一类三阶矩阵环的quasipolar性质

三阶贝塞尔曲线公式三阶贝塞尔曲线作为一种应用广泛、精度较高的数学曲线，被用于各种复杂的几何形状建模，例如自然界中的山、河、瀑布等，同时也广泛应用于微分平面、立体几何图形的建模中。

因此，贝塞尔曲线的公式被称为是数学中的一个“神奇”。

三阶贝塞尔曲线是一种特殊的曲线，它由给定的四个控制点（两个端点和两个控制点）确定，并可以用曲线上每一点的坐标来表示。

最常见的贝塞尔曲线公式为：B（t）＝（1-t）^3p1+3（1-t）^2tP2+3（1-t）t^2p3+t^3p4，其中t是一个变量，取值范围为[0,1]，p1,p2,p3,p4分别表示四个控制点。

三阶贝塞尔曲线有多种计算方法，其中一种计算方法为采用矩阵的运算，矩阵乘法是由一组数字组成的平面表进行乘法运算的方法，即将贝塞尔曲线的坐标转换成矩阵，利用矩阵乘法求得对应的点坐标，在确定t值后可以求出任意一点的坐标。

另外，三阶贝塞尔曲线还有一种特殊的运算方法贝塞尔基函数，即将曲线上的每一点表达成一个基函数的线性组合，其定义如下：B （t）＝a0+a1t+a2t^2+a3t^3，其中a0,a1,a2,a3分别是四个控制点的坐标，t是一个变量，取值范围为[0,1]。

可以利用基函数的方法更加方便地求得三阶贝塞尔曲线的控制点和任意点的坐标。

三阶贝塞尔曲线由于其灵活性和较高的精度，在实际工程中应用广泛。

例如，在计算机图形学中，三阶贝塞尔曲线可以用来建模更加美观的圆弧和复杂的曲线；在机器人控制领域，三阶贝塞尔曲线可以用来控制机器人的运动轨迹；在几何建模领域，三阶贝塞尔曲线可以用来建模复杂的四边形。

此外，三阶贝塞尔曲线还可以应用于计算机动画、游戏制作和仿真等领域。

从上面可以看出，三阶贝塞尔曲线拥有丰富的功能和广泛的应用。

它是一种有趣且实用的数学曲线，在几何建模、动画和实时控制等方面都有着重要的应用价值。

因此，掌握三阶贝塞尔曲线的公式及其计算方法，对于更加有效地利用它具有重要的意义。

拉普拉斯变换微分定理三阶一、拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换是一种数学变换，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

拉普拉斯变换源于法国数学家拉普拉斯在18世纪末的研究成果，它是一种将复杂数学问题简化求解的方法。

1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)的运算，定义如下：F(s) = ∫(e^(-st) * f(t) * dt)，其中s为变换域变量，t为时域变量。

2.拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有以下基本性质：(1) 线性性质：拉普拉斯变换具有线性性质，即变换后的函数是原函数的线性组合。

