下载文档原格式
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
多元线性回归名词解释多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。
例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。
多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。
它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。
此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或欠拟合等问题。
因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
总之，多元线性回归是一种分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型，可以有效地检验假设，从而预测和分析数据。
它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它也有许多缺点，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，以准确地预测和分析数据。
简要回答题：1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？答案：在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。
F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。
检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。
知识点：多元线性回归难易度：12. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？答案：（1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。
因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。
（2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。
变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。
知识点：多元线性回归难易度：2计算分析题：1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。
管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。
为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。
经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。
回归统计0.91470.83660.789960.7063方差分析df SS MS F Significance F回归2132093.19966046.60017.9220.002残差725796.8013685.257总计9157890.000参数估计和检验Coefficients标准误差t Stat P-valueIntercept-115.288110.568-1.0430.332X Variable 10.5780.503 1.1490.288X Variable 23.9350.699 5.6280.001（1）指出上述回归中的因变量和自变量。
（2）写出多元线性回归方程。
（3）分析回归方程的拟合优度。
（4）对回归模型的线性关系进行显著性检验。
答案：（1）自变量是营业面积和销售人员数，因变量是营业额。
（2）多元线性回归方程为：。
（3）判定系数，表明在营业额的总变差中，有83.66%可由营业额与营业面积和服务人员数之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度较高。
估计标准误差，表示用营业面积和服务人员数来预测营业额时，平均的预测误差为60.7036万元。
（4）从方差分析表可以看出，，营业额与营业面积和服务人员数之间的线性模型是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：22. 机抽取的15家超市，对它们销售的同类产品集到销售价格、购进价格和销售费用的有关数据（单位：元）。
设销售价格为y、购进价格为、销售费用为，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：方差分析df SS MS F Significance F回归261514.1730757.0912.880.0010残差1228646.762387.23总计1490160.93参数估计和检验Coefficients标准误差t Stat P-valueIntercept637.07112.63 5.660.0001X Variable 10.180.08 2.330.0380X Variable 2 1.590.34 4.710.0005（1）写出多元线性回归方程，并解释各回归系数的实际意义。
（2）计算判定系数，并解释其实际意义。
（3）计算估计标准误差，并解释其意义。
（4）根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否都有用？请说明理由。
答案：（1）多元线性回归方程为：。
偏回归系数表示：在销售费用不变的条件下，购进价格每增加1元，销售价格平均增加0.18元；偏回归系数表示：在购进价格不变的条件下，销售费用每增加1元，销售价格平均增加1.59元。
（2）判定系数，表明在销售价格总变差中，有68.23%可由销售价格与购进价格和销售费用之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。
（3）估计标准误差，表示用购进价格和销售费用来预测销售价格时，平均的预测误差为48.86元。
（4）都有用。
