【全国市级联考】福建省宁德市2018届高三上学期期末(1月)质量检测数学(文)试题(原卷版)

2018届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}223A x x x =-≤，{}21xB x =>，则A B =A ．[0,3]B ．(0,3]C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-2．已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足12z z =-则2|2i |z +=AB ．2CD ．103．若1tan()43απ-=-，则cos 2α=A ．35B ．35-C ．45-D ．454．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为A ．10B ．lg99C ．2D ．lg1015．设,x y 满足约束条件210,10,0x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范围为A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[)3,2- D ．(),2-∞6．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将,,,,A B C D,E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求,A B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有 A ．15种 B ．18种 C ．20种 D ．22种7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．342πB ．542πC ．522πD ．312π 8．已知20.62log 2,log 0.6,0.6a b c ===，则正视图侧视图俯视图A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 9．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A,B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p-，则该抛物线的方程为 A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 82= D ．x y 162=10．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：―今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？‖ 意思是：―一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？‖假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有 A ．58 B ．59 C ．60 D ．61 11．函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0a b ω∈>R )，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是A ．max ()||f x a =B ．()()f x f x -=C ．aD ．3ω=12．设函数1()e 1e ln(1)x x f x a x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是A ．(,1eln 2)-∞+B ．(eln 2,)-+∞C ．(,eln 2)-∞-D ．(1eln 2,)++∞2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2=a ，2=a +b =b __________．14．若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e =________．15．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．16．设函数2()|21|f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22()()a c b c -++的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得二面角A DFB '--的大小为4π．19．（本小题满分12分）如图，岛A 、C相距9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市． （Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为 (21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市， 则至少需要多少费用？正北方向ABCD EABCDF •⇒ACD 'BF20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ．过)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ,N ．当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (R)f x ax x a =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且()g x '是()g x 的导数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121()2g x x '+>．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且,OP OM 成等比数列．（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知(0,3)A ,B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于,D E 两点，试求AD AE -的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知2()()f x x a a =+∈R ，()12g x x x =++-（Ⅰ）若4a =- ，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++ ，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥ ，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（Ⅰ）1n a = ， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113nn +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．………………………………1分在ADF ∆中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．………………………………3分 又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，………………………………4分 ∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF '∴⊥,………………………………5分 又AC FB F = ,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．………………………………6分 （Ⅱ）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD '两两垂直，以O 为原点，OE的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),D B ',………………………………7分 EO ⊥ 平面AD F ',(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量． ………………………………8分 设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t ， (3,(3,BD BF t '∴=--=--,由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-= , ()t t ∴=-n ．………………………………10分A COE D 'F ACDF||cos ,4||||OE OE π⋅∴= n n =t ∴=．∴当CF =A DFB '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =（元）………………………………11分所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需元． ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）当0k =时，直线//l x 轴， 又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =．………………………………………………………3分设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==，∴1k =．∴2,a b ==………………………………………………………5分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+．故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即 解得k = ∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分 max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分 12a ∴=-．………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x '∴=+-． 12x x+≥ ，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x < ，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-, 1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-= , ∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增, 要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x < ，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）,11()222G x x x x '∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =--- 32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，故x ∈∅； …………3分当2x≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-， 综上，4a ≤-．…………10分。

