矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝8+8．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．【分析】（1）根据已知条件得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．解：（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO＝∠DAO，∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（ASA），∴OB＝OD＝1，∴点B坐标为（﹣1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，∵∠ADO＝∠CDH，∴∠DCH＝∠DAO，∴∠DCH＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，∴＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，∴x＝，∴OH＝，CH＝，∴C（，），∴k＝×＝，∴y＝（x＞0）的函数表达式为y＝．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为16；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为3．【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案．解：（1）画树状图如下：共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图②得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，∵16＜492＜512，∴n的最小值为3，故答案为：3．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；（2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，∴降价为80﹣70＝10（元），每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元．24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C 即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF＝，∴BF＝a﹣，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r＝，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．。

2019-2020学年福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（4分）“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件3．（4分）点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍5．（4分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸6．（4分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（ ）A．35°B．40°C．60°D．70°7．（4分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7 8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）A．2012B．2016C．2020D．20219．（4分）如图，点A是反比例函数y=mx（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣1210．（4分）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）A．9B．8C．1D．10 3二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线 ．12．（4分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．13．（4分）一个扇形的面积为6π，半径为4，则此扇形的圆心角为 °．14．（4分）已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝ ．15．（4分）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为 米．16．（4分）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．三．解答题（共9小题，86分）17．（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．18．已知二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，a取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．19．“特色福州，美好生活”，福州举行金色秋天旅游活动．明明和华华同学分析网上关于旅游活动的信息，发现最具特色的景点有：①鼓岭、②森林公园、③青云山．他们准备周日下午去参观游览，各自在这三个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是 ．（2）用树状图或列表法求出明明和华华他们选中不同景点参观的概率是多少？20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且AE=DE，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝62，求△GOE的面积．21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．（1）尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．（2）求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM 交DB于点N．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．23．如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是152，求一次函数y＝kx+b的表达式．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．25．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．2019-2020学年福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．（4分）“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件【考点】随机事件．【答案】D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【解答】解：“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．3．（4分）点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标．【答案】D【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标，进而得出答案．【解答】解：点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′（2019，﹣2020）在第四象限．故选：D．4．（4分）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍【考点】相似三角形的性质．【答案】C【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．5．（4分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸【考点】相似三角形的应用．【答案】B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴x15=1.50.5，解得x＝45（尺）．45尺合四丈五尺．故选：B．6．（4分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（ ）A．35°B．40°C．60°D．70°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【答案】D【分析】根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，根据圆周角定理求出∠ACD，再根据三角形内角和定理求出答案即可．【解答】解：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠ACD=12∠DOE＝20°，∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝70°，故选：D．7．（4分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【答案】A【分析】根据顶点式直接写出答案即可．【解答】解：二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7中，k＝﹣3＜0，∴二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣7，故选：A．8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）A．2012B．2016C．2020D．2021【考点】一元二次方程的解．【答案】C【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．故选：C．9．（4分）如图，点A是反比例函数y=mx（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣12【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【答案】D【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=12|m|=―12m，S△BOC=12|n|=―12n，利用AB＝2BC得到S△ABO＝2S△OBC＝3，所以―12n=32，解得n＝﹣3，再利用―12m＝3+32得m＝﹣9，然后计算m+n的值．【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx（x＜0）图象交于点B，而m＜0，n＜0，∴S△AOC=12|m|=―12m，S△BOC=12|n|=―12n，∵AB＝2BC，∴S△ABO＝2S△OBC＝3，即―12n=32，解得n＝﹣3∵―12m＝3+32，解得m＝﹣9，∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．故选：D．10．（4分）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）A．9B．8C．1D．10 3【考点】二次函数的最值．【答案】B【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴{2―a≥0①3a+4≥0②，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥―4 3，∴―43≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a=―22×1=―1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线　x＝2　．【考点】二次函数的性质．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用抛物线的对称轴方程求解．【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线x=――42=2．故答案为x＝2．12．（4分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是　49　．【考点】几何概率．【答案】见试题解答内容【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4×12×1×2＝4，∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9，故答案为：4 9．13．（4分）一个扇形的面积为6π，半径为4，则此扇形的圆心角为　135　°．【考点】扇形面积的计算．【答案】见试题解答内容【分析】直接代入扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵S=nπr2 360，∴n=360Sπr2=360×6π16π=135，故答案为：135．14．（4分）已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝　1　．【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．【答案】见试题解答内容【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，则原式可化为m2+m+（m+n）﹣mn，然后根据根与系数的关系进行计算．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴m2+2m+n﹣mn＝m+n﹣mn+1，∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m＝1，m+n＝﹣1，mn＝﹣1，∴m2+2m+n﹣mn＝m2+m+（m+n）﹣mn＝1﹣1+1＝1．故答案为：1．15．（4分）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为　54　米．【考点】一元二次方程的应用．【答案】见试题解答内容【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，根据小路的横向总长度（30+4x）米和纵向总长度（24+4x）米，结合矩形的面积公式得到：（30+4x+24+4x）x＝80．通过解方程求得x的值即可．【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，依题意得：（30+4x+24+4x）x＝80整理得：4x2+27x﹣40＝0解得x1＝﹣8（舍去），x2=5 4．故答案为：5 4．16．（4分）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　t=2或﹣1≤t＜1　．【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；直线与圆的位置关系．【答案】见试题解答内容【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．又OC＝1，则CD＝OD=22，即点C（―22，22），把点C的坐标代入直线解析式，得t＝y﹣x=2，当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．即当t=2或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；故答案为t=2或﹣1≤t＜1．三．解答题（共9小题，86分）17．（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【答案】见试题解答内容【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵2x2+x﹣1＝0，∴x2+12x+116=916，∴（x+14）2=916，∴x＝﹣1或1 2；18．已知二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，a取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点知△＝b2﹣4ac＞0可得；（2）根据题意得到二次函数的解析式的一般式，化成顶点式即可求得．【解答】解：（1）∵根二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点，∴△＝22﹣4×1×（a﹣2）＞0，解得：a＜3；（2）由题意，当a＝2时，函数为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．19．“特色福州，美好生活”，福州举行金色秋天旅游活动．明明和华华同学分析网上关于旅游活动的信息，发现最具特色的景点有：①鼓岭、②森林公园、③青云山．他们准备周日下午去参观游览，各自在这三个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是　13　．（2）用树状图或列表法求出明明和华华他们选中不同景点参观的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接根据概率公式进行解答即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和明明和华华他们选中不同景点参观的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是1 3，故答案为：1 3．