人教版高中物理必修二《第六章万有引力与航天》第3节万有引力定律课时练案.docx

新人教版高中物理必修二同步教案第六章万有引力与航天第三节万有引力定律【学习目标】知识与技术在开普勒第三定律的基础上，推导获得万有引力定律，使学生对此规律有初步理解。

过程与方法经过牛顿发现万有引力定律的思虑过程和卡文迪许扭秤的设计方法，浸透科学发现与科学实验的方法论教育。

感情态度与价值观介绍万有引力恒量的测定方法，增添学生对万有引力定律的感性认识。

【教课要点】万有引力定律的推导过程，既是本节课的要点，又是学生理解的难点，因此要依据学生反应，调理解说速度及方法。

【教课难点】因为一般物体间的万有引力极小，学生对此缺少感性认识，又没法进行演示实验，故应增强举例。

【教课课时】2课时【研究学习】引入新课前方我们已经学习了相关圆周运动的知识，我们知道做圆周运动的物体都需要一个向心力，而向心力是一种成效力，是由物体所受实质力的协力或分力来供给的。

此外我们还知道，月球是绕地球做圆周运动的，那么我们想过没有，月球做圆周运动的向心力是由谁来供给的呢？我们再来看一个实验：我把一个粉笔头由静止开释，粉笔头会着落到地面。

实验：粉笔头自由着落。

同学们想过没有，粉笔头为何是向下运动，而不是向其余方向运动呢？同学可能会说，重力的方向是竖直向下的，那么重力又是怎么产生的呢？地球对粉笔头的引力与地球对月球的引力是否是一种力呢？这个问题也是 300 多年前牛顿冥思苦想的问题，牛顿的结论也是：是。

既然地球对粉笔头的引力与地球对月球有引力是一种力，那么这类力是由什么要素决定的，是只有地球对物体有这类力呢，仍是全部物体间都存在这类力呢？这就是我们今日要研究的万有引力定律。

新课解说1．万有引力定律的推导第一让我们回到牛顿的年月，从他的角度进行一下思虑吧。

当时“日心说”已在科学界基本否定了“地心说”，假如以为只有地球对物体存在引力，即地球是一个特别物体，则必然会退回“地球是宇宙中心”的说法，而以为物体间广泛存在着引力，可这类引力在生活中又难以察看到，原由是什么呢？(学生可能会答出：一般物体间，这类引力很小。

第六章第三节万有引力定律[学习目标]1.掌握万有引力定律和引力常量的测定方法．2.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题．任务一：仔细阅读课本第二部分，写出下列问题的答案。

1．月—地检验(1)猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律． (2)推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度(重力加速度)的1602．(3)根据观察得到的月球绕地球运转周期T 及半径r ，月球做圆周运动的向心加速度可由a ＝4π2T 2r 算出．(4)结论：计算结果与我们的预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．想一想 月球绕地球能做匀速圆周运动是因为月球受力平衡．这种说法对吗？答案 不对．月球绕地球做匀速圆周运动，是因为地球对月球的引力提供向心力的作用． 任务二：仔细阅读课本第三、四部分，完成下列问题。

2．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比． (2)表达式：F ＝Gm 1m 2r2．其中r 指两个质点之间的距离． (3)引力常量G ：由英国物理学家卡文迪许在实验室中测量得出，常取G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2.想一想 万有引力定律告诉我们，任何两个物体都是相互的，但为什么通常的两个物体间感受不到万有引力？两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时，它们间万有引力是多大？ 答案 万有引力太小，6.67×10－11N.任务三：完成下列例题 ，体会万有引力定律的应用。

