高三数学应知应会讲义十：直线与圆复习教案

高考数学专题复习 直线和圆一．高考要求直线与圆在高考中题型设置以小题为多，有时穿插在综合型的大题中，着重考查直线与圆、圆与圆的位置关系、会求圆的切线方程，公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题．二．两点解读重点：①直线与圆的位置关系判断；②切线方程；③弦长的求法；④与向量的综合；⑤有关的最值问题．难点：①常通过“数”与“形”的结合，充分利用圆的几何性质来简化运算；②利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题．三．课前训练1．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是2．已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为8或18-3．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB的垂直平分线方程是3230x y --=4．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=4四．典型例题例 1 过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率____.k =解：当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小，圆心(2,0)与定点的连线的斜率k '=k =例 2 设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，则a =____________．解：由勾股定理知圆心到直线的距离是1，1=解得0a = 例3 若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为（ ）（A （B ）10 （C ）9 （D ）5+解：将圆配方得22(1)(2)5x y -++=，令12x y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，则255sin()x y θϕ-=++，故选 B ．例4 圆229x y +=内有一点()01,2P -，过0P 的直线交圆于A 、B 两点． （1）若90AOB ∠=︒，求AB 所在的直线方程；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程．解：（1） 90AOB ∠=︒，故圆心到直线的距离为，设所求直线方程为2(1)y k x -=+，则1k =或17k =，故AB 所在的直线方程为： 30x y -+=或7150x y -+= （2）当弦AB 被点0P 平分时，0AB OP ⊥，02OP k =- ，12AB k ∴= 直线AB 的方程为：250x y -+=例5 已知圆满足：① 截y 轴所的弦长为2； ② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3， ③ 圆心到直线l ：x -2y = 0的距离为55，求该圆的方程． 解：设所求圆的方程为：222()()x a y b r -+-=,由条件可得221a r r b ⎧⎪+=⎪⎪=⎨=解得1,a b r ==-或1,a b r ===该圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=2或22(1)(1)2x y -+-=。

总第74. 75教时课题：直线与圆、圆与圆的位置关系教学目标：1、知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系；2、能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。

3、掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。

4、掌握圆和圆的五种位置关系。

使学生掌握各种位置关系中圆心距与半径之间的数量关系，并了解它是性质又是判定。

培养学生分析问题、解决问题、归纳总结的能力。

高考要求：教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用两圆相交、相切的及两圆相切的性质和判定。

教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。

各种位置关系中圆心距与半径之间的数量关系的应用。

教具：多媒体教时安排：2教时教程：第一教时一、知识点复习回顾（一）、直线与圆的位置关系1、直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。

有两种判断方法:A > 0 <=>相交（1）代数法（判别式法）< △ = 0 o 相切，A<0 o相离d < r o相交(2)(几何法)(〃为圆心到直线的距离)圆心到直线的距离{d = ^o 相切d〉r <=>相离注意：一般宜用儿何法。

2、圆的切线方程：主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C相切意味着什么：圆心C到直线/的距离恰好等于半径厂(1 )过圆X2 + y2 =厂彳上一点M(兀0,儿)的切线的方程为y Q y = r2(2 )过圆(兀一°)2 +(y-/?)2 =厂$上一点M(兀0，儿)的切线的方程为(x0 -6Z)(x-6Z)+ (y0-bXy-b) = r2(3 )过圆x2 + y2 + Dx+ Ey + F = 0上一点M(兀。

，儿)的切线方程为“+y°y+D.d+E.Z±21+F=02 2(4 )自圆外一点M(兀o，y°)作圆x2 + y2 = r2的两条切线，则点A/(x0,y0)关于该圆的切点弦所在的直线方程是兀()兀+ y()y = r2(5)常见题型一一求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外--- 两条；点在圆上---- 条；点在圆内--- 无②求切线方程的方法及注意点• • •(1)点在圆外如定点卩(兀0，儿),圆：(％-。

《直线与圆的位置关系（复习课）》教学课例【教学设计】一、教学目标1．知识与能力：理解并掌握直线与圆的三种位置关系的定义及应用，尤其是切线的性质与判定，并应用这些知识解决相似及锐角三角函数等问题；2．过程与方法：通过通过复习培养学生综合运用知识的能力；3．情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的二、教材分析圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为圆与圆的位置关系作铺垫的知识，解题及几何证明中，起到重要的作用。

