2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_20

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）

1.若，则下列正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．

【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；

B选项不正确，若时就不成立；

C选项不正确，同B，时就不成立；

D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．

2.数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．

【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，

∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴|an|＝2n﹣1

又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，

∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．

故选C．

【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．

3.命题“若，则，”的否命题为（）

A. 若，则， B. 若，则或 C. 若，则， D. 若，则或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.

【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.

【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.

4.已知,则“”是“”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．

【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；

∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；

但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”“x﹣4＞0”必要条件．

故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

5.若的三个内角满足，则（ ）

A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形

C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.

【详解】由，可得出，

设，则，，则角为最大角，

由余弦定理得，则角为钝角， 因此，为钝角三角形，故选C.

【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

6.设是等差数列的前项和，若，则( )

A. 21 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，可求出，再结合可求出答案.

【详解】因为是等差数列，所以，即，

则.

故选C.

【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.

7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( ) A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.

【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，显然直线在轴上的截距最小时，最小，

平移直线经过点时，最小，

联立，解得，此时.

故选A.

【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.

8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A. 1盏 B. 3盏

C. 5盏 D. 9盏

【答案】B

【解析】

【详解】设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选B．

9.在△ABC中，若

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 锐角三角形 D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状. 【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.

【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

【答案】A

【解析】

【详解】如图，在中，,,则

；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10海里．

考点：解三角形． 11.已知若x，y均为正数，则的最小值是

A. B. C. 8 D. 24

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．

【详解】，y均为正数，

则

当且仅当且即，时取等号，

的最小值是8．

故选C．

【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．

12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】

【分析】

通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.

【详解】

，为三角形内角，则

，，当且仅当时取等号

【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）

13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】 【分析】

由题意，可得，即，求解即可.

【详解】由题意，可得，即，解得.

故答案为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.

14.数列中，，，则的通项公式为 ；

【答案】

【解析】

试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.

考点：等比数列

15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得

【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.

则

【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑

16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．

【答案】2

【解析】

【分析】

结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.

【详解】将所给的数列分组，

第1组为：，第2组为：，第3组为：，，

则数列的前n组共有项，

由于，故数列的前63组共有2016项，

数列的第2017项为，数列的第2018项为. 【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在中，，．

若，求的值；

若的面积为，求b的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

由已知及正弦定理即可计算求得的值．

由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．

【详解】解：在中，，，，

由正弦定理，可得：；

，，的面积为，

解得：，

由余弦定理可得：．