【例1】 (2020·邢台高一检测)对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2r 2，下列说法中正确的是( )A ．公式中G 为引力常量，与两个物体的质量无关B ．当r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力D ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，而与m 1、m 2是否相等无关答案 AD解析 公式中的G 为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A 对；当两物体表面距离r 越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F ＝Gm 1m 2r2已不再适用于计算它们之间的万有引力，B 错；m 1与m 2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m 1、m 2是否相等无关，C 错，D 对． 【例2】图6－2、3－1如图6－2、3－1所示，操场两边放着半径分别为r 1、r 2，质量分别为m 1、m 2的篮球和足球，二者的间距为r.则两球间的万有引力大小为( ) A ．Gm 1m 2r 2 B ．G m 1m 2r 21C ．G m 1m 2（r 1＋r 2）2D ．G m 1m 2（r 1＋r ＋r 2）2答案 D解析 万有引力定律的数学表达式为F ＝G m 1m 2r 2.此定律的适用条件是：质量为m 1和m 2的两个物体必须是质点，或者是可视为质点的两个物体．因此，公式中的r 为两个质点间的距离．操场两边的篮球和足球是两个规则球体，这两球间的距离为两球心间的距离，即为r 1＋r ＋r 2，所以两球间的万有引力大小为F ＝Gm 1m 2（r 1＋r ＋r 2）2.故选D.任务四：根据已学的知识，分析万有引力和重力的关系？ 万有引力和重力的关系如图6－2、3－3所示，设地球的质量为M ，半径为R ，A 处物体的质量为m ，则物体受到地球的吸引力为F ，方向指向地心O ，由万有引力公式得F ＝G Mmr 2.引力F 可分解为F 1、F 2两个分力，其中F 1为物体随地球自转做圆周运动的向心力F n ，F 2就是物体的重力mg.2．近似关系：如果忽略地球的自转，则万有引力和重力的关系为：mg ＝GMmR 2，g 为地球表面的重力加速度．3．随高度的变化：在高空中的物体所受到的万有引力可认为等于它在高空中所受的重力mg′＝G Mm （R ＋h ）2，在地球表面时mg ＝G Mm R 2，所以在距地面h 处的重力加速度g′＝R 2（R ＋h ）2g.高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

第3节 万有引力定律一、月—地检验阅读教材第39～40页“月—地检验”部分，知道计算结果与预期结果相符合这一检验的过程。

1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。

2．推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的160。

3．结论：自由落体加速度和月球的向心加速度与我们的预期符合得很好。

这表明：地面物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。

思维拓展月球受到地球的引力作用，但没有被吸到地球表面上，是因为月球受力平衡吗？图1答案 不是。

是因为地球对月球的引力提供了月球绕地球运动的向心力，使月球做匀速圆周运动。

二、万有引力定律阅读教材第40～41页“万有引力定律”和“引力常量”部分，知道万有引力定律的内容及表达式，了解引力常量的测定。

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 。

3．引力常量G ：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2。

思维拓展天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的。

请思考：图2(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r ”指物体哪两部分间的距离？(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？ 答案 (1)都存在 质心间距离 (2)相等预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中万有引力定律的理解[要点归纳]1．万有引力表达式F ＝Gm 1m 2r 2的适用条件 (1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r 是两个球体球心的距离。

(2)—个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r 为球心到质点间的距离。

高一年级物理学科“问题导学案”【课题】：万有引力定律【课型】问题生成解决拓展课【学习目标】1．理解太阳与行星间引力的存在2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式3．了解万有引力定律得出的思路和过程，理解万有引力定律的含义，掌握万有引力定律的公式；4．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。

【重点】1、万有引力定律得出的思路和过程2、科学精神、科学思想方法的培养【难点】1、万有引力定律得出的思路和过程2、据学生认知情况确定探究点【自主导学】万有引力定律建立的重要意义？1．万有引力定律的内容是：自然界中任何两个物体都_______________，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们______________成反比。

万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律。

这是人类认识历史上的一个重大飞跃。

万有引力在天体运动中起着主要作用，在宇宙探索研究中有很重要的应用。

2.万有引力定律的表达式___________________,其中G叫____________, G＝6.67×10－11N·m2/kg2,它在数值上等于两个质量都是_____kg的物体相距________时的相互吸引力，它是由英国科学家___________在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。

3.万有引力定律适用于计算________________的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为_____________的距离。

另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。

【例题解析】例1：氢原子有一个质子和围绕质子运动的电子组成，已知质子的质量为1.67×10-27kg，电子的质量为9.1×10-31kg，如果质子与电子的距离为1.0×10-10m，求它们之间的万有引力。

