全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8

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百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

题 号 一 二 总分

1～8 9 10 11

12

得 分

评 卷

复 核

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．设x，y，z是正实数，满足()()xyzxzyz，则xyz的最大值是

．

2．设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等

于后100个正整数的平方和，则k的值为

．

3．设(2)nn是给定的整数，12,,,nxxx是实数，则1223sincossincosxxxx

1sincosnxx的最大值是 ．

4．在△ABC中，已知30,105AB，过边AC上一点D作直线DE，

与边AB或者BC相交于点E，使得60CDE，且DE将△ABC的面积两等分，则2CDAC ．

5．对于任意实数a，b，不等式max,,2006ababbC恒成立，则

常数C的最大值是

．（注：max,,xyz表示x，y，z中的最大者．）

6．设2()cosfxxaxbx，()0,R(())0,Rxfxxxffxx，

则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ．

7．在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，

n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米．

8．已知函数:fR→R满足：对任意,xyR，都有

11()()()20062005fxfyfxyxy，

则所有满足条件的函数f为 ． 免

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百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 二、解答题

9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．

10．（本题满分14分） 数列na定义如下：11a，且当2n时，

211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．

已知3019na，求正整数n．

yxOF

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百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)nn边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？

12．（本题满分16分） 设]1,0[,ba，求)1)(1(11baabbaS 免 财富值！！ 欢迎分享！！

百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 的最大值和最小值．

2006年上海市高中数学竞赛答案 免 财富值！！ 欢迎分享！！

百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1、127

2、20100

3、2n

4、36

5、1003

6、04a，b＝0

7、4()()()()2smnpmnppmnnpm 8、1()2006fxx

二、解答题

9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．

解 当2时，22ABBASp．

…………………（4分）

当2时，令tank．设1122(,),(,)AxyBxy，则由

()2pykx， ①

22ypx， ②

消去x得，2220pyypk，所以

122pyyk， 212yyp． ③

又直线AO的方程为：11yyxx，即为12pyxy，所以，AO与准线的交点的坐标为21(,)2ppBy，而由③知，221pyy，所以B和B的纵坐标相等，从而BBx轴．同理AAx轴，故四边形ABBA是直角梯形．………………（9分）

所以，它的面积为

11()22ABBASAABBABABAB

222121211()()2xxyyyy B/A/FBAOxy免 财富值！！ 欢迎分享！！

百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 221211()12yyk212122111()42yyyyk

332222221212(1cot)ppk．………………（14分）

10．（本题满分14分） 数列na定义如下：11a，且当2n时，

211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．

已知3019na，求正整数n．

解 由题设易知，0,1,2,nan．又由11a，可得，当n为偶数时，1na；当(1)n是奇数时，111nnaa．

………………（4分）

由3019na1，所以n为偶数，于是23011111919na，所以，2n是奇数．

于是依次可得：

1219111na， 12n是偶数，

24198111111na，24n是奇数，

2141118na，64n是偶数，

681131188na，68n是奇数，

618813na，148n是偶数，

1416851133na，1416n是偶数，

1432521133na，1432n是奇数， ……………（9分） 免 财富值！！ 欢迎分享！！

百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 14132312na，4632n是偶数，

4664311122na，4664n是奇数，

4616421na，11064n是偶数，

110128211na，

所以，1101128n，解得，n＝238． ……………… （14分）

11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)nn边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？

解 设不同的染色法有np种．易知36p． ………………（4分）

当4n时，首先，对于边1a，有3种不同的染法，由于边2a的颜色与边1a的颜色不同，所以，对边2a有2种不同的染法，类似地，对边3a，…，边1na均有2种染法．对于边na，用与边1na不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a颜色相同的情况，而边1a与边na颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数1np，于是可得

1132nnnpp， ………………（10分）

1122nnnnpp．

于是 33232(1)2(1)2nnnnpp，

2(1)2nnnp，3n．

综上所述，不同的染色方法数为2(1)2nnnp． ………………（16分）

12．（本题满分16分） 设]1,0[,ba，求 a3an-1ana2a1免 财富值！！ 欢迎分享！！

百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ )1)(1(11baabbaS

的最大值和最小值．

解 因为

)1)(1(11baabbaS

)1)(1()1(1)1)(1(122baababbababa

1 ，

当0ab或1ab时等号成立，所以S的最大值为1． ………………（6分）

令)1)(1()1(baababT，abx，则

abababababbaababT21)1(1)1(

xxxxxx1)1()1()1(2222． ………………（10分） 下证

211551)1(2xxx．

①

① 0)25()215(2xx，

所以 21155T，

从而 25513S，

当215ba时等号成立，所以S的最小值为25513．……………（16分）