直线与圆的位置关系

《直线与圆的位置关系》教学设计

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第一课时，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题．上一章，我们学习了直线与方程．知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题．本章在上一章的基础上，将继续用坐标法探究圆的几何特征，建立它的方程，通过方程研究它的简单性质，并用坐标法解决一些与圆有关的简单几何问题和实际问题，如直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，进一步让学生感受数形结合的基本思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力．

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课将研究直线与圆的位置关系，它的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，通过学习让学生掌握两种判断方法．一种方法，根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上，将直线的方程与圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．另一种方法，根据学生初中学习的直线与圆三种位置关系的判定，即利用圆心到直线的距离与半径比较．该方法，涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．需要特别指出的是：该方法属圆的个性范畴，不能推广．通过分析不难看出，“直线与圆的位置关系”起到了承上启下的重要作用．

直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想．首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法．这在学习直线的方程、圆的方程时，学生已经接触过，结合本节课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过具体例子判断直线与圆的位置关系，来归纳总结判断直线与圆位置关系的方法，充分体现了由特殊到一般的思想方法．

直线与圆、圆与圆的位置关系是历年高考的一个热点，除考查位置关系之　外，还考查轨迹问题及与圆有关的最值问题．点到直线的距离公式与垂径定理　是解决与圆有关的问题所常用的两个方法，用好了能起到事半功倍的效果．　直线与圆、　ｍ－￣ｌｉｌ的位置关系　

重点：（ｉ）直线与圆的相交　相切　问题，判断直线与圆、圆与网的位置　关系；（２）计算弦长、面积，考查与　１．直线与圆的位置关系的判定　（１）代数法（判别式法）：联立圆　的方程与直线的方程，由判别式讨　论方程的实数解的个数．　（２）几何法：比较圆心到直线的　距离与圆半径的大小．　结合代数法和几何法．可得直　线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆（　～０）　＋（ｖ一６）２＝ｒ　的位置关系有三种（ｄ是圆心到直线　的距离）：若ｄ＞ｒ舒相离§△＜０：ｄ＝ｒ舒　相切营△＝０：ｄ＜怍＞相交甘△＞０．　２．直线和圆相交弦的计算　有两种方法：一是用弦长公式　Ｐ＝、／ｌ＋ｋ　ｌＸ１叫　ｌ，二是用勾股定理　Ｐ＝２俯．　３．圆的切线方程　求圆的切线方程一般有如下＿二　种方法，同学们在解题时要根据题　目所给的条件进行选择．　ｏ江苏连云港市锦屏高级中学车树勤　宙豳　有关的最值问题；（３）根据已知条件　求网的方程．　难点：（１）阒的几何性质；（２）通　瓣　过数形结合法解决圆的切线、直线　被圆截得的弦长等直线与尉的综合　问题；（３）用代数法处理几何问题．　（１）尉　＋ｙ　＝ｒ２上点Ｍ（ｘ。，ｙｏ）处的　切线方程：ｘ￣＋ｙｏｙ＝ｒ２．　（２）若已知切线过圆外一点Ｐ（　），则设切线方程为Ｙ　＝｜ｉ｝（　。），　再利用圆心到切线的距离等于半径　求出　的值，这时有两条切线．同学们　要注意不要漏掉平行于，ｙ轴的切线．　（３）若已知切线方程的斜率为ｋ，　则设切线方程为　＋６，再利用相切　条件求出ｂ的值．这时必有两条切线．　４．圆与圆的位置关系的判定　（１）几何法：设圆０　的半径为　圆０　的半径为ｒ２，两个圆的圆心距ｄ＝　『０　０　Ｉ，则　①ｄ＞　＋ｒ甘两圆外离甘两圆仅　有４条公切线：　②ｄ：　＋ｒ甘两网外切舒两圆仅　有３条公切线：　③ｄ＝Ｒ—ｒ甘两圆内切营两圆仅　有１条公切线：　④Ｒ—ｒ＜ｄ＜　＋ｒ甘两圆相交甘两　圆仅有２条公切线；　⑤ｄ＜Ｒ—ｒ甘两圆内含甘两圆没　有公切线．　（２）代数法：联立两圆的方程，　若方程有两组不同实数解铮两圆相　交：若方程有一组实数解甘两圆相　切：若方程没有实数解铮两圆相离　或内含．　在讨论直线与圆、圆与圆的位　置关系时，一般不用代数法，而用圆　心到直线的距离与半径的大小关　系、圆心距与半径的大小关系，分别　确定相交、相切、相离的位置关系．　５．圆与圆的公共弦问题　若圆ｃｌ：　＋Ｄｌｘ＋Ｅ￣ｘ＋Ｆｌ＝０和网　Ｃ２：　＋　＋Ｄ２　＋　＋　：０相交，贝０　Ｅ＇￣ｆｌ　公共弦所在直线的方程为（Ｄ。一Ｄ　）卅　（Ｅｌ—Ｅ２）ｙ＋（Ｆｌ—　）＝０．

