直线与圆的位置关系
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直线与圆的位置关系
一、 直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相交、相切、相离•判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1) 代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的
一元二次方程，求出其厶的值，然后比较判别式 厶与0的大小关系.若.■: ::: 0，则直线与圆相离；若抡.=0,
则直线与圆相切；若■ = 0，则直线与圆相交.
(2) 几何法：利用圆心到直线的距离 d和圆的半径r的大小关系：d ::： r=相交，d =r：=相切，d . r =
相离.
二、 计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1 )几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式 AB =・1亠孑xA -XB = (1亠k2)[(xA亠xB)2 4XAXB]
三、 圆与圆的位置关系的判定
设 |_G ：(x -印)2 (y -bi)2 =rj(「i . 0), _ C2 ：(x-a2)2 • (y -b?)2 =『(「2 0)，则有：
C1C2 ri r^LJCi 与 L C2 外离；
C1C2 =ri tuLICi 与 L C2外切；
「1 •；：■ CiG| .；：丁1 ■「2 u |_| Ci 与 L C2 相父；
GG =「i -「2(「i =「2)= LI Ci与 L C2 内切；
GG :::「1 一「2 = LlG 与L C2 内含；
四、 圆的切线方程问题
(1) 已知 |_Oi :x2 y2 =「2, _ O2 ：( x -a)2 (y -b)2 =「2O3 ：x2 y2 Dx Ey F = 0,则以 M (x0, y0) 为切点的LI Oi的切线方程 xx0 • yy°二「2; L O2的切线方程(x 7)化- a) • (y - b)( y° -b)二「2 ,L Q切线 方程xx yy0匹亠.旦j F =0
2 2
(2) 已知圆的x2，y2二「2的切线斜率为k，则圆的切线方程为 y = kx「k2 1
(3) 已知切线过圆外一点 P(xi,
yi)，可设切线方程为 y - ％二k(x - xi),利用相切条件确定斜率 k，此时
必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线.
(4) 切线长公式：从圆外一点 P(X0,y。)引圆(x-a)2 • (y-b)2二「2的切线，贝U P到切点的切线段长为
d = .(x -X。)2 • (y -y。)2 -「2 ;从圆外一点 P(x°, y°)引圆 x2 y2 Dx Ey F =0 的切线，贝 U P 到切点 的切线段长为d X02 y02 DX0 Ey0 F五、圆系方程
(1 )同心圆系(x -x0)2亠(y - y0)2 =r2, xo, y0为常数，r为参数.
(2) 圆心共线且半径相等圆系 (x—xj2 • (y—y0)2 = r2, r为常数，圆心(x0 , y0)在直线ax亠by亠c = 0上 移动.
(3) 过两已知圆fi(x, y^x2 y2 • DjX - E」y F =0(i =1, 2)的交点的圆系方程为
2 2 2 2
x y Dix Eiy Fl ，(x y D2X E?y F2) =0 即 fi(x,y)…f2(x, y) = 0(，_1).当一-1 时，
方程变为(Di — D2)X ・(Ei —E2)y - Fi —F2 =0,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不 存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相 离时，此直线为与两圆连心垂直的直线.
(4) 过直线与圆交点的圆系方程：直线 I : Ax亠By亠C = 0与圆C : x2亠y2亠Dx亠Ey亠F = 0相交，则方
程x2 y2 Dx Ey (Ax By C^0表示过直线I与圆C的两个交点的圆系方程.
题型一、直线与圆相交
【例1】 直线X —y +1 =0与圆(X +1 2 +y2 =1的位置关系是 __________ .
【例2】 圆x2 +2x +y2 +4y -3 =0上到直线x + y +1 =0的距离为V2的点共有 ___________ 个.
【例3】 判断直线2x _y -1=0和圆x2 • y2 _2mx _4my - m2 -1 =0的位置关系，结论为( )
A .相交但直线不过圆心 B .相交且直线过圆心
C .相交或相切 D .相交、相切或相离
【例4】 自点P 6 , -4向圆x2 y^20引割线，所得弦长为 6 2，则这条割线所在直线的方程
是 ________________ .
【例5】 直线x—J3y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 _________________ .