（2）根据题意画图如下：共有9种等可能的结果数，其中明明和华华他们选中不同景点参观的有6种，则明明和华华他们选中不同景点参观的概率是69=23．20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且AE=DE，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝62，求△GOE的面积．【考点】切线的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OE，由AE=DE知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF 得OE⊥GF，得证；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3，即OE＝3，再根据三角形的面积公式得解．【解答】解：（1）如图，连接OE，∵AE=DE，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∴GF是⊙O的切线；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝62，∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（62）2+r2，解得：r＝3，即OE＝3，则S△GOE=12•OE•GE=12×3×62=92．21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．（1）尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．（2）求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；作图﹣旋转变换．【答案】见试题解答内容【分析】（1）作等边三角形APP′，连接P′B，则△P′AB是所求作的三角形；（2）根据旋转的性质得到∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，利用等边三角形的判定方法得到△PAP′为等边三角形，再根据等边三角形的性质有PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，由于PP′2+PB2＝P′B2，根据勾股定理的逆定理得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，则∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．【解答】解：（1）将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB如图：（2）如图，∵△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△PAP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM 交DB于点N．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由两组边成比例，夹角相等来证明即可；（2）由相似三角形的性质得边成比例，进而利用勾股定理求得BC，再判定∠MBC＝90°，最后由勾股定理求得MC的值即可．【解答】解：（1）证明：∵AB•CD＝BC•BD∴ABBC=BDCD在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°∴△ABD∽△BCD；（2）∵△ABD∽△BCD∴ADBD=BDCD，∠ADB＝∠BDC又∵CD＝6，AD＝8∴BD2＝AD•CD＝48∴BC=BD2―CD2=48―36=23∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC，∠MBC＝∠BCD＝90°∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∴MC=BC2+BM2=12+16=27．23．如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是152，求一次函数y＝kx+b的表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；（2）根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y＝kx+b的表达式．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝OC，∴AC•OC＝9，∴AC＝OC＝3，∴点A的坐标为（3，3）；（2）∵四边形ABOC的面积是15 2，∴（OB+3）×3÷2=15 2，解得OB＝2，∴点B的坐标为（0，2），依题意有{b=23k+b=3，解得{k=13b=2．故一次函数y＝kx+b的表达式为y=13x+2．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．【考点】平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AF，根据圆周角定理得到AF⊥EG，根据平行四边形的性质得到BD∥EG，推出BD垂直平分AF，于是得到AB＝BF；（2）根据直角三角形的性质得到BF=12BC，求得AB=12BC，得到∠C＝30°，求得∠ABC＝60°，AB=33AC=3，于是得到结论．【解答】解：（1）连接AF，∵AE是⊙O的直径，∴AF⊥EG，∵四边形BDGE是平行四边形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF；（2）∵当F为BC的中点，∴BF=12 BC，∵AB＝BF，∴AB=12 BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB=33AC=3，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2，∴⊙O的直径长为2．25．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+3中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC＝∠DBC，最后求出直线BP解析式即可求出P点坐标；（3）根据平行四边形的判定即可写出点M的坐标．【解答】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．∴{a―b+3=09a+3b+3=0解得{a=―1 b=2∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝3，∴D（2，3），∵C（0，3）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得k=―13，b＝1，∴BP解析式为y BP=―13x+1．y BP=―13x+1，y＝﹣x2+2x+3当y＝y BP时，―13x+1＝﹣x2+2x+3，解得x1=―23，x2＝3（舍去），∴y=11 9，∴P（―23，119）．（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．设点N（1，n），当BC、MN为平行四边形对角线时，由BC、MN互相平分，M（2，3﹣n），代入y＝﹣x2+2x+3，3﹣n＝﹣4+4+3，解得n＝0，∴M（2，3）；当BM、NC为平行四边形对角线时，由BM、NC互相平分，M（﹣2，3+n），代入y＝﹣x2+2x+3，3+n＝﹣4﹣4+3，解得n＝﹣8，∴M（﹣2，﹣5）；当MC、BN为平行四边形对角线时，由MC、BN互相平分，M（4，n﹣3），代入y＝﹣x2+2x+3，n﹣3＝﹣16+8+3，解得n＝﹣2，∴M（4，﹣5）．综上所述，点M的坐标为：M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．。

福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．下列事件中，必然发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心B．抛一枚硬币，落地后正面朝上C．掷一次骰子，向上的一面是6点D．通常加热到100℃时，水沸腾4．如图，直线y=与双曲线y=﹣交于A（1，y1），B（2，y2）两点，则21y2﹣82y1的值为（）A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．125．如图，已知经过原点的⊙P与、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80° B．90°C．100° D．无法确定6．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm7．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt △ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移38．若二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或19．圆的面积公式S=πＲ2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对10．如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）A．40° B．35°C．30°D．25°11．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定12．如图，抛物线y=a2+b+c（a≠0）的对称轴为直线=1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，的取值范围是﹣1≤＜3⑤当＜0时，y随增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．把一元二次方程3（﹣2）=4化为一般形式是．14．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是．15．一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为cm．16．如果关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，则实数a的取值范围是．17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，共63分）19．解方程：2+3﹣2=0．20．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y=与直线y=﹣2+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标．21．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．22．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．23．如图，抛物线y1=﹣2+b+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的解析式；（2）求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；（3）设直线AC的解析式为y2=m+n，请直接写出当y1＜y2时，的取值范围．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当=时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．25．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．26．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．27．已知，如图①，在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm．AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点的坐标代入解析式即可．【解答】解：把点A代入解析式可知：m=﹣．故选C．【点评】主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列事件中，必然发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心B．抛一枚硬币，落地后正面朝上C．掷一次骰子，向上的一面是6点D．通常加热到100℃时，水沸腾【考点】随机事件．【分析】根据“必然事件是指在一定条件下一定发生的事件”可判断．【解答】解：A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．故选D．【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．如图，直线y=与双曲线y=﹣交于A（1，y1），B（2，y2）两点，则21y2﹣82y1的值为（）A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元二次方程的解．【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中得出关于的一元二次方程，解方程即可得出A、B点的横坐标，再结合一次函数的解析式即可求出点A、B的坐标，将其代入21y2﹣82y1中即可得出结论．【解答】解：将y=代入到y=﹣中得：=﹣，即2=﹣2，解得：1=﹣，2=，∴y1=1=，y2=2=﹣，∴21y2﹣82y1=2×（﹣）×（﹣）﹣8××=﹣12．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及一元二次方程的解，解题的关键是求出点A、B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式求出交点的坐标是关键．5．如图，已知经过原点的⊙P与、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80° B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．6．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt △ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：A．【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．8．若二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将原点坐标代入二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3=0，所以m=﹣1或m=3，又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，所以m=3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时注意分析，注意理解题意．9．圆的面积公式S=πＲ2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对【考点】二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义．【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y=a2+b+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可直接得到答案．【解答】解：圆的面积公式S=πｒ2中，S和r之间的关系是二次函数关系，故选C．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．10．如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）A．40° B．35°C．30°D．25°【考点】切线的性质．【分析】根据题意，可知∠COB=70°，OA=OC，即可推出∠A=35°．【解答】解：∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP，∵∠P=20°，∴∠COB=70°，∵OA=OC，∴∠A=35°．故选B．【点评】本题主要考查了切线性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于确定OC⊥CP，OA=OC．11．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定【考点】正方形的性质；勾股定理．【分析】设大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．【解答】解：如图，设大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，∴AC=2CD，CD=，∴S2的边长为，S2的面积为2，S1的边长为，S1的面积为2，∴S1＞S2，故选：A．【点评】本题利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解．12．如图，抛物线y=a2+b+c（a≠0）的对称轴为直线=1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，的取值范围是﹣1≤＜3⑤当＜0时，y随增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线=1，而点（﹣1，0）关于直线=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3，所以②正确；∵=﹣=1，即b=﹣2a，而=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线=1，∴当＜1时，y随增大而增大，所以⑤正确．