辨证唯物主义思想。

三、教学重点与难点教学重点：直线和圆三种位置关系的定义、性质及判定的理解和应用。

教学难点：圆的切线性质的应用以及切线的判定，尤其是辅助线的做法。

四、教学方法采用“讨论式”教学方法，通过“问题情景引入――基础知识重温――相关类题演练――归纳概括总结――综合知识应用”，引导学生对解决问题的思路和方法进行总结，对同类的问题的解题思路进行归纳，形成比较系统的解决这一类问题的常用方法。

五、教学过程中考命题分析1．主要考察直线与圆的位置关系的定义，圆的切线性质的应用以及切线的判定；2．值得关注的是圆与三角形相似、三角函数的综合以及开放探究题。

知识要点再现相关练习例1．已知⊿ABC中，∠B=90°，若AB=BC=4 ,以B为圆心的⊙B的半径为r，请回答：（1）当r=2.5时，⊙B与直线AC的位置关系如何？（2）当⊙B与直线AC相切时，求⊙B的半径为r的值。

（3）若⊙B与直线AC相交所截的线段MN长为2，求⊙B的半径r 。

例2．已知：垂直⊿ABC为⊙O内接三角形，直线EF与⊙O相切与点A, 求证：∠ABC=∠CAF.例3．如图，⊙O的直径等于8，OA⊥OB,，OA=45,OB=25.求证：AB与⊙O相切。

高中数学第十节讲解教案
主题：直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1. 理解直线和圆的位置关系的基本概念。

2. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法。

3. 能够应用直线与圆的位置关系解决相关问题。

二、教学重点：
1. 直线与圆的位置关系的基本概念。

2. 直线与圆的位置关系的判定方法。

三、教学难点：
1. 圆的切线与切点的概念。

2. 如何判断一条直线与圆的位置关系。

四、教学过程：
1. 复习：回顾上节课所学的直线和圆的相关知识。

2. 引入：通过一个实际问题引入直线与圆的位置关系的概念，激发学生的学习兴趣。

3. 学习：讲解直线与圆的位置关系的基本概念，并介绍判定直线与圆位置关系的方法。

4. 实践：让学生通过练习题巩固所学知识，提出问题并引导学生解决。

5. 总结：对本节课所学知识进行总结，强调重点和难点，帮助学生理清思路。

六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 自主学习相关知识，做好预习。

七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对直线与圆的位置关系有了更深入的理解，掌握了相关判定方法，并能够运用所学知识解决相关问题。

在教学过程中，要充分引导学生思考，灵活运用知识，培养学生的解决问题能力和创新意识。

高 三 数 学（第15讲）一、本讲进度《直线和圆的方程》复习 二、本讲主要内容1、直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。

2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。

3、直线和圆位置关系的研究。

三、复习指导1、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。

借助于平面直角坐标系，形和数可 以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。

当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。

当曲线C 和方程F(x ，y)=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y)=0表示的曲线；方程F(x ，y)=0是曲线C 表示的方程。

从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。

解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形。

坐标法是几何问题代数化的重要方法。

2、直线的倾斜角α和斜率k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan α，α∈[0，),2()2πππ ，当α=2α时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k 与之对应。

