新疆兵团第五师八十八团学校九年级数学上册 第二十三章 旋转教案 新人教版【教案】

第二十三章旋转1.认识图形的旋转变换,掌握它的基本性质.2.认识旋转对称图形,并能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.3.认识中心对称,探索它的基本性质,理解“连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分”这一基本性质.4.理解中心对称图形是旋转角度为180°的特殊的旋转对称图形.5.理解点P与点P'关于原点对称时,它们的横、纵坐标的关系,掌握点P(x,y)关于原点的对称点为点P'(-x,-y)的运用.1.通过具体实例认识图形的旋转变换,探索它的基本性质,进一步发展空间观察能力,培养学生观察、猜想、验证、归纳的能力.体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明过程的严谨性及结论的确定性.2.体会数学知识之间、数学与生活之间的联系,运用数学思维思考问题,增强发现问题和提出问题的能力.3.在学生认识中心对称的基础上,熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形.1.认识和欣赏这些图形的旋转变换在现实生活中的应用,体会到数学与实际生活的密切联系,经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等过程,发展初步审美能力,增强对图形欣赏的意识.2.欣赏图形的旋转变换所创造出的美,培养学生的审美能力;感受旋转在生活中的应用,体会数学的价值.3.通过探索图形的性质,设计优美图案,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,养成良好的学习习惯.本章学习第三种图形变化——旋转,此前学生已经学习了平移与轴对称两种图形变换,初步积累了一定的图形变换数学活动经验.在此基础上,学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等活动,探索本章的主要内容:图形的旋转及其有关概念、图形旋转的有关性质、通过不同形式的旋转设计图案、中心对称及中心对称图形概念及性质、两个点关于原点对称的坐标之间的关系.这些知识又对今后继续学习数学,尤其是几何,包括圆等内容的学习起着桥梁、铺垫的作用.旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象,本章列举了大量的生活实例,通过实例感受旋转,并根据旋转的性质可以设计出优美的图案,让学生更深刻的感受数学与生活息息相关,同时图形的平移和旋转对于帮助学生建立空间观念、掌握变换的数学思想方法有很大作用.这部分知识的学习,对于学生认识、理解图形的位置与变换,丰富学生的数学思想方法,发展学生的空间观念,提高学生运用转化的思想方法探索解决“图形与几何”等问题都有很大的作用.【重点】1.图形旋转的基本性质.2.中心对称的基本性质.3.两个点关于原点对称时,它们坐标间的关系.【难点】1.图形旋转的基本性质的归纳与运用.2.中心对称的基本性质的归纳与运用.1.旋转变换是初中数学重要的全等变换之一,通过探究旋转的性质可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系.2.学生在已经具备平移和轴对称两大全等变换的性质探究经验和作图能力的基础上,教材由实际背景引入建立旋转的概念,探究旋转的性质,并应用到中心对称的性质探究中,进而理解关于原点对称的两点坐标的特点.体现了数学中的观察、猜想、试验、验证的数学活动规律.3.中心对称与现实有着紧密的联系,学习中应以现实生活中的实例为素材,让学生体会和认识生活中的中心对称,通过观察、分析、操作、猜想、验证等数学活动,提炼中心对称及中心对称图形的概念.让学生在探究、合作、交流等活动的过程中获取新知识,提高数学思考的能力.4.注意知识间的相互联系和区别,把平移、旋转和轴对称融合在一起,让学生在整体上认识图形的变化,这样能较好地体现新旧知识的联系.23.1图形的旋转1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.2.了解旋转对应点的概念.3.理解旋转的基本性质.4.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果,掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.1.让学生感受生活中的几何,通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念,并用这些概念来解决一些问题.2.通过探究得到“对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,旋转前、后的图形全等”等重要性质.3.分析不同的旋转中心、不同的旋转角会出现不同的效果,并对各种情况进行分类.1.让学生经历观察、操作等过程,了解图形旋转的概念,从事图形旋转基本性质的探索活动,进一步发展空间观念,培养运动几何的观点,增强审美意识.让学生通过独立思考、自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣.2.让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动,享受成功的喜悦,激发学习热情.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.【重点】图形旋转的性质.【难点】探究旋转的性质的过程.【教师准备】多媒体课件1~6.【学生准备】预习教材P59~61.导入一:【课件1】请同学们阅读章前内容,并回答下列问题:以上的运动是什么运动?学生回答:旋转.【问题】这和以前我们学过的图形的变换有什么不同?导入二:1.请同学们看墙上的时钟,时针在不停地转动,绕什么点转动呢?从现在到下课,时针转了多少度?分针转了多少度?【师生活动】学生口答后老师点评:时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时钟的中心转动.从现在到下课时针转了度,分针转了度.2.再看风车的风轮,它可以不停地转动.如何转动到新的位置?[设计意图]通过漂亮的图片和生活中每天看到的时钟导入新课,激发学生学习兴趣,激起学生探索本节课知识的欲望,在本节课的开始就激活了课堂.【思考】导入二中第1,2两题有什么共同特点呢?【师生活动】学生小组合作交流,观察图形变换,尝试定义.教师在学生展示后补充归纳.共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.【课件2】像这样,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.[设计意图]让学生体会生活中的旋转变换,通过观察、交流、归纳自然地构建出新知识.二、共同探究2【课件3】如图所示,在硬纸板上,挖一个三角形洞,再另挖一个小洞O作为旋转中心,硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(ΔABC),然后围绕旋转中心转动硬纸板,再描出这个挖掉的三角形(ΔA'B'C'),移开硬纸板.