高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修4

翰翰说设计

翰翰说设计 §6 平面向量数量积的坐标表示

内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算( 重点 ).

2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角,会判断两个向量的垂直关系( 难点 )、

知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示

( 1 )数量积的坐标表示：

设向量a＝( x1,y1 ),b＝( x2,y2 ),则a·b＝x1x2＋y1y2.

( 2 )模、夹角、垂直的坐标表示：

【预习评价】

1、已知向量a＝( －4,7 ),向量b＝( 5,2 ),则a·b的值是( )

A、34

B、27

C、－43 D、－6

详细解析 a·b＝( －4,7 )·( 5,2 )＝－4×5＋7×2＝－6.

正确答案 D

2、设向量OA→＝( 1,0 ),OB→＝( 1,1 ),则向量OA→,OB→的夹角为( )

A.π6 B.π4

C.π3 D.π2

详细解析 cos θ＝OA →·OB→|OA→||OB→|＝1×1＋0×11·12＋12＝12,

∵θ∈[0,π2],∴θ＝π3.

正确答案 C

知识点2 直线的方向向量

( 1 )定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量、

( 2 )性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝( 1,k )、

【预习评价】 翰翰说设计

翰翰说设计 1、直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( )

A、( 2,－3 ) B、( 2,3 )

C、( －3,2 ) D、( 3,2 )

正确答案 D

2、过点A( －2,1 )且与向量a＝( 3,1 )平行的直线方程为________、

正确答案 x－3y＋5＝0

题型一 平面向量数量积的坐标运算

【例1】 已知向量a与b同向,b＝( 1,2 ),a·b＝10,求：

( 1 )向量a的坐标；( 2 )若c＝( 2,－1 ),求( a·c )·b.

解 ( 1 )设a＝λb＝( λ,2λ )、

∵a·b＝10,∴5λ·5cos 0°＝10,

解得λ＝2.∴a＝( 2,4 )、

( 2 )( a·c )·b＝[( 2×2＋4×( －1 )]·b＝0·b＝0.

规律方法 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质、解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算、

【训练1】 已知向量a＝( 1,3 ),b＝( 2,5 ),c＝( 2,1 )、求：( 1 )a·b；( 2 )( a＋b )·( 2a－b )；( 3 )( a·b )·c,a·( b·c )、

解 ( 1 )a·b＝( 1,3 )·( 2,5 )＝1×2＋3×5＝17.

( 2 )∵a＋b＝( 1,3 )＋( 2,5 )＝( 3,8 ),

2a－b＝2( 1,3 )－( 2,5 )＝( 2,6 )－( 2,5 )＝( 0,1 ),

∴( a＋b )·( 2a－b )＝( 3,8 )·( 0,1 )＝3×0＋8×1＝8.

( 3 )( a·b )·c＝17c＝17( 2,1 )＝( 34,17 ),

a·( b·c )＝a·[( 2,5 )·( 2,1 )]＝( 1,3 )·( 2×2＋5×1 )＝9( 1,3 )＝( 9,27 )、

题型二 平面向量的夹角问题

【例2】 已知OP→＝( 2,1 ),OA→＝( 1,7 ),OB→＝( 5,1 ),设C是直线OP上的一点( 其中O为坐标原点 )、

( 1 )求使CA→·CB→取得最小值时的OC→；

( 2 )对( 1 )中求出的点C,求cos∠ACB.

解 ( 1 )∵点C是直线OP上的一点,

∴向量OC→与OP→共线,

设OC→＝tOP→( t∈R ), 翰翰说设计

翰翰说设计 则OC→＝t( 2,1 )＝( 2t,t ), ∴CA→＝OA→－OC→＝( 1－2t,7－t ),

CB→＝OB→－OC→＝( 5－2t,1－t ),

∴CA→·CB→＝( 1－2t )( 5－2t )＋( 7－t )( 1－t )

＝5t2－20t＋12＝5( t－2 )2－8.

∴当t＝2时,CA→·CB→取得最小值,此时OC→＝( 4,2 )、

( 2 )由( 1 )知OC→＝( 4,2 ),

∴CA→＝( －3,5 ),CB→＝( 1,－1 ),

∴|CA→|＝34,|CB→|＝2,CA→·CB→＝－3－5＝－8.

∴cos∠ACB＝CA →·CB →|CA→||CB→|＝－41717.

规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤

【训练2】 已知向量a＝e1－e2,b＝4e1＋3e2,其中e1＝( 1,0 ),e2＝( 0,1 )、

( 1 )试计算a·b及|a＋b|的值；

( 2 )求向量a与b夹角的余弦值、

解 ( 1 )a＝e1－e2＝( 1,0 )－( 0,1 )＝( 1,－1 ),

b＝4e1＋3e2＝4( 1,0 )＋3( 0,1 )＝( 4,3 ),

∴a·b＝4×1＋3×( －1 )＝1,

|a＋b|＝4＋12＋3－12＝25＋4＝29.

