专题1.1 二次函数的图像与性质（一）（六大题型）【题型1 判断二次函数的个数】【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【题型3 二次函数的一般式】【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【题型1 判断二次函数的个数】【典例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式11】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式12】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式13】已知函数：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式14】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝9x2﹣（3x﹣1）2；②；③y＝x（1﹣x）；④y＝（1﹣2x）2A．1个B．2个C．3个D．4个【变式15】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝1﹣3x2；②y＝；③y＝x（1+x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【典例2】已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±1【变式21】有二次函数y＝x m﹣2﹣2x+1，则m的值是（）A．4B．2C．0D．4或2【变式22】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【变式23】若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≥1C．a≤﹣1D．a≠﹣1【变式24】如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为﹣．【变式25】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是．【题型3 二次函数的一般式】【典例3】二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．3【变式31】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（）A．y＝x2﹣x+3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【变式32】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20B．y＝﹣x2+2C．y＝﹣x2+6x+20D．y＝﹣x2﹣6x+2【变式33】把二次函数y＝﹣（x+3）（x+4）+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．﹣1，7D．﹣1，﹣7【变式34】二次函数的一般形式为（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0）C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0）D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【变式35】把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是．【变式36】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为．【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740B．y＝10x﹣140C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40）D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【变式41】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x）B．W＝（60﹣x）（300+20x）C．W＝（60+x）（300﹣20x）D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【变式42】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]C．w＝（x﹣50）（200+×10）D．w＝（x﹣50）（200+×10）【变式43】2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（）A．w＝（200+×4）（x﹣48）B．w＝（200﹣×4）（x﹣48）C．w＝（200﹣×4）（x﹣34）D．w＝（200+×4）（x﹣48）【变式44】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y 元，那么y与x的函数关系式是．【变式45】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．x（元∕件）15182022…y（件）250220200180…按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是．【变式46】某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为．（不写出x的取值范围）【变式47】新华商场销售某种品牌的童装，每件进价为60元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装时，当售价为80元，平均每月售出200件；售价每降低1元，平均每月多售出20件．设售价为x元，则这种童装在这段时间内，平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式是；平均每月的销售利润W（元）与x满足的函数关系式是．【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【典例5】将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y 与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【变式51】长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）【变式52】长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【变式53】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【变式54】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为．【变式55】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（不（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为．必写出自变量的取值范围）【变式56】有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y ＝，其中是自变量，是因变量．