全等三角形的判定方法五种的证明

数学是科学的大门和钥匙--培根

数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

【要点梳理】

【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】

要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果''AB＝AB，''AC＝AC，''BC＝BC，则△ABC≌△'''ABC.

要点二、全等三角形判定2——“角边角”

全等三角形判定2——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''AB，∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''ABC.

要点三、全等三角形判定3——“角角边”

1.全等三角形判定3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法

当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：

二、倍长中线法

遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：

三、遇角平分线作双垂线法

在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！

四、作平行线法

在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法

题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

初一数学·全等三角形

1

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．

如图，在ABC和DEF中DFACEFBCDEAB

ABC≌DEF

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，点B与点D是对应点，26BAC，且20B，1ABCS，求ACDDCAD,,的度数及ACD的面积． 例2．如图，ABC≌DEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及CF的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）ABC≌DEF

（2）AB//DE，BC//EF

A

B C D

E F

A

B D C A

B E C F D

A

B

E C D

A

B C D

F E 初一数学·全等三角形

2

例5．如图，在,90CABC中D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）ABDE；

初中数学三角形全等五个判定方法

1. SSS（边边边）判定定理

- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 解释：如果有两个三角形，它们的三条边分别相等，那么这两个三角形的形状和大小完全一样，是全等三角形。例如，在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC

= DF，那么可以判定三角形ABC全等于三角形DEF，记作△ABC△△DEF。

- 应用场景：当已知两个三角形的三边长度时，就可以直接使用SSS判定定理来证明它们全等。比如在建筑工程中，要确定两个三角形结构的钢梁是否完全一样，只要测量三边长度是否相等即可。

2. SAS（边角边）判定定理

- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 解释：对于两个三角形，有两条边以及这两条边所夹的角分别相等，那么这两个三角形全等。在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，△B = △E，BC = EF，那么△ABC△△DEF。这里的角必须是两条边的夹角，顺序不能颠倒。

- 应用场景：在几何证明中，如果已知两个三角形有两条边相等，并且这两条边所夹的角也相等，就可以使用SAS判定定理。例如在测量土地时，已知两块三角形土地的两边长度及其夹角相等，就可以判定这两块土地的形状完全相同。

3. ASA（角边角）判定定理

- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 解释：如果两个三角形中有两个角以及这两个角所夹的边分别相等，那么这两个三角形是全等的。比如在三角形ABC和三角形DEF中，若△A = △D，AB = DE，△B = △E，那么△ABC△△DEF。这里的边是两个角的夹边。

- 应用场景：当已知两个三角形的两个角和它们的夹边相等时，可使用该定理。在航海中，通过测量两个角度和它们的夹边长度来确定两个三角形海域是否全等，从而判断船只的位置和航线。

4. AAS（角角边）判定定理

- 内容：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。