(2) 尺度变换：拉普拉斯变换具有尺度变换性质，变换后的函数与变换前的函数在尺度上存在一定的关系。

(3) 移位性质：拉普拉斯变换具有移位性质，变换后的函数通过平移原函数得到。

二、拉普拉斯变换微分定理三阶的推导拉普拉斯变换微分定理是拉普拉斯变换在微分方程求解中的应用。

以下是拉普拉斯变换微分定理三阶的推导过程：1.拉普拉斯变换微分定理一阶设f(t)为t的函数，对其进行一阶导数，得到f"(t)。

将f(t)和f"(t)进行拉普拉斯变换，得到F(s)和F"(s)。

2.拉普拉斯变换微分定理二阶对拉普拉斯变换后的函数F"(s)进行一阶导数，得到F""(s)。

3.拉普拉斯变换微分定理三阶对拉普拉斯变换后的函数F""(s)进行一阶导数，得到F"""(s)。

三、拉普拉斯变换微分定理三阶的应用拉普拉斯变换微分定理三阶在求解微分方程、信号处理与系统分析、工程与应用等领域具有广泛的应用。

1.求解微分方程利用拉普拉斯变换微分定理三阶，可以将复杂微分方程转化为更易于求解的线性微分方程。

2.信号处理与系统分析拉普拉斯变换微分定理三阶在信号处理与系统分析中具有重要意义，可以帮助分析信号的频率特性和系统的稳定性。

一类三次lienard方程的极限环分析以《一类三次lienard方程的极限环分极限分析》为标题，本文将对一类三次Lienard方程的极限环分极限分析进行剖析，以深入了解其结构，特征与性质。

一类三次lienard方程是由Lienard在1927年提出的常微分方程。

它有以下基本形式：$$frac{d^3y}{dt^3}+a(t)frac{d^2y}{dt^2}+b(t)frac{dy}{dt}+c( t)y=f(t)$$其中，a(t)、b(t)、c(t)和f(t)是连续并且在某一区间上可导的函数；解析解的极限分析可以归纳为几个基本的步骤：1.上述方程分解为：$frac{d^2y}{dt^2}+a(t)frac{dy}{dt}+(b(t) + c(t))y=f(t)$ 2.换后的方程可以写为：$[T(t)+c(t)]frac{dy}{dt}+[b(t)+c(t)]y=f(t)$3.换成只含有y的方程：$frac{dy}{dt}+p(t)y = q(t)$4. 使用环分方法，将方程积分两次得到：$y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$ 5.恒等变换找出原方程的解：$tilde y=y+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$6.取有界的解：$tilde y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_2$此外，若p(t)和q(t)都是常数，那么通过积分可以得到解析解，即：$tilde y=int(q-p)e^{pt}dt+C_2$最后，体现出一类三次Lienard方程极限环分极限分析的重要性，其在工程应用中有着重要的地位。

例如，可以用它：1.决工程设计中存在的稳定性问题；2.悉系统动力学及控制；3.据有关参数的系统特性，以此构建模型以预测模型的行为。

因此，通过仔细研究一类三次Lienard方程的极限环分极限分析，不仅可以深入了解其结构，特征与性质，也可以有效的解决工程中广泛存在的诸多问题。

一类与余弦函数有关的解析函数的三阶Hankel和Toeplitz行列式引言在数学中，解析函数是研究的一个重要领域，它在分析学、复变函数论以及其他数学领域中起着重要的作用。

解析函数可以用级数展开，并在一定的区域内具有无限可微的性质。

在解析函数的研究中，Hankel和Toeplitz行列式是两个重要的概念，它们在研究分析函数的性质和应用中起着重要的作用。

本文将就一类与余弦函数有关的解析函数的三阶Hankel和Toeplitz行列式进行探讨，并给出相应的定理和证明。

一类与余弦函数有关的解析函数我们先来定义一类与余弦函数有关的解析函数。

设f(z)是定义在单位圆内的解析函数，且满足以下形式的级数展开式：f(z)=Σ(c_nz^n+1+ c_nz^n) (1)其中c_n是复数系数，n=0,1,2,……。

根据级数展开式(1)，我们可以得到函数f(z)在单位圆内的解析表达式。

这类函数与余弦函数有着密切的联系，下面我们将讨论这类函数的三阶Hankel和Toeplitz行列式。

三阶Hankel行列式的定义和性质我们来定义三阶Hankel行列式。

设函数f(z)满足式(1)的级数展开式，即f(z)是定义在单位圆内的解析函数。

那么，三阶Hankel行列式H_3(f)定义为：H_3(f)=det[h_ij]=det[f^(i+j-2)]_(i,j=1,3) (2)其中h_ij=f^(i+j-2)，i,j=1,2,3，f^(k)表示f(z)的k阶导数。