当已知k ，求倾斜角α时：k ≥0时，α=arctank ；k<0时，α=π+arctank 。

或：k=0时，α=0；k ≠0时，cot α=k 1,α=arccot k1。

由正切函数可知，当α∈（0，2π），α递增时，斜率k →+∞。

当α∈（2π，π），α递减时，斜率k →-∞。

当涉及到斜率参数时，通常对k 是否存在分类讨论。

3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）一一对应。

从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。

专题十 直线与圆【高考导航】 一、 考试内容1. 有向线段.两点间的距离.线段的定比分点.2. 直线的方程.直线的斜率.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程.直线方程的一般式.3. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角.两条直线交点.点到直线的距离.4. 圆的标准方程和一般方程. 二、 考试要求1. 理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.2. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式.能够根据条件求出直线的方程.3. 掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条相交直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.4. 熟练掌握圆的标准方程和一般方程.能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程.掌握直线和圆的位置关系的判定方法.三、 考点简析1. 有向线段.有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB 的数量AB ＝x B －x A .2. 两点间的距离公式.不论A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)在坐标平面上什幺位置，都有d ＝｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长｜AB ｜＝｜x 2－x 1｜或｜AB ｜＝｜y 2－y 1｜.3. 定比分点公式.定比分点公式是解决共线三点A(x 1， y 1)， B(x 2，y 2)， P(x ，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ＝1，此时中点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x4. 直线的倾斜角和斜率的关系.(1) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.(2) 斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是 k ＝tan α.5. 确定直线方程需要有两个互相独立的条件.确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.6. 平面上直线与二元一次方程是一一对应的.7. 两条直线的夹角.当两直线的斜率k 1k 2 ，都存在且k 1²k 2≠－1时，tan θ＝21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断，另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.8. 怎幺判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.(1) 斜率存在且不重合的两条直线l 1:y ＝k 1x ＋b 1， l 2:y ＝k 2x ＋b 2，有以下结论：① l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ② l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝－1.(2) 对于直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当A 1、A 2、B 1、B 2都不为零时，有以下结论：① l 1∥l 2⇔＝212121C C B B A A ≠= ② l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③ l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④ l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==. 9. 点到直线的距离公式.(1) 已知一点P(x 0，y 0)及一条直线l:Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 到直线l 的距离d ＝2200BA CBy Ax +++；(2) 两平行直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝2221BA C C +-.10. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+11. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 12. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离； ｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交； ｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 四、 思想方法1. 公式法.求直线和圆的方程要正确运用公式解题.各种位置关系的判断要灵活使用各种结论.2.数形结合思想.解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的.即：将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义. 【典型例题】【例1】 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三每块钢板面积第一种1平方单位，第二种3平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各14、 23、 39块，问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小，并求出这个最小面积.【解】设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，满足条件，则1,323,439,,x y x y x y x N y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈∈⎩ 其目标函数z ＝x ＋3y 取最小值.作出如图可行域，最优解在1725,33⎛⎫⎪⎝⎭附近,取y ＝8，x ＝7满足条件，此时z ＝31 ；取y ＝7， x ＝11，满足条件，此时z ＝32. 比较即知，x ＝7，y ＝8，即截第一种钢板7张，第二种钢板8张，可得到所需规格成品，且所使用的钢板面积最小为31平方单位.【例2】 如图，已知：射线OA 为y ＝kx(k ＞0，x ＞0)，射线OB 为y ＝－kx(x ＞0)，动点P(x ，y)在∠AOx 的内部，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，四边形ONPM 的面积恰为k.(1) 当k 为定值时，动点P 的纵坐标y 是其横坐标x 的函数，求这个函数y ＝f(x)的解析式； (2) 根据k 的取值范围，确定y ＝f(x)的定义域. 【解】设(,),(,),(0,0)M a ka N b bk a b ->>则OM =,ON =由动点P 在∠AOx 的内部，得0＜y ＜kx .