上学期九年级数学期中测试题

北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形2．抛物线224y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,2-B ．()0,4-C ．()1,2--D ．()2,03．二次函数23y x =-的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）A ．21y x =-B ．25=-y x C ．()223y x =--D ．()223y x =+-4．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1x =，则另一个根为（ ）A ．4x =-B ．3x =C ．4x =D ．3x =-5．若关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1>-aB ．1a <C ．1>-a 且0a ≠D ．1a <且0a ≠6．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是（）A ．41x -<<B ．31x -<<C ．<4x -或1x >D ．3x <-或1x >7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针方向旋转58︒得到11A B C ．若点1A 恰好落在AB 边上，则1B ∠度数为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．58︒D ．61︒8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点为()1,0A ，(),0B m 且21m -<<-，有下列结论：①0b <；②a b <；③20a c +<；④若图象上有两点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，当12x x n <<时，总有12y y <，则n 的取值范围为0.50n -<<．其中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3-关于原点的对称点坐标为 ．10．一元二次方程240x -=的根是 ．11．抛物线24y x x =+的对称轴是 ．12．已知，点()12,P y ，()25,Q y 为二次函数()212y x =--的图象上的两个点，则1y2y （填“＞”或“＜”）．13．若抛物线24y x x k =-+与x 轴无交点，则k 的取值范围是 ．14．请写出一个对称轴为直线1x =，且经过点()0,3的抛物线解析式 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，点B (0,3)，连接AB ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AC ，连接OC ，则线段OC 的长度为 ．16．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x ，则可列方程为 ．三、解答题17．计算：()0π23--18．解方程2420x x --=．19．解方程：21x x -=．20．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x...1-0123...y 03-4-3-0…画出该二次函数的图象，并求出解析式．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()4,2，连接AB ，BO ，得到OAB △．(1)画出OAB △绕原点O 顺时针旋转90︒得到的11OA B ；(2)直接写出经过点1A ，1B ，A 的二次函数图象的对称轴22．在ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB AC ，逆时针旋转60︒得到线段AD AE ，，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．连接AF ，求CAF ∠的度数．23．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象与函数4y kx =+（0k ≠）的图象交于点(),2A m ．(1)求m 与k 的值；(2)当1x >时，对于x 每一个值，总有函数1y nx =+（0n ≠）的值大于函数4y kx =+（0k ≠）的值，直接写出n 的取值范围．24．今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．(1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？(2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？25．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离y （单位：m ），车速为制动时车速x （单位：m /s ），时间为制动时间t （单位：s ）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表：表1制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动时间t （s ）00.250.50.751 1.25⋯⋯表2制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动距离y （m ）00.251 2.254 6.25⋯⋯为观察y 与x 之间的关系，建立平面直角坐标系，以x 为横坐标，y 为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示y 与x 的关系．根据以上数据与函数图象，解决下列问题：(1)根据表1，当制动时车速x 为20m /s 时，制动时间t = s ；(2)直接写出制动距离y （单位：m ）与制动时车速x （单位：m /s ）之间的函数关系式；(3)有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为42.25m ，则此车制动时车速是 m /s ，已知该公路限速为80km /h ，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()14,A y -，()21,B a y +在抛物线221=-+y x ax 上，抛物线经过点()3,C n y ．(1)当5n =时，若13y y =，则a 的值为 ；(2)若对于任意的46n ≤≤都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27．已知，ABC V 是等腰三角形，60BAC ∠=︒，O 是ABC V 内的任意一点，连接OA ，OB ，OC ．(1)如图1，=90AOC ︒∠，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 顺时针旋转60︒得到ADC △．点D 恰好落在BO 所在的直线上，用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)如图2，设AOC α∠=，BOC β∠=．当α= ︒，β= ︒时，OA OB OC ++有最小值．28．如图，点,B C 在直线l 上，点A 为直线l 外一点，AB AC =，对于点D 给出如下定义：将线段CA 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段CD ，当点D 在直线l 上（不与B 重合）时，称点D 为线段AB 的关联点．(1)如图40ABC ∠=︒，30BAD ∠=︒，点D （填“是”或“不是”）线段AB 的关联点；(2)已知点D 为线段AB 的关联点，ABC x ∠=︒，BAD y ∠=︒，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围（直接写出结果）．。

2023～2024学年度第一学期期中学习评价九年级数学纸笔测试第一部分（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.若关于x 的一元二次方程20x x m --=的一个根是3x =，则m 的值是（）A.6- B.3- C.3D.62.用配方法解方程2620x x --=，配方后的方程是（）A.()232x -= B.()239x -= C.()239x += D.()2311x -=3.若菱形两条对角线的长度是方程2680x x -+=的两根，则该菱形的边长为（）B.4C.5D.254.如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，已知23BC AC =，若3DE =，则DF 的长是（）A.94B.92C.9D.65.阳光明媚的一天，身高为1.6m 的小颖想测量校内一棵大树的高度.如图，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 3.2m BC =，0.8m CA =，于是计算出树的高度应为（）A.8mB.6.4mC.4.8mD.10m6.如图，在菱形ABCD 中，84BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则CDF ∠的度数是（）A.42︒B.48︒C.54︒D.60︒7.如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（）A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④8.如图，在ABC △中，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 的中点，DE DC =，81A ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.31︒B.39︒C.41︒D.49︒9.阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看.则小燕先看的概率是（）A.13 B.12C.49 D.5910.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接AP 、EF .给出下列结论：①2PD EC =；②四边形PECF 的周长为8；③EF 的最小值为2；④AP EF =；⑤AP EF ⊥.其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个第二部分（非选择题共90分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.如图，AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，已知1AE=，2CE =，3DE =，则BD 的长为________.12.一个口袋中有若干个白球，小明想用学过的概率知识估计口袋中白球的个数，于是将4个黑球放入口袋中搅匀（黑球与口袋中的白球除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋并摇匀，不断重复上述过程，共摸了300次，其中有48次摸到黑球，估计口袋中大约有________个白球.13.若a 、b 是一元二次方程2290x x +-=的两个根，则223a a ab ++的值为________.14.如图，在矩形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将ADE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为________.15.如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为________.三、解答题（共9小题，计75分.解答应写出过程）16.（本小题6分）如图，在ABC △中，AB AC =，请用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得DAB ABC △△.17.（本小题8分）解方程：（1）()()2333x x x +=+（2）()()32514x x -+=-18.（本小题8分）已知532a b c ==.（1）求a bc+的值；（2）若29a b c +-=，求2a b c -+的值.19.（本小题8分）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE BF =.求证：（1）ADE CDF ≅△△；（2）DEFDFE ∠=∠.20.（本小题8分）某校九年级1班为准备学校元旦演讲比赛，通过班级预赛共评选出两位男生和三位女生共5名推荐人选.（1）若该班随机选一名同学参加比赛，求选中男生的概率；（2）若该班随机选出两名同学组成一组选手参加比赛，求恰好选中一男一女的概率（用列表或树状图的方法求解）.21.（本小题9分）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有实数解.（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x ，若()()125114x x --=，求k 的值.22.（本小题9分）某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？（2）若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？23.（本小题9分）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，90D ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交CD 于点E ，F 是AB 的中点，连接AE 、EF ，且AE BE ⊥.求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AEAD EF ⋅=⋅.24.（本小题10分）如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，8cm AB =，6cm BC =.点P 从A 点出发沿AC 向C 点运动，速度为每秒2cm ，同时点Q 从C 点出发沿CB 向B 点运动，速度为每秒1cm ，当点P 到达顶点C 时，P 、Q 同时停止运动，设P 点运动时间为秒.（1）当为何值时，PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形？（2）当为何值时，PQC △的面积为25cm （3）当为何值时，PQC △与ABC △相似？2023~2024学年度第一学期期中学习评价九年级数学纸笔测试参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.D2.D3.A4.C5.A6.C7.B8.B9.C 10.B二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.9212.2113.18-14.10315.68三、解答题（共9小题，计75分，解答应写出过程）16.解：作图（略）……………………………………………………………………（5分）则点D 即为所求.…………………………………………………………………………（6分）17.解：（1）原方程可化为()()23330x x x +-+=.……………………………………（1分）即()()3230x x +-=，……………………………………………………………………（2分）∴30x +=或230x -=，………………………………………………………………（3分）∴13x =-，232x =.……………………………………………………………………（4分）（2）原方程可化为22561514x x x +--=-，即2210x x --=，……………………………………………………………………（1分）这里2a =，1b =-，1c =-.∵()()224142190b ac -=--⨯⨯-=>，………………………………………………（2分）∴()113224x --±==⨯，……………………………………………………………………（3分）∴11x =，212x =-.…………………………………………………………………………（4分）18.