1 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示.

（1）直线与圆相交：有两个公共点；

（2）直线与圆相切：有一个公共点；

（3）直线与圆相离：没有公共点.

2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.

1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l和C的方程联立方程组2200AxByCxyDxEyF，

若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交；

若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；

若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.

2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a，b)到直线的距离d=22||AaBbCAB与半径r作比较

若dr时，直线l和圆C相离.

3、圆的切线的求法：

（1）当点(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2；

（2）若点(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；

（3）斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为21ykxk；

斜率为k且与圆(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m，然后变成一般

式kx－y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；

（4）点(x0，y0)在圆外面，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离

等于半径，解出k，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.

4、直线与圆相交的弦长公式

1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长

即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有

－直线与圆的三种位置关系（利用直线与圆的公共点的个　

数定义圆与直线的位置关系）　１．相交如果一条直线与圆有两个公共点，那么就说这条直　线与这个圆相交，直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点．　

２．相切　如果一条直线与圆有且只有一个公共点，那么就说　这条直线与这个圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点．　

３．相离　如果一条直线与圆没有公共点，那么就说这条直线　与这个圆相离．　以上是判定直线与圆位置关系最根本的方法——定义法（一　

般不用。比较繁琐）．　

＝　直线与团位置关系的判定定理和性质定理（利用数形结　合的方法得到圆心到直线的距离与圆半径ｒ的关系）　设圆半径为ｒ，圆心到直线的距离为ｄ．　

ｄ＝惜Ｚ与ｏＤ相切．ｄ２＞ｒ铮　与ｏＤ相离．　ｄ１＜惜ｍ与ｏ０相交．　这是判定直线与圆位置关系的常用方法——垂直法．　

判定步聚：　①过圆心向直线作垂线，找到垂线段；　

②判断垂线段ｄ与ｒ的大小关系：　③利用大小关系，判定位置关系．　

Ｃ　铡　；如图，在ＲｔＡＡＢＣ中，／＿Ｃ＝９０。，　Ａ＝３０。，０为ＡＢ上一　

点，ＯＢ＝，孔，００的半径ｒ：＝　．问：当ｍ在什么范围内取值时，　ｃ与　

００相离，相切，相交？　

人生自古谁无死，留取丹心照汗青。——文天祥　

２１　Ｖ册　

圆　

点蔹想找ＢＣ与　０的位　解　过０作ＯＤ　Ｊ－ＢＣ于Ｄ．　置关系，应找ｄ与ｒ的大小关系．　・．・　Ａ＝３０。，／Ｃ：９０。，　

ｒ一２】＿确定，看　是多少！故　．・．　＝６０。．　

过０作　ｃ的垂线段求解．　・　・　１＝３Ｏ。・　在ＲｔＡＯＤＢ中，ＯＢ＝ｍ，　

．．．ＢＤ：—ｍ—．　２　

．．．ｏＤ：ｄ：　３＿ｍ．　

．・．①当ＧＯ与ＢＣ相离时，ｄ＞ｒ，　

即　ｍ＞一１。．ｍ＞一ｘ／３．　

②当６３０与ＢＣ相切时，ｄ＝ｒ，　

即　ｍ一１。．ｍ：一ｘ／３．　

③当６３０与ＢＣ相交时，ｄ＜ｒ，　

即丁Ｘ／－３　ｍ＜＿＿２１，．．．ｍ＜了ｘ／３．　

综上，当ｍ＞了ｘ／－Ｙ时，　ｃ与ｏＤ相离；当ｍ＝　：　时，Ｂｃ与