第二节 太阳与行星间的引力第三节 万有引力定律[学习目标] 1.知道太阳与行星间存在引力作用及行星绕太阳运动的向心力是由太阳对它的引力提供． 2.了解万有引力定律的发现过程，理解万有引力定律的内容，会用万有引力定律公式解决有关问题，注意公式的适用条件． 3.知道引力常量的测定方法及其在物理学上的重要意义．[学生用书P 41]一、太阳与行星间的引力(阅读教材P 36～P 38)1．太阳对行星的引力：设行星质量为m ，行星到太阳中心的距离为r ，则太阳对行星的引力：F ∝m r2.2．行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同(设太阳质量为M )，即F ′∝M r2.3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F ＝F ′，又由于F ∝m r 2、F ′∝M r2，则有F ∝Mm r 2，写成等式F ＝G Mm r2，式中G 为比例系数．拓展延伸►———————————————————(解疑难)太阳与行星间的引力关系的理解1．G 是比例系数，与行星和太阳均没有关系．2．太阳与行星间的引力规律，也适用于行星与其卫星间的引力． 3．该引力规律普遍适用于任何两个有质量的物体．4．物体之间的相互引力沿两个物体连线的方向，指向施力物体．1.(1)太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力．( )(2)太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比．( ) (3)太阳对行星的引力公式是由实验得出的．( )(4)太阳对行星的引力公式是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的．( )提示：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、月—地检验(阅读教材P 39～P 40)1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．2．推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1602.3．结论：计算结果与预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．2.(1)地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力．( )(2)地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G ＝mg .( ) (3)月球所受地球的引力只与月球质量有关．( )提示：(1)√ (2)× (3)×三、万有引力定律(阅读教材P 40～P 41)1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2. 3．引力常量G ：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. 拓展延伸►———————————————————(解疑难) 1．公式的适用条件(1)严格地说，万有引力定律适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式计算，r 为两质点间的距离．(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用此定律来计算，其中r 是两球心间的距离．(3)一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r 为球心到质点间的距离．2．引力常量测定的意义(1)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性． (2)第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值． 3．对万有引力定律的理解 四性 内容普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任意两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等、方向相反、作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与物体所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关3.对于万有引力定律的表达式F ＝Gm 1m 2r 2，下列说法中正确的是( ) A ．只要m 1和m 2是球体，就可用上式求解万有引力 B ．当r 趋于零时，万有引力趋于无限大C ．两物体间的引力总是大小相等的，而与m 1、m 2是否相等无关D ．两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 提示：选C.万有引力定律的表达式F ＝Gm 1m 2r 2适用于两个质点之间的引力计算，当r 趋于零时，两个物体无论是球体，还是其他物体，都不能看成质点，上式不再成立，故A 、B 两项均错；两个物体之间的万有引力是作用力与反作用力关系，故D 错．万有引力大小的计算[学生用书P 42]1．万有引力定律只适用于两个质点间的作用，均匀球体可看成是质量全部集中在球心的一个质点，对于非均匀球体，可采用割补法转化成均匀球体来计算．2．当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力(高中一般不涉及)．——————————(自选例题，启迪思维)两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F[解析] 小铁球之间的万有引力F ＝Gmm 2r 2＝G m 24r2.大铁球半径是小铁球半径的2倍，小铁球的质量m ＝ρV ＝ρ·43πr 3.大铁球的质量M ＝ρV ′＝ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π2r 3＝8ρ·43πr 3＝8m .故两个大铁球间的万有引力F ′＝G MM 2R 2＝G 8m 2[22r ]2＝16G m 24r2＝16F .[答案] D一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的( )A ．0.25倍B ．0.5倍C ．2倍D ．4倍[解析] 根据万有引力定律得：宇航员在地球上所受的万有引力F 1＝GM 地mR 2地，在星球上受的万有引力F 2＝GM 星m R 2星，所以F 2F 1＝M 星R 2地M 地R 2星＝12×22＝2，故C 正确．[答案] C有一质量为M 、半径为R 的密度均匀球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为R2的球体，如图所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？[思路点拨] 挖去一球体后，剩余部分不再是质量分布均匀的球体，不能直接利用万有引力定律公式求解．可先将挖去部分补上来求引力，求出完整球体对质点的引力F 1，再求出被挖去部分对质点的引力F 2，则剩余部分对质点的引力为F ＝F 1－F 2.