【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【典例6】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A 开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式61】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC 以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．【变式62】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．【变式63】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式64】如图，正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别是BC、DC边上的动点，点E，F同时从点C均以每秒1cm的速度分别向点B，点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x（s），运动过程中△AEF的面积为y（cm2），请写出用x表示y的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【变式65】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E 出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，求y与x之间的函数关系式．。
2024年浙教版数学九年级上册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是2024年浙教版数学九年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。
教材内容安排合理，由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但学生在学习二次函数时，可能会觉得比较抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义及其一般形式；2.掌握二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等；3.能够通过实际问题，建立二次函数模型，并解决相关问题；4.提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其一般形式；2.二次函数的性质，特别是开口方向、对称轴、顶点的理解；3.实际问题中二次函数模型的建立和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现二次函数的规律；2.利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象和性质；3.运用讨论法，鼓励学生积极参与，培养学生的合作意识；4.采用案例分析法，使学生能够将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入和巩固二次函数的知识；2.制作PPT，展示二次函数的图象和性质；3.准备一些练习题，用于让学生在课堂上练习和巩固所学知识；4.准备一些拓展问题，激发学生的思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如抛物线运动，引出二次函数的概念。
让学生观察实际问题中的数量关系，引导学生发现二次函数的规律。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图象，让学生直观地了解二次函数的性质。
同时，引导学生总结二次函数的一般形式。
3.操练（10分钟）让学生根据二次函数的定义和性质，解决一些相关问题。
1.1 二次函数-浙教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解二次函数的概念及其基本性质；2.掌握如何通过表格、图像和解析式表示二次函数；3.学会用解析式求二次函数的零点、顶点、对称轴和图像的开口方向。
二、教学重点1.二次函数的表格、图像和解析式的表示方法；2.用解析式求二次函数的零点、顶点和对称轴。
三、教学难点用解析式求图像的开口方向。
四、教学方法通过讲解、演示和练习相结合，引导学生深入理解和掌握二次函数的基本性质和求解方法。
五、教学过程5.1 二次函数的概念及其基本性质1.引入：让学生通过实例认识二次函数，并引导学生对二次函数的特点进行探究。
2.概念：引导学生通过实例理解二次函数的概念，即形如y=ax2+bx+c的函数。
3.性质：通过数学公式和图形展示，讲解二次函数的基本性质，包括二次函数的对称轴、顶点、零点和图像的开口方向。
5.2 二次函数的表格、图像和解析式的表示方法1.二次函数的表格：通过实例和练习，教导学生如何通过求解二次函数的值，来绘制二次函数的表格。
2.二次函数的图像：通过实例和练习，教导学生如何通过表格中的数值，来绘制二次函数的图像。
3.二次函数的解析式：引导学生了解如何从二次函数的图像中，推导出其对应的解析式。
5.3 用解析式求二次函数的零点、顶点和对称轴1.二次函数的零点：教导学生通过利用二次函数的解析式，求解二次函数的零点，并讲解零点的物理意义。
2.二次函数的顶点：教导学生如何通过二次函数的解析式，求解二次函数的顶点，并讲解顶点的物理意义。
3.二次函数的对称轴：教导学生如何通过二次函数的解析式，求解二次函数的对称轴，并讲解对称轴的物理意义。
5.4 用解析式求图像的开口方向1.二次函数的开口方向：引导学生通过利用二次函数的解析式，判断二次函数的图像开口方向，并讲解其物理意义。
六、教学反思考虑到九年级学生的数学基础较为薄弱，本节课在引入二次函数概念时，应当尽量遵循“由浅入深”的原则。
1.1二次函数1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念．3．认识到二次函数来源于实际生活，感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用．重点：二次函数的概念．难点：理解变量之间的对应关系．一、新课导入1．对于“函数”这个词，我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？(学过正比例函数、一次函数、反比例函数)2．那么函数的定义是什么，大家还记得吗？能把学过的函数回忆一下吗？(在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量)从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式，那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．二、新知学习活动1观察思考：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系．(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)．(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元．答案：(1)y＝πx2；(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000.老师引导学生合作学习：1．先独立探究，尝试写出y与x之间的函数关系式；2．上述三个问题先易后难，在独立探究的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．3．上述关系式具有哪些共同特征？教师引导学生观察、分析、比较三个函数关系式．引导学生观察时应注意：(1)学生能否找出自变量及因变量的函数．