∴PM ==PN ==∴ONPM ONP OPMS S S ∆∆=+=1()2OM PM ON PN ⋅+⋅ 1[()()]2a kx yb kx y k =-++=∴()()2k a b x a b y k +--= (1)又1PMy kx k k x a -=-=-,1PN y kx k k x b+==-,∴21x kya k +=+, 21x ky b k -=+, 代入(1)消去a,b 得2221x y k -=+∵y>0,∴y =(2) 由0y kx <<得0kx <<, ∴ 222222101x y x k k x ⎧-->⎪⎨--<⎪⎩∴222(1)1x k x k ⎧>⎪⎨-<+⎪⎩ ① 当k=1时②当0<k<1时,22211k x k +<-,21x k ⎧⎪<<⎨-⎪⎪⎩⎭③当k>1时, {x x >【例3】 如图所示，已知⊙O ′过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心O ′在抛物线x 2＝2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上所得的弦，令｜AM ｜＝d 1，｜AN ｜＝d 2，∠MAN ＝θ.(1) 当Ｏ′点运动时，｜MN ｜是否有变化?并证明你的结论； (2) 求1221d d d d +的最大值，并求取得最大值的θ值.【解】设00(,)O x y ', 20002(0)x py y =≥则⊙O ′的半径｜O ′A ｜=∴ ⊙O ′的方程为22220000()()()x x y y x y p -+-=+- 令y=0,并把20002(0)x py y =≥代入得x 2－2x 0x ＋x 02－p 2＝0 ， 得 0M x x p =-,0N x x p =+∴2N M MN x x p =-=为定值.(2) ∵0(,0)M x p -,0(,0)N x p +∴1d =,2d =,则 222212042d d p x +=+,12d d =,∴2221121212d d d d d d d d ++==2242p x +==≤= 当且仅当2202x p=,即0y p =时,2112d d d d +的最大值为此时O B MB NB '==(B 为MN 中点)又O M O N ''=∴O MN'∆ 为等腰直角三角形，090MO N '∠=则1.24MO N πθ'=∠=【例4】如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2＝4内一点A(3，0)与圆C 上一动点Q 的连线AQ 的垂直平分线交OQ 于点P.(1) 当点Q 在圆C 上运动一周时，求动点P 的轨迹方程；(2) 过点O 倾斜角为θ的直线与点P 的轨迹相交于B 1、B 2两点，当θ在区间]2,0(π内变化时，求△AB 1B 2的面积S(θ).并求S(θ)的最大值.【说明】本题考查直线与圆的综合问题.解题关键：①椭圆定义的运用；②直线参数方程的运用；③用基本不等式求最值.【解】(1) 因为点P 在线段AQ 的垂直平分线上，所以 ｜PA ｜＝｜PQ ｜ ∴PO PA +=2PO PQ OQ +==又∵2OA =<所以点P 的轨迹是以O 、 A 为焦点的椭圆，其方程为22412x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 设直线B 1B 2的参数方程为 cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)代入22412x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭ 整理，得2221(4sin cos )cos 04t θθθ++-=由弦长公式及韦达定理，得1212B B t t =-=223sin 1θ=+所以△AB 1B 2的面积为()()121sin 2S OA OB OB θθ=+12sin 2t t θ=-=23sin 1θθ+∴()S θ=23sin 1θθ+=13sin sin θθ≤+12= 当且仅当13sin sin θθ=, 即arcsin 3θ=∴ S(θ)取最大值12.【例5】设正方形ABCD 的外接圆方程x 2＋y 2－6x ＋a ＝0(a ＜9 ) C 、D 点所在直线l 的斜率为31. (1)求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、 BD 的斜率；(2)如果ABCD 的外接圆方程半径为52，在x 轴上方的A 、 B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程. 【解】(1)由()2239(9)x y a a -+=-<可知圆心M 的坐标为(3， 0)，依题意：4ABM BAM π∠=∠=,13ABk =, MA 、 MB 的斜率k 满足： 131113k k -=+, 解得：1,2ACk =-2BD k =(2) 将圆方程()2223x y -+=分别与AC 、 BD 直线方程：1(3)2y x =--,2(3)y x =-联立，可解得A(－1， 2)，B(5， 4).设抛物线方程为∶ 2()y a x m =- (*)将A(－1， 2)、 B(5， 4)的坐标代入(*)，得 4(1)16(5)a m a m =--⎧⎨=-⎩ 解得：a ＝2， m ＝－3,∴ 抛物线的方程为22(3)y x =+ . A(－1， 2)点关于M(3， 0)点的对称点为C(7， －2)， 故直线l的方程为 1(2)(7)3y x --=-,即3130x y --=【例6】 已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切.(1) 求动圆圆心P 的轨迹方程；(2) 若过点M 2的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A 、B ，求｜AM 1｜²｜BM 1｜的取值范围. 【解】 (1) ∵ ｜PM 1｜－5＝｜PM 2｜－1 ，∴ ｜PM 1｜－｜PM 2｜＝4∴ 动圆圆心P 的轨迹是以M 1、 M 2为焦点的双曲线的右支.c ＝4， a ＝2， b 2＝12 ，故所求轨迹方程为：221(2).412x y x -=≥1.当过M 2的直线倾斜角不等于2π,设其斜率为k,直线方程为：(4)y k x =-.(4)y k x =-与双曲线221412x y -= 联立，消去y 化简得 ： 2222(3)816120k x k x k ----= 又设11(,),A x y 22(,),B x y 120,0x x >>由 2122212242283161236416(3)(41)0k x x k k x x k k k k ⎧+=⎪-⎪+⎪=⎨-⎪⎪∆=+-+>⎪⎩解得：2 3.k >由双曲线左准线方程x ＝－1 且 e ＝2 ， 有｜AM 1｜²｜BM 1｜ =[]221212114()1e x e x x x x x +⋅+=+++23361001003k =+>-2.又当倾斜角等于2π, A(4，y 1)，B(4，y 2)，｜AM 1｜＝｜BM 2｜＝e(4＋1)＝10 ∴｜AM 1｜²｜BM 1｜=100 故 ｜AM 1｜²｜BM 1｜≥100.【例7】已知函数y ＝nx1log 2(x ∈N). (1) 当n ＝1， 2， 3， …时，把已知函数的图像和直线y ＝1的交点的横坐标依次记为a 1，a 2，a 3…，求证a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1；(2) 对于每一个n 的值，设A n 、 B n 为已知函数的图像上与x 轴距离为1的两点，求证n 取任意一个正整数时，以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标.【解】原函数y ＝nx 1log 2(x ∈N)可化为∶121log .y x n = (1)当y=1时,可求得12nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1111222n n n a -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ {}n a 是以12为首项, 12为公比的等比数列. ∴123111122111212n n n a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++==-<- (2)同理可以求,n n A B 的横坐标, 可得,n n A B 的坐标分别为()1,1,2,12nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴122nn n nA B ==+∴n n A B 中点C(横坐标)到Y 轴的距离121222nnn nA B +=∴以C 为圆心,n n A B 为直径的圆必定与Y 轴相切,切点(0,0)【例8】 (1997年全国高考数学试题)设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程.