数学建模合理下料问题

公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。

钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。

首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。

接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。

最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。

关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。

通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。

因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。

2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。

因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。

2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。

这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。

3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。

我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。

4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。

实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。

5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。

6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。

此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。

下料问题的基本建模方法嘿，伙计们！今天咱们聊聊那个让人又爱又恨的问题——下料问题。

想象一下，你在厨房里准备一顿大餐，你得从超市买一堆食材，然后小心翼翼地切、煮、炒、炖，最后端上桌。

这个过程就像我们在处理下料问题时一样，既要有条理，又要灵活应变。

别急，让我来给你娓娓道来。

咱们得搞清楚什么是下料问题。

简单来说，就是根据设计图或者需求，计算出需要多少原材料，然后按照规格去采购和加工。

这听起来是不是有点像我们做数学题，列式子、解方程？没错，就是这么回事！接下来，咱们说说建模。

建模就像是给下料问题画一幅详细的地图，让你一目了然。

比如，你有个项目，需要生产一批零件，每个零件的尺寸和重量都不一样。

这时候，你就需要用到建模了。

建模的方法有很多，比如线性规划、整数规划、网络流等等。

这些方法就像各种交通工具，帮你高效地运送材料。

举个例子，假设你要生产一批汽车零件，每个零件的重量和尺寸都不一样。

这时，你就可以用线性规划来建模。

线性规划就像是一条直线，它告诉你在这条线上，哪些地方可以放置零件，哪些地方不能放，这样就能保证零件的质量。

而整数规划呢，就像是一些特殊的点，它们的位置是固定的，不能移动。

网络流则像是一张网，它把各个工厂、仓库连起来，让材料能够高效地流动。

当然啦，建模只是第一步，实际操作才是关键。

你需要根据模型来制定计划，然后分配资源。

在这个过程中，你可能会遇到各种问题，比如材料不够、机器故障、工人罢工等等。

这时候，你就要灵活应变，根据实际情况调整计划。

就像我们在做饭时，有时候需要加点儿调料，有时候要换个做法，这样才能做出好吃的菜来。

我想说，下料问题虽然复杂，但只要我们用心去建模、去实践，就一定能找到解决问题的办法。

就像我们在厨房里，通过不断的尝试和创新，最终能做出一道道美味的大餐一样。

所以，别担心下料问题会难倒你，只要你肯动脑筋，有耐心，就一定能搞定！好了，今天的分享就到这里。

如果你对下料问题还有疑问，或者想听听更多关于建模的小窍门，记得关注我哦！我们下期再见！。

钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。

在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。

本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。

二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。

切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。

三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。

下面将介绍两种常见的数学建模方法。

1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。

在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。

2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。

在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。

四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。

假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。

合理下料问题摘要节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业领域来说都是一项有意义的事情。

本文提出了下料问题的一种使用数学模型，来研究钢管最合理的切割方法。

关键字：最优化线性规划 LINGO软件一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。

此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？二、问题分析1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省，获利最多。

2、①从题目给出的数据可知，客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下7种：方式4m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 3二 3 1 0 1三 2 0 1 3四 1 2 0 3五 1 1 1 1六0 3 0 1七0 0 2 3②从题目给出的数据可知，客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下16种：方式4m钢管/根5m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 0 3二 3 1 0 0 2三 3 0 1 0 1四 2 0 0 1 3五 2 2 0 0 1六 2 1 1 0 0七 1 0 2 0 3八 1 3 0 0 0九 1 1 0 1 2十 1 0 1 1 1 十一0 0 3 0 1 十二0 0 0 2 3 十三0 1 2 0 2 十四0 1 1 1 0 十五0 2 0 1 1 十六0 2 1 0 3三、模型假设（1）假设切割不损失钢管。

四、符号说明Xn表示采用方式n的次数；Z表示切割总根数。

钢管下料数学建模
钢管下料数学建模需要考虑以下几个方面：
1.确定下料长度：根据实际需要，确定每段钢管的下料长度。

这需
要考虑管道的使用场合、管径、壁厚等因素。

2.计算下料余量：在实际下料过程中，需要留有一定的余量，以防
止切割误差或加工误差导致下料长度不足。

一般建议留出
0.5-1mm的余量。

3.建立数学模型：根据实际需要，可以建立数学模型来优化下料过
程。

例如，可以通过优化算法来寻找最短的下料长度组合，或者通过建立数学方程来计算下料长度等。

4.考虑切割角度：在某些情况下，需要对钢管进行切割角度的调整，
以适应实际安装或加工需要。

这时需要在数学模型中考虑切割角度的影响。

5.确定加工误差：需要考虑加工误差对下料长度的影响。

加工误差
包括切割误差、打磨误差、钻孔误差等。

总体来说，钢管下料数学建模需要考虑实际应用场景、管材特性、加工设备等因素，以建立符合实际需求的数学模型。