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a2+b+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与轴没有交点．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．把一元二次方程3（﹣2）=4化为一般形式是32﹣6﹣4=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：a2+b+c=0（a，b，c是常数且a≠0，去括号，移项把方程的右边变成0即可．【解答】解：把一元二次方程3（﹣2）=4去括号，移项合并同类项，转化为一般形式是32﹣6﹣4=0．【点评】本题需要同学们熟练掌握一元二次方程一般形式的概念，在去括号时要注意符号的变化．14．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是．【考点】几何概率．【分析】首先确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在1号板上的概率．【解答】解：因为1号板的面积占了总面积的，故停在1号板上的概率=．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．15．一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为4cm．【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．【解答】解：设底面半径为r，母线为l，∵主视图为等腰直角三角形，∴2r=l，∴侧面积S侧=πrl=πｒ2=16πcm2，解得r=4，l=4，∴圆锥的高h=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够熟练掌握有关的计算公式，难度不大．16．如果关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≤1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】先根据关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根得出△≥0，a≠0，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，∴，解得a≤1且a≠0．故答案为：a≤1且a≠0．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程a2+b+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4．【考点】位似变换．【分析】由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF的面积之比．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．【点评】此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是 1.2．故答案为 1.2．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共63分）19．（2014?集美区一模）解方程：2+3﹣2=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴=，∴1=，2=．【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．20．（2016?菏泽）如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y=与直线y=﹣2+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A（﹣1，4）坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；（2）解方程组，即可解答．【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=，∴m=﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标为（2，﹣2）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（2016?嘉善县校级一模）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）按A到A1的平移方向和平移距离，即可得到B和C对应点，从而得到平移后的图形；（2）把B1和C1绕点A1旋转90°，得到对应点即可得到对应图形；（3）利用勾股定理和弧长公式即可求解．【解答】解：（1）△A1B1C1就是所求的图形；（2）△A1B2C2就是所求的图形；（3）B到B1的路径长是：=2，B1到B2的路径长是：=π．则路径总长是：2+π．【点评】本题考查了图形的平移和旋转，以及弧长公式，理解图象的旋转过程中每个点经过的路径是弧是关键．22．（2016?威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案；（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；（2）画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P（甲）==，P（乙）==，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．【点评】本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确列出所有可能是解题关键．23．（2015秋?广西期末）如图，抛物线y1=﹣2+b+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的解析式；（2）求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；（3）设直线AC的解析式为y2=m+n，请直接写出当y1＜y2时，的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）把A和B的坐标代入函数解析式求得b和c的值，即可求得函数解析式；（2）在函数解析式中令=0即可求得C的坐标，然后利用配方法即可确定顶点坐标；（3）当y1＜y2时的范围就是当二次函数的图象在一次函数的图象的下边时对应的的范围，依据图象即可确定．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．则抛物线的解析式是y=﹣2+﹣2；（2）在y=﹣2+﹣2中令=0，则y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2）．y=﹣2+﹣2=﹣（﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，）；（3）当y1＜y2时，的取值范围是＜0或＞4．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及通过图象确定自变量的范围，考查了数形结合的思想．24．（2016?成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当=时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2=AD?AE，进而求出AE的值，所以tanE==．（3）设AB=4，BC=3，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出的值，即可知道半径3的值．【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DBC，由题意知：DE是直径，∴∠DBE=90°，∴∠E=90°﹣∠BDE，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDE，∴∠ABD=∠E，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB；（2）∵AB：BC=4：3，∴设AB=4，BC=3，∴AC==5，∵BC=CD=3，∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，由（1）可知：△ABD∽△AEB，∴==，∴AB2=AD?AE，∴42=2AE，∴AE=8，在Rt△DBE中tanE====；（3）过点F作FM⊥AE于点M，∵AB：BC=4：3，∴设AB=4，BC=3，∴由（2）可知；AE=8，AD=2，∴DE=AE﹣AD=6，∵AF平分∠BAC，∴=，∴==，∵tanE=，∴cosE=，sinE=，∴=，∴BE=，∴EF=BE=，∴sinE==，∴MF=，∵tanE=，∴ME=2MF=，∴AM=AE﹣ME=，∵AF2=AM2+MF2，∴4=+，∴=，∴⊙C的半径为：3=．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起．25．（2016秋?鼓楼区校级期末）如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD 构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．26．（2009?常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．【分析】（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN 的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴CD=BE．（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=BE=CD=CN，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形．（7分）设AD=a，则AB=2a．∵AD=AE=DE，AB=AC，∴CE=DE．∵△ADE为等边三角形，∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，∴∠EDC=∠ECD=30°，∴∠ADC=90°．（8分）∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，∴CD=a．∵N为DC中点，∴DN=，∴AN=．（9分）∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4：=4：16：7（10分）解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，（7分）设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC，∴BE=，∴EM=，∴AM=，∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4：=4：16：7．（10分）【点评】此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力．。

2020-2021学年福建省福州市七校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．下面四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答．【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意．故选：B．2．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．C．D．【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．【解答】解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：B．3．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，故选：A．4．如图，一个游戏盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°，120°，200°，让转盘自由转动，指针停止后在黄色区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概率的意义求出黄色区域占整个圆的百分比，这个比即为所求的概率．【解答】解：∵“黄色”扇形区域的圆心角为120°，∴“黄色”区域的面积占整体的＝，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．∠BDC＝21°，则∠AOC的度数是（）A．136°B．137°C．138°D．139°【分析】利用圆周角定理求出∠BOC即可解决问题．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝21°，∴∠BOC＝42°，∴∠AOC＝180°﹣42°＝138°．故选：C．6．某区2019年投入教育经费2000万元，预计2021年投入教育经费2880万元．设这两年投入的教经的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2000（1﹣x）2＝2880B．2000x2＝2880C．2000（1+x）2＝2880D．2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2019年投入2000万元，预计2021年投入2880万元即可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2020的教育经费为：2000×（1+x）2021的教育经费为：2000×（1+x）2．那么可得方程：2000×（1+x）2＝2880．故选：C．7．如图，△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC 上，∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′，∴∠C＝∠AC′C，∵∠C＝65°，∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，∴∠B′C′B＝180°﹣∠AC′B′﹣∠AC′C＝50°，故选：B．8．表格对应值：x1234ax2+bx+c﹣0.5512.522判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜3D．3＜x＜4【分析】利用x＝1和x＝2所对应的函数值可判断抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x轴的交点问题可判断关于x的方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的一个解x的范围．【解答】解：∵x＝2时，y＝5，即ax2+bx+c＞0；x＝1时，y＝﹣0.5，即ax2+bx+c＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x的方程ax2+bx+c＝2（a≠0）的一个解x的范围是1＜x＜2．故选：B．9．如图，一段抛物线（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，一直进行下去，直至得到C506，则抛物线C506的顶点坐标是（）A．（2020，3）B．（2020，﹣3）C．（2022，3）D．（2022，﹣3）【分析】解方程﹣x2+3x＝0得A1（4，0），再利用旋转的性质得A2（4×2，0），A3（4×3，0），依此规律得到A505（4×505，0），A506（4×506，0），且抛物线C506的开口向上，利用交点式，设抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴A1（4，0），∵将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，∴A2（4×2，0），A3（4×3，0），∴A505（4×505，0），A506（4×506，0），即A505（2020，0），A506（2024，0），∵抛物线C506的开口向上，∴抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），∵抛物线的对称轴为直线x＝2022，当x＝2022时，y＝（2022﹣2020）（2022﹣2024）＝﹣3，∴抛物线C506的顶点坐标是（2022，﹣3）．故选：D．10．如图，量角器的底A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点D位于该量角器上58°刻度处，当点D与原点O的距离最大时，∠OAB的度数是（）A．29°B．32°C．58°D．61°【分析】连接OE、OD，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，根据三角形外角性质得∠AED＝∠EAO+∠EOA，再根据直角三角形斜边上的中线性质得EA＝EO＝EB，则∠EAO＝∠EOA，所以∠OAB＝∠AED．【解答】解：连接OE、OD，DE，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则∠AED＝∠EAO+∠EOA，而AE＝BE，所以EA＝EO＝EB，所以∠EAO＝∠EOA，所以∠OAB＝∠AED＝（180°﹣58°）＝61°．故选：D．二．填空题11．已知点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，则a＝﹣2 ．