【解】 设圆心P(a,b),半径为r, 则 点P 到x 轴,y 轴的距离分别为｜a ｜,｜b ｜,由题意知圆P 截X 轴所得劣弧的圆心角为90°∴圆P 截X 轴所得弦长,故r 2=2b 2.又圆P 截y 轴所得弦长= 2,故r 2=a 2+1∴222221r b r a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩, ∴2221b a -=. ∵P(a,b)到直线l ：x －2y ＝0的距离为d=22225244d a b a b ab =-=+-≥222242()a b a b +-+=2221b a -=当且仅当a=b 时等号成立此时 22,21a b b a =⎧⎨-=⎩∴1,1a b =⎧⎨=⎩或1,1a b =-⎧⎨=-⎩由于222r b=, 故r =.于是,所求圆的方程为()221(1)2x y -+-=或()221(1)2x y +++=. 【例9】 (1989年全国高考数学试题) (如图所示)自点A(－3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线的方程.【解】圆方程x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x-2)2+(y-2)2=1它关于x 轴的对称圆C ′的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,设光线L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3), (其中斜率k 待定)1d == 解之得：34k =- 或 43k =-故所求直线的方程是y-3=34-(x+3) 或y-3=43-(x+3) 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0【例10】已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1) 求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点(2) 设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若｜AB ｜＝17，求l 的倾斜角； (3) 若定点P(1，1)分弦AB 为21=PB AP ，求此时直线l 的方程. 【证法一】由22(1)510x y mx y m ⎧+-=⎨-+-=⎩消去y 并整理,得2222(1)250m x m x m +-+-=因为216200m ∆=+>, 故直线l 与圆C 总有两个不同的交点.【证法二】由已知直线l ：mx －y ＋1－m ＝0,故直线l 恒过定点P(1,1) ,定点P(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5内, 故直线l 与圆C 总有两个不同的交点.【证法三】圆心(0,1)到直直线l的距离1d r =<<=圆心(0,1)到直直线l 的距离小于半径, 故直线l 与圆C 总有两个不同的交点. (2) 【解法一】11(,),A x y 22(,),B x y 则x 1,x 2是方程2222(1)250m x m x m +-+-=的两根∵12AB x x =-=所以解得m=所以l 的倾斜角为3π或23π.【解法二】圆半径圆心(0,1)到直线l 的距离2d ==,即2= 所以解得m=所以l的倾斜角为3π或23π.(3) ∵12AP PB =, ∴ 12121112x x +=+,∴2132x x =- (1)212221222(2)15(3)1m x x m m x x m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由(1),(2),(3)得m=±1, 此时直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.【同步精练】一、选择题1.若a ∈)2,6[ππ，则直线2xcos α+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( ) A. )2,6[ππ B. ),65[ππ C. ]6,0[π D. )65,2(ππ 2.点A(-2，1)，B(3，2)已知直线l ：ax+y+2=0与AB 的延长线总有交点(不含端点B)，则实数a 的取值范围是 ( )A. a<34-或a>51- B. 34-<a<51- C. a<34-或a>23 D. 51-<a<233.直线x+7y-5=0分圆x 2+y 2=1所成两段弧长之差的绝对值是 ( ) A. π B.4π C. 23π D. 2π4.当a ∈R 时，关于x, y 的二元二次方程(x 2+y 2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形，其对称轴方程是 ( )A. 2x+4y+1=0B. 4x+2y+1=0C. 4x-2y+1=0D.2x-4y+1=0 5.已知两点M(1，45)，N(-4，-45)给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2=3 ③22x +y 2=1 ④42x -y 2=1在曲线上存在点P ，满足｜MP ｜=｜NP ｜的所有曲线方程是( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④6.若点P(m,0)到点A(-3，2)及点B(2，8)的距离之和最小，则m 的值为 ( ) A.2 B.1 C.-2 D.-17.若方程x+y-6y x ++3k=0仅表示一条直线，则实数k 的取值范围是 ( )A.(-∞,3)B.(-∞,0)或k=3C.(-∞,0)或k=3D. k=38.已知两点A(-1，0)，B(0，2)，点P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值为 ( )A.2，)54(21- B. )54(21+，)54(21- C.521，54- D. )25(21+，)25(21- 二、填空题9.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程是___________. 10.已知集合A=｛(x, y)｜13--x y =2,x,y ∈R ｝,B=｛(x, y)｜4x+ay=16 x, y ∈R ｝,若A ∩B=φ ，则实数a 的值为_____________.11.直线kx-y=2与曲线2)1(1--y =｜x ｜-1有两个不同交点的充要条件是k 的集合为____________________12.已知圆经过点P(0，2)，并且与圆x 2+y 2-x+2y-3=0相交的公共弦在直线5x+2y+1=0上，则该圆的方程为_______________. 三、解答题13.已知点P 在直线x=2上移动，直线l 过原点且与OP 垂直.直线m 过点A(1，0)及点P ，而与直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.14.某人有楼房一幢，室内面积共180m 2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积15cm 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?15.将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中如图所示.已知AB=OB=1，AB ⊥OB ，点P(21，41)是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的直线MN 将三角形锯成△AMN.问：应如何确定直线MN 的斜率，可使锯成的△AMN 的面积最小?。

