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17.解析几何中的最值问题

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1 解析几何中的最值问题

1.已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，

；

因为与相交于点，且的斜率为，

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 22132xy1F2F1FBD，2FAC，ACBDPP00()xy，2200132xyABCD321cACBD⊥P12FF22001xy222200021132222yxyx≤BDk0kBD(1)ykx22132xy2222(32)6360kxkxk11()Bxy，22()Dxy，2122632kxxk21223632kxxk2222122212243(1)1(1)()432kBDkxxkxxxxkACBCPAC1k2222143143(1)12332kkACkkABCD222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk≥21kBD0kABCD4S 2 综上，四边形的面积的最小值为．

分析：本题主要考察直线、椭圆、不等式的性质等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.

函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题

分类讨论思想方法

2. 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

（Ⅰ）求点P的轨迹C；

（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值.

分析：本题主要考察直线、椭圆、不等式的性质等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，以及综合应用数学知识分析问题、解决问题能力.

函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题

分类讨论思想方法

解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳

由题设

当x>2时，由①得

化简得

当时 由①得

化简得

故点P的轨迹C是椭圆

在直线x=2的右侧

部分与抛物线在直线

x=2的左侧部分（包括它与直线x=2

的交点）所组成的曲线，参见图1

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与

，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.

当点P在上时，由②知 ABCD9625224(3)dxy221(3)6,2xyx221.3627xy2x22(3)3,xyx212yx221:13627xyC22:12Cyx1C2C2626AFk26BFk261C 3 . ④

当点P在上时，由③知

⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为

（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知

∣MF∣= 6 -

∣NF∣= 6 -

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -

因为当

当且仅当时，等号成立. （2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，

设直线AF与椭圆的另一交点为E

所以.而点A，E都在上，且

有（1）知 162PFx2C3PFx(3)ykxAFkBFk61x1y2x2y1121x122x121x122x121x2x22(3)13627ykxxy2222(34)24361080kxkxk1x1y1x2x222434kk121x2x221234kk226,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkk26k,2626AEANkkkk1122(,),(,)MxyNxy12,CCM1C2C1216,32MFxNFx1C00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFxAFMNMFNFEFAFAE1C26,AEk100100,1111AEMN所以 4 若直线的斜率不存在，则==3，此时

综上所述，线段MN长度的最大值为.

1x2x12110012()9211MNxx10011

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解析几何中最值问题的求法

解析几何中最值问题的求法

实　践　讲　堂　

解析几何中最值问题的求法　

谢丽红　（邢台市第五中学．河北邢台０５４０００）　最值问题是解析几何中一类比较难解的问题．其主要难在　涉及的知识面广，解法灵活多变，与其它各章知识联系较多　但　在日常的学习中，只要认真研究就会发现解析几何中的最值问　题并不是毫无规律可循，其常用的解决方法主要有以下几种　一、利用函数。尤其是二次函数求最值　例１已知抛物线方程为　＝　，设点Ａ的坐标为（　，０），　求曲线上距点Ａ最近的点Ｐ的坐标及相应的距离ｆ　ｉ。　解析：设抛物线上一点Ｐ（ｘ，Ｙ），则ｙ２＝２ｘ，　≥０。由已知得　Ｉ　ｌ　ｚ＝（　一　）ｚ＋ｙ２：（　一手）　＋　：（　＋　）ｚ＋　。　

・．　≥ｏ，．・．当ｘ＝０时，ｌＰＡ　Ｊ　＝　，即ＪＰＡ　Ｊ　普一。　所以距点Ａ最近的点Ｐ的坐标为（０，０），即最短距离为　。　二、利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性。求最值　例２若圆Ｃ：ｘ　＋　＋　一２、／　ｙ＝０，点Ａ（　）是圆ｃ上任意　一点．求　—ｖ的最大值　解：将圆Ｃ化为参数方　ｐ｛　０为参数）　

＿．‘点Ａ（Ｘ，ｙ）在圆Ｃ上，．・　—，，＝一ｌ一、／　一＋２（ｃｏｓ０一ｓｉｎ０）＝一ｌ—　Ｘ／３＋２Ｘ／２ｃｏｓ（０＋了，－ｆ），当０＝＿ＡＴ－－Ｉｔ，即（ｘ－－ｙ）　２＼／　一１一、／　。　三、利用不等式。尤其是均值不等式求最值　例３已知椭圆ｃ：筝＋孚＝１，Ａ曰是过椭圆中心的任意弦，ｆ　是线段Ａ　的垂直平分线．　是　与椭圆的交点．求△ＡＭＢ的　面积的最小值　解：假设线段ＡＢ所在直线的斜率存在且不为零．设ＡＢ所　在的直线方程为ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），Ａ（ｘ＾，ＹＡ），　解方程组｛　一　器　器。　ｙＡ＝ｔ￣Ｘａ　・．．２是ＡＢ的垂直平分线。．・．２的方程为ｙ＝－．『１　。　