解：（1）∵532a b c==，∴532a b c +=+，……………………………………………………………………………………（2分）∴842a b c +==.………………………………………………………………………………（3分）（2）∵532a b c ==，∴532252a b c a +-⨯=+-，…………………………………………………………………………（5分）∴459a=.……………………………………………………………………………………（6分）∵532a b c==，∴25325429a b c a ⨯-+==-+，……………………………………………………………………（7分）∴8124a b c -+=.…………………………………………………………………………（8分）19.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD CD AB BC ===，A C ∠=∠，………………………………………………（2分）∵BE BF =，∴AE CF =.……………………………………………………………………（3分）在ADE △与CDF △中，,,,AD CD A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDF ≅△△.（2）∵ADE CDF ≅△△，∴DE DF =，∴DEFDFE ∠=∠.20.解：（1）随机选一名同学参加比赛有5种等可能结果数，而选中男生的结果有2种，∴选中男生的概率为：25P =.………………………………………………………………（3分）（2）5名推荐人选中，两位男生分别记为A ，B ，三位女生分别记为c ，d ，e 列表为：A Bc d eA ABAc Ad Ae BBABc Bd BeccA cB cdceddA dB dcdee eAeBeced…………………………………………………………………………（6分）共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12种.所以恰好选中一男一女的概率为：123205P ==.………………………………………………（8分）21.解：（1）∵关于x 的方程()22210x k x k +-+=有实数根，∴()22242141b ac k k ∆=-=--⨯⨯……………………………………………………（2分）410k =-+≥，………………………………………………………………………………（3分）∴14k ≤.……………………………………………………………………………………（4分）（2）∵方程()22210x k x k +-+=的两个实数根分别为1x ，2x .∴()1221x x k +=--，212x x k =.……………………………………………………（5分）由()()125114x x --=，∴()1212514x x x x -++=，………………………………………………………………（6分）∴()252114k k +-+=，即24850k k +-=，…………………………………………（7分）∴152k =-，212k =（舍去），…………………………………………………………（8分）∴52k =-.……………………………………………………………………（9分）22.解：（1）若该商品降价5元，平均每天销售数量是405250+⨯=（件）.………………（3分）（2）设每件商品应降价x 元，则每件盈利为：()50x -元，日销售量为：()402x +件，…………（5分）根据题意得：()()504022400x x -+=，……………………………………………………（7分）解这个方程得：110x =，220x =.…………………………………………………………（8分）由于每件盈利不少于35元，那么每件应降价10元.………………………………………………（9分）23.证明：（1）∵AE BE ⊥，F 是AB 的中点.∴EFBF AF ==，∴FEB FBE ∠=∠.……………………………………………………………………………………（1分）∵BE 是ABC ∠的平分线，∴FBE CBE ∠=∠，∴FEB CBE ∠=∠，……………………………………………………………………（2分）∴EFBC ，………………………………………………………………………………（3分）∵AB CD ，∴四边形BCEF 是平行四边形.………………………………………………………………（4分）∵EFBF =，∴四边形BCEF 是菱形.……………………………………………………………………（5分）（2）∵AB CD ，∴DEA EAB ∠=∠.……………………………………………………………………（6分）∵90D AEB ∠=∠=︒，∴ADE BEA △△，………………………………………………………………（7分）∴AE ABAD BE=，…………………………………………………………………………（8分）∴BE AEAD AB ⋅=⋅，即2BE AE AD EF ⋅=⋅.………………………………………………………………（9分）24.解：（1）∵8cm AB =，6cm BC =，∴10cm AC =.由题意2AP t =，102PC t =-，CQ t =，()05t <≤………………………………（1分）∵PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形，∴PC CQ =，……………………………………………………………………（2分）∴102t t -=，解得103t =.……………………………………………………………………………………（3分）（2）过点P 作PD BC ⊥于点D ，∴PD PC AB AC=，………………………………………………………………………………（4分）∴()()810285105t t AB PC PD AC --⋅===，…………………………………………（5分）∴()85115225PQC t S CQ PD t -=⋅=⋅=△，解得：1252t t ==.……………………………………………………………………（6分）（3）当11PQ C ABC △△时，11CP AC CQ BC=，…………………………………………（7分）∴102106t t -=，解得：3011t =.…………………………………………………………………………（8分）当22P Q C BAC △△时，22CP BCCQ AC=，…………………………………………（9分）∴102610t t -=，解得：5013t =.综上所述3011t =或5013t =时，PQC △与ABC △相似.…………………………（10分）11。

2024年秋九年级期中质量监测数学试题满分： 150分 考试时间： 120分钟一、选择题：本题共10小题，每小题4边，共40分．1 ）A ．3x >-B ．3x ³C ．3x <D ．3x £2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．1234a b c d ====，，， B ．2345a b c d ====，，， C ．2346a b c d ====，，，D ．2468a b c d ====，，，3．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2120x x-+=B ．20ax bx c ++=C ．()()23 1x x -+=D ．22220x xy y -+=4．在Rt ABC V 中，90512C AC BC Ð=°==，，，则cos A 的值为（ ）A ．513B ．512C ．1213D ．1355．方程2440x x +-=经过配方后的结果是（ ）A ．()228x -=B ．()228x +=C ．()224x +=D ．()224x -=6．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．CE ADCB DF=B ．DF BCAD CE=C ．AD BEAF BC=D ．AD BCDF CE=7．如图，已知，AD 是ABC V 的中线， 点G 是ABC V 的重心， 过G 作GE AB P 交BC 于点E ，GF AC ∥交BC 于点F ． 若ABC V 面积为36， 则EFG V 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．98．如图，已知12Ð=Ð，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（）A ．B ADE Ð=ÐB ．AC BCAE DE=C ．AB ACAD AE=D ．C EÐ=Ð9．若α、β是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则22a a b +-的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．810．（2016湖南省娄底市）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B 、C 不重合），作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则BE +CF 的值（ ）A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．已知32a b =，则a ba b +-= ．12．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB= ．13．如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上点O 反射后照射到点 B ，若入射角为α，反射角为β (反射角等于入射角)，AC CD ^于点C ，BD CD ^于点D ， 且3OC =，6OD =，2AC =，则BD =14．已知12,x x 是方程22310x x --=的两根，则1211x x += ．15．如图， 在ABC V 中， 点D 、E 为边AB 的三等分点， 点F 、G 在边BC 上，AC DG EF ∥∥，点H 为AF 与DG 的交点．若24AC =，则DH 的长为16．如图，B Ð的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，并且4BE AD ==，则BC 为三、解答题(共86分)17．计算：32cos45-+°18．解方程：228=0x x --19．如图， 在ABC V 中， 点D 、E 分别在边AC 、AB 上，2AB AD =，2AC AE =．(1)求证：ADE ABC △△∽；(2)若ADE V 的周长是8， 求△ABC 的周长．20．如图，O 为原点，B ，C 两点坐标分别为()()3121-，，，．(1)以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC △放大两倍，并画出图形；(2)已知()M a b ，为OBC △内部一点，写出M 的对应点M ¢的坐标．21． 某水果店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)则每次降价的百分率为 ；(2)经市场调查发现，若水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．在进货价不变的情况下，商店决定采取适当的降价措施，若每千克降价1元，日销售量将增加20千克，现商店要保证该水果每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应降价多少元?22． 如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，(1)已知AE 平分BAC Ð，求作菱形ADEF ， 使得D F 、分别在边AB AC 、上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)(2)在（1）的条件下， 若2CF =，23AD DB =：：，求CE 的长23．课题：《杠杠原理与相似三角形》杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”：杠杆原理是几何学在物理学的体现．相关概念：支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离．基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角形如图，因为90CAO DBO Ð=Ð=°，COA DOB Ð=Ð，所以AOC BOD V V ∽， 则有OAOB= ①又因为12AC F BD F ×=×（消耗的功W F S =×一致)，可得 21F AC BD F =，所以21F OA OB F =可得②2F OB ×=______（1F 为阻力的反作用力）．即，动力´动力臂=阻力´阻力臂．得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等(1)补全①、②所缺的内容，课题证明杠杆原理过程中运用到的几何知识是(2)如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆A -O -B ，O 为支点，90AOB Ð=°，30cm AO =，90cm BO =，30OBC Ð=°，AD 方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单位制中，力的单位）的阻力1F ，BC 方向上施加一个力2F 使杠杆平衡，AD BC ∥．请利用“动力臂”，“阻力臂”与“支点”概念构造相似三角形 ，并运用“杠杆原理”相关知识，求出2F 的大小．24．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”：①2104x -=；②2560x x --=；(2)已知关于x 的方程()210x m x m +--=（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值：(3)若关于x 的方程210ax bx ++=（a ，b 是常数，0a >）是“差1方程”，设 210t a b =-，求t 的最大值．25． AB 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，4AO =，cos BAO Ð=(1)求点B 的坐标；(2) D 为第一象限上的一点，射线AD 与线段OB 交于点 C ．BD AC ^于点 D ，连接OD ．①求证：BAD BOD Ð=Ð；②设DCn CA=，试问：是否存在实数n ，使得满足条件的点C 有且只有一个? 若存在，求实数n 的值； 若不存在，请说明理由．1．D【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，可得3-x≥0，再解不等式即可．【详解】解：∵∴3-x≥0，∴x≤3.故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.2．C【分析】此题考查了成比例线段，若ad bc =，则a ，b ，c ，d 成比例，据此进行计算判断即可．【详解】解：A 、1423´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；B 、2534´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；C 、2634´=´，故此选项中四条线段成比例，符合题意；D 、2846´¹´，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，故选：C ．3．C【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、是分式方程，故A 错误；B 、0a =时不是一元二次方程，故B 错误；C 、()()23 1x x -+=整理后为270x x +-=，是一元二次方程，故C 正确；D 、是二元二次方程，故D 错误；故选：C ．4．A【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A 的邻边与斜边的比叫做A Ð的余弦是解题的关键．根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可．【详解】如图所示，∵在Rt ABC V 中，90,5,12C AC BC Ð=°==，∴由勾股定理得，13AB ===，则5cos 13AC A AB ==，故选：A ．5．B【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可．【详解】解：移项，得：244x x +=，两边同时加4，得：24444x x ++=+，配方，得：()228x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．