[解析] 完整球质量M ＝ρ×43πR 3挖去的小球质量M ′＝ρ×43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18ρ×43πR 3＝M8由万有引力定律得F 1＝GMm2R2＝GMm 4R2F2＝GM′mr′2＝GM8m⎝⎛⎭⎪⎫3R22＝GMm18R2故F＝F1－F2＝GMm4R2－GMm18R2＝7GMm36R2.[答案]7GMm36R2[归纳提升] 应用挖补法时应注意的两个问题(1)找到原来物体所受的万有引力、挖去部分所受的万有引力与剩余部分所受的万有引力之间的联系．(2)所挖去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用挖补法．若所挖去部分不是规则球体，则不适合应用挖补法．万有引力与重力的关系[学生用书P43]1.重力为地球引力的分力如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝GMmR2.图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg<GMmR2，方向并不指向地心．2．影响重力(重力加速度)大小的因素(1)纬度对重力的影响①物体在赤道上，F、F1、mg三者同向，F1达到最大值mω2R，由mg＝GMmR2－mω2R知，重力最小．②在地球两极处，由于F向＝0，故mg＝GMmR2，重力最大，方向指向地心．③地面上其他位置，重力mg<GMmR2，方向并不指向地心．且随着纬度的增大，重力逐渐增大．(2)高度对重力的影响(不考虑自转)①在地球表面：mg＝GMmR2，g＝GMR2，g为常数．②在距地面高h处：mg′＝GMmR＋h2，g′＝GMR＋h2，高度h越大，重力加速度g′越小．——————————(自选例题，启迪思维)假如地球自转速度增大，下列说法中正确的是( ) A ．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B ．放在两极地面上物体的重力不变 C ．放在赤道地面上物体的重力减小 D ．放在两极地面上物体的重力增大[解析] 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B 正确，D 错误；而对放在赤道地面上的物体，F 万＝G 重＋mω2R ，由于ω增大，则G 重减小，选项C 正确．[答案] ABC(2015·厦门高一检测)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g ，则g g 0为( )A ．1B.19C.14D.116[解析] 地球表面处的重力加速度和在离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上：G Mm R2＝mg 0①离地心4R 处：G Mm4R2＝mg ② 由①②两式得g g 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 4R 2＝116.[答案] D某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以a ＝12g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R 地＝6.4×103 km ，g 表示地面处重力加速度，g 取10 m/s 2)[解析] 卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h ，这时受到地球的万有引力为F ＝GMm R 地＋h2.在地球表面GMmR 2地＝mg ① 在上升至离地面h 时，F N －G Mm R 地＋h2＝ma .②由①②式得R 地＋h 2R 2地＝mgF N －ma ， 则h ＝⎝⎛⎭⎪⎫mg F N －ma －1R 地．③将m ＝16 kg ，F N ＝90 N ，a ＝12g ＝5 m/s 2，R 地＝6.4×103 km ，g ＝10 m/s 2代入③式得h＝1.92×104km.[答案] 1.92×104km[名师点评] (1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg ＝G Mm R2.(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小.物体在其他行星上的运动[学生用书P 44]物体在其他行星上做匀速运动、匀变速直线运动、自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、圆周运动等，与在地球上做这些运动性质相同且遵守相同的规律，仍可用牛顿力学知识解决．不同之处是两处的重力加速度不同，在地球上g 是作为已知的，而在其他行星上g 未知．因此解决这类问题的关键是求行星上的重力加速度g .——————————(自选例题，启迪思维)某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，射程为60 m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )A ．10 mB ．15 mC ．90 mD ．360 m[解析] 由平抛运动公式可知，射程x ＝v 0t ＝v 02h g，即v 0、h 相同的条件下x ∝1g.又由g ＝GMR2，可得g 星g 地＝M 星M 地⎝ ⎛⎭⎪⎫R 地R 星2＝91×⎝ ⎛⎭⎪⎫212＝361，所以x 星x 地＝g 地g 星＝16，得x 星＝10 m ，选项A 正确． [答案] A宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t ，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g ′；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地．[解析] (1)设竖直上抛小球初速度为v 0，则v 0＝12gt ＝12g ′×5t ，所以g ′＝15g ＝2 m/s 2.(2)设小球的质量为m ，则mg ＝GM 地m R 2地，mg ′＝G M 星m R 2星所以M 星∶M 地＝g ′R 2星gR 2地＝15×116＝180.[答案] (1)2 m/s 2(2)1∶80[学生用书P 44]典型问题——物体在赤道上的失重问题设地球为匀质球体，半径为R ，表面的引力加速度为g ＝GM R2，并不随地球自转变化． (1)物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转所需的向心力之差．对地球上的物体受力分析，由牛顿第二定律得 mg －F N ＝mω2R ，所以物体在赤道上的视重F N ＝mg －mω2R <mg .(2)物体在赤道上失去的重力等于物体绕地轴转动所需的向心力．物体在赤道上失去的重力，即视重的减小量F ＝mg －F N ＝mω2R . (3)物体在赤道上完全失重的条件．