根据Hankel行列式的定义，我们可以得到H_3(f)的表达式：H_3(f)=det[f(0) f'(0) f''(0)f'(0) f''(0) f'''(0)f''(0) f'''(0) f''''(0)]= f(0)f'''(0)-f''(0)^2 (3)三阶Hankel行列式H_3(f)的性质如下：1. 对于三阶Hankel行列式H_3(f)，如果f(z)是单位圆内的解析函数，则H_3(f)的值一定是实数。

三阶球谐系数16个
球谐函数是一种特殊的函数，用于描述球对称性系统中的波函数。

对于三维球谐函数，我们可以用球谐系数来描述它们。

三维球谐函数可以表示为Y(l,m)(θ,φ)，其中l和m分别是角动量量子数和磁量子数，θ和φ分别是极角和方位角。

对于三阶球谐函数，我们有l=3，m的取值范围是从-l到l，即m=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。

因此，对于三阶球谐函数，一共有7个不同的m取值。

球谐系数描述了球谐函数在球坐标系中的展开系数，它们是复数。

对于三阶球谐函数，一共有16个球谐系数，分别对应着不同的m取值。

这些系数可以通过特定的积分计算得到，具体的数值会根据具体的球谐函数而变化。

从数学角度来看，球谐系数可以通过勒让德多项式和复指数函数的积分来计算。

这些积分通常需要数值计算来获得精确的结果。

从物理角度来看，球谐函数和球谐系数在描述原子轨道、分子轨道以及固体中的电子结构等方面起着重要作用。

它们帮助我们理
解微观粒子的运动规律和空间分布特征。

总之，三阶球谐函数一共有16个球谐系数，它们描述了函数在球坐标系中的展开系数，对于具体数值需要通过积分计算获得。

在物理学和化学等领域，球谐函数和球谐系数有着重要的应用价值。

三阶循环群的不可约表示一、引言在群论中，三阶循环群是一种非常重要的特殊群。

它由三个元素（即三个不同的变换）构成，并具有特定的性质。

不可约表示是群论中的一个重要概念，它描述了群与表示空间之间的对应关系。

在本文中，我们将深入探讨三阶循环群的不可约表示。

二、三阶循环群的定义与性质三阶循环群是一个包含三个元素的对称性群体，即有三个不同的变换。

这些变换可以是旋转、平移或翻转等。

这个群体中的元素会按照特定的规则循环，即任意两个连续的元素之间的差是1（即[0, 1, 2]）。

三阶循环群具有非常特殊的性质，例如它是循环的且每个元素都可以被分解为多个不同的周期因子。

三、不可约表示的概念在群论中，不可约表示是指一个群与一个表示空间之间的对应关系，该表示空间是唯一的。

对于三阶循环群来说，它的不可约表示就是指该群与一个表示空间之间的唯一对应关系，这个表示空间必须是不可分解的。

换句话说，任何两个元素在表示空间中的乘积必须是另一个元素。

四、三阶循环群的不可约表示的性质三阶循环群的不可约表示具有一些特殊的性质。

首先，由于三阶循环群有三个元素，所以它最多只能有两个不可约表示。

其次，每个不可约表示都是一个代表元素。

最后，所有的三阶循环群的元素都在这些不可约表示中有一个非平凡的表示。

这些性质说明了三阶循环群的不可约表示是非常特殊和有趣的。

五、应用场景三阶循环群的不可约表示在许多领域都有应用。

例如，它在密码学中扮演着重要的角色，因为它提供了一种保护信息的有效方式。

此外，它还被广泛应用于物理学、化学、生物学等领域的研究中。

六、结论总的来说，三阶循环群的不可约表示是一个非常有趣和重要的概念。

它不仅揭示了三阶循环群的特殊性质，还为许多领域提供了有用的工具和手段。

通过深入了解三阶循环群的不可约表示，我们可以更好地理解群论的本质和应用，并为未来的研究提供新的思路和方向。

拉普拉斯变换微分定理三阶引言拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数。

在工程和科学领域中，拉普拉斯变换被广泛应用于信号处理、电路分析、控制系统等方面。

本文将探讨拉普拉斯变换微分定理的三阶形式，该定理在拉普拉斯变换的应用中具有重要的意义。

拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换是一种线性、广义的积分变换，通过对函数进行积分操作，将其从时间域转换到复频域。