6．D【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，∵BC 和AD 对应，CE 和DF 对应，BE 和AF 对应，∴CE DF CB AD=，AD BCAF BE =，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．7．A【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据重心的性质可得13GD GD AD AG GD ==+，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得18ABD ACD S S ==△△，接着证明DEG DBA △∽△，DFG DCA △∽△，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得219DEG DBA S DG S DA æö==ç÷èø△△，219DFG DCAS DG S DA æö==ç÷èø△△，从而求出129DEG DBA S S ==△△，129DFG DCA S S ==△△，进而可求解．【详解】解：∵点G 是ABC V 的重心，∴2AG GD =，∴13GD GD AD AG GD ==+，∵AD 是ABC V 的中线，∴11361822ABD ACD ABC S S S ===´=V V V ，∵GE AB P ，GF AC ∥，∴DEG DBA △∽△，DFG DCA △∽△，∴219DEG DBA S DG S DA æö==ç÷èø△△，219DFG DCA S DG S DA æö==ç÷èø△△，∴129DEG DBA S S ==△△，129DFG DCA S S ==△△，∴4EFG DEG DFG S S S =+=△△△，故选：A ．8．B【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．【详解】解：12Ð=ÐQ ，12CAD CAD\Ð+Ð=Ð+ÐBAC DAE\Ð=ÐA 、由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；B 、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定ABC ADE △△∽，故符合题意；C 、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；D 、由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽，故不符合题意；故选：B ．9．D【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出2350a a +-=，3a b +=-，然后变形代入计算即可．【详解】解：∵α、β是一元二次方程2350x x +-=的两个根，∴2350a a +-=，3a b +=-，即225a a a +=-，∴()2258a a b a b +-=-+=，故选：D ．10．C【详解】试题分析：已知BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，可得CF ∥BE ，根据平行线的性质得∠DCF=∠DBE ，设CD=a ，DB=b ，∠DCF=∠DBE=α，所以CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，即可得BE+CF=（DB+DC ）cosα=BC•cosα，因∠ABC=90°，所以O ＜α＜90°，当点D 从B→D 运动时，α是逐渐增大的，cos α的值是逐渐减小的，所以BE+CF=BC•cos α的值是逐渐减小的．故答案选C ．考点：锐角三角函数的增减性．11．5【分析】根据比例设a =3k ，b =2k ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵32a b =，∴设a =3k ，b =2k ，则32532a b k ka b k k++==--，故答案为：5．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便．12．12．【详解】试题分析：过点A 作AD ⊥OB 垂足为D ，如图，在直角△ABD 中，AD=1，OD=2，则tan ∠AOB=AD OD =12．故答案为12．考点：1．锐角三角函数的定义；2．网格型．13．4【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据a b =，得AOC BOD ÐÐ=，进而证明ACO BDO △∽△，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：由题意得，a b =，如图，∵PO CD ^，∴90POC POD Ð=Ð=°，∴POC POD a b Ð-=Ð-，∴AOC BOD ÐÐ=，∵AC CD ^，BD CD ^，∴90ACO BDO Ð=Ð=°，∴ACO BDO △∽△，∴AC CO BD DO=，即236BD =，∴4BD =，故答案为：4．14．-3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得到1232x x +=，1212x x =-，代入12121211x x x x x x ++=即可得到答案．【详解】解：∵12,x x 是方程22310x x --=的两根，∴1232x x +=，1212x x =-，∴1212123112312x x x x x x ++===--，故答案为：﹣3【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键．15．4【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．由三等分点的定义与平行线的性质得出3AB BE =，DH 是AEF △的中位线，证BEF BAC ∽△△，得8EF =，再根据中位线的性质即可求解．【详解】解：∵点D 、E 为边AB 的三等分点，AC DG EF ∥∥，∴BE DE AD ==，BF GF CG ==，AH HF =，∴3AB BE =，DH 是AEF △的中位线，∴12DH EF =，∵AC EF P ，∴BEF BAC ∽△△，∴EF BE AC BA =，∴243EF BE BE=，解得：8EF =，∴142DH EF ==．故答案为：4．16．【分析】先证明()ASA ABG DBG V V ≌，得到122AG DG AD ===，取CE 的中点F ，连接DF ，由三角形中位线定理得到1,22DF BE DF BE ==∥，则ADF AGE △∽△，得12GE AG DF AD ==，求出112GE DF ==，则3BG BE GE =-=，由勾股定理得到BD =，即可得到答案．【详解】解：∵ABC Ð的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，∴ABG DBG Ð=Ð，90AGB DGB Ð=Ð=°，BD DC =，又∵BG BG =，∴()ASA ABG DBG V V ≌，∴122AG DG AD ===，取CE 的中点F ，连接DF ，∵点D 是BC 的中点，∴1,22DF BE DF BE ==∥，∴ADF AGE △∽△，∴12GE AG DF AD ==，∴112GE DF ==，∴3BG BE GE =-=，∴BD ===，∴2BC BD ==，故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造中位线是解题的关键．17．3【分析】此题主要考查了实数的混合运算，涉及二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握运算顺序是解题的关键．首先化简二次根式、计算绝对值，特殊角的三角函数值，然后进行合并计算即可．【详解】解：原式32=++3=+-+3=18．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边分解因式，然后解方程即可．【详解】解：∵228=0x x --，∴()()420x x -+=，∴20x +=或40x -=，解得1224x x =-=，．19．(1)证明见解析(2)16【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）首先得到12AD AE AB AC ==，然后结合A A Ð=Ð得到ADE ABC △△∽；（2）根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵2AB AD =，2AC AE =，∴12AD AE AB AC ==，又∵A A Ð=Ð，∴ADE ABC △△∽．（2）解：∵ADE ABC △△∽，∴12ADEABC l AD l AB ==△△，∴216ABC ADE l l ==△△．20．(1)见解析(2)()22a b --，【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）先根据位似的性质作出B ，C 两点的对应点B C ¢¢、，然后顺次连接即可；（2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答．【详解】（1）解：如图，OB C ¢¢△即为所求．（2）解：由图可得，点()()6242B C ¢¢---，，，，即对应点的是原点横、纵坐标的2-倍．所以点()M a b ，的对应点M ¢的坐标为()22a b --，．21．(1)20％(2)5元【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．（1）设每次下降的百分率为a ，再根据题意列一元二次方程求解即可；（2）设每千克应降价x 元，根据题意列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a ，根据题意可得：()250132x -=，解得：1 1.8180x ==％（舍）或20.220x ==％，答：每次下降的百分率为20％．（2）解：设每千克应降价x 元，由题意，得()()10500203000x x -+=，整理，得2151000x x +-=，解得：15x =，120x =-（舍），答：该商场要保证每天盈利3000元，那么每千克应降价5元．22．(1)图见详解(2)CE =【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分可作AE 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点F ，则以A D E F 、、、四点为顶点的四边形就是所求的菱形；（2）设CE x =，则EF AF AD DF EF ====，再根据比例的性质和平行线分线段定理可得32BD AD ==32BE x =，然后再说明90BED Ð=°，最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：作AE 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点F ，则以A D E F 、、、四点为顶点的四边形就是所求的菱形，如图所示：（2）解：设CE x =，∵90ACB Ð=°，2CF =，∴EF ==∵四边形ADEF 是菱形，∴AF AD DF EF ====，∵∥D E A C ，23AD DB =：：，∴32BD AD ==23CE AD BE BD ==，∴32BE x =，∵∥D E A C ，90ACB Ð=°，∴90BED Ð=°，∴222DE BE BD +=，即：22232x æö+=ç÷èø，解得：x =∴CE =【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．23．(1)AC BD；1F OA ×；相似三角形的对应边成比例(2)150牛顿【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）依据相似三角形的对应边成比例进行推导即可；（2）过点O 作OE AD ^，交DA 延长线于点E ，延长BC 交EO 的延长线于点F ，先证得AOE BOF V V ∽，推出301903OE OF ==，再利用“动力´动力臂=阻力´阻力臂”代入进行求解即可．【详解】（1）解：∵AOC BOD V V ∽，∴OA AC OB BD=，∵21P OA OB F =，∴21F OB F OA ×=×，运用到的几何知识是相似三角形对应边成比例，故答案为：AC BD；1F OA ×；相似三角形对应边成比例．（2）解：如图，过点O 作OE AD ^，交DA 延长线于点E ，延长BC 交EO 的延长线于点F ，∵AD BC ∥，∴18090F E Ð=°-Ð=°，∴90F E Ð=Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴90AOE BOF Ð+Ð=°，又∵90B BOF Ð+Ð=°，∴AOE B Ð=Ð，∴AOE BOF V V ∽，∴OA OE OB OF=，即301903OE OF ==，∴12F OE F OF ×=×，即245014501503OE F OF ×==´=（牛顿），答：2F 的大小为150牛顿．24．(1)①是“差1方程”，理由见解析；②不是“差1方程”，理由见解析(2)2m =-或0；(3)3a =时，t 的最大值为9【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m 的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =-，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】（1）解：①2104x -=214x =∴112x =，212x =-，∵11122æö--=ç÷èø，∴2104x -=是“差1方程”；②解：∵2560x x --=∴()()610x x -+=∴60x -=或10x +=∴16x =，21x =-∵()617--=∴2560x x --=不是“差1方程”；（2）解：()210x m x m +--=∴()()10x x m -+=，x m \=-或1x =，Q 关于x 的方程()210x m x m +--=（m 是常数）是“差1方程”，∴11m --=或()11m --=，2m \=-或0；（3）解：∵210ax bx ++=由题可得：2240a D -³∴解方程得x =Q 2a ，b 是常数，0a >）是“差1方程”，\1=，224b a a \=+，210t a b =-Q ，()22639t a a a \=-=--+，∵()230a -³∴()230a --£∴()2399a --+£∴当()230a -=时，即3a =时，t 的最大值为9．25．(1)()0,8B (2)①证明见解析；②存在，n【分析】（1）先根据余弦的定义可得AB 的长，再利用勾股定理可得8OB =，即可求解；（2）①先根据相似三角形的判定证出AOC BDC ∽△△，根据相似三角形的性质可得AC OC BC DC=，再根据相似三角形的判定证出ABC ODC V V ∽，然后根据相似三角形的性质即可得证；②设OC x =，则8BC x =-，先根据AC OC BC DC =，得()28x x AC n-=，再利用勾股定理可得()218160n x x n +-+=，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：∵4AO =，cos OA BAO AB Ð==∴AB 在Rt AOB V 中，由勾股定理得，222AB A OB O =-，∴8OB =，∴()0,8B ．（2）①证明：∵BD AC ^，∴=90BDC а，∵ACO BCD Ð=Ð，90AOB Ð=°∴AOC BDC ∽△△，∴AC OC BC DC =，∴AC BC OC DC=，∵ACB OCD Ð=Ð，∴ABC ODC V V ∽，∴BAD BOD Ð=Ð②解：存在，n =，理由如下：设OC x =，则8BC x =-，∵DC n CA=，答案第15页，共15页∴DC nCA =，由①知，AC OC BC DC =，∴8AC x x nAC=-，∴()28x x AC n-=，在Rt AOC V 中，由勾股定理得，222AC AO OC =+，∴()2816x x x n-=+，整理，得()218160n x x n +-+=，∵要使满足条件的点C 有且只有一个，∴该方程有两个相等的实数根，∴()Δ646410n n =-+=，解得1n =2n =，∴n 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的性质与判定和一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．。

