苏教版2018年高考数学一轮复习 专题2.2 函数定义域、值域(测)

§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。

第二节 函数的定义域与值域（最值）考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域 知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法. 需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示题型13 函数定义域的求解 思路提示对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.函数ln 1x y +=的定义域为（ ）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]变式1函数()1y x=-的定义域为（）A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]变式2求函数()2f x=的定义域.三、抽象函数定义域已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.评注 定义域是对自变量而言的，如()2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2x 的范围.变式1 已知函数()2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域．变式2设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--三、实际问题中函数定义域的求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域题型14函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.变式1 若函数()2143f x ax ax =++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（） A.{}a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C.34a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.304a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式2 函数()2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.变式3若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围.题型15 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种(1)观察法:根据最基本函数值域（如2x ≥0,0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+换元将原函数转化为二次型函数.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx ax++2或fex d c bx a y x x ++++=22的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一 观察法 例 2.14 求函数1+=x y 的值域.变式1 函数)(122R x y x x ∈+=的值域是 .变式2 函数)(1||||R x x x y ∈+=的值域是 .二 配方法例 2.15 求函数xx y 245-+=的值域..变式1 求函数)1(11)(x x x f --=的值域.变式2 求x x x f -++=53)(的值域.变式3 设函数)0()(2<++=a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）.A -2B -4C -8D 不能确定三 图像法（数形结合）例 2.16 求函数y =.评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.变式2 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）.A 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B []1,0-C ⎡⎤⎣⎦D ⎡⎤⎣⎦变式3函数()f x=的值域是（）.A6655⎡⎢⎣⎦B6355⎡⎢⎣⎦C6,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D62,5⎡-+-⎢⎣⎦四基本不等式法例2.17已知x>2,求函数245()24x xf xx-+=-的值域.变式1 求函数11y xx=++的值域.五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f xx的值域.变式1：求函数x x y -+=2的值域.变式2：求函数22x x y -+=的值域.六、分离常数法【例2.19】求212++=x x e e y 的值域.变式1：求函数153--x x y 的值域.变式2：求函数66522-++-=x x x x y 的值域.七、判别式法【例2.20】求函数2211x x y x x -+=++的值域.变式1：已知函数1)(2++=x bax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.变式2：已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.【例2.21】求函数11++-=x x y 的值域.变式1：求函数11--+=x x y 的值域.变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.【例2.22】求函数)(2222R x x x y ∈+=的值域.变式1：已知函数])1,0[(22∈+=x e e y xx，求函数的值域.变式2：已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D【例2.23】已知π<<x 0，求函数xxy sin cos 2-=的值域.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数xxy cos 2sin 1--=的值域.十、导数法【例2.24】求函数])3,3[(12)(3-∈-=x x x x f 的值域.评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数cx bx x y ++=23在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.最有效训练题5（限时45分钟）1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）a x y A +=2. 1.2+=ax y B 1.2++=x ax y C 1.2++=ax x y D 2.若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )43,0.[D3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-4.函数x y 416-=的值域是（ ）),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D5.设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=))(()())((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）),1(]0,49.[+∞-A ),0.[+∞B ),49.[+∞-C ),2(]0,49.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 221l o g *)23(l o g )(-=的值域为（ ）)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D （7）函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.（8）函数],0[,2sin 1cos π∈--=x x x y 的值域为________________.（9）若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. （10）已知函数430(2--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是_________________. （11）求下列函数的定义域. （1）1||212-+-=x x y ；（2）02)45()34lg(-++=x x x y ；（3）x x y cos lg 252+-=；（4）)34(log 25.0x x y -=； （5）xey -=11；（6）229)2lg()(xx x x f --=；（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域.12.求下列函数的值域.（1）)30(1422≤≤+-=x x x y ；（2）xxy 2121+-=； （3）2234x x y -+-=； （4）x x y 212-+=； （5）21x x y -+=；（6）xxy sin 2sin -=；（7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .【。

第2讲 函数的定义域与值域1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.[答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞) 3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________． [解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12. 所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g (t )＝2·13－t24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，11211. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f (2x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9. 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编2：函数的定义域、值域、解析式及图像 填空题 ．（2011年高考（江苏卷））已知实数,函数,若,则a的值为________ 【答案】【命题立意】本题考查了分段函数,主要考查了学生分类讨论的数学思想.【解析】当时,,解之,(舍);当时,,解之. ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知函数 若,使得成立,则实数的取值范围是________. 【答案】 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）函数,满足,则 ________. 【答案】. ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）函数的定义域为_____________ 【答案】 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）函数的定义域为________________. 【答案】 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）定义在R上的函数f(x)满足,则f(5)=_____. 【答案】1; ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）函数的定义域为____________. 【答案】 . ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知函数,则_____. 【答案】8 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数f(x)=则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为________. 【答案】{x|0x(1,或x=2}; ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数,当时,,则实数的取值范围是_____. 【答案】 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设f (x)是定义在R上的奇函数,当x 1),使得存在实数t,只要当时,就有成立 【答案】 ．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题） 【答案】 第10题 2 1 y x。

名师预测1．函数y ＝(13)x 2的值域是( )A ．(0,＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1,＋∞)2．函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．(0,＋∞) B ．[0,＋∞) C ．(1,＋∞)D ．[1,＋∞)3．函数y ＝x x －1－lg 1x 的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}4．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝1－2x5．已知函数f (x )＝a x －1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[1,2],则a 的值为( ) A.22B ．2 C. 2D.136．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， |x |≥1，x ， |x |<1，g (x )是二次函数,若f (g (x ))的值域是[0,＋∞),则g (x )的值域是( )A ．(－∞,－1]∪[1,＋∞)B ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)C ．[0,＋∞)D ．[1,＋∞)7．已知等腰△ABC 周长为10,则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ,则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <58．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A ．(－∞,0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2,＋∞)D ．(0,＋∞)9．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2,2] 10．定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1,已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．12．函数f (x )＝x ＋x x －2的定义域是________． 13．设函数f (x )＝12(x ＋|x |),则函数f [f (x )]的值域为________．14．函数y ＝x ＋1＋x －10lg 2－x 的定义域是________．15．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．16．已知函数f (x )的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数f (x ＋2)的定义域为____________,值域为__________．17．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x 2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .18．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a 、b 的值．19．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3,x ∈(－3,a ],其中a 为常数且a >0,令函数f (x )＝g (x )·h (x )． (1)求函数f (x )的表达式,并求其定义域； (2)当a ＝14时,求函数f (x )的值域．20．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．21．设O 为坐标原点,给定一个定点A (4,3),而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动,l (x )表示AB 的长,求函数y ＝xl x的值域．22．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f (x )的值域为[0,＋∞),求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数,求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．23．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值．答案：B13．解析：先去绝对值,当x≥0时,f(x)＝x,故f[f(x)]＝f(x)＝x,当x<0时,f(x)＝0,故f[f(x)]＝f(0)＝0,即f [f (x )]＝⎩⎨⎧xx ≥00x <0,易知其值域为[0,＋∞)．答案：[0,＋∞)(2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ,则t ≥0,x ＝13－t 24,于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ,＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6,显然函数g (t )在[0,＋∞)上是单调递减函数,又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时,t ＋4t 单调递减, F (t )单调递增,F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减,。

１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。