宁德市2017—2018学年度第一学期期末高三质量检测文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|320}A x x =-<，2{|2}B x x x =≤，则A B ⋂=（ ） A ．3[0,)2 B ．3[0,]2 C ．3(,2)2 D ．3(,2]22.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 3.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ） A ．110 B ．310 C ．12 D ． 354.已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12a 为（ ） A ．23 B ．24 C.25 D ．265.已知命题p ：“若E 是正四棱锥P ABCD -棱PA 上的中点，则CE BD ⊥”；命题q ：“1x >是2x >的充分不必要条件”，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧B ．p q ⌝∧⌝ C. p q ∨⌝ D ．p q ⌝∨ 6.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．32 B ．23 C. 13D ．2-7.已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >> C. a c b >> D ．c a b >>8.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A ．24642B ．26011 C.52022 D ．780339.已知函数()cos f x x x ωω=⋅22cos1(0)x ωω+->的最小正周期为2π，则当[0,]4x π∈时，函数()f x 的值域是（ ）A ．[2,1]-B ．[2,2]- C.[1,1]- D ．[1,2]-10.已知三角形ABC 中，AB AC ==，3DB AD =，连接CD 并取线段CD 的中点F ，则AF CD ⋅的值为（ ） A ．5- B ．154-C.52- D ．2- 11.已知1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在点A ，满足1223AF AF a -=，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．1[,1)5 C. 2(,1)5 D ．2[,1)512.已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21(0,)e B ．21(1,)e- C.2(,1)e -- D ．(,1)-∞- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.若复数z 满足(2)i z i -=，其中i 为虚数单位，则z = ．14.设x ，y 满足约束条件12136x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则23z x y =+的最小值为 ．15.在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，150ACB ∠=，AB，DC =此三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 ．16.今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图（2）所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图（3）所示.如此继续下去，当第n 次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，ABC ∆中，D 为AB 边上一点，1BC =，4B π=.（1）若BCD ∆的面积为12，求CD 的长； （2）若6A π=，13AD DB =，求sin sin ACDDCB∠∠的值.18.在多面体CABDE 中，ABC ∆为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，2AB =，3DBA π∠=.（1）求证：AB CD ⊥； （2）求点B 到平面CDE 距离.19.某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3万元.根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请补齐[90,100]上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；（2）今年该经销商欲进货100吨，以x （单位：吨，[60,110]x ∈）表示今年的年需求量，以y （单位：万元）表示今年销售的利润，试将y 表示为x 的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率.20.已知抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点为F ，圆M ：222()x p y p ++=，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，且MAB ∆的面积为6. （1）求抛物线Γ的方程和圆M 的方程；（2）若直线1l 、2l 均过坐标原点O ，且互相垂直，1l 交抛物线Γ于C ，交圆M 于D ，2l 交抛物线Γ于E ，交圆M 于G ，求COE ∆与DOG ∆的面积比的最小值. 21.已知函数()ln 1af x b x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=.（1）求a ，b 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，ln ()21k xf x x >++恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且OP ，OM 成等比数列.（1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知(0,3)A ，B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于D ，E 两点，试求AD AE -的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知2()()f x x a a R =+∈，()12g x x x =++-. （1）若4a =-，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围.2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1-5：DABAC 6-10：CCBDB 11、12：DA 二、填空题13. 12i 55-- 14. 13 15. 36π 16. (1)22n n -+三、解答题 17.（1）1BC =,4B π=,1sin 2BCDS BC BD B ∆=⨯⨯⨯，11122BD ⨯⨯=，BD =在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⨯⨯21211=+-⨯=， ∴1CD =.（2）在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDACD A=∠， ∴sin sin AD AACD CD⋅∠=sin62AD AD CD CDπ⋅==， 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin DB CDDCB B=∠， ∴sin sin 4sin DB DB BDCB CDCDπ⋅⋅∠===， ∴sin 1sin 3ACD DCB ∠==∠18. 解法一：（1）证明：取AB 中点O ，连接CO ，DO . ∵ABC ∆为等边三角形，∴CO AB ⊥， ∵四边形ABCD 为菱形，0DBA ∠=60 ∴DAB ∆为等边三角形， ∴DO AB ⊥， 又∵CODO O =，∴AB ⊥面DOC ， ∵DC ⊂面DOC ， ∴AB CD ⊥.（2）∵面ABDE ⊥面ABC ，CO AB ⊥，面ABDE 面ABC AB =，CO ⊂面ABC ，∴CO ⊥面ABDE ， ∵OD ⊂面ABDE ， ∴CO OD ⊥.∵OD OC ==在Rt COD ∆中，CD = 由（1）得AB CD ⊥， 因为//,ED AB ED DC ⊥，且11222CDE S CD ED ∆=⨯⋅=⨯∵0122sin1202BDE S ∆=⨯⨯⨯=设点.B 到面.CDE 的距离为h .∵B CDE C BDE V V --=即1133CDE BDE S h S CO ∆∆⨯⋅=⨯⋅.即1133h =，∴h =解法二： （1）同解法一（2）∵在菱形ABDE 中,//,AB DE DE ⊂平面CDE ,AB ⊄平面CDE ， ∴//AB 平面CDE ，∴B 点到平面CDE 的距离等于O 点到平面CDE 的距离， 由（Ⅰ）知, AB ⊥平面ODC ， ∴DE ⊥平面ODC ， ∵DE ⊂平面CDE ， ∴平面ODC ⊥平面CDE ，过O 作OH DC ⊥于H ,则OH ⊥平面CDE , 且OH DC ⊥， ∵,DO AB CO AB ⊥⊥，DOC ∠为二面角D AB C --的平面角，∵平面ABC ⊥平面ABDE ，DO OC ⊥，DO OC DC ==又DC OH OD OC ⋅=⋅， ∴OH =19.