对于一个定义在非负实数上的函数f(t)，其拉普拉斯变换F(s)定义如下：∞f(t)dtF(s)=ℒ{f(t)}=∫e−st其中，s是复频域中的变量，可以是复数。

拉普拉斯变换具有线性性质，即对于任意的常数a和b，有以下关系：ℒ{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)拉普拉斯变换微分定理拉普拉斯变换微分定理是指对于一个函数f(t)的导数，其在拉普拉斯变换中的表达式。

对于一个函数f(t)及其导数f’(t)，有以下关系：ℒ{f′(t)}=sF(s)−f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时刻的初始值。

这个定理可以通过对拉普拉斯变换的定义进行推导得到。

拉普拉斯变换微分定理三阶拉普拉斯变换微分定理三阶是指对于一个函数f(t)的三阶导数，其在拉普拉斯变换中的表达式。

对于一个函数f(t)及其三阶导数f’’’(t)，有以下关系：ℒ{f‴(t)}=s3F(s)−s2f(0)−sf′(0)−f″(0)其中，f(0)、f’(0)和f’’(0)分别是函数f(t)在t=0时刻的初始值、一阶导数在t=0时刻的初始值和二阶导数在t=0时刻的初始值。

这个定理的推导可以通过对拉普拉斯变换微分定理的应用得到。

应用示例为了更好地理解拉普拉斯变换微分定理三阶的应用，我们来看一个具体的示例。

假设有一个电路，其电流i(t)满足以下微分方程：L d3i(t)dt3+Rd2i(t)dt2+1Cdi(t)dt+i(t)=V(t)其中，L、R和C分别是电路的电感、电阻和电容，V(t)是电路的输入电压。

