高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4(2021年最新整理)

高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

1 高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

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2 2.4 平面向量的坐标

自主广场

我夯基 我达标

1.若向量a=（3，2)，b=（0，—1），则向量2b—a的坐标是（ ）

A.(3，-4） B.（—3，4） C.(3，4） D.（—3，-4）

思路解析：依向量的坐标运算解答此题。2b—a=（0，-2)-（3，2）=（-3，—4）。

答案：D

2.(1国防科技工业第四次联考,3）已知向量a=（1，2），b=(—3，2)，且向量ka+b与lb+a平行，则实数k，l满足的关系式为（ ）

A.kl=—1 B。k+l=0 C.l-k=0 D.kl=1

思路解析：∵ka+b=(k-3,2k+2）,lb+a=(—3l+1,2l+2)，∴(k-3)(2l+2)-(2k+2）（—3l+1）=0。整理得kl=1。

答案：D

3。（山东高考卷,理5)设向量a=（1,—3)，b=(-2,4)，c=（—1，—2），若表示向量4a，4b-2c，2（a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d为( ）

A.（2,6) B。（—2，6) C。(2,-6） D。(-2，-6）

思路解析:由题意,得4a+4b－2c+2(a－c)+d=0，代入向量的坐标即可求得向量d.

答案：D

4.与a=(12,5)平行的单位向量为( ）

A.（1312，-135) B。（—1312，—135)

C。(1312，135）或（—1312，—135） D.（±1312，±135）

思路解析:利用平行与单位向量两个条件，即可求得。

答案：C 高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

3 5.(山东临沂二模，理5）已知向量a=（8，21x)，b=（x，1),其中x＞0，若（a-2b）∥（2a+b）,则x的值为( )

A.4 B。8 C。0 D.2

思路解析:利用向量共线的坐标表示得方程。∵a—2b=（8-2x， 21x—2)，2a+b=（16+x，x+1)，∴（8-2x)(x+1）—（ 21x-2)(16+x)=0。∴x=4或x=-5（舍去）.

答案：A

6。下列各组向量：①e1=（－1，2），e2=（5，7)；②e1=（3，5)，e2=（6，10）；③e1=（2，－3），e2=(21，-43).其中能作为平面内所有向量的基底的是_____________________。

思路解析:由平面向量基本定理知只要不共线的两向量就可以作为基底,故可由共线向量定理的坐标表示加以选取。易知仅有①中两向量－1×7－2×5≠0,故为①。

答案:①

7.已知向量AB=（6，1），BC=(x，y），CD=(-2,—3)，当BC∥DA时，求实数x、y应满足的关系。

思路分析：利用向量共线的坐标表示.

解：由题意，得

DA=-AD=-(AB+BC+CD)=-［（6，1）+（x,y）+（-2，-3)］=(-x—4，—y+2），

BC=（x,y），

又∵BC∥DA，

∴x(-y+2)-y·（-x—4）=0。

解得y=-21x,

即x,y应满足y=－21x。

我综合 我发展

8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1），B（—1,3）,若C点满足OC=αOA+βOB，高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

4 其中,α,β∈R,且α+β=1，则点C的轨迹方程的形状是__________________.

思路解析：∵α+β=1，∴β=1-α.∴OC=αOA+（1-α）OB.∴OC-OB=α(OBOA).

∴BC=αBA。∴A、B、C三点共线.∴点C的轨迹方程是直线AB.

答案：直线

9.平面内给定三个向量：a=（3,2)，b=（-1，2），c=(4，1).

（1)求3a+b—2c；

（2）求满足a=mb+nc的实数m和n;

(3)若（a+kc）∥(2b—a），求实数k.

思路分析：根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

解：（1)3a+b-2c=3(3，2）+（—1，2）—2（4,1)=（9，6）+（—1,2）—(8，2）=(9—1-8,6+2—2)=(0，6）。

（2）∵a=mb+nc,m,n∈R，

∴(3,2）=m(—1，2）+n(4，1)=（—m+4n，2m+n）。

∴.22,34nmnm解得.98,95nm

∴m=95,n=98。

（3）∵a+kc=(3+4k,2+k），2b-a=(—5，2），

又∵(a+kc）∥(2b—a),

∴（3+4k)×2—(-5）×（2+k)=0.

∴k=1316.

10。已知向量u=(x，y）,v=(y,2y—x)的对应关系用v=f（u）来表示。 高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

5 （1）证明对于任意向量a，b及常数m，n恒有f(ma+nb)=mf（a)+nf(b）成立;

（2)求使f(c）=(p，q)(p,q为常数)的向量c的坐标。

思路分析:此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算。

（1)证明:设a=（a1，a2),b=(b1，b2），

则ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)。

∴f（ma+nb)=（ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),

mf(a)+nf（b）=m(a2,2a2—a1）+n(b2，2b2-b1）=(ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1-nb1）.

∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立。

(2）解：设c=（x,y)则f（c)=(y,2y—x)=(p，q）.

∴,2,qxypy解得.,2pyqpx

∴c=（2p-q,p）.

11。已知点O（0，0），A（1，2)，B(4，5）及OP=OA+tAB，

求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

（2）四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能，请说明理由。

思路分析:首先把向量OP表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件;要看四边形OABP能否构成平行四边形,就要看能否找到t，使OA=PB，即对边所在的直线平行且相等。

解:（1）OP=OA+tAB=（1+3t,2+3t）.

若P在x轴上，只需2+3t=0,所以t=-32。

若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=31。

若P在第二象限，只需,032,031tt∴—32＜t＜31.

（2）因为OA=（1,2）,PB=（3－3t，3－3t)， 高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4

6 若OABP为平行四边形,则OA=PB。

由于方程233,133tt无解，

故四边形OABP不能构成平行四边形。