数值分析教学大纲新
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《数值分析》教学大纲（新）
（Numerical Analysis）
适用专业：全校工科专业课程性质：学位课
学时数：48学时学分数：3学分
课程号：开课学期：第1学期
大纲执笔人：杨帆大纲审核人：欧志英
一、课程的地位和教学目标
数值分析是全校研究生的一门重要学位课，工科研究生应该掌握数值分析的基本知识和方法，
主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。
内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。
力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。
二、课程教学内容和基本要求
（一）数值分析引论（Introduction）（3学时）
教学重点、难点：
重点：理解有效数字和误差的概念，理解离散化方法与递推化方法。
难点：有效数字和误差的关系，递推化方法的编程实现。
教学内容和基本要求
1、数值分析课程的特点
了解数值分析的四个特点。
即：面向计算机，可靠的数学理论分析，良好的计算复杂性，可进行数值实验。
2、有效数字；
理解有效数字概念，掌握有效数字确定的方法；
3、误差的概念，和误差的求解。
理解误差的基本概念，了解误差的各种来源，会误差估计；基本要求：
（二）非线性方程求根(Solving Nonlinear Equations)（5学时）
教学重点、难点：
重点：二分法，迭代法，牛顿法和割线法求解非线性方程。
难点：迭代法的收敛性和误差分析以及迭代加速。
教学内容和基本要求
1、二分法
掌握二分法及其收敛性。
2、迭代法的基本理论
迭代法的基本思想和收敛性判别定理以及误差分析。
3、迭代加速技术。
掌握迭代加速技术的基本思想和Aitken加速公式。
4、牛顿法及其割线法
掌握牛顿法和割线法及其收敛性。
（三）线性方程组的直接解法(Direction Solving Linear Systems) (5学时）
教学重点、难点：
重点：线性方程组的高斯消元法以及LU分解法。
难点：利用向量和矩阵的范数进行误差分析。
教学内容和基本要求
1、高斯消元法
掌握顺序高斯消元法和选列主元高斯消元法
2、LU分解法
掌握LU分解法。
3、误差分析
掌握向量和矩阵的范数，利用这两类范数进行误差分析。
（四）线性方程组的迭代解法（Iterative Method for Solving Linear Equations）(5学时）
教学重点、难点：
重点：三种经典迭代法的构造。
难点：迭代法的收敛性和误差分析
教学内容和基本要求
1、迭代法的一般理论
掌握迭代公式的构造和迭代法的收敛性和误差分析。
2、三种经典迭代法
掌握雅可比和高斯-塞德尔以及逐次超松子这三类迭代法求解线性方程组的迭代
格式。
（五）插值法与最小二乘拟合(Interpolation, Curve Fitting and Polynomial Approximation)（10学时）
教学重点、难点：
重点: 拉格朗日和牛顿插值法以及最小二乘法。
难点：三次样条插值
教学内容和基本要求
1、插值法的基本理论
了解插值多项式的概念，插值基函数以及插值误差。
2、拉格朗日插值法
掌握利用拉格朗日基函数构造拉格朗日插值多项式以及误差分析。
3、牛顿插值法
掌握差商的概念，利用差商构造牛顿插值公式。
4、Hermit插值及分段插值
掌握构造Hermit插值的方法。
5、三次样条插值
掌握三次样条插值函数的构造方法。
6、曲线拟合的最小二乘法
掌握最小二乘方法和最佳平方逼近方法。
（六）数值积分和数值微分(Numerical Differentiation and Integration)（10学时）
教学重点、难点：
重点：复化的求积公式和变步长求积公式。
难点：龙贝格求积公式
教学内容和基本要求
1、几个常用的求积公式
掌握插值型求积公式以及代数精度。
2、复化求积公式
掌握复化梯形公式和复化的新普生公式。
3、高斯求积公式
掌握高斯求积公式。
4、数值微分
掌握两点和三点公式。
（七）常微分方程数值解法(Numerical Solutions of Ordinary Differential Equations)（10学时）
教学重点、难点：
重点：欧拉差分格式和龙格-库塔方法。
难点：差分格式的收敛性与稳定性分析。
1、欧拉方法及其改进
掌握欧拉公式和改进的欧拉公式。
2、龙格-库塔公式
掌握龙格-库塔方法的基本思想以及龙格库塔公式。
3、收敛性与稳定性
掌握差分格式的收敛性与稳定性。
四、本课程教学建议
（一）学生应先修高等数学，线性代数，Matlab语言及程序设计。
（二）为使学生能做到对所学知识融会贯通，一方面应加强练习尤其是matlab编程方面的练习，另一方面应在课程的后半段，适时引进一些实际问题让学生建立数学模型，然后用数值方法求解。
五、本课程评价方式
闭卷考试。
六、建议教材和教学参考书
[1] 蔡大用，白峰杉《高等数值分析》，清华大学出版社，1996.
[2] 马昌风，《现代数值分析》. 国防工业出版社, 2015.
[3] Jaan Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Matlab. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
[4] Curtis F Gerald, Patrick O Wheatley. Applied Numerical Analysis. Sixth Edition. New York: Addison-Wesley, 1999.
[5] Huang Fang Lun. Numerical Methods Using Matlab. Fourth Edition. Bei Jing: Publishing House of Electronics Industry, 2009.
[6] 朱晓临. Numerical Analysis. 合肥: 合肥工业大学出版社, 2010.。
