等腰三角形的性质及判断

HFEDBACEDBACFECBA等腰三角形的性质和判定习题

姓名_______________ 达成目标________________

【学习目标】：

A级――能将等腰三角形的知识框架进行梳理并掌握主要的知识点，掌握等腰三角形性质和判定的简单应用

B级――掌握等腰三角形性质和判定较复杂的应用

C级――掌握等腰三角形常见辅助线的添加方法

D级――会对给定问题进行一题多解、一题多变、多题归一、由特殊向一般推广并发现解决问题的根本性原则。

作业题：

1．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，

（1）∵AD平分∠BAC ∴ ＝ ； ⊥ ；

（2）∵AD是中线 ∴∠ ＝∠ ； ⊥ ；

（3）∵AD⊥BC ∴ ＝ ；∠ ＝∠

2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论不正确的是（ ）

(A) ∠ACD=∠B （B）CH＝CE＝EF （C）CH＝HD （D）AC＝AF

3、已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，AD与BC相交于E，∠CAD＝30°，

求∠BCD和∠DBC的度数。

4．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度数。

FEDCBADCBA5．已知：如图：△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在AC延长线上取一点E,连结DE交BC于点F，若F 是DE中点，求证：BD=CE

6．已知：如图，在ABC中，90B，ABBC，AD是A的平分线.

求证：ABBDAC.

7．已知：BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C

1 课 题 等腰三角形的性质和判定

教材分析

1、本节内容是等腰三角形的重点部分，小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的性质定理及其判定定理。

2、等腰三角形是基本的几何图形之一，今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。

3、对称是几何观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。

4、例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题。

5、本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

设计理念

依据教学目标和学生的特点，在此课教学方法和教学模式的设计中主要体现了以下设计意图：首先回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。其次原则性和灵活性相结合，在教学过程中,根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。再次是教学的形式上注重个体化，注重学习的小组参与性，避免以教师活动为主体的教学过程。

教学目标 1．能证明等腰三角形的性质定理和判定定理，

２．掌握分析的思考方法，提高观察能力和分析问题能力，积累数学活动的方法，发展逻辑推理能力。

３．经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。

教学重难教学重点：等腰三角形的性质、判定定理的分析、证明方法；

教学难点：学会分析问题、解决问题的方法，理解合情推理和演绎推理的双重作用．

教学手段 1、使用六模块导学法、讨论法。

2、运用“一学两纠”教学法体现合作学习方式。

3、调动学生动手操作能力。

教学过程及说明：

过程 教学内容 师生活动 PPT内容

性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 。

判定的方式

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：

在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。

显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。

有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。

百年教育学校 初二数学复习资料（高巧娟）12

1 等腰三角形的性质与判定

知识梳理:

1．等腰三角形的概念：

有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做

．两腰所夹的角叫做

，底边与腰所夹的角叫做

．

2．等腰三角形性质定理：

(1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即 ．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是 图形．

除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等

②等腰三角形两腰上的高相等

③等腰三角形两底角的平分线相等

3．等腰三角形的判定：

(1)有 相等的三角形是等腰三角形．

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成

．

4、有关等腰三角形周长的计算

给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。