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（ ）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（ ）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（ ）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

山西省太原市晋源区两校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷一、单选题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．221x x =+C ．20x +=D ．2(1)1x x +=+2．五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．已知反比例函数y =k x（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．（2，3）B ．（-2，3）C ．（3，0）D ．（-3，0）4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则AC 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．85．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（）A ．36B ．9C ．6D ．9-7．如图，在正方形网格中，ABC V 与DEF 位似，则下列说法正确的是（）A ．位似中心是点BB ．位似中心是点DC ．位似比为2:1D ．位似比为1:28．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2A m ，、()6B n ，，AC x ⊥轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ，AC 交BD 于点E ．若2BE AE =，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，在ABC V 中，26BC =，且BD CE ，分别是AC AB ，上的高，F G ，分别是BC DE ，的中点，若10ED =，则FG 的长为（）A ．10B ．12C ．13D ．1410．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形11ACC B ，使矩形11ACC B ∽矩形ADCB ；再连接1AC ，以对角线1AC 为边，按逆时针方向作矩形122AC C B ，使矩形122AC C B ∽矩形11ACC B ，，按照此规律作下去，则边2023AC的长为（）A 2023⎝⎭B ．20222⨯⎝⎭C 20232D 2022⎝⎭二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABCD 是正方形．12．点()()123,,5,A y B y 在反比例函数21k y x +=图象上，则1y 2y （填“＜”或“＞”号）．13．关于x 的一元二次方程()2238150m x x m m -++-+=的常数项是0，则m 的值为．14．如图，在菱形ABCD 中，12AB =，60D ∠=︒．点P 为边CD 上一点，且不与点C ，D 重合，连接BP ，过点A 作EF BP ∥，且EF BP =，连接BE ，PF ，则四边形BEFP 的面积为．15．已知在Rt ABC 中，90,3,5ACB AC AB ∠=︒==，点D 是边AB 上的一个动点，且45BCD ∠<︒，连接CD ，作ABC V 关于CD 所在直线的对称图形，得到A B C ''△，且A B ''交边BC 于点E ．若BDE V 为直角三角形，则BD =．三、解答题16．阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=264x x +=L 第一步2694x x ++=L 第二步2(3)4x +=L 第三步32+=±x L 第四步3232x x +=+=-，1215x x ==-，．问题：(1)上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________；(2)请写出正确的解答过程．17．《笠翁对韵》是明末清初著名戏曲家李渔的作品，是学习写作近体诗、词，用来熟悉对仗、用韵、组织词语的启蒙读物，“天对地，雨对风．大陆对长空．山花对海树，赤日对苍穹……”就是其中的句子．现将“A ．天”，“B ．地”，“C ．雨”，“D ．风”，“E ．大陆”，“F 长空”分别书写在材质、大小完全相同的6张卡片上，洗匀后背面朝上．（1）第一次抽取时先抽取了一张，翻开后是“A ．天”，那么在剩下的五张卡片中恰好抽取得到卡片“B ．地”，使得对仗工整的概率是______；（2）若第一次已经把“A ．天”、“B ．地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求出能够对仗工整的概率．18．矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD 、BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD的对角线BD上．=；(1)求证：BG DE(2)若E为AD中点，4FH=，求菱形ABCD的周长．19．某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）．(1)求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？(2)绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．20．为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树AB在太阳光照下，一部分影子NP落在了墙MN上，另一部分树影BN 落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，ST长为9米，树影NP为5米，BN为21米，求树AB的高．（平面镜大小忽略不计）21．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ，与反比例函数2y x=-的图象在第二象限相交于点(1,)A m -，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．22．如图，在ABC V 中，20cm 30cm BA BC AC ，===，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿着CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．(1)x 为何值时，PQ BC ∥；(2)是否存在某一时刻，使APQ CQB ∽，若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说明理由．23．综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)操作判断已知点C 为ABC V 和CDE 的公共顶点，将CDE 绕点C 顺时针旋转()0360a α︒<<︒，连接BD ，AE ，如图1，若ABC V 和CDE 均为等边三角形，请完成如下判断：①线段BD 与线段AE 的数量关系是________；②直线BD 与直线AE 相交所夹锐角的度数是________；(2)迁移探究如图2，若90ABC EDC ∠=∠=︒，30BAC DEC ∠=∠=︒，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，若90BAC DEC ∠=∠=︒，AB AC =，CE DE =，2BC CD ==点B ，D ，E 三点共线时，请直接写出BD 的长．。

2024-2025学年九年级上期中评估试卷数学试卷说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1．把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，，1B ．3，1，4C ．3，D ．3，4，12．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．公理化思想B ．模型思想C ．函数思想D ．转化思想4．二次函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，在中，A 是的中点，点D 在上．若，则 （ ）AB ． C．D ．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，，将绕点C 旋转得到，则点A 与点之间的距离为（ ）2314x x +=4-4,1--210x -=()()110x x -+=10,10x x -=+=121,1x x ==-25y x x =+O BCO AOB α∠=AD C ∠=α2α12α90α︒-4,16AC BD ==BOC △180︒B O C '''△B 'A ．6B ．8C ．10D ．127．下列方程没有实数根的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米若设小路的宽为x m ，根据题意可列方程（ ）A ．B ．C ．D ．9．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB （AB 所对的弦的长）约为，拱高CD （AB 的中点到弦AB 的距离）约为，则AB 所在圆的半径OA 为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（）()235x x -=2210x x -+=280x x --=()()230x x -+=36m 22m 2700m ()()3622700x x --=()()36222700x x --=()()36222700x x ++=()()36222700x x --=36m 6m 30m 27m 25m2y ax bx c =++1x =A ．B ．关于x 的方程的两根是C ．当时，y 随x 的增大而减小D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．方程的解是___________．12．如图，四边形ABCD 内接于，若，则的度数为___________．13．若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是____________．14．铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m ．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 上一点，对角线AC ，BD 相交于点O ，于点F ，连接OF ．若，则OF 的长为______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）解方程：．0a c <20ax bx c ++=121,3x x =-=0x >20a b +=()()430x x -+=O 125A ∠=︒C ∠22y x x m =-+()2,3-22y x x m =-+220x x m -+≤21251233y x x =-++EF AB ⊥15,5,12AB DE AD ===243x x +=（2）以下是小夏同学解方程的过程，请解决问题：解：原方程可变形为， 第一步方程两边同时除以得， 第二步∴原方程的解是．第三步上述解方程的过程从第_______步开始出错，错误的原因是____________②请直接写出方程的解：_________________________17．（本题9分）已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A ，B ，C ，D 的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是1个单位长度）．（2）描述抛物线是由抛物线如何平移得到的．（3）求四边形AOCD 的面积．18．（本题8分）如图，已知的直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且F 为AD 的中点．（1）求证：．（2）若，求弦CD 的长．19．（本题7分）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，()()323x x x -=-()()323x x x -=--()3x -2x =-2x =-223y x x =+-223y x x =+-2y x =O AD CD=8AB =严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下：试验田编号123456单位面积试验田种植株数/株304050607080单位面积试验田单株的平均产量/粒514641363126（1）根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x 株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒．（2）如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株?20．（本题8分〉某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x （单位：吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x （单位：吨）近似满足函数关系 （其中a ，b 为常数，），且当进货量为1吨时，销售利润为1.4万元，当进货量为2吨时，销售利润为2.6万元．如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨，问这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大?最大利润是多少?21．（本题8分）阅读与思考观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：方程及其根方程及其根方程及其关联方程方程的根方程及其关联方程方程的根①①②②…………（1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．（2）方程和是不是关联方程?求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．（3）请以一元二次方程为例证明关联方程根的关系特征．22．（本题12分）综合与实践如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P 距地面的距离）时，水线的跨度．3080x ≤≤y 甲0.3y x =甲y 乙2y ax bx =+乙0a ≠22310x x -+=121,12x x ==2230x x +-=123,1x x =-=22310x x ++=121,12x x =-=-2230x x --=123,1x x ==-2240x x --=2240x x +-=()2200,40axbx c a b ac ++=≠-≥3.2m 8m AB =请你结合所学知识解决下列问题：（1）在图2中建立以为单位长度，点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 与AB 垂直的直线为y 轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（2）若喷水池中心C 到A 的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内?（3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C 多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，）23．