【分析】平面内关于原点对称的两点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此可得a的值．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．12．一元二次方程的根的判别式△＝0（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程，∴a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0．故答案为＝．13．一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率的为0.6 ．【分析】根据题意，首先求得摸到黑球的概率，然后求得摸到红球的概率即可．【解答】解：∵每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，∴摸到黑球的概率约为0.4，∴摸到红球的概率约为1﹣0.4＝0.6，故答案为：0.6．14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是（3，3）．【分析】连接P A，P A，过P作PH⊥OA于H，则△POA是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到OH＝3，根据勾股定理得到PH＝3，即得到P的坐标．【解答】解：连接P A，PO，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．15．函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点（m，0）和（1，0）．与y轴交于正半轴，且﹣3＜m＜﹣2，c的取值范围是2＜c＜3 ．【分析】根据题意和根与系数的关系，可以得到c的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点（m，0）和（1，0）．∴a＝﹣1，∴当m＝﹣2时，则（﹣2）×1＝﹣c，得c＝2；当m＝﹣3时，则（﹣3）×1＝﹣c，得c＝3，故当﹣3＜m＜﹣2时，c的取值范围是2＜c＜3，故答案为：2＜c＜3．16．△ABC是边长为5的等边三角形，点D在△ABC的外部且∠BDC＝30°，则AD的最大值是．【分析】作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BCD＝∠BA'C＝，此时AD为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E＝AE＝，A'D＝A'B＝AB＝5，进而可求解．【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BCD＝∠BA'C＝，此时AD为最大值，∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴BC＝AB＝5，∴A'E＝AE＝，A'D＝A'B＝AB＝5，∴AD＝AE+A'E+A'D＝．故答案为．三．解答题17．解方程：x2﹣4x﹣12＝0．【分析】分解因式得出（x﹣6）（x+2）＝0，推出方程x﹣6＝0，x+2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝0，分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，∴x﹣6＝0，x+2＝0，解方程得：x1＝6，x2＝﹣2，∴原方程的解是x1＝6，x2＝﹣2．18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，0），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得到矩形ODEF，点A，B，C分别对应点D，E，F．（1）请在平面直角坐标系中画出矩形ODEF；（2）求点B所经过的路径长．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．（2）利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，矩形ODEF即为所求．（2）点B所经过的路径长＝＝．19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交BC、DC于点E，F，设∠E ＝x°，∠F＝y°．（1）当AC为直径时，求证：x＝y；（2）当x+y＝60时．①求∠DAB的度数；②连接OA，过点O作OH⊥AB于H，当AB＝2OH时，求∠DAO度数．【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝90°，由外角的性质可求解；（2）①由圆的内接四边形的性质可得∠ADF+∠ABE＝180°，由三角形内角和定理可求解；②由垂径定理可得AH＝BH，进而可得AH＝BH＝OH，由等腰三角形的性质可得∠OAH＝45°，即可求解．【解答】证明：（1）∵AC是直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠E+∠DCE＝∠F+∠BCF，又∵∠DCE＝∠BCF，∴∠E＝∠F，∴x＝y；（2）①∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠ADF+∠ABE＝180°，∵∠E+∠DAB+∠EBA＝180°，∠F+∠DAB+∠ADF＝180°，∴∠E+∠DAB+∠EBA+∠F+∠DAB+∠ADF＝360°，∴∠E+∠F+2∠DAB＝180°，∴∠DAB＝60°；②如图，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵AB＝2OH，∴AH＝OH＝BH，∴∠OAH＝∠OBH＝45°，∴∠DAO＝∠DAB﹣∠OAH＝15°．20．为了更好地适应现代学发展的需要，提高医护人员专业水平，2020年11月，福州市甲、乙、丙、丁四家医院共选派若干名医生和护士参加培训，参加培训人数情况制成了两张不完整的统计图：（1）丁医院选派的医生有4 人．（2）为了了解培训成果，准备从参加培训的四名医生（男女医生人数恰好相等）中随机选择2人进行考核，若每名医生被选中的机会均等，请用列表法或树状图求出选中的两名医生中至少有一名女医生的概率．【分析】（1）先由甲医院的医生和护士人数求出总人数，再求出丁医院选派的医生和护士的人数，进而得出答案；（2）画出树状图，共有12个等可能的结果，选中的两名医生中至少有一名女医生的结果有10个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵福州市甲、乙、丙、丁四家医院共选派医生和护士的总人数为：（6+4）÷20%＝50（人），∴丁医院选派的医生和护士的人数为50×24%＝12（人），∴丁医院选派的医生有：12﹣8＝4（人），故答案为：4；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，选中的两名医生中至少有一名女医生的结果有10个，∴选中的两名医生中至少有一名女医生的概率为＝．21．已知抛物线y＝x2﹣2x+m，过点C（0，n）作直线L⊥y轴，当直线L与抛物线只有一个公共点时，求：m﹣n的值．【分析】将抛物线解析式画出成顶点式，根据题意得到n＝﹣1+m，变形可得．【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∵直线L与抛物线只有一个公共点，∴n＝﹣1+m，∴m﹣n＝1．22．如图，在△ABC中，∠C＝45°，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）取的中点E，连接OE，延长OE交AC于点F，若EF＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AC，则∠B＝∠C＝45°，求得∠BAC＝90°，即可得出结论；（2）作EH⊥OF交AF于H，则EH是⊙O的切线，先由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，再证出△EFH是等腰直角三角形，得EH＝EF＝，则FH＝EF＝2，然后由切线长定理得AH＝EH＝，则AF＝AH+FH＝+2，最后由等腰直角三角形的性质得OA＝AF＝+2即可．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：则EH是⊙O的切线，∵E是的中点，∴OE⊥AD，AG＝DG，∵AD⊥BC，∴OF∥BC，∴∠EFH＝∠C＝45°，∵EH⊥OF，∴△EFH是等腰直角三角形，∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2，∵AC是⊙O的切线，∴AH＝EH＝，∴AF＝AH+FH＝+2，由（1）得：∠BAC＝90°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴OA＝AF＝+2，即⊙O的半径为+2．23．一段长为30m的墙前有一块矩形ABCD空地，用篱笆围成如图所示的图形，共用去100m （靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为10m的正方形，设CD＝xm．（1）填空：CG＝（80﹣3x）m（用含x的代数式表示）；（2）若矩形CDHG面积为125m2，求CD长；（3）当CD长为多少m时，矩形ABCD的面积最大．【分析】（1）由题意得：3x+20+GC＝100，即可求解；（2）矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，即可求解；（3）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）x＝﹣3（x﹣30）x，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：3x+20+GC＝100，解得：GC＝（80﹣3x）m，故答案为（80﹣3x）；（2）∵BC＝BG+GC＝10+80﹣3x，而0＜BC≤30，即0＜10+80﹣3x≤30，解得20≤x＜30，矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，解得x＝25或（舍去），故CD长为25m；（3）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）x＝﹣3（x﹣30）x，∵﹣3＜0，故抛物线开口向下，而20≤x＜30，当x＞15时，s随x的增大而减小，故当x＝20（m）时，s取得最大值．故当CD长为20m时，矩形ABCD的面积最大．24．已知a＞0，点A（0，1），抛物线y＝﹣x2+bx经过点B（1，1），且与直线AB交于点P，与x轴交于点Q（异于原点O）．（1）填空：用含a的代数式表示b＝1+；（2）若△OBQ是直角三角形，求a的值；（3）点M是抛物线的顶点，OM与BP交点N，当点N是BP三等分点时，求a的值．【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求解；（2）将b＝1+代入解析式，可求点Q坐标，由两点距离可求OB2＝2，OQ2＝（a+1）2，BQ2＝a2+1，由勾股定理可求解；（3）分别求出点M，点N，点P坐标，由点N是BP的三等分点，列出方程可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝经过点B（1，1），∴1＝﹣+b，∴b＝1+，故答案为：1+；（2）∵b＝1+，∴y＝﹣x2+（1+）x，令y＝0时，0＝﹣x2+（1+）x，解得：x1＝0，x2＝a+1，∴点Q（a+1，0），∵a＞1，∴a+1＞0，∴OQ＝a+1，∵点B（1，1），点O（0，0），点Q（a+1，0），∴OB2＝2，OQ2＝（a+1）2，BQ2＝a2+1，∵△OBQ是直角三角形，∴OQ2＝OB2+BQ2，∴（a+1）2＝2+a2+1，∴a＝1；（3）如图，∵y＝﹣x2+（1+）x＝﹣（x﹣）2+，∴点M（，），∴直线OM的解析式为y＝x，当y＝1时，x＝，∴点N（，1），∵y＝﹣x2+（1+）x与直线AB交于点P，∴1＝﹣x2+（1+）x，∴x1＝1，x2＝a，∴点P（a，1），∵点N是BP三等分点，∴BN＝2PN，∴1﹣＝2（﹣a），解得：a＝1或．25．如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为（，）；（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．【分析】（1）证明四边形ABPC为正方形，当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则P A′过点C，P A′＝P A＝2，进而求解；（2）证明△BPQ≌△CPF（AAS）和△QPE≌△FPE（SAS），则QE＝EF，进而求解；（3）证明r＝（AE+AE﹣EF）＝（2﹣m﹣n+n﹣m）＝﹣m，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（2﹣m﹣n）2＝m2，整理得：n2+（m﹣2）n+4﹣2m＝0，由△＝（m﹣2）2﹣4×（4﹣2m）≥0，求得m≥4﹣2，即可求解．【解答】解：（1）连接BP、CP，则△ABP为等腰直角三角形，而△ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则P A′过点C，P A′＝P A＝2，过点A′作A′E⊥x轴于点E，则∠A′CE＝OCP＝45°，由点A、B、C的坐标知，AB＝AC＝，则CA′＝P A′﹣CP＝2﹣，在Rt△A′CE中，A′E＝A′C＝﹣1＝CE，故旋转后点A的坐标为（，），故答案为（，）；（2）连接PB、CP，作∠QPB＝∠FPC，由（1）知，四边形BPCA为正方形，由直线y＝x﹣1知，∠EPF＝45°，则∠FPC+∠BPE＝90°﹣∠EPF＝45°＝∠QPB+∠BPE＝∠QPE＝∠45°，即∠QPE＝∠EPF＝45°，∵四边形BPCA为正方形，则PB＝PC，∠QBP＝∠FCP＝90°，∠QPB＝∠FPC，∴△BPQ≌△CPF（AAS），∴PQ＝PF，而∠QPE＝∠EPF＝45°，PE＝PE，∴△QPE≌△FPE（SAS），∴QE＝EF，则△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+QE＝AE+BE+BQ+AE＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC ＝2；即△AEF的周长为定值；（3）设△AEF内切圆半径为r，AE＝n，EF＝m，由（2）知，AF＝2﹣m﹣n，则r＝（AE+AE﹣EF）＝（2﹣m﹣n+n﹣m）＝﹣m（半径公式见备注），在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（2﹣m﹣n）2＝m2，整理得：n2+（m﹣2）n+4﹣2m＝0，∵关于n的一元二次方程有解，故△＝（m﹣2）2﹣4×（4﹣2m）≥0，解得m≥4﹣2或m≤﹣4﹣2（舍去），故m的最小值为4﹣2，则r的最大值为﹣m＝﹣（4﹣2）＝3﹣4，即△AEF内切圆半径的最大值为3﹣4．备注：证明：设△ABC为直角三角形，三条边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC，显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，所以S△ABC＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，所以ab＝br+ar+cr，所以r＝＝＝，即内切圆半径为（a+b﹣c）．。