（1）解：设年需求量平均数为x ，则650.05750.15850.5950.21050.186.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， (注:列式2分,错一个扣1分,错两个及以上不得分;答案2分) （2）设今年的年需求量为x 吨、年获利为y 万元， 当0100x ≤≤时，0.40.3(100)0.730y x x x =-⨯-=-， 当100x >时，40y =， 故0.730,6010040,100110x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩，0.73027.4x -≥，则82x ≥， 9082(8290)(8090)10P x P x -≤<=⨯≤<，/t40.50.45=⨯=， (90100)0.2P x ≤<=， (100110)0.1P x ≤≤=，(82)(8290)(90100)(100110)P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤< 0.40.20.10.7=++=.所以今年获利不少于27.4万元的概率为0.7.20. 解：（1）因为抛物线焦点F 坐标为(,0)2p , 则:2AB pl x =，联立 222y px px ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴112p x y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩或222p x y p ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故122AB y y p =-=，∴213326222MAB S p p p ∆=⨯⨯==，即2p =，∴抛物线方程为：24y x =. 圆方程为：()2224x y ++=， (注:错一个不给分)（2） 解法一：显然1l 、2l 的斜率必须存在且均不为0，设1l 的方程为y kx =， 则2l 方程为1y x k=-.(注:末说明斜率不给分)由24y x y kx ⎧=⎨=⎩得0x =，或24x k =∴244(,)C k k 同理可求得2(4,4)E k k -.由22(2)4x y y kx⎧++=⎨=⎩得0x =，或241x k =-+∴2244(,)11kD k k --++.同理可求得22244(,)11k kG k k -++.∴422224(4)2144()11COE C E DOGD Gk S y y k k k k k Sy y k k k -⋅++===-⋅++221224k k =++≥=.当且仅当1k =±时， COE ∆与DOG ∆的面积比的取到最小值4. 解法二：显然1l 、2l 的斜率必须存在且均不为0，设1l 的方程为y kx =， 则2l 方程为1y x k=-.(注:末说明斜率不给分)由24y x y kx⎧=⎨=⎩得x =0，或24x k =∴244(,)C k k 同理可求得2(4,4)E k k -.则1002COEC E SOC OE x x ==-- ()22228111442k k k k k k++=⋅⋅⋅=.设(2,0)M -到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，则1d =；2d =则1228122221DOGk Sd d k =⋅⋅==+. ∴()22422228112112248COE DOG k S k k k k S k k k k ++++=⋅==++≥=. 当且仅当1k =±时， COE ∆与DOG ∆的面积比的取到最小值4. 21. 解：（1）函()y f x =的定义域为(0,)+∞， 2()(1)a bf x x x'=-++，把(1,(1))f 代入方程10x y -+=中，得1(1)10f -+=， 即(1)2f =，∴4a =，又因为(1)1f '=，∴14ab -+=，故2b =.（2）由（1）可知4()2ln 1f x x x =++，当1x >时， ln ()21k xf x x >++恒成立等价于22(22)ln 0x x k x -++->. 设()22(22)ln g x x x k x =-++-， 则1()22ln (22)g x x x k x'=-+++-⋅22ln kx x-=+， 由于1,ln 0x x >>，当2k ≤时，()0g x '>，则()y g x =在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g >=恒成立.当2k >时，设()()h x g x '=,则222()0kh x x x-'=->. 则()y g x '=为(1,)+∞上单调递增函数， 又由(1)20g k '=-<.即()g x 在(1,)+∞上存在0x ，使得0()0g x '=， 当0(1,)x x ∈时，()g x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时， ()g x 单调递增； 则0()(1)0g x g <=，不合题意，舍去. 综上所述，实数k 的取值范围是(,2]-∞. 22.解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=， 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，∴sin 5ρθ=，化为直角坐标方程为5y =．（2）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π， ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t -=，故12t t +=，1230t t =-<，∴12AD AE t t -=+．23.解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ，当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤或x ≥ 故x ∈∅；当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥；所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥．(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min31a x ≤-=-；当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min+214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1. D2. A3. B4. A5.C6. C7. C8. B9. D 10. B 11. D 12.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13. 12i 55-- 14. 13 15. 36π 16. (1)22n n -+三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． （Ⅰ）1BC =,4B π=,1sin 2BCDS BC BD B ∆=⨯⨯⨯………….….1分11122BD ⨯⨯=……………………….…2分BD ……………………………………3分 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⨯⨯……….…………....4分21211=+-⨯=………………………………...5分 ∴1CD = ………………………………………………. ....6分 (Ⅱ)在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDACD A=∠…………....7分 ∴sin sin AD A ACD CD⋅∠=sin62AD AD CD CDπ⋅== …………....8分 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin DB CDDCB B=∠ .………..9分∴sin sin 4sin DB DB BDCB CDCDπ⋅⋅∠===…………..10分∴sin 1sin 3ACD DCB ∠===∠ ………….………..12分18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：,.AB O CO DO I ()证明：取中点，连接……………..1分∵ABC ∆为等边三角形CO AB ∴⊥ ……………....2分 ∵0ABCD DBA ∠四边形为菱形，=60 ∴DAB ∆为等边三角形∴DO AB ⊥……………………………….3分 又∵CODO O =∴AB DOC ⊥面…………………………..5分 ∵DC DOC ⊂面∴AB CD ⊥………………………………..6分 （Ⅱ）∵,,ABDE ABC CO AB ABDEABC AB CO ABC ⊥⊥⊂面面面面=,面∴CO ABDE ⊥面 ∵OD ABDE ⊂面∴CO OD ⊥…………………………………….