相似三角形专题复习

相似三角形—专题复习

一．比例线段

1.成比例线段

对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如ba=dc（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时有称这四条线段成比例。

2．比例的性质

（1）如果ba=dc，那么ad=bc

（2）如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么ba=dc

（3）如果ba=cb，那么b2=ac

（4）如果b2=ac，那么ba=cb

（5）合比性质：如果ba=dc，那么bba=ddc

（6）等比性质：如果ba=dc=...=nm（b+d+...+n≠0），那么ndbmca......=ba

二．相似三角形

1. 相似三角形

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形

注意：（1）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。

（2）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。

2．相似三角形的判定方法

（1）定义法：

（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简单地说：

（4）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单地说：

（5）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简单地说： 。

（6）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3.位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

例1. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．

（2）判定△ABC与△DEF是否相似？

例2. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米

例3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

例4. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设BCAB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

例5. 如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

例6.如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。

（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）٭在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

（4）٭是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

y

N A

Q

O P M x

ABCDEFG一、选择题

1、下列多边形一定相似的为（ ）

A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形

2、下列说法不正确的是（ ）

A、 两对应角相等的三角形是相似三角形；

B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；

C、三边对应成比例的三角形是相似三角形；

D、以上有两个说法是正确。

3、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

4、已知3x=4y，则yx= （ ）

A、34 B、43 C、43 D、以上都不对

5、下列各组中得四条线段成比列得是（ ）

A、4cm、2cm、1cm、3cm B、1cm、2cm、3cm、4cm

C、25cm、35cm、45cm、55cm D、1cm、2cm、20cm、40cm

6、若x是3和6的比例中项，则x的值为 （ ）

A、23 B、23 C、32 D、23

7、若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），设AB=1，则PA的长约为

（ ）

A、0.191 B、0.382 C、0.5 D、0.618

8、如果cdab，则下列正确得是（ ）

A、dbca:: B、bcda:: C、dcba:: D、abcd::

9、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ ）

A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、ACAPABAC D、ABACBCPC

10、已知D、E为△ABC的边AB、AC上的两点，且AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，则ADES∶ABCS=（ ）

A、1∶2 B、1∶4 C、1∶3 D、2∶5

11、下列3个图形中是位似图形的有（ ）

A

B C D E

F

A

B C P A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

12٭、已知，如图（上右）△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点分别在AB、AC上，记△ABC的面积为1S，正方形DEFG的面积为2S，则有 （ ）

A、212SS B、212SS C、212SS D212SS

二、填空题

13、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm，则这两市之间的实际距离为 km；

14、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是

；

15、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。

16、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm ,

∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF

= _________cm

17、若△ABC∽△A′B′C′，且43BAAB，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 ；

18、已知：x∶y∶z=2∶3∶4，则zyxzyx32的值为 。

19、٭如图5,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,

则DFGEFBCGSS四边形四边形：=

20、以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大5倍. 如果四边形ABCD的坐标A（2，3），B（4，0），C（6，0），D（5，5）那么它们的对应点的坐标是

。（只要一种）

三、解答题

21、请作出五边形ABCDE以点O为位似中心的位似图形，使得像和原图形的位似比是1：2。

EDCBAO

22、已知AB∥CD，AD、BC交于点O。

（1）、试说明△AOB∽△DOC。

（2）、若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长。

OABCDA

B C D

F

图5 G E 23、如图，已知AEACDEBCADAB，试说明∠BAD=∠CAE。

24、如图，已知AD、BE是△ABC的两条高，试说明AD·BC=BE·AC

25、已知，如图， 在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADE：S△ABC的值。

26、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。

27、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

MABCHDEGFA

B C E

D

A

B C E

D

A

B C D E