2018-2019学年九(上)厦门市期末教学质量检测数学卷(满分150分；考试时间120分钟)一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.计算－5+6，结果正确的是( ).A.1B.－1C.11D.－112.如图1，在△ABC 中，∠C =90°，则下列结论正确的是( ).A. AB=AC +BCB.AB=AC·BCC. AB 2=AC 2+ BC 2D. AC 2=AB 2+BC 2 3.抛物线y=2(x －1)2－6的对称轴是( ).A.x =－6B.x =－1C. x =21D. x =14.要使分式11x 有意义，x 的取值范围是( ).A.x ≠0B. x ≠1C. x >－1D. x >1 5.下列事件是随机事件的是( ). A.画一个三角形，其内角和是360°B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7C.射击运动员射击一次，命中靶心D.在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球6.图2，图3分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生产 零件数的统计图，与第一天相比，第二天六台机床生产零件数的平均数与方差的变化情况是( ).A.平均数变大，方差不变B.平均数变小，方差不变C.平均数不变，方差变小D.平均数不变，方差变大7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要s 与时间t 的函 数关系如图4中的部分抛物线所示(其中P 是该抛物线的顶点) 则下列说法正确的是( ). A.小球滑行6秒停止 B.小球滑行12秒停止 C.小球滑行6秒回到起点 D.小球滑行12秒回到起点(图1)(图2)(图4)m m 生产的零件数(图3)8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (2,0)，B (1,－1)，将线段OA 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<135°).记点A 的对应点为A 1，若点A 1与点B 的距离为6，则α为( ). A. 30° B.45° C.60° D.90°9.点C 、D 在线段AB 上，若点C 是线段AD 的中点,2BD >AD ，则下列结论正确的是( ).A. CD <AD － BDB. AB >2BDC. BD >ADD. BC >AD10.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a >0)的图象经过(0,1)，(4,0)，当该二次函数的自变量分别取x 1、x 2 (0< x 1<x 2 <4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1=y 2,设该函数图象的对称轴是x =m ,则m 的取值范国是( ).A. 0<m <1B.1<m ≤2C.2<m <4D.0<m <4 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.投掷一枚质地均匀的正六面体酸子，投掷一次，朝上一面的点数为奇数的概率是______.12.已知x =2是方程x 2+ax －2=0的根，则a =______.13.如图5，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 、D 是圆周上的点，且 ∠CDB =30°，则BC 的长为______.14.我们把三边长的比为3:4:5的三角形称为完全三角形，记命题A ： “完全三角形是直角三角形”.若命题B 是命题A 的逆命题，请写出命题B ：____________________;并写出一个例子(该例子能判断命题B 是错误的) 15.已知AB 是⊙O 的弦，P 为AB 的中点，连接OA 、OP ，将△OPA 绕点O 旋转到△OQB . 设⊙O 的半径为1，∠AOQ =135°，则AQ 的长为______. 16.若抛物线y=x 2+bx (b >2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围 是______.三、解答题(本大题有9小题，共86分) 17.(本题满分8分) 解方程x 2－3x +1=018.(本题满分8分) 化简并求值：(1－12+x )÷2212+-x x ，其中x =2－1(图5)已知二次函数y=(x －1)2+n ，当x =2时，y =2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.20. (本题满分8分)如图，已知四边形ABCD 是矩形.(1)请用直尺和圆规在边AD 上作点E ，使得EB=EC . (保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AB =4，AD =6，求EB 的长.21.(本题满分8分)如图7，在△ABC 中，∠C =60°，AB =4.以AB 为直径画⊙O ，交边AC于点D . AD 的长为34，求证：BC 是⊙O 的切线.已知动点P 在边长为1的正方形ABCD 的内部，点P 到边AD 、AB 的距离分别为m 、n .(1)以A 为原点，以边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，当点P 在对角线AC 上，且m =41时，求点P 的坐标；(2)如图②，当m 、n 满足什么条件时，点P 在△DAB 的内部?请说明理由.23.(本题满分10分)小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.(图②)已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图10，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图11，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.(图①) (图②)在平面直角坐标系xO y中，点A(0,2)，B(p,q)在直线上, 抛物线m经过点B、C(p+4,q)，且它的顶点N在直线l上.(1)若B(－2,1)，①请在图12的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图；②设抛物线m上的点Q的模坐标为e(－2≤e≤0)过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H . 若QH=d,当d随e的增大面增大时，求e的取值范围(2)抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一交点时，判断△NOF的形状并说明理由. yx –4–3–2–11234–4–3–2–11234O。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

1．（4分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．（4分）下列选项中，最简二次根式是（ ）A．B．C．D．3．（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（ ）A．20°B．40°C．60°D．80°4．（4分）将5.62×10﹣4用小数表示为（ ）A．0.000562B．0.0000562C．0.00562D．0.000005625．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（ ）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣3，﹣2）6．（4分）以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A．2，3，4B．6，8，9C．1，2，D．5，12，13 7．（4分）已知，则a19•b19的值是（ ）A．﹣1B．1C．219D．8．（4分）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）A．m＜﹣3，且m≠﹣4B．m＜﹣3C．m＞﹣3D．m＞﹣3，且m≠﹣49．（4分）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2025，则S2的值是（ ）A．567B．666C．777D．67510．（4分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，AB＝BC，AE＝DE，使得△AMN 的周长最小值，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）A．100°B．110°C．120°D．130°二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）（x﹣3）（x﹣5）＝ ．12．（4分）当x＝ 时，分式的值为零．13．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是 ．14．（4分）若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ．15．（4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A 重合，则AF长为 cm．16．（4分）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，点H，G分别是边CD，连接AH，HG，点F为GH的中点，连接三、解答题：本题共9小题，共86分.17．（8分）（1）计算：（20a2b﹣15ab2）÷5ab；（2）因式分解：2x2﹣20x+50．18．（8分）计算：．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5（1）求证：∠DEA＝90°；（2）求CE的长．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：在AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB，交BC于E，，连接CD，AE．（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AE垂直平分CD．22．（10分）列分式方程解决下列实际问题：在“新冠”期间，某小区物业为预防感染传播．购买了A型和B型两种3M口罩，购买A 型3M口罩花费了3000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花2元，则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？23．（10分）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，CG的中点．（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；（2）请写出BG与GE的数量关系，并说明理由．24．（12分）阅读理解：由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时，取到等号．例如：已知x＞0，求式子的最小值．解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：（1）当x＞0，式子的最小值为 ；（2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？（3）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是6和12，求四边形ABCD面积的最小值．25．（14分）已知，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）为x轴上两点，b满足：a2+6a+9+（a+b）2＝0，点，∠CAB＝30°，D为线段AB上一动点．（1）则a＝ ，b＝ ；（2）如图1，若点D在AC的垂直平分线上，作∠BDE＝120°，连接AE，求证：AE⊥x轴；（3）如图2，作点D关于AC的对称点M，连接BM，CD，判断CN与CD的数量关系2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

2018—2019学年度上学期期末教学质量监测试题九年级数学温馨提示：1．本试题共4页，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔笔直接答在答题卡上．试卷上作答无效．3．请将名字与考号填写在本卷相应位置上．一、选择题(共12小题，下列各题的四个选项中只有一个正确)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；D.既不轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要找对称中心，旋转180°后两部分能够完全重合.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. x2＋3x＝0 B. y2－2x＋1＝0C. x2－5x＝2D. x2－2＝(x＋1)2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,即可进行判定,【详解】A选项,x2＋3x＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,不符合题意,B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意,C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元一次方程,不符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.3. “明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A. 明天降水的可能性较小B. 明天将有30%的时间降水C. 明天将有30%的地区降水D. 明天肯定不降水【答案】A【解析】【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依此分析选项可得答案．【详解】解：A. 明天降水概率是30%，降水的可能性较小，故选项正确；B. 明天降水概率是30%，并不是有30%的时间降水，故选项错误；C. 明天降水概率是30%，并不是有30%的地区降水，故选项错误；D. 明天降水概率是30%，明天有可能降水，故选项错误．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30°B. 45°C. 90°D. 135°【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，=，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ．【点睛】考点：勾股定理逆定理.5. 圆外一点P 到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（ ） A. 4 B. 5C. 2或5D. 2【答案】C 【解析】【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P 到⊙O 的最近距离为3，最远距离为7，则： 当点在圆外时，则⊙O 的直径为7-3=4，半径是2； 当点在圆内时，则⊙O 直径是7+3=10，半径为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．6. 关于x 的方程kx 2+2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞-1且k≠0 B. k≥-1且k≠0C. k ＞-1D. k ≥-1【答案】D 【解析】【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分0k =和0k ≠两种情况进行解答． 【详解】解：(1)当0k =时，原方程为：210x -=，此时12x =有解，符合题意； (2)当0k ≠时，此时方程式一元二次方程∵关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， ∴()2242410b ac k =-=--≥即44k ≥- 解得1k ≥-综合上述两种情况可知k 的取值范围是1k ≥- 故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论解答． 7. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：已知AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO 中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 考点：垂径定理；勾股定理.8. 用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A. （x ﹣6）2=﹣4+36 B. （x ﹣6）2=4+36C. （x ﹣3）2=﹣4+9D. （x ﹣3）2=4+9【答案】D 【解析】【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9，（x ﹣3）2=4+9， 故选D.9. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2=--y x D. 23(1)2y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象平移判断即可；【详解】23y x =向右平移1个单位得到()231y x =-，再向下平移2个单位得到()2312x y =--； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像平移，准确分析判断是解题的根据．10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11.（）A. 2B. 1C. 3D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为3， 所以圆的半径为23， 所以该圆的内接正六边形的边心距23×sin60°＝23×3＝1， 故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．12. 如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题）13. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________． 【答案】(2，-3) 【解析】【分析】直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），从而可得出答案．得出答案．【详解】解：点P （-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）． 故答案为：（2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 14. 如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于_____度．【答案】40． 【解析】【分析】由于点C 是弧AB 的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC 是∠BOA 的一半；在等腰△AOB 中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA 的度数，由此得解． 【详解】△OAB 中，OA ＝OB ， ∴∠BOA ＝180°﹣2∠A ＝80°， ∵点C 是弧AB 的中点， ∴AC BC =， ∴∠BOC ＝12∠BOA ＝40°， 故答案为40．【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键. 15. 方程的()()121x x x +-=+解是______.【答案】11x =-，23x = 【解析】【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】解：()()121x x x +-=+，()()12(1)0x x x +--+=， ()()1210x x +--=，即10x +=或210x --=，解得121,3x x =-=， 故填：121,3x x =-=.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边化为0.16. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 【答案】3π 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm 2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．17. 分别写有-1，0，-3，2.5，4的五张卡片，除数字不同，其它均相同，从中任抽一张，则抽出负数的概率是___ 【答案】25【解析】【分析】根据概率的计算公式直接得到答案．【详解】解：-1，0，-3，2.5，4五张卡片中是负数的有：-1，-3， ∴P （抽出负数）=25，故答案为：25． 【点睛】此题考查概率的计算公式，负数的定义，熟记概率的计算公式是解题的关键． 18. 正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 【答案】y=x 2+6x 【解析】【详解】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．三、解答题（共7小题）19. 解方程：x 2－4x －7＝0.【答案】12211211x x ，=+=- 【解析】【详解】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211±±==±（） , ∴12211,211x x =+=-.20. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50º，求∠BAC 的度数．【答案】25° 【解析】【分析】由PA ，PB 分别为圆O 的切线，根据切线长定理得到PA=PB ，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P 的度数，求出底角∠PAB 的度数，又AC 为圆O 的直径，根据切线的性质得到PA 与AC 垂直，可得出∠PAC 为直角，用∠PAC-∠PAB 即可求出∠BAC 的度数． 【详解】解：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 点，AC 是⊙O 的直径， ∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB ， 又∵∠P ＝50°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180502︒︒-＝65°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21. 某种商品每件的进价为30元，在某段时向内若以每件x 元出售，可卖出(100-x )件，应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元 【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为y 元， y=(100－x)(x －30)=－(x －65)2+1225 ∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x=65时，y 有最大值，最大值是1225∴当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22. 一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字． （1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率． 【答案】（1）12；（2）13． 【解析】【详解】试题分析：（1）用奇数的个数除以总数即可求出小球上所标数字为奇数的概率；（2）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数即可求出其概率．试题解析：（1）∵质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字，∴袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率=24=12；（2）列表得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数为4，∴两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率=412=13．考点：列表法与树状图法；概率公式．23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24. 有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为275m的矩形场地？能围成一个面积为2101m的矩形场地吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由见解析【解析】【分析】设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，根据矩形场地的面积为75m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；不能围成一个面积为101m2的矩形场地，设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，根据矩形长度的面积为101m2，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=-4＜0，可得出不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【详解】解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，依题意得：x（20-x）=75，整理得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15，当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，依题意得：y（20-y）=101，整理得：y2-20y+101=0，∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【详解】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．详解：（1）连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD．∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．∵∠C=90º，∴∠ODC=90º，∴OD⊥AC．∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O的弦，且OM⊥BE，∴BM=EM，∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90°，∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．∵OB=5，∴BM =22-=3=EM，54∴BE=BM+EM=6．点睛：本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．26. 已知，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A(-2，0)和B(0，4)．（1）求二次函数解析式；（2）求AOB S；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)【解析】【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；（3）由2bxa=-，即可求出答案； （4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P 在点A 的上方时；②当点P 在点A 的下方时；分别求出点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵y=x 2+bx+c 的图象经过A （－2，0）和B （0，4）∴42b 04c c +=⎧⎨=⎩－ 解得：b 44c =⎧⎨=⎩；∴二次函数解析式为：y=x 2+4x+4； （2）∵A （﹣2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴S △AOB =12OA•OB=12×2×4=4； （3）对称轴方程为直线为：4221x =-=-⨯； （4）∵以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP=OB=4，当点P 在点A 的上方时，点P 的坐标为（﹣2，4）， 当点P 在点A 的下方时，点P 的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。

2019-2020学年福建省福州市鼓楼区九年级上期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件3．点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸6．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（）A．35°B．40°C．60°D．70°7．二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（）A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值78．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2012B．2016C．2020D．20219．如图，点A是反比例图数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y ＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n ＝（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣1210．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9B．8C．1D．二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线．12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是．。

1． 2． 3． 鼓楼区九年级数学、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相．应．位．置．上） 若关于 x 的方程 （ m － 1）x2＋ mx － 1＝ 0是一元二次方程，则 A ．m ≠1 B ．m ＝1 C ．m ≠0 已知△ ABC ，以 AB 为直径作⊙ O ，∠C ＝88°，则点 C 在 A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内 要得到函数 y ＝2（x －1）2＋3 的图像，可以将函数 y ＝ 2x 2的图像m 的取值范围是 m ≥1 D ． D ． A ． 向左平移 1 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度 B 向左平 1 个单位长再向下平移 3个单位长度 C ． 向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 3个单位长度 D ． 向右平移 1 个单位长度， 再向下平移 3 个单位长度 如图， OA 、OB 是⊙ O 的半径， C 是⊙ O 上一点．若∠ OAC ＝16°， 4． ∠ OBC ＝54°，则∠ AOB 的大小是 A ．70° B ．72° C ．74° 无法确定 D ． 5．下图是甲、乙两人 2019年上半年每月电费支出的统计，则 他们 2019 年上半年月电费支出的方差 D ．无法确定C ． s 甲2< s乙222A ．s 甲>s 乙22B ．s 甲＝s乙s 甲2和 s 乙2的大小关系是6．已知关于 x 的函数 A ．m ≥1 y ＝x 2＋2mx ＋1，B ．m ≤1若 x>1 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 C ． m ≥－ 1D ．m ≤－1二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答．题．卡．相．应．位．置．上）07．数据 2，3，5，5，4 的众数是 ▲ ．08．二次函数 y ＝x 2－4x+5 图像的顶点坐标为 ▲ ．09．若扇形的半径长为 3，圆心角为 60°，则该扇形的弧长为 ▲ ．10．某企业 2017 年全年收入 720 万元， 2019 年全年收入 845 万元，若设该企业全年收入的 年平均增长率为 x ，则可列方程 ▲ ．11．若 x 1，x 2是一元二次方程 2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则 x 1＋x 2＝ ▲ ． 12．一个不透明的袋中原装有 2 个白球和 1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红 球的概率为 23，则袋中应再添加红球 ▲ 个（以上球除颜色外其他都相同） ．3 13．如图，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点 A （ 3， 0），对称轴为直线 x ＝ 1，则方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0的根为 ▲ ．14．如图， A ⌒B 、C ⌒D 、 E ⌒F 所在的圆的半径分别为 r 1、r 2、r 3，则 r 1、r 2、r 3的大小关系是15．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，AD ∥BC ，直线 EF 是⊙O 的切线， B 是切点．若∠ C ＝ 80°，∠ADB ＝54°，则∠ CBF ＝ ▲ °．16．已知三点 A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ ABC 内心的坐标为 ▲ ． 三、解答题（本大题共 11小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝0；18．（6 分）二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 中的 x ， y 满足下表x－10 1 3y31不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质： （1） ▲ ； （2） ▲ ； （3）▲．19．（8 分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的 500 名2）2（x －1）2－8＝0．▲ ．（用“<”连接） 第 14题） D第 15题）同学进行数学试卷第 2 页（共13 页）问卷测试，并随机抽取了 10 名同学的问卷，统计成绩如下：（ 1）计算这 10 名同学这次测试的平均得分；（ 2）如果得分不少于 9 分的定义为“优秀” ，估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有 40人，他们全部参加了这次测试，平均分为 7.8 分．小明的测试成绩是 8 分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？20．（ 8 分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．21．（8分）如图， BD 是⊙ O的直径．弦 AC 垂直平分 OD ，垂足为 E．1）求∠ DAC 的度数；2）若 AC＝6，求 BE 的长．22．（8分）已知二次函数 y ＝ x 2－ 2x ＋ m （ m 为常数）的图像与 x 轴相交于 A 、B 两点． （ 1）求 m 的取值范围；（2）若点 A 、B 位于原点的两侧，求 m 的取值范围．23．（8 分）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段 OP 绕着端点 O 旋转1 周，端点 P 运动所形成的图形叫做圆． 类比圆的定义，给圆锥下定义 ▲ 2）已知 OB ＝2cm ，SB ＝3cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ▲24．（ 8 分）某果园有 100 棵橙子树，平均每棵结 600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高 果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验 估计，每增种 1 棵树，平均每棵树就少结 5 个橙子．设果园增种 x 棵橙子树，果园橙子的总产 量为 y 个． （1）求 y 与 x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上？A ．6cm ×4cmB ．6cm ×4.5 cmC ．7cm ×4cmD ．7 cm × 4.5 cm 第 23 题）25．（8分）（1）如图，已知 AB、CD是大圆⊙ O的弦， AB＝CD，M是AB的中点．连接 OM，以 O 为圆心， OM 为半径作小圆⊙ O ．判断 CD 与小圆⊙ O 的位置关系，并说明理由；2）已知⊙ O，线段 MN，P是⊙ O外一点．求作射线 PQ，使 PQ被⊙ O截得的弦长等于 MN．不写作法，但保留作图痕迹）B26．（10分）已知函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图像经过点 A（－1，0）、B （0，2）．（ 1） b＝▲ （用含有 a 的代数式表示）， c＝▲ ；（2）点 O是坐标原点，点 C是该函数图像的顶点，若△ AOC的面积为 1，则 a＝▲ ；（3）若 x>1时， y< 5．