……...8分∵OD OC =在Rt COD ∆中，CD 由（1）得AB CD ⊥， 因为//,ED AB ED DC ⊥且11222CDE S CD ED ∆=⨯⋅=⨯...9分∵0122sin1202BDE S ∆=⨯⨯⨯..…..10分.B CDE h 设点到面的距离为∵B CDE C BDE V V --=即1133CDE BDE S h S CO ∆∆⨯⋅=⨯⋅.…….11分即1133h =∴h =.…….12分 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）∵在菱形ABDE 中,//,AB DE DE ⊂平面CDE ,AB ⊄平面CDE∴//AB 平面CDE∴B 点到平面CDE 的距离等于O 点到平面CDE 的距离……………7分 由（Ⅰ）知, AB ⊥平面ODC ∴DE ⊥平面ODC ∵DE ⊂平面CDE ∴平面ODC ⊥平面CDE过O 作OH DC ⊥于H ,则OH ⊥平面CDE ,且OH DC ⊥……………8分 ∵,DO AB CO AB ⊥⊥DOC ∠为二面角D AB C --的平面角∵平面ABC ⊥平面ABDE DO OC ⊥……………10分DO OC DC ==又DC OH OD OC ⋅=⋅………………………………………………..…11分∴OH =..…12分 19. 本小题主要考查了频率分布直方图，平均数，函数，不等式等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分 （Ⅰ）…. ………2分 解：设年需求量平均数为x ，则650.05750.15850.5950.21050.186.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………6分 (注:列式2分,错一个扣1分,错两个及以上不得分;答案2分)/t频率组距（Ⅱ）设今年的年需求量为x 吨、年获利为y 万元 当0100x ≤≤时，0.40.3(100)0.730y x x x =-⨯-=- 当100x >时，40y =故0.730,6010040,100110x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩………………………………………8分0.73027.4x -≥则82x ≥ ……………………………………………………………………9分 9082(8290)(8090)10P x P x -≤<=⨯≤<， 40.50.45=⨯=………………………………………………..………………10分 (90100)0.2P x ≤<=(100110)0.1P x ≤≤=………………………………………………………..11分(82)(8290)(90100)(100110)P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤< 0.40.20.10.7=++=所以今年获利不少于27.4万元的概率为0.7………………………………12分20. 本题主要考查直线、圆、抛物线、直线与圆，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（I ）因为抛物线焦点F 坐标为(,0)2p , 则:2AB pl x =联立 222y px px ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴112p x y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩或222p x y p ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 故122AB y y p =-= ……………………………………………………2分 ∴213326222MAB S p p p ∆=⨯⨯== ……………………………………….3分即2p = …………………………………………………………………..4分 ∴抛物线方程为：24y x =圆方程为：()2224x y ++=…………………………………………….5分 (注:错一个不给分)(II) 解法一：显然1l 、2l 的斜率必须存在且均不为0，设1l 的方程为y kx =，则2l 方程为1y x k =-…………………………………….6分(注:末说明斜率不给分)由24y x y kx ⎧=⎨=⎩得0x =，或24x k =∴244(,)C k k 同理可求得2(4,4)E k k -………….7分由22(2)4x y y kx⎧++=⎨=⎩得0x =，或241x k =-+∴2244(,)11kD k k --++同理可求得22244(,)11k kG k k -++…………….8分∴422224(4)2144()11COE C E DOGD Gk S y y k k k k k Sy y k k k -⋅++===-⋅++………….10分221224k k =++≥=…….11分 当且仅当1k =±时， COE ∆与DOG ∆的面积比的取到最小值4.…………….12分 解法二：显然1l 、2l 的斜率必须存在且均不为0，设1l 的方程为y kx =，则2l 方程为1y x k =-…………………………………….6分(注:末说明斜率不给分)由24y x y kx⎧=⎨=⎩得x =0，或24x k =∴244(,)C k k 同理可求得2(4,4)E k k -………….7分则1002COEC E SOC OE x x ==-- ()22228111442k k k k k k++=⋅⋅⋅=…………………………………….8分设(2,0)M -到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d则1d；2d =……………………………………….9分则1228122221DOGk Sd d k =⋅⋅==+………………..10分∴()22422228112112248COE DOG k S k k k k S k k k k ++++=⋅==++≥=…….11分 当且仅当1k =±时， COE ∆与DOG ∆的面积比的取到最小值4.…………….12分21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）函()y f x =的定义域为(0,)+∞………………………...……1分2()(1)a bf x x x'=-++………………………………………………..2分 把(1,(1))f 代入方程10x y -+=中，得1(1)10f -+=即(1)2f =，∴4a =…………………………………….…………3分 又因为(1)1f '=，∴14ab -+=故2b =…………………………………………………………...…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知4()2ln 1f x x x =++，当1x >时 ln ()21k xf x x >++恒成立等价于22(22)ln 0x x k x -++->..……5分 设()22(22)ln g x x x k x =-++-， 则1()22ln (22)g x x x k x'=-+++-⋅22ln kx x-=+………………………………………..……7分 由于1,ln 0x x >>当2k ≤时，()0g x '>，则()y g x =在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g >=恒成立.………………………………………8分当2k >时，设()()h x g x '=,则222()0kh x x x-'=->…….…..9分 则()y g x '=为(1,)+∞上单调递增函数，又由(1)20g k '=-<………………………………….10分 即()g x 在(1,)+∞上存在0x ，使得0()0g x '=， 当0(1,)x x ∈时，()g x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时， ()g x 单调递增；则0()(1)0g x g <=，不合题意，舍去.……………………….11分 综上所述，实数k 的取值范围是(,2]-∞.……………………12分 22.选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分． 解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t -=，………………………………8分故12t t +=，1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+．………………………………10分 23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-+故1x ≤-分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤或x ≥， 故x ∈∅； …………3分当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤--}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-， 综上，4a ≤-．…………10分。

