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找出数列排列规律

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找出数列的排列规律（一）

例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。

1，2，5，10，17，（ ），（ ），50

分析与解：

那个数列的排列规律是什么？咱们逐项分析：

第一项是：1

第二项是：2，2111第一项

第三项是：5，5233第二项

第四项是：10，10555第三项

……

能够看出，那个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次别离加上单数1，3，5，7，9……，如此咱们就可以够由第五项算出括号内的数了，即：

第一个括号里应填17926；第2个括号里应填261137。

例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，如此取得一个数列：

1，4，7，10……

问：第100个数是多少？

分析与解：

那个题由于数太多，很难像例1那样递推，咱们能够换一种思路：

数列中每相邻两个数的差都是3，咱们把如此的数列叫做等差数列。咱们把“3”叫做那个等差数列的公差。

观察下面的数列是等差数列吗？若是是，它们的公差是几？

（1）2，3，4，5，6，7……

（2）5，10，15，20，25，30……

（3）1，2，4，8，16……

（4）12，14，16，18，20……

此刻咱们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？

第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是110013298。

由此咱们能够得出如此的规律：等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×公差

咱们把那个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式能够求出等差数列的任一项。

碰运气：你能求出数列3，5，7，9……中的第92个数是多少吗？

例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数？

分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。咱们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在那个数列中的第15个数。

由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

（这一项－首项）÷公差＋1

那个公式叫做等差数列的项数公式，利用它能够求出等差数列中任意一项的项数。

碰运气：数列7，11，15，……195，共有多少个数？

例4. 观察下面的序号和等式，填括号。

序号

1

2

3

4

（ ） 等式

1236357155811247111533

( )+( )+7983=( )

分析与解：

表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9……，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和一样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，能够按照等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15……那个等差数列的第几项，也就是序号。79833411996。如此咱们就可以够别离求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式：

1199612399121996135987619961917961

综上所述，括号里应填的数是：

（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，……，问：那个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？

分析与解：从整体观察不容易发觉它的排列规律，注意观察那个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：

单数项：1，3，5，7，……

双数项：4，8，12，16，……

显然，它们各自均成等差数列。

为了求出那个数列中第1997个数和第2000个数别离是多少，必需先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：

第1997个数在等差数列1，3，5，7，……中是第()199712999个数； 第2000个数在等差数列4，8，12，16，……中是第200021000个数。

所以，第1997个数是1999121997。

第2000个数是41000144000

1. 按规律填数。

（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49；

（3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；

（5）2，7，22，64，193，（ ）。

2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。

4. 下面各列数中都有一个“不同凡响”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。

答案：

（1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；

（2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；

（3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33；

（4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；

（5）后一个数老是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。

2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

38733112935013150

答：共有129个数，其中第50个数是150。

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。

每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列

每组第2个数是平方数

每组第3个数是立方数

第100组的三个数之和是100100100101010023

4. 下面各列数中都有一个“不同凡响”的数，请将它们找出来：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。

答案：

（1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。

（2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项别离加上1，2，3，4，5，……，如此第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“不同凡响”的数。

找出数列的排列规律（二）

这一讲咱们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方式，解决数学问题。

（一）例题指导

例1. 若是按必然规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，……，那么第10个算式是（ ）+（ ）；第80个算式中两个数的和是多少？

分析与解：

第一个加数如下排列：3，5，7，9，11……，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，……，这也是一个等差数列，公差是5。

按照等差数列的通项公式能够别离求出第10个算式的两个加数。

31012214101549

所以第10个算式是2149。

要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，固然也能够找一找和的规律。

想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？

例2. 有一列数：1，2，3，5，8，13，……，这列数中的第200个数是奇数仍是偶数？

分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇仍是偶，必需找出这列数中奇、偶数的排列规律。

不难看出，这列数是依照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。

例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……

问：（1）第1998个算式是（ ）+（ ）；

（2）第（ ）个算式的和是2000。

分析与解：

（1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4……每4个数循环一次，重复出现。199844992……，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11……是公差为2的等差数列。按照等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为11998123995，所以第1998个算式是23995。

（2）由于每一个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数必然是奇数，不会是2和4。只有12000x或32000x。其中x是1、3、5、7、9……中的某个数。

若12000x，则x1999。按照等差数列的项数公式得：19991211000，这说明1999是数列1、3、5、7、9……中的第1000个数，因为10004250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设12000x矛盾，所以x1999；

若32000x，则x1997。与上同理，1997121999，说明1997是等差数列1、3、5、7、9……中的第999个数，由于99942493……，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为319972000。

例4. 将1到200的自然数，分成A、B、C三组：

A组：1 6 7 12 13 18……

B组：2 5 8 11 14 17……

C组：3 4 9 10 15 16……

按照分组的规律，请回答：

（1）B组中一共有（ ）个自然数；

（2）A组中第24个数是（ ）；

（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。

分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为2003662……，所以200是B组中的最后一个数，按照等差数列的项数公式。20023167。所以，B组中一共有67个自然数。

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二年级奥数：《发现数列规律》

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（预热）前铺知识

一、什么是数列

按照一定顺序排列的一列数就是数列.如最简单的：1，2，3，4，5，6 .........