三阶不可约零-非零模式中的几乎惯量任意模式续晓欣;高玉斌;梁月亮【摘要】利用矩阵理论和组合论的方法对三阶不可约零-非零矩阵模式的惯量进行了研究,得到三阶不可约零-非零模式中所有几乎惯量任意的不可约零-非零模式,并将三阶不可约零-非零模式分为三类:惯量任意的不可约零-非零模式、几乎惯量任意的不可约零-非零模式、非惯量任意又非几乎惯量任意的不可约零-非零模式,并逐一验证.以几乎惯量任意的三阶不可约零-非零模式为基础,进一步验证了集合作为三阶不可约零-非零模式惯量临界集的必要条件,同时给出集合作为三阶不可约零-非零模式精细惯量临界集的一个必要条件.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)006【总页数】7页(P607-613)【关键词】不可约模式;惯量任意;几乎惯量任意;精细惯量任意;临界集【作者】续晓欣;高玉斌;梁月亮【作者单位】中北大学仪器与电子学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】O157.5近年来，关于符号模式（或零-非零不可约模式）的惯量任意性与惯量临界集（或精细惯量任意性与精细惯量临界集）的研究成果很多.文献［1］根据惯量临界集的定义，给出并验证了n=2，3，4时不可约零-非零模式的极小惯量临界集以及n=2，3时不可约符号模式的极小惯量临界集.文献［2］阐述了精细惯量的定义并得出：n≤3时不可约零-非零模式的惯量任意性、精细惯量任意性与谱任意性是等价的，当n=4时不可约零-非零模式的精细惯量任意性与谱任意性是等价的，而对于更高阶的不可约零-非零模式，上述结论则不一定成立.文献［3］利用组合矩阵论的方法，得到并验证了n=2，3时不可约零-非零模式的所有极小惯量临界集以及所有极小精细惯量临界集.在文献［4］中，二阶不可约符号模式的所有极小精细惯量临界集都得到了验证.对于任意蕴含幂零的全符号模式，文献［5］证明其一定是谱任意（从而也是惯量任意）的.最近，文献［6］给出并验证了三阶全符号模式的所有极小精细惯量临界集，从而使惯量临界集（精细惯量临界集）的研究开辟到全符号模式的领域.几乎惯量任意的不可约零-非零模式是2010年文献［7］中提出的一个概念，文献［7］的引理2.3证明了三阶不可约零-非零模式M蕴含除（0，0，3）之外其余所有可能的惯量，称此时的不可约零-非零模式M是几乎惯量任意的.国内关于几乎惯量任意模式的研究只限于符号模式矩阵的范畴，杨正民等人在文献［8］中证明了一类符号模式是几乎完全惯量任意的符号模式，梅银珍等人在文献［9］中利用矩阵的直和构造出一种几乎完全惯量任意的符号模式矩阵.目前，国内外针对几乎惯量任意的不可约零-非零模式的系统研究尚未展开.本文在深入研究不可约零-非零模式的基本概念和基础理论之后，受文献［7］启发，探讨三阶不可约零-非零模式中的几乎惯量任意的模式，将三阶不可约零-非零模式按照惯量任意模式、几乎惯量任意模式、非惯量任意又非几乎惯量任意模式分为三类，并对其进行了归类研究.一般说来，验证符号模式是惯量任意的，可以采取一些常规的方法，比如：幂零-雅可比方法、幂零-中心化方法［10］，对于不可约零-非零模式，没有常规的方法可以验证其惯量任意性.因此，本文采用分析法与列举法结合的方法得到三阶不可约零-非零模式中几乎惯量任意的所有模式M，N，P.首先，利用组合理论中矩阵迹与特征值的关系以及矩阵特征多项式与特征值的关系，证明（0，0，3）不能被以上三种模式蕴含；其次，对于每一个除（0，0，3）之外的三阶零-非零模式的惯量，给出每个惯量在实数域上具体的矩阵实现，说明M，N，P蕴含这个惯量，从而证明三种模式M，N，P是几乎惯量任意的.1 预备知识首先介绍零-非零模式的相关概念.零-非零模式矩阵是指元素取自集合｛＊，0｝的矩阵，其中＊指的是任意的非零实数.若零-非零模式矩阵A（以下简称模式）通过转置及置换相似的有限次组合变换可以得到模式B，则称模式A与B模式等价.若B=A或者将A中的一个或多个非零元素替换为零元素后可以得到模式B，则称模式B为模式A的一个子模式，同时A为B的一个母模式.若模式A置换相似于模式其中A 11，A 12为非空方阵，则称模式A为可约的，否则称A为一个不可约模式.具有相同模式A的n阶实矩阵全体称为模式A的定性矩阵类.模式A的谱是指该模式的所有定性类矩阵的特征值组成的集合.n阶实矩阵A的惯量是指满足n++n-+n0=n的三元有序数组（n+，n-，n0），其中n+，n-，n0分别为矩阵A的具有正实部、负实部和零实部的特征值的个数［11］.