24.2直线与圆的位置关系（复习）
城关中学梁静
【教学任务分析】
【教学环节安排】
_D
图24.2-18
连接OC如图图24.2-18
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任意一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相切，那么⊙P 与OB 的
位置位置是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相切
2．一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A ．2.5cm 或6.5cm B ．2.5cm C ． 6.5cm D ．5cm 或13cm 二、选择题
3.如图2
4.2-15：PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中错误的是（ ）
A ：∠APO=∠BPO
B ：PA=PB
C ：AB ⊥OP
D ：C 是PO 的中点
4．菱形的对角线相交于O ，以O 为圆心，以点O 到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱
形其它三边的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．无法确定 图24.2-15 三、解答题
5．如图24.2-16，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥
PO 于E ，若∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．
图24.2-16
6． PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =70°． 求∠P 的度数．
6.如图24.2-17已知⊙O 中的弦AB=CD ，求证：AD=BC.
图24.2-17。

直线和圆的位置关系复习课教案教学目标：1.通过复习，巩固和掌握直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判断和性质，并灵活运用所学知识解决实践问题.2.通过解答涉及直线与圆的有关问题，让学生经历观察、猜想、证明的过程；了解、认识常规证明的分析方法和一些常规辅助线的添法；了解开放探究性、运动型问题的基本分析思路；通过复习培养学生综合运用知识的能力.教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判断和性质的运用.教学难点：运用直线和圆位置关系判断方法及切线的判断和性质的解题技巧.教法及学法指导：本节课主要采用导学案题组复习，在教学过程中先通过互查反馈题组，回忆复习本节课的内容，然后由“题组训练——构建知识框架——基础训练——错题警示—考题再现——拓展应用—检测达标”的方式完成本节课的教学，本着先易后难，循序渐进的原则，通过小题组练习、考题再现、拓展应用层层推进，学生通过自主学习，动脑、动手、动口，展开小组合作和互动式学习，让学生真正成为课堂的主人。