二、寻找数列变化规律

1、变大

【例1】2，4，6，8，10,

答案：12

解析：仔细观察，发现这列数是不断在增大的，让数增大我们学过的有两种方法——加法、乘法.在这道题中我们可以先用加法试试看.

2， 4， 6， 8， 10,

+2 +2 +2 +2

发现从左往右每个数都依次+2，于是按照相同的规律得出下一个数是：10+2=12.

【例2】1，3，9，27，

答案：81

解析：仔细观察，发现这列数是不断在增大的，让数增大我们学过的有两种方法——加法、乘法.在这道题中我们用加法的话：

1， 3， 9， 27，

+2 +6 +18

发现找不到规律，所以可以试试乘法：

1， 3， 9， 27，

×3 ×3 ×3

发现从左往右每个数都依次 ×3，于是按照相同的规律得出下一个数是：

27×3=81.

2、变小

【例3】20，18，16，14，12，

答案：10

解析：通过观察，发现这列数是不断在减小的，让数减小我们学过的有两种方法——减法、除法.在这道题中我们可以先用减法试试看.

20， 18， 16， 14， 12,

-2 -2 -2 -2

发现从左往右每个数都依次 -2，于是按照相同的规律得出下一个数是：

12-2=10.

【例4】64，16，4，

答案：1

解析：通过观察，发现这列数是不断在减小的，让数减小我们学过的有两种方法——减法、除法.在这道题中我们用减法的话：

数字找规律的方法

数字找规律的方法

数字找规律的⽅法

数字找规律的⽅法

数字规律

第⼀种―等差数列：

是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的⼀组数。1、等差数列的常规公式。设等差数列的⾸项为al,公差为d ,则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为⽩然数)。

［例1］1 , 3, 5, 7, 9, () A.7 B.8 C.11 D.13

［解析］这是⼀种很简单的排列⽅式：

其特征是相邻两个数字之间的差是⼀个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2,所以括号内的数字应为11。故选C。2、⼆级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性，往往构成等差数列.

［例2］ 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36

［解析］相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,

是⼀个差值为2的等差数列，所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37故选C。3、分⼦分母的等差数列。是指⼀组分数中，分⼦或分母、分⼦和分母分别呈现等差数列的规律性。

［例，，，，，()A、、、、［解析］数列分母依次为3, 4, 5, 6, 7;分⼦依次为2, 3, 4,

5, 6,故括号应为。故选D。

4、混合等差数列。是指⼀组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。

[例4] 1, 3, 3, 5, 7, 9, 13, 15,,(),()

A、19 21

B、19 23

C、21 23

D、27 30

［解析］相邻奇数项之间的差是以2为⾸项，公差为2的等差数列，相邻偶数项

之间的差是以2为⾸项，公差为2的等差数列。第⼆种--等⽐数列：

是指相邻数列之间的⽐值相等，整个数字序列依次递增或递减的⼀组数。5、等⽐数列的常规公式。设等⽐数列的⾸项为a1,公⽐为q(q不等于0), 则等⽐数列的通项公式为an=a1q n-1(n为⽩然数)。

［例5］ 12, 4,,,()A、、、、

［解析］很明显，这是⼀个典型的等⽐数列，公⽐为。故选D。6、⼆级等⽐数列。是指等⽐数列的变式，相邻两项之⽐有着明显的规律性，往往构成等⽐数列。

数列的排列规律(三年级)

数列的排列规律(三年级)

（1）8，12，16，20，24，（ ），（ ）；

（2）98，89，80，71，（ ），（ ）；数列的排列规律

名词解释：

像1，2，3，4„„或1992，1996，2000，2004„„等，按照某些规律排列着的一列数，我们把这列数叫做数列。在一个数列中，从左往右的第几个数，叫做这个数列的第几项。

一、例题讲解

1.找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上设当的数。

（1）1，4，7，10，13，（ ），（ ）；

（2）83，75，67，59，（ ），（ ）；

（3）0，1，3，6，10，15，（ ），（ ）。

2.按照数列的变化规律在括号里填上合适的数。

（1）1，2，3，5，8，13，（ ），（ ）；

（2）2，5，11，23，47，（ ），（ ）；

（3）3，1，6，2，12，3，24，4，（ ），（ ）。

二、独立练习

1. 按照数列的变化规律在括号里填上合适的数。

（3）1，3，9，27，（ ），（ ）。

2. 按照数列的变化规律在括号里填上合适的数。

（1）5，6，11，17，28，（ ），（ ）；

（2）1，4，13，40，（ ），（ ）；

（3）1，5，2，10，3，15，4，20，（ ），（ ）

3. 按照数列的变化规律在括号里填上合适的数。

（1）1，2，6，24，120，（ ），5040；

（2）1，4，9，16，25，（ ），（ ）；

（3）0，3，8，15，24，（ ），48，63；

（4）1，1，3，7，13，（ ），31。

4. 按照数列的变化规律在括号里填上合适的数。

（1）3，2，5，2，7，2，9，2，（ ），（ ）；

（2）2，5，14，41，122，（ ），（ ）。

数字找规律的方法 2

数字找规律的方法 2

数字找规律的方法

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数字规律

第一种----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。

１、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。

[例1]1，3，5，7，9，（ ） .8 C

[解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。

２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.

[例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 .33 C

[解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,

是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。

３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。

[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（ ） A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8

[解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。

４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。

[例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（ ），（ ）。

A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30

[解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。