结合图像，直接写出 a 的取值范围．27．（10 分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图 1、图 2 所示，某喷灌设备由一根高度为 0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖 直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管 在喷灌区域上的占地面积均忽略不计） ，旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在 绿化带上喷灌出一块圆形区域． 现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离 3 m 处达到最高， 高度为 1m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为 16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带 吗？如果可以， 请说明理由； 如果不可以， 假设水管可以上下调整高度， 求水管高度为多少时， 喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带． （以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）图1示意图2鼓楼区 2019-2020 学年度第一学期期末调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标7．5 8．（ 2，1） 9．π 10．720（1＋x ）2＝845 11．－ 12 12．313．x 1＝－1，x 2＝3 14．r 2<r 1<r 315．4616．（ 6，4）三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．） 17．（本题 6 分） （1）解： x 2＋x － 6＝0（ x －2）（ x ＋ 3）＝0 ..................................... 1 分 x －2＝0 或 x ＋3＝0x 1＝2，x 2＝－3． ............................................. 3 分（2）2（x －1）2－ 8＝0（x － 1）2＝ 4x －1＝± 2 ................................................... 1 分 x 1＝－ 1， x 2＝ 3． ........................................... 3 分 18．（本题 6 分）本题答案不惟一，每条性质 2 分，例如：（1）该函数图像是抛物线，开口向下； （2）该函数图像关于直线 x ＝1 对称； （3）当 x<1时，y 随 x 的增大而增大；当 x>1时，y 随x 的增大而减小； （ 4）函数图像的顶点坐标为（ 1， 1）； （5）当 x ＝1时， y 有最大值 1． 19．（本题 8 分）10×3＋9×3＋8× 2＋7×1＋6×13＋3＋2＋1＋1答：这 10 名同学在这次测试中的平均得分是 8.6分．（2） ＝0.6，500× 0.6＝300（人）3＋3＋2＋1＋11） ＝8.6（分）........................ 3 分 、填空题 （本大题共 10小题，每小题 2 分，共 20分．）答：估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数约为 300人． . 5 分（3）不同意小明的观点，成绩中等偏上，指小明成绩超过了班级一半以上的同学，也就是说他的成绩应超过了中位数．小明的成绩超过了平均数，未必能超过中位数．................................................................... 8 分20．（本题 8 分）解：两辆车分别记为车 1 和车 2，可以用下表列举出所有等可能的结果．车1 车2车1左转直行右转左转（左，左）（直，左）（右，左）直行（左，直）（直，直）（右，直）右转（左，右）（直，右）（右，右）可以看出，两辆车经过这个十字路口时，可能出现的结果有 9 种，并且它们出现的可能性相等．................................................................... 4 分（1）两辆车中恰有一辆车向左转（记为事件 A）的结果有 4 种，即（直，左）、（右，左）、（左，4直）、（左，右），所以 P （A）＝49．................................................................... 6 分（2）两辆车行驶方向相同（记为事件B）的结果有 3种，即（直，直）、（左，左）、（右，右），31所以 P （B）＝39＝31．.............................................. 8 分21．（8 分）（ 1）连接 OA．∵ AC 垂直平分 OD ，∴ AO＝ AD ．又 OA＝ OD，∴ △OAD 是等边三角形．........................................... 2 分∴ ∠DAO＝ 60°．AC⊥ OD，AO＝AD，14分∠DAC＝∠ OAC＝× 60°＝ 30°．22) ∵ OD ⊥AC，AC＝6，1∴ AE＝2AC＝ 3．∵ AC 垂直平分 OD ，垂足为 E ，1∴ ∠ AEO ＝90°， OE＝2OD．第211∴ OE＝2OA．设 OE＝x，则 OA＝OB＝ 2x．在 Rt△AEO 中， AE2＋EO2＝AO2，即： 32＋x2＝（2x）2．............ 6分解得， x ＝ 3 ．∴ BE＝OE＋OB＝x＋2x＝3x＝3 3．............. 8 分22．（ 8 分）答案不惟一，例如：（1）解：令 y＝0，得 x2－2x＋m＝0． ................................. 1 分∵ 图像与 x 轴相交于点 A、 B，∴ 方程 x2－2x＋m＝ 0 有两个不相等的实数根．∴ b2－ 4ac＝ 4－ 4m> 0． .......................................... 2 分解得 m<1．......................................................... 4 分（2）本小题如学生结合函数图像、平移等解释正确也可得分．设 A（x1 ，0）、B（x2 ，0），则 x1、x2 是方程 x2－2x＋ m＝0 的两个实数根．∵ 点 A、B 位于原点的两侧，∴ x1?x2< 0． .......................... 6 分∴ m< 0．由（ 1）m< 1，∴ m< 0．........................................... 8 分23．（本题 8 分）答案不惟一，例如：解：（1）空间中，把直角三角形 SOB绕着直角边 SO旋转 1周，另外两边 SB、OB 旋转而成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3 分（2）① S＝πrl ＝π×2×3＝ 6π．............................ 5 分②B．...................................................... 8 分24．（ 8 分）（1）y＝（100＋x）（600－5x）＝－5x2＋100x＋60000 .... 3 分注：不化简不扣分．（2）令 y＝ 60 400，解得 x1＝10－2 5，x2＝10＋2 5． ....................... 5 分y＝－ 5x2＋100x＋60 000＝－ 5（x－ 10）2＋ 60 500．该函数图像关于直线 x＝10对称，当 x<10时，y随 x的增大而增大；当 x>10时，y随x的增大而减小；所以当 10－2 5<x<10＋2 5时， y> 60 500．.................................................................... 7 分增种的棵树为 6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在 60 400个以上．.................................................................... 8 分注：说理部分如果有草图，并结合图像说理正确，算对．25．（本题 8 分）（1）解： CD 与小圆⊙ O 相切，理由如下： 如图，连接 OA 、 OB ．在△ OAB 中， OA ＝OB ，M 是 AB 的中点， ∴ OM ⊥ AB ．∴ ∠ OMB ＝90°． .............. 过O 作 OG ⊥CD ，垂足为 G ．1∴ ∠OGD ＝90°，DG ＝2CD ． 1∵ AB ＝CD ，BM ＝2AB ，∴ BM ＝DG ． ........................................................ 3 分 连接 OD ， 又 OB ＝ OD ， ∴ Rt △OMB ≌Rt △ OGD ．∴ OG ＝OM ，即 OG 是小圆⊙ O 的半径．这样， CD 经过小圆⊙ O 的半径 OG 外端点 G ，并且垂直于半径 OG ，CD 与小圆⊙ O 相切． ........................................... 5 分 2）如图所示，射线 PQ 即为所求作． ................................ 8 分 26．（本题 10 分）（1）b ＝a ＋2；c ＝2． ............................................... 2 分（2）a ＝－2或 6－4 2或 6＋4 2． ................................... 6 分 （注：其中， a ＝－2占 4分中的 2分，其余一个 1分）（3）a ＜－8＋2 15． ............................................... 10 分 27．（本题 10 分）（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为 （3，1），过（ 0，0.64）．2分B代入（ 65， 0），解得， a ＝ 49－ 665250.64＋ 49－ 6 652565－ 6 65 2510 分答：水管高度为 65－ 6时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．................................................................... 1 分 可设该抛物线对应的函数表达式是 y ＝a （x －3） 2＋1，代入（ 0，0.64），所以 y ＝－ 215 （x －3） 2＋1． ....................................... 3 分 令y ＝0，解得 x 1＝－ 2（舍）， x 2＝ 8． ............................. 4 . 分4分 所以，喷灌出的圆形区域的半径为 8m ．（2）在边长为 16m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，................................................................... 6 分 如图 1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 3810，8< 83 10，这样安装不能完全覆盖；如图 2，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 65， 8< 65，这样安装也不能完全覆盖；65< 38 10，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最 小值应为 65 m ． ............................................ 8 分 设水管向上调整 am ，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是 y ＝－ 1 （x －3） 2＋ 1＋ a ．25解得， a ＝－125图 1）（说明：正确画出两个图形 2分，每个图形各 1分；求出83 10、 65并进行正确判断2分，如未作出正确判断只得 1分；求出49－26565得1分，求出65－26565得2分．）。

福建省福州市鼓楼区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列事件是必然事件的是()A. −4的相反数是−14B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C. 任意一个一元二次方程都有实数根D. 在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°3.已知点A(a,2015)与点A′(−2104,b)是关于原点O的对称点，则a+b的值为()A. 1B. −1C. 6D. 44.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为()A. 4：9B. 2：3C. √2：√3D. 16：815.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为()A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺6.如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若DE⏜=2BD⏜=2CE⏜，则下外说法正确的是()A. AB=√3AEB. AB=2AEC. 3∠A=2∠CD. 5∠A=3∠C7.对于二次函数y=−3(x−2)2+9，下列说法正确的是()A. 图象的开口向上B. 当x<2时，y随x的增大而增大C. 当x=2时，取得最小值为y=9D. 图象的对称轴是直线x=−28.已知−1是一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根，则a−b的值是()A. −1B. 0C. 1D. 无法确定(x>0)上的一点，过点A作AC⊥y轴，9.如图，点A是反比例函数y═6x垂足为点C，AC交反比例函数y=2的图象于点B，点P是x轴上的动x点，则△PAB的面积为()A. 2B. 4C. 6D. 810.二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为()A. 0B. −1C. −2D. −3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.抛物线y=ax2−2ax+5的对称轴是直线______．12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是________．13.已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是____度．14.关于x的方程x2+ax−2a=0的一个根为3，则该方程的另一个根是______．15.新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路(一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2)，其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米 2.则横向的甬路宽为______米．16.以坐标原点O为圆心，作半径为3的圆，若直线y=x−b与⊙O相交，则b的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若CD=2，求BE的长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.用配方法解一元二次方程x2−2x−5=0．19.已知关于x的一元二次方程−x2+(3−k)x+k−1=0，其中k为常数．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，求k的取值范围．20.110“特色江苏，美好生活”，第十届江苏省园艺博览会在扬州举行.圆圆和满满同学分析网上关于园博会的信息，发现最具特色的场馆有：扬州园，苏州园，盐城园，无锡园.他们准备周日下午去参观游览，各自在这四个园中任选一个，每个园被选中的可能性相同．(1)圆圆同学在四个备选园中选中扬州园的概率是___________．(2)用树状图或列表法求出圆圆和满满他们选中同一个园参观的概率是多少？21.在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(Ⅰ)如图①，求证直线DE是⊙O的切线；(Ⅱ)如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．22.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．(1)在图中画出：将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BEA；(2)连接EP，完成你的解答．23.19.已知，如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂直为D，两点，且与反比例函数y=nx若OB=2OA=3OD=6．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式；kx+b≤n的解集．x24.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE//AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．(1)求证：四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE．25.