【例6】 若圆x2 y2 -4x -4y -10 =0上至少有三个不同点到直线 l : y =kx的距离为2 2，则k的取
值范围是 __________ .
【例7】 圆(x—2)2 +(y+3)2 =4上与直线x—y+2=0距离最远的点的坐标是 _______________ .
【例8】 若直线l与圆x2 (y 1)2 =4相交于A, B两点，且线段AB的中点坐标是(1-2)，则直线I 的方程为 ________________________ .
题型二、直线与圆相切
【例9】 若直线ax+by —3=0与圆x2 +y2十4x—1=0切于点P(—1,2)，则ab的积为 _____________ .
2 2
【例10】过点(4, 4引圆(X—1) +(y —3) =4的切线，则切线长是 ___________ .
【例11】动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x二-1相切，若动圆C与直线y = x • 2、2 • 1总有公
共点，则圆C的面积( ) A .有最大值8二 B .有最小值2二 C.有最小值3二 D .有最小值4二
【例12】求过点A(2 ,4)向圆x2 y2 =4所引的切线方程为 ____________________ .
【例13】已知圆的方程为x2 y2 ax 2y a2 =0，一定点为A(_1, _1)，要使过定点 A作圆的切线有 两条，则a的取值范围是 _____________________ .
【例14】过点A(2 -4)且与直线I : x・3y_26=0相切于点B(8, 6)的圆的方程为 ______________________ .
2 2
【例15】过直线x=2上一点M向圆(x+5) +(y_1 ) =1作切线，则 M到切点的最小距离为 _____________ .
【例16】已知P是直线3x 4y ^0上的动点，PA、PB是圆C : x2 • y2 _2x _2y • 1 = 0的两条切线， A, B是切点，那么四边形 PACB面积的最小值为 ________________ ，此时P点的坐标为 ____ .
【例17】已知圆O: x2 y2 =4 ,过点P(2, 4)与圆0相切的两条切线为 PA, PB ,其中A、B为切点，求 直线AB的方程.
题型三、综合问题
【例18】直线y=kx+3与圆(x—3$+(y—2,=4相交于M , N两点，若|MN| > 2运，则k的取值范
围是 __________ .
【例19】圆x2+y2=4被直线品x+y-2巧=0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ____________________ .
【例20】过点P 2 ,0与圆x2 y2 2y - 3 =0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是
1 1
【例21】若直线2ax-by • 2 =0(a, b .0)始终平分圆x2 y2 2^4y ^0的周长，贝U 的最小值
a b
为 ____________ .
【例22】若过定点M(-1, 0)且斜率为k的直线与圆x2 4x y2 -5=0在第一象限内的部分有交点，则
k的取值范围是 _____________ .
【例23】若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2 4x y2 -^0在第一象限内的部分有交点，则
k的取值范围是 __________ . f 3)
【例24】直线经过点P -3 ,--被圆x2 y2 =25截得的弦长为8 ,则此弦所在直线方程为
课后练习
【题1!圆x2 • y2 -4x -4 y -10 = 0上的点到直线x • y -1 4 = 0的最大距离与最小距离的差是
【题2】直线x=2被圆(x—a)2+y2=4所截得的弦长等于2血，则a的为 __________________ .
【题3】 如果直线I将圆x2 y2 _2x 一4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线 I的斜率的取值范围
是 ________ .
【题4】 经过点P(2, 一3)作圆(x 1)2 y^25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦 AB所在直线方 程为 .
【题5】 过点P(1, 2)的直线将圆x2 y2 -4x -5=0分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这 条直线的方程为 ______________________ .
【题6】 过点(1, .2)的直线I将圆(x -2)2 • y2 =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 I的
斜率k二 _________ .
【题 7】 已知圆 C： (x -1)2 (y —2)2 =25，直线 I : (2m 1)x (m 1)y —7m — 4 二 0(m^ R).
(1 )证明直线I与圆相交；
(2)求直线I被圆C截得的弦长最小时，求直线 I的方程.
【题8】 已知圆C :x2 y2 -2x 4y -4 =0，问最否存在斜率为1的直线I，使I被圆C截得的弦AB为 直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由.