福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．()1,6-B ．()1,1-C ．()1,6D ．∅2.若复数11a z i=++为纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23.已知()()1,2,1,1a b ==-，2c a b =-，则c =（ ）A 26．32106234sin 15cos15︒-︒︒= （ ） A ．12B 2C ．1D 25.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3若点M 在C上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 6.已知圆柱的高为23个球的表面积等于（ ）A ．4πB ．163πC ．323π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2cos y x x =- B ．2sin cos y x x =-C ．sin 2cos y x x =-+D ．2sin cos y x x =-- 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223+B ．22243+C ．263+．842+10.已知函数()22log ,0,41,0.x x a x f x x -+>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩若()3f a =，则()2f a -=（ ） A ．1516- B ．3 C ． 6364-或3 D ．1516-或3 11.过椭圆()2222:10x y C a ba b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2e C ．21e + D ．331e e + 第Ⅱ卷（共90分）13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为 ．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90AB CD ABC ∠=︒,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明：//AF 平面BCE ；（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=︒=，求三棱锥B CEF -的体积.20.抛物线2:24C y x x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .（1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题 13. 2314. y x = 15. 75︒ 16. 2100000 三、解答题17. 解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，12n n a -=，所以()1212n n b n -=-，所以()()22113252232212n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ （1） ()()2121232232212n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅（2）（1）-（2）得：()()12112222212n n n T n --=++++--⋅()12221221212n n n --⨯=+⨯--- ()3223n n =--，所以()2323n n T n =-+.18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有 ()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222788377838983]33-+-+-=（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5100%50.0%10⨯=.另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40⨯=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM .因为点F 为棱DE 的中点，所以//FM CD 且122FM CD ==， 因为//AB CD 且 2AB =，所以//FM AB 且FM AB =，所以四边形ABMF 为平行四边形，所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .（2）因为 //90AB CD ABC ∠=︒,，所以CD BC ⊥. 因为,254,2CD CE DE ===222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=,BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2.11sin 42sin1202322BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯1432323=⨯. 解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点N . 因为//,2AB CD CD AB =，所以A 为DN 中点.又因为F 为DE 的中点，所以//AF EN .因为EN ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）同解法一.解法三：（1）证明：取棱CD的中点G，连接,AG GF，因为点F为棱DE的中点，所以//FG CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以//FG平面BCE；因为//,2==，AB CD AB CG所以四边形ABCG是平行四边形，所以//AG BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以//AG平面BCE；又因为FG AG G⋂=,FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面//AFG平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以//AF平面BCE.（2）同解法一.20.解法一：（1）由题意得()()()()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQ x x a k x-+= 24x =-()2,4∈-（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=，解得1x =±，故1,1A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由22MP MA =得，()22221t a t +-=+⎝⎭， 解得124a t =+，则圆E的半径为r MP =所以圆E 的方程为()22211112442a a x y ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则21122220,0,0.x Dx G x Dx G a Fa G ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ，所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202a x x -+=的两根， 所以2,2a D G =-=， 所以212G a F a a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.解：（1）()()0e f x a x x'=->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数；②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当e x a>时，()0f x '<. 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数.（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-， 由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.记()()20xe g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=， 所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-.所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2xe f x e x≤-，即()20x xf x e ex -+≤.解法二：（1）同解法一.（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤， 从而等价于ln 2xe x x ex-+≤. 设函数()ln 2g x x x =-+，则()11g x x'=-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =.设函数()xe h x ex=，则()()21x e x h x ex -'=. 所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>. 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増.从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =.综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.22. 解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l 的距离d =，故d=解得t =又因为0t >，所以t =.23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页，满分150.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题计算出B集合,然后结合并集计算方法,即可.【详解】,所以,故选B.【点睛】本题考查了并集计算方法,难度较易.2.若，则的值为（）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b值，即可。