(2)学生能否归纳出三个函数的共同特点：经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．学生观察、思考问题，尝试回答问题．活动2归纳总结：(1)上述三个函数解析式化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的形式．(2)一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数．其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．三、新知应用活动3典例探究：【例】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E是AB上一点，E不与A，B重合，F是BC上一点，F不与B，C重合，且BF＝2BE，若设BE＝x，△DEF的面积为S，求S关于x 的函数关系，并求自变量x 的取值范围．【分析】先用x 的代数式表示AE ，BF ，CF 的长，再利用△DEF 的面积等于矩形面积依次减去△ADE ，△BEF ，△CDF 的面积这一等量关系列出函数关系式．【解】∵BE ＝x ，∴AE ＝6－x ，BF ＝2x ，CF ＝12－2x.∵S △DEF ＝S 矩形ABCD －S △ADE －S △BEF－S △CDF ，∴S ＝12×6－12×12(6－x)－12·x·2x －12×6(12－2x)＝－x 2＋12x.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，6－x ＞0，12－2x ＞0，解得0＜x ＜6，即自变量x 的取值范围是0＜x ＜6.综上，S 关于x 的函数关系式为S ＝－x 2＋12x(0＜x ＜6)．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．若y ＝(a －3)x 2－2x ＋5是二次函数，则a 的取值范围是__a≠3__．2．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x(cm )之间的函数关系式为__S ＝12x(26－x)(0＜x ＜26)__． 3．一台机器原价40万元，每次降价的百分率为x ，那么连续两次降价后的价格y(万元)为( C )A ．y ＝40(1－x )B ．y ＝40(1－x 2)C ．y ＝40(1－x )2D ．y ＝40(1＋x )24．若()m m x m y ++=22是关于x 的二次函数，则常数m 的值为( A )A ．1B ．2C ．－2D ．1或－2五、课堂小结1．到目前为止，我们学习了哪些函数？这些函数之间有什么联系？2．二次函数的一般表达式是怎样的？对a ，b ，c 有什么条件限制？3．谈一谈你的收获和困惑．六、课后作业形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的函数称为二次函数，y=ax 2+bx+c （a ≠0）为二次函数的一般式．1.下列四个函数：①y=-x ；②y=x ；③y=x1；④y=x 2.其中二次函数的个数为(A). A.1 B.2 C.3 D.42.下列函数中，当x=0时，y=0的是(C).A.y=x2 B. y=x 2-1 C.y=5x 2-3x D.y=-3x+73.二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数之和为(D).A.2B.-2C.-1D.-44.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润为y 万元.设该公司利润的平均年增长率为x,则y 关于x 的二次函数的表达式为(B).A.y=20(1-x)2B.y=20(1+x)2C.y=(1-x)2+2D.y=(1-x)2-205.已知函数k k x y +=2是关于x 的二次函数，那么k= 1或－2 ．6.对于二次函数 y ＝2x 2－bx ＋3，当x ＝1时，y=1，则b 的值为 4 ．7.已知函数y=x 2-6x+9，当x= 3 时，函数值为0．8.小汽车刹车距离s(m)关于速度v(km/h)的二次函数表达式为s=1001v 2.一辆小汽车正以100km/h 的速度行驶，突然发现前方80m 处停着一辆故障车，此时小汽车刹车 会 (填“会”或“不会”)有危险．9.已知()324232-+-=--x x m y m m 是二次函数，求m 的值．【答案】由题意得⎩⎨⎧≠-=--042232m m m ，解得m=－1.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=7;当x=1时，y=0;当x=-2时，y=9.求它的函数表达式.【答案】根据题意得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=92407c b a c b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=752c b a .∴它的函数表达式为y=-2x 2-5x+7.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(B).A.xy+x 2=2B.x 2-2y+2=0C.y=21x D.y 2-x=012.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)关于小球运动时间t(s)的二次函数表达式为h=30t-5t 2.则小球从抛出到回落到地面所需要的时间是(A).A.6sB.4sC.3sD.2s13.若y=ax 2+bx+c ，则由表格中信息可知y 关于x 的二次函数的表达式为(A).14.已知函数()2222++=-m x m y 是二次函数，则m 的值为 2 ．15.某批发市场批发甲种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y(万元)与进货量x(t)近似满足二次函数表达式y=ax 2+bx(其中a≠0，a ，b 为常数，x≥0)，且进货量x 为1t 时，销售利润y 为1.4万元；进货量x 为2t 时，销售利润y 为2.6万元.求y 关于x 的二次函数的表达式．【答案】由题意得⎩⎨⎧=+=+6.2244.1b a b a ,解得⎩⎨⎧=-=5.11.0b a ． ∴y 关于x 的二次函数表达式为y=-0.1x 2+1.5x ．16.下列函数中，属于二次函数的是(B).A.y=-4x+5B.y=x(2x-3)C.y=(x+4)2-x 2D.y=21x 17.【常德】如图所示，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上.若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式为 y=2x 2-4x+4 .18.如图所示，△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BC=EF=8，∠C=∠F=90°，且点C ，E ，B ，F 在同一条直线上，将△ABC 沿CB 方向平移，AB 与DE 相交于点P.设CE=x ，△PBE 的面积为S ，求：(1)S 关于x 的函数表达式，并指出自变量的取值范围.(2)当x=3时，求△PBE 的面积.【答案】（1）∵CE=x ，BC=8，∴EB=8-x.∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ABC=∠DEF=45°∴△PBE 是等腰直角三角形.∴PB=PE=22EB=22 (8-x). ∴S=21PB·PE=21×22 (8-x)×22 (8-x)= 41 (8-x)2=41x 2-4x+16. ∵8-x ＞0，∴x ＜8.又∵x≥0，∴0≤x ＜8.S 关于x 的函数表达式为S=41x 2-4x+16,自变量的取值范围是0≤x ＜8. （2）当x=3时，S △PBE =41 (8-3)2=425.。