（本题13分）综合与探究问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C 逆时针旋转到的位置，点A ，B 的对应点分别是与AB 相交于点D ．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过AB 的中点D 时，试判断四边形与AC 的位置关系，并加以证明．问题解决：（1）请你解答老师提出的问题．数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A 与点之间的距离．数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段AD的长．1m 2.3m 1.8m 2.24≈≈≈2.45, 3.32≈≈≈Rt ABC △90,4,3ACB AC BC ∠=︒==ABC △()090αα︒≤≤︒ABC ''△,,A B AC'''A C 'A B ''A C A B '⊥A 'BCD △数学参考答案1．A2．B 3．D4．D5．C6．C7．A8．B 9．A10．C 提示：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y 轴交点位置可知，∴，A 选项正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴分别交于和，∴方程的两根是，B 选项正确；抛物线的对称轴是直线，变形可得，D 选项正确；抛物线的对称轴是直线，故时，y 随x 的增大而增大，时，y 随x 的增大而减小，C 选项不正确．故选C ．11．12．13． 14．315．6.5 提示：如图，延长FO 交DC 于点G ，构造中心对称．在矩形ABCD 中，．在矩形AFED 中，，所以．根据矩形的中心对称性和线段的中心对称性可知，，有，∴．在中，根据勾股定理得，∴．16．（1）（解法不唯一）解：配方，得，3分直接开平方，得， 4分∴5分（2）解：①二；没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形．3分0a <0c >0a c <()3,0()1,0-20ax bx c ++=121,3x x =-=12bx a=-=20a b +=1x =01x <<1x >124,3x x ==-55︒13x -≤≤15AB C D ==5,12AF DE AD EF ====10C E B F ==AFO CGO △≌△15,2CG AF OF FG ===1055EG =-=Rt FEG △13FG ==16.52OF FG ==()227x +=2x +=1222x x =-=-()3x -②． 5分17．解：（1）当时，，解得．∵点A 在点B 的左侧，∴点，点．当时，，∴点．由可得点．2分二次函数的大致图象如下图所示．4分（2）（方法不唯一）抛物线可由抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．6分（3）如图，直线DE 为该抛物线的对称轴，其中E 为对称轴与x 轴的交点，∴．由可得是直角三角形，四边形EOCD 是直角梯形，， 8分∴9分18．解：（1）证明：如图，连接AC ．∵直径AB 垂直弦CD 于点E ，∴，∴，∴．2分又∵F 为AD 的中点，CF 经过圆心O ，∴，∴，∴，∴． 4分（2）由（1）可知，∴是等边三角形，∴．如图，连接BD ，可得． 6分122,3x x =-=0y =2230x x +-=123,1x x =-=()3,0A -()1,0B 0x =3y =-()0,3C -()222314y xx x =+-=+-()1,4D --223y x x =+-223y x x =+-2y x =()1,0E -()()()3,0,0,3,1,4A C D ----A D E △2,1,4AE OE DE ===()4312415222AED AOCD EOCDS S S =+⨯⨯+=+=△四边形梯形CE DE =AC AD = AC AD =C F A D ⊥CD AC = CD AC = AC CD=AC AD CD ==ACD △30D AB ∠=︒90AD B ∠=︒在中，，∴，∴，∴．8分19．解：（1）．2分（2）根据题意可列方程：． 4分整理，得，解得．6分∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去，∴．答：单位面积大豆应种植60株．7分20．解：由题意可知，解得 2分∴．3分设乙种水果进货m 吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W 万元，根据题意，，5分配方，得．∵，∴当时，W 的最大值为6.6．∴．7分答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元． 8分21．解：（1）一元二次方程和关联方程的系数特征是二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数；一元二次方程和关联方程的根的关系特征是对应根互为相反数．2分（2）方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程．3分Rt ABD △8AB =142BD AB ==AD ===CD AD ==()660.5x -()660.52160x x -=213243200x x -+=1272,60x x ==1x 60x =1.442 2.6a b a b +=⎧⎨+=⎩0.11.5a b =-⎧⎨=⎩20.1 1.5y x x =-+乙()10m -()220.1 1.50.3100.1 1.23W m m m m m =-++-=-++()20.16 6.6Wm =--+0.10-<6m =104m -=2240x x --=2240x x +-=方程的根是的根是它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征．5分（3）一元二次方程的根是，它的关联方程的根是，它们的两个根对应互为相反数．8分22．解：（1）根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 2分由题意可知，抛物线的顶点，可设抛物线的函数解析式为，2分将点B 代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．4分（2）由题可知，∴．6分答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． 7分（3）当时，，解得9分．答：王师傅站立时必须在离水池中心点C 约至的范围内． 12分23．解：（1）． 1分证明：由旋转的性质可知．∵D 是的中点，∴，∴，2分∴，∴ 4分（2）如图，连接2240x x --=21211240x x x x =+=-+-=1211x x =--=-+()200ax bx c a ++=≠≥x =20ax bx c -+=x =()()00,0,8,0B ()4,3.2P ()24 3.2y a x =-+()284 3.20a-+=0.2a =-()220.24 3.20.2 1.6y x x x =--+=-+2.3,8CA AB ==10.3CB CA AB =+=10.3m 1.8y =20.2 1.6 1.8x x -+=1244x x ==+()()122.3 6.3 6.3 2.65 3.7m , 2.3 6.3 6.3 2.658.9m x x +=≈-≈+=≈+≈3.7m 8.9m A B AC ''∥A A ∠=∠'Rt ABC △12AD BD CD AB ===AC A A ∠'=∠ACA A ∠'=∠'A B AC ''∥AA '在中，根据勾股定理可得．根据三角形面积公式可得由旋转可知．∴6分在中，根据勾股定理可得，在中根据勾股定理可得∴点A 与点10分（3）AD 的长为2或或． 13分提示：①当时，；②当时，；③当时，Rt ABC △5AB ==341255CD ⨯==4A C A C '==128455A D A C CD '='-=-=Rt AD C △165AD ==Rt AD A '△AA '==A '7552BC BD =532AD AB BD =-=-=BC CD =9725255AD AB BD =-=-⨯=BC CD =1522AD AB ==。

江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷一、单选题1．sin 30︒的值等于（）A ．12B ．2C D ．12．某种零件在设计图上的长是2厘米，它的实际长是4米，则这幅设计图的比例尺是（）A ．200：1B ．2000：1C ．1：2000D ．1：2003．已知O 的半径为5，6OA =，则点A 在（）A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．无法确定4．在ABC V 中，90C ∠=︒，2BC =，3AB =，则cos A 的值为（）A ．3B ．23C ．12D ．325．下列说法中正确的是（）A ．三个点确定一个圆B ．长度相等的弧是等弧C ．直径所对的圆周角是直角D ．正五边形是中心对称图形6．如图，在ABCD 中，E 为AD 上一点，23AE BC =，BE 与AC 交于点F ．若12AC =，则AF 的长为（）A ．6B ．4C ．5.2D ．4.87．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠C =45°，∠AMD =75°，则∠D 的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°9．如图，ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，10AB =，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB 、BC 均相切，则O 的半径为（）A ．127B ．137C ．135D ．12510．已知O 的半径为4，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，关于下列四个命题：①BD 的最大值是8；②AE EC BE ED ⋅=⋅；③若3CD =，则1OF =；④若2OF =，则30DBC ∠=︒．其中正确的命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．若32a b =，则ab=．12．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了米．13．以O 为位似中心，将ABC V 按相似比1：2扩大得到DEF ，若ABC V 的周长为3，则DEF的周长为．14．请写出一个锐角α的值，使得sin 2α>，你写出的α的值为．15．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若95BAD ∠=︒，则DCE ∠的大小是．16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m ．17．已知：在△ABC 中，AB=6，AC=8，点D 是AB 的中点，E 是AC 边上的一点，若以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数443y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，记点(,1)(1)M m m >-关于直线AB 的对称点为N ，若以N 为圆心，MN 为半径的N e 与x 轴相切，则AOB V 外接圆的半径为；m 的值为．三、解答题19．计算：(1)11(π2)tan 452-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；(2)21cos 602-+︒-．20．如图，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠．(1)求证：ABC ADE △△∽；(2)如果2AB AD =，6BC =，求DE 的长．21．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，根据下列条件解直角三角形．(1)=60B ∠︒，8c =；(2)a =4c =．22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD >，点E ，F 分别在线段AC ，BC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD =．(1)求证：AF DE =；(2)若2AF BF CE =⋅，求证：ABC CDE ∠=∠．23．如图，已知AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，点P 是O 外的一点，PC AB ⊥，垂足为点C ，PC 与BD 相交于点E ，连接PD ，且PD PE =，延长PD 交BA 的延长线于点F ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若4DF =，72PE =，4cos 5PFC ∠=，求OC 的长．24．在矩形ABCD 中，AD AB >．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD 上确定点E ，使BE BC =．再在CD 上确定点F ，使以F 为圆心的圆经过点E 和点C ；(2)在（1）的条件下，若6AB =，且4sin 5DEF ∠=，则AE 的长为____________．（如需要画草图请使用图2）25．如图，一艘海警船在海上巡逻，航行到A 处测得南偏东60°的方向上有一灯塔B ，海警船以20海里每小时的速度向正东方向航行2小时到达C 处，测得此时灯塔B 在C 处南偏东15°的方向上．(1)求A 处与灯塔B 相距多少海里？(2)海警船从点C 出发继续向正东方向航行，还需要航行多少小时，使得海警船与灯塔的距离最小．（结果保留根号）26．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD 、BE 、CF 的交点G 就是ABC V 的重心，且2AG BG CGGD GE GF===．请你解决以下问题：(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）(2)在图1中，若ABC V 的面积为6，则CDG 的面积为__________；(3)如图2，I 是ABC V 的内心，60C ∠=︒，AI 的延长线分别与BC 和ABC V 的外接圆交于D 、E 两点，若24BD DE ==，求IE 的长．27．如图，ABC V 的顶点B C 、在直线l 上，90ACB ∠=︒，2BC =，1tan 2A ∠=，点D 是直线上位于点C 右侧的一点，且6CD =，点O 是直线l 上的一个动点，以点O 为圆心，2为半径的圆记作O ．(1)若点M 是O 上的任意一点，当O 与AC 边相切时，AM 的最大值是__________；(2)当1OC =时，设O 与AC 边的交点为N ，求BON △的面积；(3)当O 与ABC V 的边恰有两个交点时，请直接写出OD 的取值范围．28．如图，8AE =，D 为线段AE 上一点（异于点AE 、），分别以AD 与DE 为边长在AE 同侧作正方形ABCD 和正方形DEFG ，连接GE BE 、，连接AG 交BE 于点O ，设AD x =．(1)当3x =时：①tan BEA ∠=__________；②tan BEG ∠=__________；(2)设OEG 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．。