课前准备:老师：导学案、多媒体课件学生：导学案、练习本、课本（九年级下册）教学过程：一﹑导入复习 明确考试要求师：同学们，直线和圆的位置关系是初中数学的重要内容，在中考中经常和垂径定理、勾股定理、扇形阴影面积等内容相联系，我们今天就来复习直线和圆的位置关系（板书课题）.首先请同学们了解一下中考对这部分内容的要求：1.了解直线与圆的位置关系及切线的概念.2.掌握切线的性质与判定，并能综合运用解决有关证明计算.3.了解三角形的内心.预计2013年会在选择题中考查与圆有关的位置关系的试题，带有一定的开放性，在解答题中仍以证明切线及求线段的长为重点.设计意图：直接导入，了解中考要求及题型，为复习直线与圆的位置关系作好准备。

师：拿出导学案，完成题组一，并说明考查的主要知识点。

题组一：自主完成 互查反馈2.已知Rt △ABC 的斜边AB =6cm ,直角边AC =3cm ,以点C 为圆心，半径分别为２cm 和4cm 画两个圆，这两个圆与AB 位置关系是 ；当半径为 cm 时，AB 与⊙C 相切。

直线与圆的方程1.直线的方程【复习要求】【知识点梳理】1.直线的方向向量和法向量（1）方向向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用d表示;（2）法向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用n表示。

2.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角:设直线l与x轴相较于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角.注：错误!当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0;错误!直线l的倾斜角的范围为[)0,π。

（2）斜率：把倾斜角不为90°的直线l的倾斜角α的正切值叫做直线l的斜率,用k表示，即tan=kα注：错误!当2πα=时，斜率k 不存在；○，2当0k ≥时,arctan k α=;当0k <时,arctan k απ=+。

错误!当直线l 经过点()111,P x y 、()222,P x y ()21x x ≠时，1212y y k x x -=-. 3. 直线方程的各种形式(,d u v =(),n a b =垂直)2y ()00,x y【基本例题】例1 求直线210x y ++=的倾斜角.解:斜率2k =-，所以倾斜角arctan2απ=-.例2 已知直线:1l y kx =+与两点()1,5A -、()4,2B -，若直线l 与线段AB 相交,求k 的取值范围. 解:直线l 恒过定点()0,1C ,4AC k =-,34BC k =-，数形结合知(]3,4,4k ⎡⎫∈-∞--+∞⎪⎢⎣⎭。

例3 已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点， （1） 求经过点A 且与BC 平行的直线l 1的方程； （2） 求过点A 、B 的直线方程l 2； （3） 求BC 边上的高所在直线的方程l 3。

解：（1）直线l 1的一个方向向量()7,4BC -＝，所以直线l 1的点方向式方程为4674x y --=-，化为一般式方程为47580x y +-=.（2）直线l 2的一个方向向量()7,7AB =--，所以直线l 2的点方向式方程为4677x y --=--，化为一般式方程为20x y -+=.（3）直线l 3的一个法向量()7,4BC =-，所以直线l 3的点法向式方程为()()74460x y ---=,化为一般式方程为7440x y --=。

高中数学直线和圆教案
课题：直线和圆
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握直线和圆的基本概念、性质和公式；能够运用直线和圆的知识解决相关问题。

2. 过程与方法：通过例题分析、思维导向和讨论等方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：鼓励学生积极思考、勇于探索，培养他们对数学的兴趣和自信心。

二、教学内容：
1. 直线的概念及斜率、方向角的相关性质；
2. 圆的概念及圆心、半径、弦、弧、切线等基本概念；
3. 直线和圆的位置关系及相关公式。

三、教学过程：
1. 引入：通过给出一道直线和圆的问题，让学生思考直线和圆之间的关系，并引出本节课的主题。

2. 学习直线的知识点：讲解直线的概念、斜率、方向角等基本知识，并通过例题演示如何计算直线的斜率和方向角。

3. 学习圆的知识点：讲解圆的概念、圆心、半径、弦、弧、切线等基本知识，并通过例题演示如何计算圆的相关参数。

4. 直线和圆的位置关系：讲解直线和圆的位置关系及相关公式，并通过例题演示如何判断直线和圆的位置关系。

5. 练习与巩固：布置练习题，让学生独立解题，并对答案进行核对和讲解。

6. 总结与拓展：总结本节课的重点知识，拓展相关知识，激发学生兴趣和探索欲望。

四、课堂评价：
考核学生对直线和圆的基本概念、性质以及相关公式的掌握情况，包括思维能力、解题能力等方面的评价。

五、课后作业：
1. 完成课后练习题；
2. 总结笔记，复习本节课所学知识。