模式A蕴含惯量（n+，n-，n0）是指，在模式A的定性矩阵类中至少存在一个实矩阵具有这样的惯量.事实上，模式A蕴含惯量（n+，n-，n 0）当且仅当A蕴含惯量（n-，n+，n 0），这是由于，若矩阵A属于某个模式的定性矩阵类中，则-A亦属于这个定性矩阵类中，称以上两种惯量互为彼此的反转惯量［1］.若模式A蕴含所有可能的惯量，则称模式A是惯量任意的，若模式A蕴含除某个惯量之外的其余所有惯量，则称模式A是几乎惯量任意的.n阶实矩阵A的精细惯量是指满足n++n-+nz+2n p=n的四元有序数组（n+，n-，nz，2n p），其中，nz为矩阵A零特征值个数，2n p是指A纯虚数特征值的个数［2，12］.模式A蕴含精细惯量（n+，n-，nz，2np）是指，在模式A的定性矩阵类中存在至少一个实矩阵具有（n+，n-，nz，2n p）这样的精细惯量.若模式A蕴含所有可能的精细惯量，则称模式A是精细惯量任意的，若模式A蕴含除某个精细惯量之外的其余所有精细惯量，称模式A是几乎精细惯量任意的.类似于惯量的性质，模式A蕴含精细惯量（n+，n-，nz，2np）当且仅当A蕴含精细惯量（n+，n-，nz，2n p），称以上两种精细惯量互为彼此的反转精细惯量［2］.设S为n阶模式所有惯量构成集合的一个非空真子集，对于任意的n阶零-非零模式A，若集合S⊆i（A）可以使得该n阶零-非零模式A惯量任意，则称S 是n阶零-非零模式的一个惯量临界集.类似可以得到精细惯量临界集的定义.接下来列出本文主要证明中所需的三阶模式的基本性质：引理1［3］设A为三阶不可约零-非零模式，则其对应的关联有向图中含有一个三圈或两个二圈.引理2［7］设A为三阶不可约零-非零模式，则A为惯量任意当且仅当A对应的关联有向图中含有子图B，其中B中含有至少两个环、两个三阶置换有向图以及至少一个二圈.引理3［13］设A为三阶不可约零-非零模式，则A满足以下结论：1）若A含有5个或5个以下的非零元素，则A不是谱任意的；2）若A含有6个非零元素且是谱任意的，则A是极小谱任意的并且等价于以下两种形式之一3）若A含有7个或7个以上非零元素并且主对角线至少2个非零元素，则A是谱任意的，但不是极小谱任意.三阶模式的谱任意性与惯量任意性是等价的［2］，因此将上述引理3中的谱替换为惯量，结论同样成立.引理4［14］若模式A为惯量任意的三阶不可约零-非零模式，则模式A必等价于以下两种模式之一的母模式2 主要结论根据引理1，所有三阶不可约零-非零模式（对应的关联有向图为强连通图）共有25种情形（在等价意义下），下面将三阶不可约零-非零模式分为惯量任意模式、几乎惯量任意模式、非惯量任意又非几乎惯量任意模式三种情形分别进行讨论. 2.1 惯量任意的三阶模式根据引理4，惯量任意的三阶模式共有9种，它们分别是D 1的母模式D 2的母模式2.2 几乎惯量任意的三阶模式三阶模式中几乎惯量任意的模式共有3种，下面给出与几乎惯量任意模式有关的4个命题及3个推论，并逐一证明.命题1 三阶模式是几乎惯量任意的，即蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量.证明根据文献［3］中不可约零-非零模式惯量个数的计算公式三阶模式共有10种惯量.由于模式M对应的关联有向图中不含有二圈，根据引理2结论，模式M不是惯量任意的.下面说明模式M是几乎惯量任意的.考虑模式M在实数域上的5个矩阵实现，矩阵分别取到惯量（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1）.注意到一个模式蕴含惯量（n+，n-，n 0）当且仅当其蕴含惯量（n-，n+，n0），将以上前4个实矩阵分别取负矩阵，则这4个负矩阵分别取到惯量（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0），（0，1，2）.至此，模式M蕴含9个惯量，分别为（1，2，0），（0，2，1），（3，0，0），（1，0，2），（1，1，1），（2，1，0），（2，0，1），（0，3，0）与（0，1，2），由于模式M不是惯量任意的，则M不能蕴含惯量（0，0，3）.因此，模式M是几乎惯量任意的.命题2 三阶模式是几乎惯量任意的，即蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量.