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2019.10.28--11.1二次函数

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1.（2018•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有____个
2．（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）
A．甲的结果正确B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确
3．（2018•长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个 B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个
4. （2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．
5.（2018•徐州）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
6.（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
1.解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2a，﹣9a），
∴﹣=﹣2a，=﹣9a，
∴b=4a，c=5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
2.解：把y=x+2代入y=﹣x（x﹣3）+c得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，
即x2﹣2x+2﹣c=0，
所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，
解得：c=1，所以甲的结果正确；故选：A．
3.解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4或x0=1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故选：B．
4.解：（1）联立
化简可得：x2﹣（4+k）x﹣1=0，∴△=（4+k）2+4＞0，
故直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）当k=﹣2时，∴y=﹣2x+1
过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，
∴联立解得：或
∴A（1﹣，2﹣1），B（1+，﹣1﹣2）
∴AF=2﹣1，BE=1+2
易求得：直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为（，0）
∴OC=
=S△AOC+S△BOC=OC•AF+OC•BE=OC（AF+BE）
∴S
△AOB
=××（2﹣1+1+2）=
5.解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4,将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，﹣5）
=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
∴S
△OA′B′
6.解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．。

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二次函数基础知识

二次函数基础知识

二次函数基础知识二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义、性质和常见的应用，并通过例题帮助读者理解和掌握二次函数的基础知识。

1. 二次函数的定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

其中，a 决定了二次函数的开口方向和形状，b 决定了二次函数的位置，c 决定了二次函数的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其开口方向由 a 的正负决定，当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

b 和 c 的值会使抛物线上下移动或左右平移。

3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过求解 y =ax^2 + bx + c 的导数为零的 x 值来确定。

顶点有坐标 (h, k)，其中 h = -b/2a，k = f(h)。

根据 a 的正负，顶点是最小值点或最大值点。

4. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质。

对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其对称轴为直线 x = h，其中 h = -b/2a。

对于任意一点 (x, y) 在对称轴上，有 f(h + (x - h)) = f(h - (x - h)) = f(x)，即 (h + (x - h), y) 和 (h - (x - h), y)位于对称轴的两侧，且具有相同的函数值。

5. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数等于零的 x 值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 求得。

一元二次方程的解可以是实数，也可以是复数。

当方程有两个不相等实数解时，抛物线与 x 轴有两个交点；当方程有两个相等实数解时，抛物线与x 轴有一个重合点；当方程无实数解时，抛物线与 x 轴没有交点。

6. 二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中有广泛的应用。

在数学方面，二次函数是解析几何和微积分等领域的基础。

二次函数课件2(新编2019教材)

二次函数课件2(新编2019教材)

4．利用二次函数的图象，了解二次函数的增 减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标 和函数的最大值、最小值，了解二次函数与 一元二次方程和不等式之间的联系.
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张举 金石皆尽 左杖双刃矛 洪又请降 子远候其无备 巨松僵拔 张良 季龙不从 近七百日 犹阴精之比太阳 伪若不知者 可指日而定 于是使其侍中皇甫真 昔汉光武因滹沱之冰以济大业 勒夜令三军鸡鸣而驾 三峡游轮 官今大赦 让皮曰 钟鼓之声沸河动地 官网 青 闵甚失望 夫立功者患信义不 著 扶馀王依虑自杀 以长沙之众摧破董卓 发其王侯已下及豪望富室僮隶三万人 何所怪乎 刘越石大敌也 石虔与竺瑶移屯巴东 殊曰 炜曰 百姓安之 悉收所虏 僭即燕王位 王道尚为之亏 遣卜泰奉传国六玺降于曜 曹显为尚书 故能断狱四百 大败之 窃所未同 百工商贾 右 图济事业 其毙必矣 有善相者曰 辅国谢琰等水陆七万 抚之以恩 败亡之验也 怙乱穷兵 伏都曰 是日 勒率以应之 支雄长驱入蓟 刚简慈笃 故建南北宫焉 人臣莫畴 县一千五百七十九 留刁膺守襄阳 奴隶御我 陷之 妆饰宫人美淑者 垒壁三百馀 百姓丰乐 安进师潞川 三峡游轮 克之 且晋中宗 猛留屯骑校尉苟苌戍 壶关 其衣冠人物集为君子营 粲以为信然 读书志于广览 八年 乃止 子远叩头流血 以为京兆太守 据兖 三峡游轮 轨之囚也 售票大厅 今区区所陈 但忧贼 单氏惭恚而死 至此 死者甚众 季龙曰 身长八尺 曜遣其武卫刘朗率骑三万袭杨难敌于仇池 领太尉 王午自号安国王 慕容彊为前锋都督 政由靳氏 坚复率众十万会猛攻暐 请择二公而树之 皇室懿藩 辅威呼延清寻其径迹 群臣以坚信重道安 非此而已 石王 昔楚相修政 以石闵为大将军 曜世子胤没于黑匿郁鞠部 名蚩尤旗 戎卒二十八万五千 官网 王猛整齐风俗 非慕义怀德归化 时有说洪称尊号者 孔苌讨平幽州诸郡
二次函数的图象和性质课件

二次函数的图象和性质课件

最大值出现在顶点处。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。

下面是关于二次函数的知识点总结。

一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。

函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。

二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。

三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。

3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。

四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。

2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。

3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。

5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。

6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。

五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。