设想地球自转角速度增大为ω0，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即F N ＝0，则有F N ＝mg －mω20R ＝0，得mg ＝ma 0＝mω20R ＝m v 20R＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 02R ，所以完全失重的临界条件为a 0＝g ＝9.8 m/s 2，ω0＝g R ≈1800rad/s ，v 0＝Rg ≈7.9 km/s，T 0＝2πRg≈5 024 s≈84 min.(4)地球不因自转而瓦解的最小密度． 地球以T ＝24 h 的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即mg ≥m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，由万有引力定律得g ＝GM R 2＝43G πρR ，所以，地球的密度ρ≥3πGT2≈18.9 kg/m 3，即最小密度为ρmin ＝18.9 kg/m 3.而地球平均密度的公认值为ρ0＝5 523 kg/m 3≫ρmin ，所以足以保证地球处于稳定状态．[范例] 地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a ＝3.37×10－2 m/s 2，赤道上的重力加速度g ＝9.77 m/s 2，试问：(1)质量为1 kg 的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而飘起来，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？[解析] (1)在赤道上，F 万＝mg ＋F 向＝mg ＋ma ＝9.803 7 N.(2)要使在赤道上的物体由于地球自转而飘起来，则有F 万＝F ′向＝mω20R ，得ω0＝ F 万mR＝9.803 7R.ω0为飘起时地球自转的角速度，R 为地球半径．正常情况即实际角速度为ω，则mω2R＝ma ，ω＝a R ＝3.37×10－2R ，故ω0ω＝9.803 73.37×10－2≈17.即自转角速度应加快到实际角速度的17倍．[答案] (1)9.803 7 N (2)17倍[名师点评] 假设地球自转角速度增大，则赤道上的物体随地球自转做圆周运动所需向心力增大，“飘起”时，万有引力全部用来提供向心力．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期T ＝130s ，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解．(计算时星体可视为均匀球体，引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2)解析：设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的物体质量为m ，则有G MmR2＝mω2R ，又知ω＝2πT ，中子星质量M ＝43πR 3ρ，联立以上各式得ρ＝3πGT2，代入数据得ρ≈1.27×1014 kg/m 3.答案：1.27×1014 kg/m 3[学生用书P 45][随堂达标]1．(2015·无锡高一检测)对于太阳与行星间的引力及其表达式F ＝G Mm r2，下列说法正确的是( )A ．公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关B ．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等C ．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M 、m 都处于平衡状态D ．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力解析：选BD.太阳与行星间引力表达式F ＝G Mm r2中的G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A 错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B 、D 正确，C 错误．2．如图所示，两球的半径小于R ，两球质量均匀分布，质量分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为( )A ．Gm 1m 2R 21B ．G m 1m 2R 22C ．G m 1m 2R 1＋R 22D ．Gm 1m 2R 1＋R 2＋R2解析：选D.由万有引力定律公式中“r ”的含义知：r 应为两球心之间的距离，故D 正确．3．地球质量大约是月球质量的81倍，在“嫦娥三号”探月卫星通过月、地之间某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶27D ．9∶1解析：选B.由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力F ＝G M 月mr 21，地球对探月卫星的引力F ＝GM 地m r 22，由以上两式可得r 1r 2＝M 月M 地＝181＝19，故选项B 正确． 4．火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( )A ．0.2gB ．0.4gC ．2.5gD ．5g解析：选B.由星球表面的重力等于万有引力，即G Mm R2＝mg ，故行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为g 行g ＝M 行R 2地M 地R 2行＝0.4，故g 行＝0.4g ，选项B 正确．5．(选做题)如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R .如果从球的正中心挖去一个直径为R 的球，放在相距为d 的地方．求两球之间的引力是多大．解析：根据匀质球的质量与其半径的关系M ＝ρ×43πr 3∝r 3，两部分的质量分别为m ＝M 8，M ′＝7M 8根据万有引力定律，这时两球之间的引力为F ＝G M ′m d 2＝764G M 2d2.答案：764G M2d2[课时作业]一、选择题1．下面关于万有引力的说法中，正确的是( )A ．万有引力是普遍存在于宇宙中所有具有质量的物体之间的相互作用B ．重力和万有引力是两种不同性质的力C ．当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则这两个物体间的万有引力将增大D ．当两物体间距离为0时，万有引力将无穷大解析：选A.重力是由于地球吸引而使物体受到的力，选项B 错误．两物体间万有引力大小只与两物体质量的乘积及两物体间距离有关，与存不存在另一物体无关，选项C 错误．若物体间距为零时，公式不适用，选项D 错误．2．(多选)(2015·海口一中高一月考)要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法可以采用的是( )A ．使两物体的质量各减小一半，距离不变B ．使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变C ．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D ．使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4解析：选ABC.