【详解】,所以,解得或所以,故选C.【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等。

3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。

【详解】，解得，所以，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。

4.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题不断代换x值，直到不满足条件，退出循环，计算y值，即可。

【详解】，不满足，，直到终止循环，则故选B。

【点睛】本道题考查了程序框图的解读，难度较小。

5.已知点，为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合不等式组，绘制可行域，则最小值即为点A到距离，即可。

【详解】结合不等式组，绘制可行域，则的最小值即为点A到距离，利用点到直线距离公式，故选B。

【点睛】本道题考查了线性规划问题，难度中等。

6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合左加右减，计算的解析式，结合余弦函数的性质，计算对称轴，即可。

宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页，满分150.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题计算出B集合,然后结合并集计算方法,即可.【详解】,所以,故选B.【点睛】本题考查了并集计算方法,难度较易.2.若，则的值为（）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b值，即可。

【详解】,所以,解得或所以,故选C.【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等。

3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。

【详解】，解得，所以，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。

4.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题不断代换x值，直到不满足条件，退出循环，计算y值，即可。

【详解】，不满足，，直到终止循环，则故选B。

【点睛】本道题考查了程序框图的解读，难度较小。

5.已知点，为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合不等式组，绘制可行域，则最小值即为点A到距离，即可。

【详解】结合不等式组，绘制可行域，则的最小值即为点A到距离，利用点到直线距离公式，故选B。

【点睛】本道题考查了线性规划问题，难度中等。

6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合左加右减，计算的解析式，结合余弦函数的性质，计算对称轴，即可。