证明从矩阵模式N的结构可以看出，模式N对应的关联有向图中只有一个环，根据引理2结论可知，模式N不是惯量任意的.又根据组合矩阵论的知识可知，矩阵模式N的迹是非零的，亦即模式N定性矩阵类中的任意矩阵其特征值之和非零，因此，模式N不能蕴含惯量（0，0，3），下面说明模式N蕴含其余所有的惯量，考虑模式N实数域上的5个矩阵实现，矩阵分别取到惯量（1，2，0），（1，1，1），（1，0，2），（2，0，1）与（3，0，0），由于一个模式蕴含惯量（n+，n-，n0）当且仅当其蕴含惯量（n-，n+，n0），则模式N同样蕴含惯量（2，1，0），（0，1，2），（0，2，1）与（0，3，0），因此，模式N蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量，即模式N是几乎惯量任意的.命题3 三阶模式是几乎惯量任意的，即蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量.证明由于（0，0，3）∈i（P）当且仅当i（P）蕴含形如x 3+qx（q≥0）的特征多项式.假设矩阵A是模式P的一个实数域矩阵实现，不失一般性，设其中a，b，c，d是任意的非零实数.此时，矩阵A的特征多项式为假设p A（x）=x 3+qx，则a=0，与假设a是非零实数矛盾.因此，i（P）不能蕴含形如x 3+qx（q≥0）的特征多项式，于是模式P不能蕴含惯量（0，0，3）.下面考虑模式P实数域上的5个矩阵实现，矩阵分别取到惯量（1，0，2），（1，1，1），（2，0，1），（3，0，0）与（2，1，0）.因此，模式P同样蕴含惯量（0，1，2），（0，2，1），（0，3，0）与（1，2，0），综上可知模式P蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量，即模式P是几乎惯量任意的.推论1［7］设集合S是三阶不可约零-非零模式的一个惯量临界集，则（0，0，3）∈S.证明根据命题1，命题2及命题3可知，模式M，N与P均为几乎惯量任意零-非零模式，即蕴含除（0，0，3）之外的其余所有惯量，用反证法证明推论1成立，设S是三阶模式的一个惯量临界集并且（0，0，3）不属于S，则S必包含三阶模式惯量集合中的其它惯量，此时有S∈i（M），S∈i（N）及S∈i（P）成立.根据惯量临界集的定义，若模式蕴含临界集S中的惯量，则模式必蕴含所有可能的惯量，亦即该模式是惯量任意的，而命题1，命题2与命题3分别指出M，N与P均不是惯量任意的，这与S是三阶模式惯量临界集并且（0，0，3）∉S的假设矛盾.因此，若S为三阶不可约零-非零模式的惯量临界集，则（0，0，3）∈S.结合命题1，命题2，命题3及惯量与精细惯量的关系可得以下推论：推论2 三阶模式均不蕴含精细惯量（0，0，1，2）与（0，0，3，0）.命题4 三阶模式蕴含除（0，0，1，2）与（0，0，3，0）之外的其余所有精细惯量.证明根据文献［2］定理1.1中精细惯量个数的计算公式可知，三阶模式的精细惯量共有8种（互为反转精细惯量的一对精细惯量视为等价的1种精细惯量），由命题3可知，模式P不能蕴含惯量（0，0，3），因此一定不能蕴含精细惯量（0，0，1，2）与（0，0，3，0），下面说明模式P蕴含其余6种精细惯量，考虑模式P实数域上的6个矩阵实现，事实上，下列矩阵分别取到精细惯量（1，0，0，2），（1，0，2，0），（1，1，1，0），（2，0，1，0），（3，0，0，0）与（2，1，0，0）.因此，模式P蕴含除（0，0，1，2）及（0，0，3，0）之外的其余所有精细惯量.推论3 设集合S′为三阶模式的一个精细惯量临界集，则S′包含（0，0，3，0）或（0，0，1，2）.证明利用反证法获证.假设（0，0，3，0）与（0，0，1，2）均不属于S′，则S′中必定包含三阶模式精细惯量集合中的其它精细惯量，由推论2可知，模式M，N与P均不是精细惯量任意的.与S′为三阶模式精细惯量临界集的定义矛盾.2.3 非惯量任意又非几乎惯量任意的三阶模式根据引理3中（1），非零元素为5个或5个以下的三阶模式不是谱任意的，从而不是惯量任意的.下面说明这些模式也不是几乎惯量任意的.2.3.1 非零元素为3个的三阶模式有1种：此模式要求非奇异且迹为零.因此，给定的三阶模式不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）及（0，1，2）.