溧阳市2024～2025学年度第一学期期中质量调研测试九年级数学试题 2024.11一、选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确)1.以下方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是A. x +1=0B.x 2－x =1C. x 3－x －1=0D. x 2－+1=02.方程x 2－6x =0的解是A. x 1=x 2=6B. x 1=x 2=60C. x 1=6，x 2 =0D.x 1=-6，x 2 =03.一元二次方程x 2+x －3=0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.在△ABC 中，∠A=50°，若点O 为ABC 的外心，则∠BOC 等于A. 40°B.50°C.100°D.110°5.下列说法中，正确的是A.三点确定一个圆B.三角形有且只有一个外接圆C.四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形6.如图，已知 PA 切⊙O 于点 A ，⊙O 的半径为3，OP=5，则切线长 PA 为A.B.8C. 4D.2 第6题图7.若关于x 的一元二次方程ax 2－bx =c (ac ≠0)的一个实数根为 2024，则关于x 的一元二次方程cx 2+bx =a (ac ≠0)一定有实数根A.-2024B.2024C.D.8.如图，正方形 ABCD 和CEFG 的边长分别是a 、b (b >2a )，将正方形ABCD 绕点C 旋转，在旋转过程中，△AEG 的面积S 的取值范围是A. B. C.D. 第8题图二、填空题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.将一元二次方程2x 2=5x －化成一般形式为___________________________________。

21x13420241-2024122bS a ≤≤222121b S a ≤≤ab b S ab b +≤≤-222121ab b S ab b +≤≤-2210.若关于x 的一元二次方程x 2+nx －1=0的一个根为-1，则另一个根为___________________。

重庆南开中学2024-2025学年度上学期期中考试初2025届数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.17−的相反数是( )．A.17− B.17C. −7D. 7【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0．【详解】解：17−的相反数是17，故选：B．2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A. 蒸馏烧瓶B. 烧杯C. 圆底烧瓶D. 分液漏斗【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C ．3. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 240b ac −<D. 0c >【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a 、b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定∆的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：A 、∵抛物线的开口向上，∴0a >，故此选项符合题意；B 、∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a−>， ∵0a >，∴0b <，故此选项不符合题意；C 、∵抛物线与x 轴的两个交点，∴240b ac ∆=−>，故此选项不符合题意；D 、∵抛物线与y 轴的交点在负半轴上，∴0c <，故此选项不符合题意；故选：A ．4. 将ABC 沿BC 方向平移至DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，使得:5:3BC EC =，则ABC 与GEC 的周长之比为（ ）A. 2:3B. 2:5C. 5:3D. 3:5【答案】C【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质得到AB GE ∥，从而可得到ABC GEC △∽△，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：∵ABC 沿BC 方向平移至DEF ，∴AB DE ∥，即AB GE ∥，∴A EGC ∠=∠,B GEC ∠=∠,∴ABC GEC △∽△，∴ABC 与GEC 的周长之比:5:3BCEC =， 故选：C ．5. 中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA 年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x 名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）A. ()128x x −=B. ()128x x +=C. ()11282x x +=D. ()11282x x −= 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设一共有x 名选手参加组内循环赛，则每个队参加()1x −场比赛，则共有()112x x −场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：()11282x x −=， 故选：D ．6. 估计+）A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：++，3<<∵67∴9310+<故选：D．7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A. 42B. 52C. 46D. 58【答案】B【解析】【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．×+=个小圆圈，【详解】第①个图形中一共有16410×+=个小圆圈，第②个图形中一共有26416×+=个小圆圈，第③个图形中一共有36422…，∴第n 个图形中一共有()64n +个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数是86452×+=，故选：B ．8. 如图，AB 是O 的直径，AE 、CE 、CB 为O 的弦，132AO =，12AE =，则sin BCE ∠=（ ）A. 512B. 1312C. 513D. 125【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据AB 是O 的直径，得出90AEB ∠=°，再运用勾股定理算出5BE ，再结合 EBEB =，则BCE BAE ∠=∠，所以5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==，即可作答． 【详解】解：连接BE ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=°， ∵132AO =， ∴13AB =，在Rt ABE △中，5BE ，∵ EBEB =，∴BCE BAE ∠=∠， ∴5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==， 故选：C ． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，E 为正方形内的一点，连接BE ，CE ，使得CB CE =，延长BE 与ECD ∠的角平分线交于点F ．若BEC α∠=，连接OF ，则FOD ∠的度数为（ ）A. 290α−°B. 1452α°+C. 1902α°−D. 245α−°【答案】A【解析】 【分析】连接DF ，先证明∴()SAS CEF CDF ≌，得到CEF CDF ∠=∠，从而得180CDF CEF α∠=∠=°−，继而90BFD ∠=°，然后利用直角 三角形的性质，得出OF OB =，从而有45OFB OBF α∠=∠=−°，然后由三角形外角的性质可求解．【详解】解：连接DF ，如图，∵正方形ABCD∴BC CD =，45CBD CDB ∠=∠=°，∵CB CE =∴CE CD =，CBE BEC α∠=∠=， ∴45DBE α∠=−°，∵CF 是ECD ∠角平分线∴ECF DCF ∠=∠ ∵CF CF =，ECF DCF ∠=∠，CE CD =， ∴()SAS CEF CDF ≌∴CEF CDF ∠=∠，∴180CDF CEF α∠=∠=°−∴18045135BDFCDF CDB αα∠=∠−∠=°−−°=°− ∴1354590BDF DBE αα∠+∠=°−+−°=° ∴90BFD ∠=°∵O 是对角线BD 的中点，∴OF OB =∴45OFB OBF α∠=∠=−° ∴4545290FOD OFB OBF ααα∠=∠+∠=−°+−°=−° 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明90BFD ∠=°是解题的关键．10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差“绝佳操作”．例如：对于m ，n ，p 作“绝佳操作”，得到m n m p n p −+−+−．下列说法：①对2，4−，5作“绝佳操作”结果是18；②对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有8种；③对22a ，66a −，42a 作“绝佳操作”的结果为28，则a的值为1−或1−；其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：①()242545−−+−+−−的的18=，故①正确；②当m n p >>时，则22m n m p n p m n m p n p m p −+−+−=−+−+−=−，当m p n >>时，则22m n m p n p m n m p n p m n −+−+−=−+−−+=−，当n m p >>时，则22m n m p n p m n m p n p n p −+−+−=−++−+−=−， 当n p m >>时，则22m n m p n p m n m p n p n m −+−+−=−+−++−=− 当p m n >>时，则22m n m p n p m n m p n p p n −+−+−=−−+−+=−当p n m >>时，则22m n m p n p m n m p n p p m −+−+−=−+−+−+=− ∴对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；③当226642a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=，化简得：2260a a −−=，解得：1a =+1a =−； 当224266a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：2340a a −−=，解得：4a =（舍去）或1a =−；当266242a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：6828a −=，解得：6a =（舍去）； 当266422a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：23100a a −+=，∵()234110310∆=−−××=−<∴无解；当242266a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：8a −=，解得：8a =−（舍去）， 当242662a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：4828a −+=，解得：5a =−（舍去），综上，a 的值为11−，故③错误；∴只有①正确，共1个，二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 11. 计算：()01tan3012−°−−=________． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定，熟记特殊锐角的三角函数值．【详解】解：()01tan3012−°−−112 =−−112=− 12=． 故答案为：12． 12. 正八边形每个外角的度数为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360°求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数是：360845°÷=°．故答案为：45°．13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：用A 、 B 、C 、D 分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：41164=． 14. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x=≠图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，若ABO 的面积为2，则k =________．【答案】4【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是122k =，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知：221AOB S k == ， 又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =．故答案为：4．15. 若二次函数232y x x =−+过点(),3m ，则代数式2262023m m −+=________． 【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．由于抛物线经过点(),3m ，则231m m −=，把2262023m m −+整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数232y x x =−+过点(),3m ， ∴2323m m −+=， ∴231m m −=，∴()222620232320232120232025m m m m −+=−+=×+=． 故答案为：2025．16. 关于x 的一元一次不等式组()341221x x x x m − ≤−+≥−+至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13222m y y−=−−−的解为非负整数，则符合条件的整数m 的值之和为________． 【答案】2 【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m 的取值范围25<≤m ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22m y −=，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答．【详解】解：()341221x x x x m − ≤−+≥−+①② 解①得：2x ≤， 解②得：23m x −≥， ∴223m x −≤≤， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴213m −≤， 解得：5m ≤；13222m y y−=−−−， 去分母得：1243m y −=−+， 解得：2my =， ∵分式方程的解为非负整数，且2y ≠ ∴0m ≥且4m ≠的偶数， 又∵5m ≤ ∴2m =，0∴符合条件的整数m 的值之和为202+=． 故答案：2．17. 如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，点E 为AB 中点，将矩形沿着EF 所在的直线翻折至矩形ABCD 所在的平面，点B ，C 的对应点分别是B ′，C ′，B E ′与CD 交于点G ，使得CF GF =，连接AB ′，B F ′，AF ，若25B G GF ′=，则GF =________；AB F S ′= ________．