由万有引力定律F ＝Gm 1m 2r 2可知，A 、B 、C 选项中两物体间的万有引力都将减小到原来的1/4，而D 选项中两物体间的万有引力保持不变，故应选A 、B 、C.3．三个完全相同的匀质金属球，当让其中两个紧靠在一起时它们之间的万有引力为F ，当让它们三个紧靠在一起时，每个小球受到的万有引力为( )A ．0B ．F C.3F D ．2F解析：选C.其中两个小球对第三个小球的万有引力大小均为F ，夹角为60°，其合力为3F ，故C 对．4．(多选)(2015·厦门高一检测)如图所示，P 、Q 为质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P 、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )A ．P 、Q 受地球引力大小相等B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等C ．P 、Q 做圆周运动的角速度大小相等D ．P 受地球引力大于Q 所受地球引力解析：选AC.计算均匀球体与质点间的万有引力时，r 为球心到质点的距离，因为P 、Q到地球球心的距离相同，根据F ＝G Mm r2，P 、Q 受地球引力大小相等．P 、Q 随地球自转，角速度相同，但轨道半径不同，根据F n ＝mrω2，P 、Q 做圆周运动的向心力大小不同．综上所述，选项A 、C 正确．5．(2015·成都高一检测)两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )A ．1 B.m 2r 1m 1r 2C.m 1r 2m 2r 1D.r 22r 21解析：选D.设行星m 1、m 2的向心力分别为F 1、F 2，由太阳与行星之间的作用规律可得：F 1∝m 1r 21，F 2∝m 2r 22，而a 1＝F 1m 1，a 2＝F 2m 2，故a 1a 2＝r 22r 21，D 正确．6．(多选)(2013·高考浙江卷)如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMmr －R 2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMmr 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2解析：选BC.应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误．7．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2解析：选A.设地球密度为ρ，地球质量M ＝43πρR 3，因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以地面下d 处以(R －d )为半径的地球质量M ′＝43πρ(R －d )3.地面处F ＝G Mm R 2＝43πρGmR ，地面下d 处F ′＝G M ′m R －d 2＝43πρGm (R －d )，地面处g ＝F m ＝43πρGR ，而地面下d 处g ′＝F ′m ＝43πρG (R －d )，故g ′g ＝R －dR，所以A 选项正确．8.两个质量均为m 的星体，其连线的垂直平分线为MN ，O 为两星体连线的中点，如图所示，一个质量也为m 的物体从O 沿OM 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小，后增大D ．先增大，后减小解析：选D.m 在O 点时，所受万有引力的合力为0，运动到无限远时，万有引力为0，在距O 点不远的任一点，万有引力都不为0，因此D 正确．9．某行星可看成一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G )( )A.4πG 3B.3πG 4C.3πρGD.πρG解析：选C.根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得T ＝2πr 3GM ，将M ＝43πr 3ρ代入，可得T ＝3πρG，故选项C 正确．☆10.用m 表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受地球对它的万有引力的大小为( )A ．0B.mR 0g 0R 0＋h2C ．m 3R 20g 0ω4D ．以上结果都不正确解析：选C.选项B 中有地球表面重力加速度g 0，因此有F 万＝GMm r 2，由m ′g 0＝GMm ′R 2得GM ＝g 0R 20因此F 万＝mR 20g 0R 0＋h2，故B 错．选项C 的特点是有g 0、ω0两个量，将两项G 重＝mg ，F 向＝mrω2中的量统一到了一项中，没有距离h 、R 0量，因此结果中可设法消去(R 0＋h )一项．m (R 0＋h )ω20＝mR 20g 0R 0＋h2，得R 0＋h＝3R 20g 0ω20.又F 万＝F 向，得F 万＝m (R 0＋h )ω20＝m 3R 20g 0ω40，故C 对．二、非选择题11．某星球“一天”的时间T ＝6 h ，用弹簧测力计测同一物体的重力时，在星球的“赤道”上比在“两极”处读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使“赤道”上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G 1，在两极处时重力为G 2.在“赤道”上G MmR2－G 1＝mω2R ① 在“两极”处G MmR2＝G 2②依题意得G 2－G 1＝0.1G 2③设该星球自转的角速度增大到ωx 时，“赤道”上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球表面与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，则有G Mm R2＝mω2x R ④又ωx ＝2πT x ，ω＝2πT⑤由①～⑤得T x ＝610h≈1.9 h， 即“赤道”上的物体自动飘起来时，星球的“一天”是1.9 h. 答案：1.9 h☆12.已知月球质量是地球质量的181，月球半径是地球半径的13.8.(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？解析：(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为h 月＝v 202g 月，h 地＝v 202g 地，式中g 月和g 地是月球表面和地球表面附近的重力加速度．根据万有引力定律得g 月＝GM 月R 2月，g 地＝GM 地R 2地，于是得出上升的最大高度之比h 月h 地＝g 地g 月＝M 地R 2月M 月R 2地＝81×⎝⎛⎭⎪⎫13.82≈5.6.(2)设抛出点的高度为H ，初速度为v 0；在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，从抛出到落地所用的时间t 月＝2H g 月，t 地＝2Hg 地.在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为s 月s 地＝v 0t 月v 0t 地＝g 地g 月＝R 月R 地 M 地M 月＝93.8≈2.4. 答案：(1)5.6 (2)2.4。