因为两个回归系数检验的值均小于0.05，都是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：33. 经济和管理专业的学生在学习统计学课程之前，通常已经学过概率统计课程。
经验表明，统计学考试成绩的高低与概率统计的考试成绩密切相关，而且与期末复习时间的多少也有很强的关系。
根据随机抽取的15名学生的一个样本，得到统计学考试分数、概率统计的考试分数和期末统计学的复习时间（单位：小时）数据，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：方差分析df SS MS F Significance F回归2A B D0.01残差12418.46C总计14900.86参数估计和检验Coefficients标准误差t Stat P-valueIntercept-15.53333.695-0.4610.653X Variable 10.7030.203 3.4650.005X Variable 2 1.7100.676 2.5270.027（1）计算出方差分析表中A、B、C、D单元格的数值。
（2）计算判定系数，并解释其实际意义。
（3）计算估计标准误差，并解释其意义。
答案：（1）A=900.86-418.46=482.40；B=482.40÷2=241.20；C=418.46÷12=34.87；D=241.20÷34.87=6.92。
（2）判定系数，表明在统计学考试成绩的总变差中，有53.55%可由统计学考试成绩与概率统计成绩和期末复习时间之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。
（3）估计标准误差，表示概率统计成绩和期末复习时间来预测统计学成绩时，平均的预测误差为5.905分。
知识点：多元线性回归难易度：34. 国家统计局定期公布各类价格指数。
为了预测居民消费价格指数，收集到2002年～2006年间的几种主要价格指数，包括商品零售价格指数、工业品出厂价格指数，原材料、燃料、动力购进价格指数，固定资产投资价格指数等，这些指数都是以上年为100而计算百分比数字。
以居民消费价格指数为因变量，自变量分别为商品零售价格指数（），工业品出厂价格指数（），原材料、燃料、动力购进价格指数（），固定资产投资价格指数（）。
经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：回归统计Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差0.99800.99610.99450.5636方差分析df SS MS F Significance F回归4804.25 201.06 632.99 5.64E-12残差10 3.18 0.32总计14807.43参数估计和检验Coefficients标准误差t Stat P-valueIntercept-2.972 3.154 -0.942 0.36831X Variable 11.046 0.101 10.361 1.1E-06X Variable 20.074 0.219 0.337 0.74297X Variable 3-0.074 0.142 -0.523 0.61245X Variable 4-0.001 0.054 -0.018 0.9858对所建立的回归模型进行分析和讨论。
答案：（1）判定系数，调整后的判定系数，回归方程的拟合优度非常高。
估计标准误差，其他4个价格指数来预测居民消费价格指数时，预测的误差较小。
（2）从方差分析表可以看出，，表明居民消费价格指数与其他4个价格指数之间的线性关系显著。
（3）但从各回归系数检验的P值看，4个价格指数中，只有商品零售价格指数是显著的，而其余3个均不显著。
但这并不意味着这3个价格指数与居民消费价格指数之间的线性关系就不显著，产生这种情况的原因，可能是由于模型中存在多重共线性造成的。
因此，可考虑使用逐步回归方法进行回归分析。
知识点：多元线性回归难易度：35. 下面是因变量y与两个自变量和进行逐步回归得到的有关结果。
（1）在上述结果中，两个自变量对预测y都有用吗（a=0.05）？（2）写出含有两个自变量的二元线性回归方程，它的判定系数是多少？估计标准误差是多少？回归模型的线性关系是否显著？答案：（1）都有用。
因为从两个回归系数检验的P值看，均小于显著性水平0.05。
（2）二元线性回归方程为：。
判定系数，标准误差。
从方差分析表可以看出，，该二元线性回归模型的线性关系是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：26. 一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。
为研究产品销售量(y)与该公司的销售价格（）、各地区的年人均收入()、广告费用()之间的关系，搜集到30个地区的有关数据。
利用Excel得到下面的回归结果（a=0.05）：方差分析表变差来源df SS MS F Significance F回归4008924.78.88341E-13残差——总计2913458586.7———参数估计表Coefficients标准误差t Stat P-valueIntercept7589.10252445.02133.10390.00457X Variable 1-117.886131.8974-3.69580.00103X Variable 280.610714.7676 5.45860.00001X Variable 30.50120.1259 3.98140.00049(1) 将方差分析表中的所缺数值补齐。
(2) 写出销售量与销售价格、年人均收入、广告费用的多元线性回归方程，并解释各回归系数的意义。
(3) 检验回归方程的线性关系是否显著？(4) 计算判定系数，并解释它的实际意义。
(5) 计算估计标准误差，并解释它的实际意义。
答案：（1）方差分析表如下：变差来源df SS MS F Significance F回归312026774.14008924.772.808.88341E-13残差261431812.655069.7——总计2913458586.7———（2）多元线性回归方程为：。
表示：在年人均收入和广告费用不变的情况下，销售价格每增加一个单位，销售量平均下降117.8861个单位；表示：在销售价格和广告费用不变的情况下，年人均收入每增加一个单位，销售量平均增加80.6107个单位；表示：在年销售价格和人均收入不变的情况下，广告费用每增加一个单位，销售量平均增加0.5012个单位。