【答案】 ①. 5 ②. 985【解析】【分析】过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质可得4GH B C ′′==，GF GE =，令5GF CF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==，可知3HF C F C H a ′′=−=，根据勾股定理即可求解，则2B G ′=，7BE B E ′==，令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，再证明B OG B AE ′′△∽△，DOA MOB ′△∽△，结合相似三角形的性质求得2855B M AD ′==，由1122AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅△△△，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD 中，4AD BC ==，AB CD =，90B C D ∠==∠=°，AB CD ∥，则BEF DFE ∠=∠，由折叠可知，BE B E ′=，CF C F ′=，4BC B C ′′==，90C C ′∠=∠=°，90EB C B ′∠=∠=°，BEF B EF ′∠=∠，则B EF DFE ′∠=∠， ∴GF GE =，为过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形， ∴4GHB C ′′==，B G C H ′′=， ∵25B G GF ′=，CF GF =，令5GFCF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==， ∴3HF C F C H a ′′=−=，由勾股定理可得：222GH GF HF =−，即：()()222453a a =−，解得：1a =，∴5GF =，则2B G ′=，7BEB E ′==， 令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，∵点E 是AB 的中点，∴7AE BE ==，即14ABCD ==， ∵AB CD ∥，∴B OG B AE ′′△∽△，B G B O GF OA ′′==∴OG B GAE B E ′=′，即277OG =， ∴2OG =，∴7OF OG GF =+=，则2OD CD OF CF =−−=， ∵DOA MOB ′∠=∠ ∴DOA MOB ′△∽△，∴25B M B O AD OA ′′==，则2855B M AD ′==， ∴1118987422255AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅=××+=， 故答案为：5，985． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．18. 一个四位数M 各数位上的数字均不为0，若将M 的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N ，则称N 为M 的“翻折数”，规定()11M NF M +=．例如：1235的“翻折数”为5321，()12355321123559611F +==，则()2678F =________；若()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数，59x ≤≤，18y ≤≤），M 的“翻折数”N 能被17整除，则()F M 的最大值为________． 【答案】 ①. 1040 ②. 757 【解析】【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据()11M NF M +=代入求解()2678F 即可；首先表示出s 和t 的“翻折数”，然后求出3153x y ++的取值范围，进而分类讨论求得x ，y 的值，然后代入()11M NF M +=求解即可． 【详解】根据题意可得，()267887622678104011F +==；∵()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数59x ≤≤，18y ≤≤）， ∴M 的千位数字为6，百位数字为210x −，十位数字为1y +，个位数字为1， ∴M 的“翻折数”N 为()()10001001102106y x +++−+201001006x y =++()175593153x y x y =+++++，∵59x ≤≤，18y ≤≤， ∴333153150x y ≤++≤， ∵M 的“翻折数”N 能被17整除， ∴3153x y ++能被17整除， ∵x ，y 都是整数， ∴3153x y ++是整数，∴431533x y +=+，51，68，85，102，119，136，∴当431533x y +=+时，x ，y 无整数解， 当131535x y +=+时，13x y = = （舍去）或62x y = =，当831536x y +=+时，x ，y 无整数解， 当531538x y +=+时，x ，y 无整数解， 当2315310x y +=+时，36x y == （舍去）或85x y = = ，当9315311x y +=+时，x ，y 无整数解， 当6315313x y +=+时，x ，y 无整数解，∴当62x y = =时，()5001200610216231M =+×+×+=，1326N =，()6231132668711F M +==， 当85x y = =时，()5001200810516661M =+×+×+=，1666N =，()6661166675711F M +==， ∴()F M 的最大值为757， 故答案为：1040，757．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()22()m m n m n +−+（2）2214123a a a a −+÷ +【答案】（1）2n −； （2）321a a +−． 【解析】【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则．（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】解：()22()m m n m n +−+2222(2)m mn m mn n =+−++22222m mn m mn n =+−−− 2n =−；【小问2详解】解：2214123a a a a −+÷ + 2221413a a a a a+−÷+ ()()()321·2121a a a a a a ++=+− 321a a +=−． 20. 为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分为四组：A ．90100x <≤；B ．8090x <≤；C ．7080x <≤；D ．6070x <≤；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：68，76，78，79，84，85，86，86，86，86， 88，89，89，91，91，94，94，95，95，100．八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． 七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表年级 七年级 八年级 平均数8787中位数 87 b众数 a92根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________；b =________；m =________；（2）根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(90)x >的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；87；40（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）415 【解析】【分析】（1）根据众数和中位数定义求a 、b 值，先求出B 组人数占的百分比为35%，即可由%110%15%35%m =−−−求出m 值；（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论； （3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解. 【小问1详解】解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数86a =； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． ∴B 组人数占的百分比为：7100%35%20×=， ∵C 组人数占的百分比为15%，D 组人数占的百分比为10%， ∴A 组人数占的百分比为%110%15%35%40%m =−−−=，即40m =． ∴八年级20名学生竞赛成绩的中位数在B 组，的∴把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，89，故中位数8789872b +=， 故答案：86；87；40． 【小问2详解】解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：750060040%20×+× 175240+415=（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数大约是415人．【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．21. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD ，分别取BC ，CD 的中点M ，N ，连接AM ，DN 交于点E ，过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P ．则四边形BPDN 是平行四边形．（1）用尺规完成以下基本作图：过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P （只保留作图痕迹）．（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN 是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥．又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴12DM CD =，12CN BC =，∴ ① ，在ADM 与DCN 中，为AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()ADM DCN SAS ≌．∴ ② ．又∵90CDN ADN ∠+∠=°，∴90DAM ADN ∠+∠=°，∴90AED ∠=°，又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°，∴ ③ ．又∵DP BN ∥ ∴四边形BPDN 是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取BC ，CD 的上点N ，M （M 不与C ，D 重合），DM CN =，连接AM ，DN ，过B 作AM 的垂线，交AD 于点P ，则四边形BPDN 是 ④ ．【答案】（1）见解析 （2）DM CN =；DAM CDN ∠=∠；∥BP DN ；进一步思考：四边形BPDN 是平行四边形 【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠．从而证得90AQP AED ∠=∠=°，即可得到∥BP DN ．又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论；进一步思考：证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠，再证明∥BP DN ，又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论． 【小问1详解】解：如图所示，BP 就是所求作的经过点B 垂直于AM 于Q ，交AD 于P 的直线，【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴12DM CD =，12CN BC =， ∴DM CN =，在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 进一步思考：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2m 元，“开心果半角”单价降低了m 元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求m 的值．【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x “开心果羊角”的单价为y 元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】解：设“流沙羊角”的单价为x 元，“开心果羊角”的单价为y 元，根据题意，得37254x y x y +=+= ， 解得：2017x y = =， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得960750 1.220217m m=×−−， 解得：2m =，经检验，2m =是方程的解且符合题意， ∴m 的值为2．23. 如图1，在菱形ABCD 中，5AB =，8BD =，动点P 从点A 出发，沿着A B C −−的路线运动，到达C 点停止，过点P 作PQ BD ∥交菱形的另一边于点Q ．设动点P 行驶的路程为x ，点P 、Q 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；（3）函数11y x b 2=+与函数y 只有一个交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ ； （2）作图见解析，当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小； （3）50b −≤<或112b =． 【解析】【分析】（1）分点P 在AAAA 上和点P 在BC 上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构造等量关系，即可得到答案；（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；（3）结合函数图象，将()5,8、()0,0和()10,0代入11y x b 2=+，分别求出b 的值，即可得出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图，点P 在AAAA 上时，05x ≤≤，∵PQ BD ∥， ∴APQ ABD ∽，∴AP PQ AB BD =即58x y=， ∴85y x =， ∵5AB =，如图，点P 在BC 上时，∵四边形ABCD 是菱形， ∴5BC AB ==， ∴10PC x =−，当点P 在BC 上时，510x <≤， ∵PQ BD ∥， ∴CPQ CBD ∽，∴CP PQ CB BD =即1058x y −=， ∴8165y x =−+，综上可知，y 关于x 的函数表达式为()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ 【小问2详解】解：由（1）所得关系式可知，x0 5 8 10 y83.2函数图象如下：性质：当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】解：如图，由图象可知，函数11y x b 2=+的图象在3l 和2l 之间时，与函数y 只有一个交点， 将()5,8代入11y x b 2=+，得：1852b =×+，解得：112b =， 将()0,0代入11y x b 2=+，得：0b =， 将()10,0代入11y x b 2=+，得：5b =−， ∴b 的取值范围为50b −≤<或112b =．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．24. 如图，M 为沙坪坝区物流中心，N ，P ，Q 为三个菜鸟驿站，N 在M 的正南方向4.3km 处，Q 在M 的正东方向，P 在Q 的南偏西37°方向2.5km 处，N 在P 南偏西64°方向．（sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈，sin640.90°≈，cos640.44°≈，tan64 2.05°≈）（1）求驿站P ，驿站N 之间的距离（结果精确到0.1km ）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M 出发，以30km/h 的速度沿着M N P Q ———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N ，P 两个驿站各停留6min 存放快递，请计算说明派送员能否在40min 内到达驿站Q ？【答案】（1）5.2km （2）能，理由见解析 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P 作PA MN ⊥于A ，PB MQ ⊥于B ，先解Rt PBQ △，求得2km PB =，再证明2km AM PB ==，从而得出 2.3km AN =，然后解Rt PAN △，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与40min 比较即可得出答案． 