第三节万有引力定律课时：一课时教师：教学重点万有引力定律的理解及应用．教学难点万有引力定律的推导过程．三维目标知识与技能1．了解万有引力定律得出的思路和过程．2．理解万有引力定律的含义并掌握用万有引力定律计算引力的方法．3．记住引力常量G并理解其内涵．过程与方法1．了解并体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用．2．认识卡文迪许实验的重要性，了解将直接测量转化为间接测量这一科学研究中普遍采用的重要方法．情感、态度与价值观通过牛顿在前人研究成果的基础上发现万有引力定律的过程，说明科学研究的长期性、连续性及艰巨性．教学过程：导入新课1666年夏末，一个温暖的傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进他母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读书．当他翻动书页时，他头顶的树枝中有样东西晃动起来，一只历史上最著名的苹果落了下来，打在23岁的伊萨克·牛顿的头上．恰巧在那天，牛顿正苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，以及使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？为什么这只打中他脑袋的苹果会坠落到地上？(如图所示)正是从思考这一问题开始，他找到了这些问题的答案——万有引力定律．这节课我们将共同“推导”一下万有引力定律．太阳对行星的引力使得行星围绕太阳运动，月球围绕地球运动，是否能说明地球对月球有引力作用？抛出的物体总要落回地面，是否说明地球对物体有引力作用？推进新课问题探究1．行星为何能围绕太阳做圆周运动？2．月球为什么能围绕地球做圆周运动？3．人造卫星为什么能围绕地球做圆周运动？4．地面上物体受到的力与上述力相同吗？5．根据以上四个问题的探究，你有何猜想？教师提出问题后，让学生自由讨论交流．明确：1．太阳对行星的引力使得行星保持在绕太阳运行的轨道上．2．月球、地球也是天体，运动情况与太阳和行星类似，因此猜想是地球对月球的吸引使月球保持在绕地球运行的轨道上．3．人造卫星绕地球运动与月球类似，也应是地球对人造卫星的引力使人造卫星保持在绕地球运行的轨道上．4．地面上的物体之所以会落下来，是因为受到重力的作用，在高山上也是如此，说明重力必定延伸到很远的地方．5．由以上可猜想：“天上”的力与“人间”的力应属于同一种性质的力．讨论交流由上述问题的探究我们得出了猜想：“天上”的力与“人间”的力相同，我们能否将其作为一个结论呢？讨论：探究上述问题时我们运用了类比的方法得出了猜想，猜想是否正确需要进行检验，因此不能把它作为结论．课件展示：牛顿的设想：苹果不离开地球，是否也是由于地球对苹果的引力造成的？地球对苹果的引力和太阳对行星的引力是否根本就是同一种力呢？若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小．可是地面上的物体距地面很远时，如在高山上，似乎重力没有明显地减弱，是物体离地面还不够远吗？这样的高度比起天体之间的距离来，真的不算远！再往远处设想，如果物体延伸到地月距离那样远，物体是否也会像月球那样围绕地球运动？地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力，也许真是同一种力！一、月—地检验问题探究1．月—地检验的目的是什么？2．月—地检验的验证原理是怎样的？3．如何进行验证？学生交流讨论，回答上述三个问题．在学生回答问题的过程中，教师进行引导、总结．明确：1．目的：验证“天上”的力与“人间”的力是同一种性质的力．2．原理：假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602.根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)也就应该是它在地面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的1/602.3．验证：根据验证原理，若“天上”“人间”是同种性质的力，由“平方反比”规律及地球表面的重力加速度，可求得月球表面的重力加速度．根据人们观测到的月球绕地球运动的周期，及月—地间的距离，可运用公式a＝4π2T2·r求得月球表面的重力加速度．若两次求得结果在误差范围内相等，就验证了结论．若两次求得结果在误差范围内不相等，则说明“天上”与“人间”的力不是同一种性质的力．理论推导：若“天上”的力与“人间”的力是同一种性质的力，则地面上的物体所受重力应满足：G∝1R2月球受到地球的引力：F∝1r2因为：G ＝mg ，F ＝ma 所以a g ＝R 2r 2 又因为：r ＝60R 所以：a g ＝13 600a ＝g 3 600＝9.83 600m/s 2≈2.7×10－3 m/s 2. 实际测量：月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度a ＝ω2r ＝4π2T2r 经天文观察月球绕地球运动的周期T ＝27.3天＝3 600×24×27.3 sr ＝60R ＝60×6.4×106 m.所以：a ＝4×3.1423 600×24×27.32×60×6.4×106 m/s 2≈2.7×10－3 m/s 2. 验证结论：两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，即“天上”“人间”的力是相同性质的力．点评：在实际教学过程中，教师引导学生重现牛顿的思维过程，让学生体会牛顿当时的魄力、胆识和惊人的想象力．物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，需要直觉和想象力、大胆的猜想和假设，再引入合理的模型，需要深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维，常常是一个充满曲折和艰辛的过程．借此对学生进行情感态度与价值观的教育．二、万有引力定律思考下面问题：1、用自己的话总结万有引力定律的内容？2、万有引力定律的数学表达式是什么？3、引力常量G 是怎样规定的？4、两物体间的距离是怎样确定的？5、有引力定律的适用条件？6、万有引力的发现有什么重要意义？学生思考后回答．总结：1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比．2．表达式：由F ＝GMm r 2(M ：太阳质量，m ：行星的质量) 得出：F ＝Gm 1m 2r2(m 1：物体1的质量，m 2：物体2的质量) 3、引力常量G ：适用于任何两个物体。