由　１　存　ｙ＝－　。　所以Ｉ　ｏａ　Ｉ　帕＝　，ｌＡＢ　Ｉ　＝４　Ｉ　ＯＡ　Ｉ　＝　

・＋－＋一＋一十＊＋一＋一＋一——＋一一＋一＋－＋一—＋一　解后反思　，ＩｏＭ　ｌ　。　由于　１　ｆ　｝　・ＩｏＭ　Ｉ　

高中数学解析几何中求最值的方法

高中数学解析几何中求最值的方法

一、利用圆锥曲线的定义

圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。研究圆锥曲线的最值，利用圆锥曲线的定义，可使问题简化。

例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。

解析：如图所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。令，即。此问题转化为折线AMP的最短问题。显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。

二、利用几何图形的对称性

对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题。

例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。

分析：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。

解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=

周长。 故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。

三、利用参数的几何意义

利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题。

例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，通过椭圆定义转化后，利用几何性质可解决问题。

解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是

，最小值是。

四、利用代数性质

将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，可使问题简单化。

例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。

解析几何中范围和最值问题的解法研究

解析几何中范围和最值问题的解法研究

专题论析　ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　

解析几何中范围和最值问题的解法研究　

贵州盘县第十中学（５５３５０１）阮世雄　

平面解析几何历来是高考的重头戏，尤其是解答　

题，每年必考且常考常新，具有涉及面广、综合性强、运　

算量大、能力要求高等特点，常以圆锥曲线为背景，重点　

考查等价转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学　

思想．近几年的高考中，，解析几何简答题中的范围和最　

值问题出现的频率相当高，下面根据个人的教学实践，　

结合高考题，探讨一下此类问题的解法．　

解析几何中的几何元素（点、直线、曲线）经常处于　

运动变化中，并且它们在运动变化中又互相联系、互相　

制约．这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约，　

即相应变量之间的等量关系与不等量关系．　

若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等　

量关系式转换成函数关系式，然后可以用求函数的值域　

（或最值）的方法求得变量的取值范围（或最值）．　若将变量间的等量关系看成关于某个变量的方程，　

则利用方程的性质可以求另一个变量的取值范围（或最　值）．　

若问题中已知（或隐含）某变量的范围，则利用变量　

间的等量关系实现变量之间的相互转化，从而构造关于　

未知变量的不等式，即可求变量的取值范围或最值．　

这就是说，可以用函数的观点、方程的观点、不等式　

的观点来解决变量的范围与最值问题．下面举例说明．　

一、用函数的观点解决范围与最值问题　

【例１】设Ａ（ｘ　，Ｙ　）、Ｂ（ｘ　，Ｙ２）两点在抛物线　一　

２ｘ。上，Ｚ是线段ＡＢ的垂直平分线．　

（１）当且仅当　＋　取何值时，直线Ｚ经过抛物线　

的焦点Ｆ？证明你的结论．．　

（２）当直线ｚ的斜率为２时，求ｌ在Ｙ轴上截距的取　

值范围．　

解：（１）ＦＥ　ｚ甘ＪＦＡ『一ｌＦＢｌ甘Ａ、Ｂ两点到抛物线的　

准线的距离相等．　

‘．‘抛物线的准线是　轴的平行线，Ｙ。≥Ｏ，Ｙｚ≥Ｏ，依　

题意Ｙ　，Ｙ２不同时为０，　

．’．上述条件等价于Ｙ　一　２∞ｚ；一ｚ；∞（　１＋　）（ｚｌ　

高中数学：几何最值问题求法

高中数学：几何最值问题求法

高中数学：几何最值问题求法

最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．

一、几何法

利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．

例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。

分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。由OA=2，AP1=AP2=

，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。

二、代数法

用代数法求最值常用的方法有以下几种：

1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．

例2、（同例1）

分析：设，将y=kx代入圆方程得。x为实数，方程有解，，解得，故。

即。

2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．

例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．

分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．

因，故点P（0，5）在椭圆内部． 设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。当时，，即；当y=7时，，即。

注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．

3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．