【小问1详解】解：过点P 作PA MN ⊥于A ，PBMQ ⊥于B ，如图，根据题意，得37BPQ PQD ∠=∠=°，64PNA NPC ∠=∠=°， 4.3km MN =， 2.5km PQ =， 在Rt PBQ △中，∵cos PB BPQ PQ∠=， ∴()cos 2.5cos37 2.50.802km PBPQ BPQ =⋅∠=×°≈×=， ∵PA MN ⊥，PBMQ ⊥，90NMQ ∠=°，∴四边形AMBP 是矩形， ∴2km AM PB ==，∴()4.32 2.3km AN MN AM =−=−=，在Rt PAN △中，∵cos PNA ∠∴()2.3 2.3 5.2km cos cos 640.44ANPNPNA ==≈≈∠°，答：驿站P ，驿站N 之间的距离约为5.2km ． 【小问2详解】解：∵30km/h 0.5km/min =，∴()()4.3 5.2 2.50.56236min ++÷+×=， ∵36min<40min ，∴派送员能在40min 内到达驿站Q ．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =−+与抛物线()230y ax x a =−+≠交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，直线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，过P 作PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，求PQ AQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）PQ AQ 的最大值的条件下，连接BP ，将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上，M 是新抛物线上一动点，当MAB BPQ ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）2134y x x =−−+（2）PQ AQ +的最大值为4，()2,4P −（3）点M 的坐标为()2,2或 【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出点()2,0A ，再把()2,0A 代入23y ax x =−+，求出a 值即可；（2）延长PQ 交y 轴于D ，证明OAC DAQ ∽，得AC OC AQ DQ =1DQ =，求得DQ AQ =，再设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x−+ ，则211242PQ x x =−−+，112QD x =−+，所以()21244PQ AQ PQ QD PD x +=+==−++，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为2114y x x =−++，再分两种情况：当点M 在直线AB 上方时，当点M 在直线AB 下方时，分别求解即可． 【小问1详解】解：对于直线112y x =−+， 令0y =，则1102x −+=，解得：2x =， ∴()2,0A ，把()2,0A 代入23y ax x =−+，得0423a −+， 解得：14a =−， ∴抛物线的表达式2134y x x =−−+． 【小问2详解】解：延长PQ 交y 轴于D ，对于直线112y x =−+， 令0x =，则1y =， ∴CC (0,1)， ∵()2,0A∴AC ==∵PQ y ∥轴，即QD OC ∥， ∴OAC DAQ ∽∴AC OC AQ DQ =1DQ=，∴DQ AQ =， 设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x −+，∴2211113124242PQ x x x x x=−−+−−+=−−+，112QD x =−+∴()221132444PQ AQ PQ QD PD x x x =+==−−+=−++ ∵104−< ∴当2x =−时，PQ AQ +的最大值为4； ∴()2,4P −． 【小问3详解】解：联立，2134112y x x y x =−−+=−+， 解得：1143x y =− = ，2220x y = = ，∴()4,3B −，由（2）知，在PQ AQ +的最大值的条件下，抛物线的顶点为点()2,4P −，对称为直线PQ ， 当2x =−时，则()12122y =−×−+=， ∴()2,2Q −， 则2PQ =，PB QB∴BPQ BQP ∠=∠， ∵将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上， ∴点Q 平移后与点A 重合， ∵()2,2Q −，()2,0A ，∴抛物线沿射线BA 方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴抛物线顶点()2,4P −平移后到点()2,2P ′，点()4,3B −平移后到点()0,1B ′，即B ′与C 重合，∴BPQ B P A ′′ ≌，抛物线平移后的解析式为()221122144y x x x =−−+=−++，∴BPQ B P A ′′∠=∠， ∵()0,1B ′，()2,2P ′，∴P B =′=′∵()0,1B ′，()2,0A ，∴AB ′=，∴P B AB ′′′=， ∴B AP B P A ′′′′∠=∠， 当点M 在直线AB 上方时，∵MAB BPQ ∠=∠， ∴MAB B P A ′′∠=∠， ∴点M 与点P ′重合， ∴()2,2M ，当点M 在直线AB 下方时，设21,14M x x x−++， 过点M 作ME PQ ∥，交AB 于E ，交x 轴于N ，则MEA BQP ∠=∠，1,12E x x−+， 则AOC ANE △∽△，∴AC OCAE EN=，则E AE EN AC =⋅=， ∵MAB BPQ ∠=∠， ∴BPQ MAE △∽△，∴BQ PQ ME AE=，则BQ ME PQ AE =，=，整理得：32E M y y =−， 即：231111224x x x −+=−−++，解得：x =（x =，此时，M y =∴M ， 综上，符合条件的点M 的坐标为()2,2或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键．26. 在ABC 中，AC BC =，D 为线段AB 上一点，连接CD ．（1）如图1，若30B ∠=°，AC AD =，过A 作AE CD ⊥于O ，交BC 于E ，2CE =，求线段BE 的长；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥交CD 延长线于点F ，以BC 为斜边在ABC 的右侧作等腰直角三角形BCG ，过点G 作GH AB ∥，交DC 的延长线于点H ，HC FB =．猜想线段AD ，BD ，CD 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，60ACB ∠=°，过A 作AQ BC ⊥于Q ，作ACB ∠的角平分线交AQ 于M ，取CM 的中点N ，连接QN ．点K 为直线BC 上的动点，连接NK ，将QKN 沿着NK 所在直线翻折至ABC 所在平面得到Q KN ′ ，连接MQ ′，取MQ ′中点P ，连接CP ．将12CD 绕着点D 顺时针旋转至直线AB 上方DR 处，使得BDR ACD ∠=∠．当CP 取得最小值时，连接AP ，PR ，AR ，当ARP △以AP 为腰的等腰三角形时，请直接写出DR AP的值． 【答案】（1）（2）AD BD =+（3 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得120ACB ∠=°，75ACD ∠=°，得45DCE ∠=°，根据线段垂直平分线性质，得2CE DE ==，得90CED ∠=°，即得BE = （2）过点C 作CI AB ⊥于I ，得AI BI =，根据等腰直角BCG 中，90BG CG BGC =∠=°，，BF CD ⊥，得点G 、C 、F 、B 在以BC 为直径的圆上，得GCH GBF ∠=∠，结合HC FB =，得()SAS GCH GBF ≌，得GF GH BGF CGH =∠=∠，， 得90FGH ∠=°，证明45IDC H ∠=∠=°，得DI =，根据BI BD DI =+，AD AI DI =+，即得AD BD =+；（3）证明当'Q 与C 重合时，点P 与点N 重合，PC 取得最小值，当AP AR =时，设CD 中点为T ，连接RT BR CR ，，，由对称性知，点R 在ABC ∠的平分线上，得CR AR =，由BDR ACD ∠=∠，得60CDR CAD ∠=∠=°，根据RT DT CT ==，得DTR 是等边三角形，得30RCT ∠=°，90CRD ∠=°，得tan DR DCR CR ∠=；②延长CM 交AB 于L ，过B 作BS AC ∥，交DR 延长线于S ，连接CS ，则AL BL =，60CBS ACB ∠=∠=°，得60CBS CDS ∠=∠=°，得B 在过C 、D 、S 三点的圆上，得60CSD CBD ∠=∠=°，得 CDS 是等边三角形，当D 与点B 重合时，T 与Q 重合，点R 在BS 上，根据150NQB NQR ∠=∠=°，BQ RQ NQ NQ ==，，得()SAS BQN RQN ≌,得BN RN =，得AN RN =，设ABC 的边长为2，则1AL =，CL =，根据23CM CL =，N 是CM 中点，得NL =，得AN =DR AP =【小问1详解】解：AC BC = ，30B ∠=°。

河北省邯郸市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．下列表达式中，x 为自变量，y 是x 的二次函数的是（）A ．2y ax bx c =++B ．221y x x =-+-C ．34y x =-D ．21y x x=+2．下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．图象的对称轴是y 轴的二次函数是（）A ．2(1)y x =-B ．22(1)y x =+C ．222y x =-D ．2(1)y x =-+4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若28D ∠=︒，则OAB ∠的度数为（）A ．28︒B ．34︒C ．56︒D ．62︒5．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠中，y 与x 的部分对应值如下表：x …1346…y…8182018…下列结论中，正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．对称轴是直线4x =C ．当>4x 时，y 随x 的增大而减小D ．当 4.5x <时，y 随x 的增大而增大6．若点()3P m m --，关于原点对称的点在第二象限，则m 的取值范围为（）A ．3m >B ．03m <<C ．0m <D ．0m <或3m >7．二次函数24y x x c =-+的最小值是0，那么c 的值等于（）A ．2B ．4C ．2-D ．88．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，则下列说法正确的有（）①abc ＞0；②2a -b =0；③a -b +c ≥am 2+bm +c ；④当x ＜1时，y ＞0；⑤9a -3b +c =0A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，在正方形方格中，A ，B ，C ，D ，E ，P 均在格点处，则点P 是下列哪个三角形的外心（）A ．ACE △B ．ABD △C ．ACD D ．BCE10．如图，以()1,4-为顶点的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,4A ，()4,4B -，()6,2C -都在M 上，则原点O 到M 上一点的最短距离为()A ．2B ．C ．2D ．212．如图，O 是正五边形ABCDE 的内切圆，分别切AB ，CD 于点M ，N ，P 是优弧MN 上的一点，则MPN ∠的度数为()A ．55︒B ．60︒C ．72︒D ．80︒二、填空题13．如图，三角形OAB 绕点O 逆时针旋转75︒到三角形OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠=．14．如图，将边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形ABGHK 的AB 边重合叠放在一起，则GBC ∠的度数是．15．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r．16．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运到（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为2cm ．三、解答题17．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，若66DAB ∠=︒，求ACD ∠的度数．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的三个顶点分别是()3,2A -，()0,4B ，()0,2C ．(1)将ABC V 以点C 为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的111A B C △，平移ABC V ，对应点2A 的坐标为()0,4-，画出平移后对应的222A B C △；(2)若将111A B C △绕某一点旋转可以得到222A B C △，请直接写出旋转中心的坐标．19．已知抛物线2234y x kx k =-++．(1)若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的值；(2)若1x >时，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围．20．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆，已知圆心O 始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦A 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦A 从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？21．足球训练中，小军从球门正前方8米的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知球门高OB 为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G ，且AB ∥CD ，OB =6cm ，OC =8cm ．求：22．∠BOC 的度数；23．BE +CG 的长；24．⊙O 的半径．25．（1）如图1，O 是等边ABC V 内一点，连接OA OB OC 、、，且345OA OB OC ===，，，将BAO 绕点B 顺时针旋转后得到BCD △，连接OD ．求：①旋转角的度数；②线段OD 的长；③求BDC ∠的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒ 内一点，连接OA OB OC 、、，将BAO 绕点B 顺时针旋转后得到BCD △，连接O D ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=︒？请给出证明．26．综合与探究二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于()1,0A ，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为M ．(1)求该二次函数的表达式，并写出点M 的坐标；(2)如图1，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；(3)如图2，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 的中点Q ，连接QC ，QM ，CM ，当CMQ △的面积为6时，直接写出点P 的坐标．。