如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2.答案：D解析：本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的概念可得答案．解：A、是不可能事件，故A不符合题意；B、是随机事件，故B不符合题意；C、是随机事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D符合题意；故选D．3.答案：B解析：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解：∵点A(a,2015)与点A′(−2104,b)是关于原点O的对称点，∴a=2014，b=−2015，则a+b=2014−2015=−1．故选：B．4.答案：B解析：解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.答案：B解析：解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15=1.50.5，解得x=45(尺)．故选：B．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．6.答案：C解析：本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据弧的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE 是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．解：∵DE⏜=2BD⏜=2CE⏜，∴∠BOD=∠EOC=1∠DOE，2∵∠BOD+∠EOC+∠DOE=180°，∴∠BOD=∠EOC=45°，∠DOE=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=67.5°，同理，∠OEC=∠OCE=67.5°，∴∠A=45°，∵BC为直径，∴∠AEB=∠CEB=90°，∴AB=√2AE，故A、B错误；3∠A=135°，2∠C=135°，∴3∠A=2∠C，C正确；5∠A=225°，3∠C=202.5°，∴5∠A≠3∠C，D错误；故选：C．7.答案：B解析：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k).由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．解：∵y=−3(x−2)2+9，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,9)，∴A、C、D都不正确，∵二次函数的图象为一条抛物线，当x<2时，y随x的增大而增大，∴B正确，故选B．8.答案：A解析：解：把x=−1代入方程得：a−b+1=0，即a−b=−1，故选：A．把x=−1代入方程计算求出a−b的值即可．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9.答案：A解析：解：如图，连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC=S△AOC=12×|6|=3，S△BPC=S△BOC=12×|2|=1，∴S△PAB=S△APC−S△BPC=2．故选：A．连接OA、OB、PC.由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC=S△AOC=3，S△BPC=S△BOC=1，然后利用S△PAB=S△APC−S△APB进行计算．本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|.也考查了三角形的面积．10.答案：B解析：解：二次函数y=−(x−1)2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n<1时，当x=m时y取最小值，即5m=−(m−1)2+5，解得：m=−2．当x=n时y取最大值，即2n=−(n−1)2+5，解得：n=2或n=−2(均不合题意，舍去)；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=−(m−1)2+5，解得：m=−2．当x=1时y取最大值，即2n=−(1−1)2+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=−(n−1)2+5，n=52，∴m=118，∵m<0，∴此种情形不合题意，所以m+n=−2+52=12．故选：B．条件m≤x≤n和mn<0可得m<0，n>0，所以y的最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．最大值为5n分两种情况，(1)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出．(2)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．11.答案：x=1解析：此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键．直接利用二次函数对称轴公式计算得出答案．解：抛物线y=ax2−2ax+5的对称轴是直线：x=−−2a2a=1．故答案为：x=1．12.答案：49解析：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．解：∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是49，故答案为49．13.答案：120解析：本题主要考查扇形的面积公式.正确理解公式S=nπr2360是解题的关键，此题难度不大.设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．解：设扇形的圆心角是n°，根据题意可知：S=nπ32360=3π，解得n=120，故答案为120．14.答案：6解析：解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系得3+x1=−a，3x1=−2a，解得a=−9，x1=6．故答案为：6．根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．15.答案：3解析：解：设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：(20−2×2x)(12−3x)=144，整理得：x2−9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12−3x=−12，∴x=8不合题意，舍去，∴3x=3．即横向的甬路宽为3米．故答案为：3．设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之并验证，取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.答案：−3√2<b<3√2解析：本题考查了切线的性质，根据OA=OB，得到△OAB是等腰直角三角形是解题的关键．求出直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、二、三象限，和当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．解：当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、二、三象限时，如图．在y=x−b中，令x=0时，y=−b，则与y轴的交点B(0,−b)，当y=0时，x=b，则与x轴交点A(b,0)，则OA=|b|=OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C，则OC=3．则OB=√2OC=3√2，即b=−3√2，同理，当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、三、四象限时，b=3√2．所以若直线y=x−b与⊙O相交，则b的取值范围是−3√2<b<3√2．故答案为：−3√2<b<3√2．17.答案：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，又∵∠ADE=∠C，∴∠BDE=∠CAD．∴△BDE∽△CAD．(2)解：由(1)得DBBE =ACCD．∵AB=AC=5，BC=8，CD=2，∴DB=BC−CD=6．∴BE=DB×CDAC =6×25=2.4．解析：(1)由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可；(2)由(1)可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够掌握并熟练运用．18.答案：解：x2−2x=5x2−2x+1=6(x−1)2=6x−1=±√6得x1=1+√6，x2=1−√6．解析：本题考查的是用配方法解一元二次方程．先移项，再配方求解即可．19.答案：(1)证明：∵△=(3−k)2−4×(−1)(k−1)=k2−2k+5=(k−1)2+4>0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)解：∵二次函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，二次项系数a=−1，∴抛物线开口方向向下，∵△=(k−1)2+4>0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=3−k>0，x1⋅x2=−(k−1)≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1．解析：(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，根据判别式的意义即可证明；(2)由于二次函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，又=(k−1)2+4>0，所以抛物线的顶点在x轴的上方经过一、三、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向下，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．20.答案：(1)14；(2)14解析：(1)直接根据概率公式进行求解即可．(2)列举出所有情况，看圆圆和满满他们选中同一个园参参观的情况占总情况的多少即可．【详解】解：(1)圆圆同学在四个备选园中选中扬州园的概率是14(2)画树状图分析如下：扬州园A，苏州园B，盐城园C，无锡园D．P=1 4本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：(Ⅰ)证明：连接OD，如图，∵AB=BC，∴∠A=∠C．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∴∠C=∠ADO．∴OD//BC．∵DF⊥BC，∴∠ODE=90°．∴直线DE是⊙O的切线；(Ⅱ)解：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵AB=BC，∴AD=DC．∵AC=8，∴AD=4．在Rt△ADB中，BD=√AB 2−AD2=√52−42=3，∵DG⊥AB于H，由三角形面积公式，得AB⋅DH=AD⋅DB．∴DH=4×35=125，∵AB⊥DG，∴DG=2DH=245．解析：(Ⅰ)连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD//BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；(Ⅱ)连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°.而AB=BC，则AD=DC= 4.在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到AB⋅DH=AD⋅DB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH．本题考查了圆的切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．22.答案：解：(1)如图：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；(2)连EP，如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．解析：(1)根据题意，作出图形；(2)将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE =PB =4，∠BPE =60°，在△AEP 中，AE =5，AP =3，PE =4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE =90°，即可得到∠APB 的度数． 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 23.答案：(1)y =−2x +6．y =−20x ;(2)另一个交点坐标为(5,−4).(3) −2≤x <0或x ≥5．解析：试题分析：(1)先求出A 、B 、C 坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．(2)两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．试题解析：(1)∵OB =2OA =3OD =6，∴OB =6，OA =3，OD =2，∵CD ⊥OA ，∴DC//OB ，∴OB CD =AO AD ，∴6OD =35，∴CD =10，∴点C 坐标(−2,10)，B(0,6)，A(3,0)，∴{b =63k +b =0解得：{k =−2b =6,∴一次函数为y =−2x +6．∵反比例函数y =n x 经过点C(−2,10)，∴n =−20，∴反比例函数解析式为y =−20x ；(2)由{y =−2x +6y =−20x，解得{x =−2y =10或{x =5y =−4，故另一个交点坐标为(5,−4)； (3)由图象可知kx +b ≤nx 的解集：−2≤x <0或x ≥5．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24.答案：证明：(1)∵∠B =∠D ，∠B =∠E ，∴∠D =∠E .∵CE//AD ，∴∠E +∠DAE =180∘．∴∠D +∠DAE =180∘∴AE//DC ．∴四边形AECD 是平行四边形．(2)过点O 作OM ⊥EC ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．∵四边形AECD 是平行四边形，∴AD =EC ．又AD =BC ，∴EC =BC ，∴OM =ON ，∴CO 平分∠BCE ．解析：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．(1)根据圆周角定理得到∠B =∠E ，得到∠E =∠D ，根据平行线的判定和性质定理得到AE//CD ，证明结论；(2)作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CE 于N ，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．25.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，∴{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)存在．∵抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3，∴点C 的坐标为(0,3)，∵C(0,3)，B(3,0)，∴直线BC 的解析式为y =−x +3，∴过点O 与BC 平行的直线y =−x ，与抛物线的交点即为M ，解方程组{y =−x y =−x 2+2x +3， 可得{x =3+√212y =−3−√212或{x =3−√212y =−3+√212， ∴M 1(3+√212,−3−√212)，M 2(3−√212,−3+√212)；(3)存在．如图，设BP交轴y于点G，∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上，∴当x=2时，m=−22+2×2+3=3，∴点D的坐标为(2,3)，把x=0代入y=−x2+2x+3，得y=3，∴点C的坐标为(0,3)，∴CD//x轴，CD=2，∵点B(3,0)，∴OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，∴△CGB≌△CDB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=OC−CG=1，∴点G的坐标为(0,1)，设直线BP的解析式为y=kx+1，将B(3,0)代入，得3k+1=0，，解得k=−13x+1，∴直线BP的解析式为y=−13x+1=−x2+2x+3，令−13，x2=3，解得x1=−23=1左侧的一点，即x<1，∵点P是抛物线对称轴x=−b2a∴x=−2，3代入抛物线y=−x2+2x+3中，把x=−23解得y=119，∴当点P的坐标为(−23,119)时，满足∠PBC=∠DBC．解析：(1)根据抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，可求得抛物线的表达式；(2)根据直线BC的解析式为y=−x+3，可得过点O与BC平行的直线y=−x，与抛物线的交点即为M，据此求得点M的坐标；(3)设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为(0,1)，得到直线BP的解析式为y=−13x+1，最后计算直线BP 与抛物线的交点P的坐标即可．本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算等重要知识点的综合应用，解决问题的关键是画出图形，找出判定全等三角形的条件．。