从而可知此三阶模式不是几乎惯量任意的.2.3.2 非零元素为4个的三阶模式有3种：第一种模式要求非奇异且迹非零，因此不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）与（1，1，1）；第二种模式要求非奇异且迹为零，因此不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）与（0，1，2）；第三种模式要求奇异且迹为零，因此不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（2，1，0），（1，2，0），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）与（0，1，2）.综上可知这3种模式不是几乎惯量任意的.2.3.3 非零元素为5个的三阶模式有5种：第一种模式要求非奇异，因此不能蕴含（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1）；第二种模式要求非奇异且迹为零，因此不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3），（1，1，1），（3，0，0），（0，3，0），（1，0，2）与（0，1，2）；第三种、第四种模式要求非奇异且迹非零，因此不能蕴含惯量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1），（2，0，1）；第五种模式要求奇异且迹非零，因此不能蕴含惯量（3，0，0），（0，3，0），（2，1，0），（1，2，0），（0，0，3）.综上可知上述5种模式均不是几乎惯量任意的. 由以上分析可知，非零元素为5个或5个以下的三阶模式均不是惯量任意的，同时也不是几乎惯量任意的.2.3.4 非零元素为6个的模式有4种：第一种模式要求非奇异且迹非零，因此不能蕴含惯量（0，0，3），（1，1，1），（0，2，1）与（2，0，1）；第二种和第三种模式要求非奇异，因此不能蕴含惯量（0，2，1），（2，0，1），（0，0，3）与（1，1，1）；第四种模式要求迹为零，则不能蕴含惯量（3，0，0），（0，3，0），（0，2，1），（2，0，1），（1，0，2）与（0，1，2）.由此可得这4种模式均不是惯量任意的，也不是几乎惯量任意的.结合2.1，2.2及2.3可知，三阶模式中，惯量任意的模式有9种，分别是几乎惯量任意的模式有3种，具体为既非惯量任意又非几乎惯量任意的模式有13种，分别为3 结束语文中对三阶不可约零-非零模式的所有情形（在等价意义下共25种）进行了分类讨论：列出了惯量任意模式，共9种，得到了所有的几乎惯量任意模式，共3种，同时得到非惯量任意又非几乎惯量任意的模式，共13种.进一步验证了集合作为三阶模式惯量临界集的必要条件.给出集合作为三阶模式精细惯量临界集的一个必要条件.事实上，关于几乎惯量任意的零-非零模式尚有许多性质有待进一步探讨.譬如，惯量任意零-非零模式与几乎惯量任意零-非零模式之间的关系、零-非零模式是几乎惯量任意零-非零模式的充分或必要条件等.参考文献：［1］Kim I J，Olesky D D，van den Driessche P.Critical sets of inertias for matrix patterns［J］.Linear and Multilinear Algebra，2009，57（3）：293-306.［2］Deaett L，Olesky D D，van den Driessche P.Refined inertially and spectrally arbitrary zero-nonzero patterns［J］.Electron.J.Linear Algebra，2010，20：449-467.［3］Yu Berlin，Huang Hingzhu，Hua Hongbo.Critical sets of refined inertias for irreducible zero-nonzero patterns of order 2 and 3［J］.Linear Algebra and its 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