( 2 )由a·b＝|a||b|cos θ,

∴cos θ＝a·b|a||b|＝12×5＝210. 翰翰说设计

翰翰说设计

【例3】 设平面向量a＝( 1,1 ),b＝( 0,2 )、

求a－2b的坐标和模的大小、

解 ∵a＝( 1,1 ),b＝( 0,2 ),

∴a－2b＝( 1,1 )－2( 0,2 )＝( 1,－3 ),

∴|a－2b|＝12＋－32＝10.

【迁移1】 若c＝3a－( a·b )b,求|c|.

解 a·b＝x1x2＋y1y2＝2,

∴c＝3( 1,1 )－2( 0,2 )＝( 3,－1 ),

∴|c|＝32＋－12＝10.

【迁移2】 若ka－b与a＋b共线,求k的值、

解 ∵a＝( 1,1 ),b＝( 0,－2 ),

ka－b＝k( 1,1 )－( 0,－2 )＝( k,k＋2 )、

a＋b＝( 1,1 )＋( 0,－2 )＝( 1,－1 )、

∵ka－b与a＋b共线,

∴k＋2－( －k )＝0.∴k＝－1.

【迁移3】 若ka－b的模等于10.求k的值、

解 ∵ka－b＝k( 1,1 )－( 0,－2 )＝( k,k＋2 )

∵ka－b的模等于10.

∴k2＋k＋22＝10,

化简得k2＋2k－3＝0,解得k＝1或k＝－3.

即当k＝1或k＝－3时满足条件、

规律方法 1.已知向量a＝( x,y )求其模,主要利用公式|a|＝x2＋y2求解、

2、形如( ma＋nb )·( ka＋eb )( m,n,k,e∈R )的坐标运算,有两条途径：其一,展开转化为a2,a·b,b2的坐标运算；其二,先求ma＋nb与ka＋eb的坐标,再运算.

课堂达标

1、已知a＝( 3,－1 ),b＝( 1,－2 ),则a与b的夹角θ为( )

A.π6 B.π4

C.π3 D.π2 翰翰说设计

翰翰说设计 详细解析

∵|a|＝10,|b|＝5,a·b＝5.

∴cos θ＝a·b|a||b|＝510×5＝22.

又∵θ∈[0,π],∴a与b的夹角为π4.

正确答案 B

2、已知向量a＝( －2,3 ),b＝( 3,m ),且a⊥b,则m＝________、

详细解析 由题意,得－2×3＋3m＝0,∴m＝2.

正确答案 2

3、若a＝( 2,3 ),b＝( －4,7 ),则a在b方向上的射影是________、

详细解析 a·b＝13,|b|＝65,

|a|cos θ＝a·b|b|＝1365＝136565.

正确答案 655

4、已知平面向量a＝( 2,4 ),b＝( －1,2 ),若c＝a－( a·b )b,则|c|＝________.

详细解析 ∵a＝( 2,4 ),b＝( －1,2 ),

∴a·b＝2×( －1 )＋4×2＝6,

∴c＝a－6b,

∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.

∴|c|＝82.

正确答案 82

5、已知a＝( 4,3 ),b＝( －1,2 )、

( 1 )求a与b的夹角θ的余弦值；

( 2 )若( a－λb )⊥( 2a＋b ),求实数λ的值、

解 ( 1 )∵a·b＝4×( －1 )＋3×2＝2,

|a|＝42＋32＝5,|b|＝－12＋22＝5,

∴cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.

( 2 )∵a－λb＝( 4＋λ,3－2λ ),2a＋b＝( 7,8 ),

又( a－λb )⊥( 2a＋b ),

∴( a－λb )·( 2a＋b )＝7( 4＋λ )＋8( 3－2λ )＝0,

∴λ＝529. 翰翰说设计

翰翰说设计 课堂小结

1、设a＝( x1,y1 ),b＝( x2,y2 ),则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来,由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.

2、向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算,由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决,因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,可判断两向量是否垂直.

基础过关

1、已知向量a＝( －5,6 ),b＝( 6,5 ),则a与b( )

A、垂直 B、不垂直也不平行

C、平行且同向 D、平行且反向

详细解析 a·b＝－5×6＋6×5＝0,

∴a⊥b.

正确答案 A

2、已知a＝( －3,2 ),b＝( －1,0 ),向量λa＋b与a－2b垂直,则实数λ的值为(

)

A、－17 B.17

C、－16 D.16

详细解析 由a＝( －3,2 ),b＝( －1,0 ),

知λa＋b＝( －3λ－1,2λ ),a－2b＝( －1,2 )、

又( λa＋b )·( a－2b )＝0,

∴3λ＋1＋4λ＝0,∴λ＝－17.

正确答案 A

3、平面向量a与b的夹角为60°,a＝( 2,0 ),|b|＝1,则|a＋2b|等于( )

A.3

B、23

C、4 D、12

详细解析 a＝( 2,0 ),|b|＝1,

∴|a|＝2,a·b＝2×1×cos 60°＝1.

∴|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝23.

正确答案 B

4、已知a＝( 3,3 ),b＝( 1,0 ),则( a－2b )·b＝________.

详细解析 a－2b＝( 1,3 ),