宁德市2017—2018学年度第一学期期末高三质量检测文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故选D.2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A3. 福建省第十六届运动会将于年在宁德召开，组委会预备在会议期间从女男共名志愿者中任选名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设名女志愿者为，名男志愿者为，任取人共有，共种情况，都是女性的情况有三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为，故选B.4. 已知等差数列的前和为，若，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】等差数列的前和为，，，，解得，，故选A.5. 已知命题：“若是正四棱锥棱上的中点，则”；命题：“是的充分不必要条件”，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为正四棱锥，平面，平面，由此为真，不能推出，能推出，所以是的必要不充分条件，为假命题，为真命题，因此为真命题，故选C.6. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，输入时，；时，；时，；时，，的值呈周期性出现，周期为，，所以时，，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.9. 已知函数的最小正周期为，则当时，函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，，， ，，，，函数的值域为，故选D. 10. 已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】因为，线段的中点为，，，故选B.11. 已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，，，，，当点为右顶点时，可取等号，故选D.12. 已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，时，，且时，画出的图象如图，由图知时，与有三个交点，此时有三个零点，所以实数取值范围是，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 若复数满足，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】由，得，所以，故答案为.14. 设，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出约束条件，表示的可行域，如图，平移直线，由图可知，当直线，经过点时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】因为中，，，设外接圆的半径为，由正弦定理，平面，所以由勾股定理可得，三棱锥的外接球的表面积为，故答案为.16. 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上，如图（2）所示；第三次把段圆弧二等分，并在这个分点处分别标上，如图（3）所示.如此继续下去，当第次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________．【答案】【解析】由题意可得，第次标完后，圆周上所有标出的数的总和为，设，，两式相减相减可得，，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，中，为边上一点，，.（1）若的面积为，求的长；（2）若，，求的值.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析：（1）由，，的面积为可求出，再利用余弦定理可得；（2）在中，由正弦定理得，得，在中，由正弦定理得，∴.试题解析：（1）,,，，，在中，由余弦定理得，∴.（2）在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∴.18. 在多面体中，为等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，.（1）求证：；（2）求点到平面距离.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取中点，连接，,由正三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，，从而可得；（2）由面面，面，从而得，由勾股定理可得，从而求得，设点到面的距离为，由即，从而可得结果.试题解析：（1）证明：取中点，连接，.∵为等边三角形，∴，∵四边形为菱形，∴为等边三角形，∴，又∵，∴面，∵面，∴.（2）∵面面，，面面，面，∴面，∵面，∴.∵在中，，由（1）得，因为，且，∵，设点到面的距离为.∵即.即，∴.19. 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出吨可获利万元，每积压吨则亏损万元.根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；（2）今年该经销商欲进货吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率.【答案】（1）；（2）今年获利不少于万元的概率为.【解析】试题分析：（1）根据各小矩形面积和为，可确定所缺矩形的纵坐标，从而可补全直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可估计年需求量的平均数；（2）根据销售收入减成本可将表示为的函数解析式，由解析式可求出今年获利不少于万元的的范围是，结合直方图可得.试题解析：（1）解：设年需求量平均数为，则，（2）设今年的年需求量为吨、年获利为万元，当时，，当时，，故，，则，，，，，.所以今年获利不少于万元的概率为.20. 已知抛物线：的焦点为，圆：，过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且的面积为.（1）求抛物线的方程和圆的方程；（2）若直线、均过坐标原点，且互相垂直，交抛物线于，交圆于，交抛物线于，交圆于，求与的面积比的最小值.【答案】(1) 抛物线方程为：,圆方程为：(2) 当时，与的面积比的取到最小值4.【解析】试题分析：（1）先求得的坐标，可得，由的面积为，可得，从而可得抛物线的方程，进而可得圆的方程；（2）设的方程为，则方程为.由得=0，或同理可求得.根据弦长公式及点到直线距离公式可得，，从而，利用基本不等式可得结果.试题解析：（1）因为抛物线焦点F坐标为 , 则，联立∴或，故，∴，即，∴抛物线方程为：.圆方程为：，（2）显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，则方程为.(注:末说明斜率不给分)由得=0，或同理可求得.则.设到、的距离分别为、，则；.则.∴.当且仅当时，与的面积比的取到最小值4.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积比的最值的.21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ,;(2) 实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求出，由，可求得，的值；（2）恒成立等价于. 设，利用导数研究函数的单调性，讨论可证明证明当时，恒成立，当时，不合题意，从而可得结果.试题解析：（1）函的定义域为，，把代入方程中，得，即，∴，又因为，∴，故.（2）由（1）可知，当时，恒成立等价于.设，则，由于，当时，，则在上单调递增，恒成立.当时，设,则.则为上单调递增函数，又由.即在上存在，使得，当时，单调递减，当时，单调递增；则，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）设，，由成等比数列，可得，进而得，又满足，代入即可得解；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆中得，由，结合韦达定理即可得解.试题解析：（1）设，，则由成等比数列，可得，即，．又满足，即，∴，化为直角坐标方程为.（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，∴直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程，得，故，，∴．23. 已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，的解集为空集，求的取值范围.【答案】(1) 解集为或;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）时即求解，分段讨论去绝对值求解即可；（Ⅱ）由题意可知，即为时，恒成立，分段求解析式，当时，；时，即可.试题解析：(1)当时，化为，当，不等式化为，解得或，故；当时，不等式化为，解得或，故；当，不等式化为，解得或故；所以解集为或．(2) 由题意可知，即为时，恒成立．当时，，得；当时，，得，综上，．。

宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题计算集合B,然后结合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选A.【点睛】本道题考查了集合交集运算方法,较容易.2.若，则的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数四则运算,运用待定系数法,计算的值,即可.【详解】,解得,,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算和待定系数法,难度较小.3.已知是等差数列的前项和，且，，则等于（）A. 50B. 42C. 38D. 36【答案】B【解析】【分析】本道题结合等差数列性质可知也成等差数列,代入数据,即可.【详解】结合等差数列的性质可知也成等差数列,代入数据,可得,解得,故选B.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,难度中等.4.某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，甲、乙两位同学各自选择其中一门，每位同学选择每门数学类选修课的可能性相同，则这两位同学所选的课不同的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题先计算总体种数,然后计算满足条件的选法,结合古典概型计算公式,即可.【详解】一共有,甲先选有4种,乙再选有3种,一共有12种,故概率为,故选D.【点睛】本道题考查了排列组合问题和概率计算方法,难度中等.5.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题不断代换x，直到，退出循环，计算y，即可。

【详解】x=8，不满足条件，继续循环，x=6,x=4,退出循环，则，故选B。

【点睛】本道题考查了程序框图意义，难度中等。

6.函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】A【解析】【分析】本道题化简，结合正弦函数的基本性质，计算对称轴和对称中心，即可。

福建省宁德市福鼎茂华学校2018年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则cos2α+2sin2α=（）A．B．1 C．D．（0，0，1）参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故选A．2. 若，则的单调递增区间为（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知集合，则A∩B=A. B. C. D. R参考答案：C【分析】首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解不等式可得：，，结合交集的定义可知：.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 根据如图所示程序框图，若输入，，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333参考答案：B5. 从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50参考答案：A【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案．【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；故选A．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 已知数列{a n}为等差数列，若a2=3，a1+a6=12，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．45 D．63参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】先根据等差数列的通项公式求出首项和公差，然后将a7+a8+a9转化成首项和公差，即可求出所求．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a2=3，a1+a6=12∴a1+d=3，2a1+5d=12解得a1=1，d=2∴a7+a8+a9=3a1+21d=45故选C．7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．参考答案：A8. 设集合，（）A． B． C． D．参考答案：B9. 函数为奇函数，=（）A．3 B．1 C．D．5参考答案：C略10. 已知，则a，b，c大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】对数值大小的比较．B7【答案解析】A 解析：由指数与对数的运算性质可知＞1，∈（0，1）；＜0，所以a＞b＞c；故选A．【思路点拨】利用指数与对数的运算性质，确定a，b，c 的值的范围，然后推出结果．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列满足，则参考答案：略12. 二项式的展开式中的系数是_____________.参考答案：－80【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为，即求的系数.【详解】展开式通项，令，得，的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.13. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为________.参考答案：试题分析：几何体为一个三棱柱，内接于一长方体，长方体长宽高为2,2，1，外接球直径为长方体对角线长，外接球表面积为考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14. 设双曲线的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，，则双曲线C的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.参考答案：（5,0） 5【分析】根据题意，画出图象结合双曲线基本性质和三角形几何知识【详解】如图所示：直线过点，，半焦距，则右焦点为为中点，，由点到直线的距离公式可得，，由勾股定理可得：，再由双曲线定义可得：，则离心率故答案为：（5,0） 5【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线，属于中等题型.15. 已知，则.参考答案：；16. （几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=．参考答案：3略17. 给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：．已知等差数列的前项和为，，为不共线向量，又，若、、三点共线，则；“”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；设函数的最大值为，最小值为，则；已知函数，若，且，则动点到直线的距离的最小值为1.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以，故选C.2. 若复数为纯虚数，则实数（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】复数为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.4. （）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】，故选D.5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为.若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选D.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的周期为函数向右平移个周期后，得到，故选D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角边长为，表面积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数若，则（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】A【解析】若，得，若，不合题意，，故选A.11. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围 . 本题是利用点到直线的距离小于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.12. 已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，等价于，即恰有个整数解，即有个整数解，，时，不等式无解，时，不等式只有一个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得在递增，，合题意，时，，不等式无解；，合题意，，合题意，当时，，不等式无解；故时，有且只有个整数解，又的最小值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.14. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】由，得，所以切线斜率为，切点坐标为，由点斜式得切线方程为，即，故答案为.15. 的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）数列是以为首项，以2为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1）当时，，可得以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）-（2）得：，所以.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到)参考数据：.【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）,=33（3）【解析】试题分析：（1）由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到的个样本的均值，再根据方差公式求出方差即可；（3）由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为的样本评分在之间有人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.19. 如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为.（1）若点在上，求直线斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆过定点.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由. 可得；（2）设圆的圆心为，都过定点.试题解析：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2））因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.试题解析：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果解析：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围解析：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。