《万有引力定律》学习目标1、了解“月—地检验”的基本思想，认识万物之间存在着引力，且都遵从相同的规律。

2、理解万有引力定律的含义，并掌握基本的应用方法。

3、知道引力常量的大小，理解该量对完善万有引力定律的意义。

复习已学知识问题1：行星为什么能够绕太阳运转而不会飞离太阳？问题2.行星与太阳间的引力与什么因素有关？遵从什么规律？新课学习一个苹果在地面上空，它会落回地面，即便拿到世界最高峰上，它也（能/不能）离开地球。

那又是什么力使得地面上空的物体不能离开地球总要落回地面呢？人在地球表面上都会感觉到的作用，这个力可以延伸到很高的山峰上，那它会不会作用到月球上？月球受到地球的引力，太阳与行星间的引力，人在地面上受到的重力，会不会是同一种性质的力？（一）月－地检验请同学们阅读教材P39“月－地检验”部分的内容。

1、检验目的：的力与的力是否是同一种性质的力。

2、检验方法：如果力性质相同，遵循相同的规律，那么加速度a也应该遵循相同的规律。

比较两处引力产生的是否符合相同的规律。

（什么规律？这个规律的表达式是什么？）（1）理论分析：r2是地球半径r1的60倍。

一个物体放在地球表面上受到的力和将这个物体放在月球轨道上所受到的引力，应符合：根据牛顿第二定律，理论检验：a2=0.m/s2(为了检验的精确性，请保持7位小数)通过天文观测已经可以精确的测出：月球公转周期T=27.3天，地球半径R=6.4×106m，地球与月球之间的距离是地球半径的60倍。

月球绕着地球做圆周运动，需要的向心力由月球与地球之间的引力提供，那向心加速度怎么求出来呢？a2==0.m/s2 (为了检验的精确性，请保持7位小数)3、检验结果：（二）万有引力定律1、内容。

你觉得万有引力定律当中的关键词有哪些？2、表达式：（各个符号代表什么物理意义？）3、你认为万有引力定律有什么适用的条件呢？4、万有引力的意义有哪些？牛顿推导出了万有引力定律，但是没有给出G的取值，你觉得是什么原因呢？例如：两同桌之间感受到了万有引力了吗？没有，因为一般的两个物体的引力，而当时的测量的精确度不够。

第三节万有引力定律预习导航一、月—地检验1．牛顿的猜想：太阳对地球的引力、地球对月球的引力以及地球对地面上物体的引力都是同一种性质的力，遵循相同的规律。

2．猜想的依据：（1）行星与太阳之间的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力使物体不能离开地球；(2)在离地面很高的距离内，都不会发现重力有明显的减弱，那么这个力必定延伸到很远的地方。

3．检验的方法：月球轨道半径约为地球半径的60倍，月球轨道上物体受到的引力是地球上的错误!。

根据牛顿第二定律,物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度)应该是它在地球表面附近下落时的加速度（自由落体加速度)的错误!。

计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力.4．检验的过程：（1)理论分析：设地球半径为r地，地球和月球间距离为r地月（2)天文观测:5．检验的结果:地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。

二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.2．公式：F＝G错误!。

3．引力常量：（1)大小G＝6.67×10－11N·m2/kg2（2)测定:英国物理学家卡文迪许比较准确地测出了G的数值.思考如图为卡文迪许1798年测定引力常量的实验装置.卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”?提示：因为卡文迪许测出引力常量G值之后,它使万有引力定律有了真正的实用价值。

利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许有了此称谓.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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