ΔA'B'C'是由ΔABC绕点O旋转得到的.线段OA与OA'有什么关系?∠AOA'与∠BOB'有什么关系?ΔABC与ΔA'B'C'的形状和大小有什么关系?思路一教师引导,共同探究:根据图形回答下面问题.1.ΔA'B'C'是由ΔABC绕哪个点旋转得到的?2.线段OA与OA',OB与OB',OC与OC'有什么关系?3.你能找出图中的旋转角吗?它们之间的大小关系是什么?4.ΔABC与ΔA'B'C'的形状和大小有什么关系?5.如何用语言概括2,3,4的结论?学生尝试回答,教师补充.【课件4】旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等.(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.(3)旋转前、后的图形全等.思路二观察图形,思考下列问题,小组合作交流,共同归纳旋转的性质.1.图中的两个三角形形状、大小、位置有什么关系?2.形状和大小相同的两个三角形怎样表示?3.图中有没有相等的线段?请一一表示出来.(全等三角形对应边相等、对应点到旋转中心的距离相等)4.图中有没有相等的角?请一一表示出来.(全等三角形对应角相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角相等)5.你能用自己的语言归纳旋转有哪些性质吗?【师生活动】学生通过观察、测量等活动获得上面1~4的结论后,小组合作交流、展示,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.针对以上问题,小组内继续合作交流,共同归纳旋转的性质.[设计意图]通过教师引导或者学生独立思考后小组交流,共同探究旋转的性质,通过问题的形式展示知识的形成过程,让学生亲身经历后加深理解和掌握,同时提高分析问题、解决问题及归纳总结能力,提高数学应用意识.三、共同探究3【课件5】如图(1)所示,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把ΔADE 顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.思路一教师引导学生思考并回答:旋转中心是,它的对应点是;点D的对应点是.设点E的对应点是点E',则点E'在线段CB的延长线上,且BE'= .【师生活动】根据思路分析教师引导,确定出ΔADE三个顶点的对应点,得到旋转后的图形.解:因为点A是旋转中心,所以它的对应点是它本身.正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=90°,所以旋转后点D与点B重合.设点E的对应点为点E'.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等,所以∠ABE'=∠ADE=90°,BE'=DE.因此,在CB的延长线上取点E',使BE'=DE,则ΔABE'为旋转后的图形(如图(2)所示).【思考】(1)你还有其他方法吗?(2)已知旋转中心如何画旋转图形?学生动手操作,小组内交流结果.共同归纳:(1)旋转有两种旋转方向:顺时针或逆时针.(2)根据旋转的性质可知,对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,对应线段相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:(1)旋转中心是哪个点,它的对应点是哪个点?(2)正方形有什么性质?线段AD顺时针旋转90°后与哪条线段重合?点D的对应点是哪个点?(3)如果设点E的对应点为点E',则点E'在什么位置上?旋转前、后图形有什么关系?DE 与BE'有何关系?(4)你还有其他方法吗?(5)你能归纳出已知旋转中心如何画旋转图形吗?【师生活动】学生小组讨论交流,教师巡视并解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师补充.共同归纳:(1)旋转有顺时针和逆时针两种旋转方向.(2)根据旋转的性质可知,对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,对应线段相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.[设计意图]通过师生共同探讨,确定ΔADE三个顶点的对应点,画出旋转后的图形,在活动中培养学生合作、交流、归纳的能力.同时通过画图讨论后的追问,让学生体会数学中的分类讨论思想.四、共同探究4【思考】(1)对于一个图形,选择不同的旋转中心旋转,旋转角度不变,得到的效果一样吗?(2)旋转中心不变,改变旋转角度,产生的效果一样吗?(3)你能得到什么样的结论?自制一个图形试一试.【课件6】一个图形(如图(1)所示),选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果.图(2)的两个旋转中,旋转中心不变,旋转角改变了,产生了不同的旋转效果.图(3)的两个旋转中,旋转角不变,旋转中心改变了,产生了不同的旋转效果.我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案(如图(4)所示).[设计意图]进一步体会旋转的数学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣,分析同一图形,选择不同的旋转中心,不同的旋转角,会出现不同的效果.让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动,享受成功的喜悦,激发学习热情.[知识拓展]1.旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转成立体图形,因此,“在平面内”这一条件不可忽略.2.图形旋转的主要因素是旋转中心、旋转角度和旋转方向.3.旋转角是180°的旋转变换是中心对称变换,这种变换将在下一节中学习,但要注意,一般情况下,旋转角小于360°.4.利用旋转前后两个图形全等可以得出线段相等、角相等.5.旋转中心与两个对应点组成了等腰三角形,旋转中心为等腰三角形的顶点,它在两对应点连线的垂直平分线上,所以找旋转中心只需分别作出两对对应点连线的垂直平分线,两垂直平分线的交点即是旋转中心.6.当旋转角为特殊角时,一对对应点和旋转中心可以组成特殊的三角形,利用特殊三角形的性质可以帮助我们解题.本节课我们学习了旋转的有关概念和性质,主要内容有:1.旋转的概念:把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.3.已知旋转中心画旋转图形.4.选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果.1.下列现象属于旋转的是()A.摩托车在急刹车时向前滑动B.空中飞舞的雪花C.拧开自来水水龙头的过程D.飞机起飞后冲向空中的过程解析:摩托车在急刹车时向前滑动,是平移,不属于旋转;空中飞舞的雪花,由高处落下,不是旋转;拧开自来水水龙头的过程,水龙头绕一点转动,是旋转;飞机起飞后冲向空中的过程,不是旋转.故选C.2.如图所示,将ΔABC绕点A旋转之后得ΔADE,则下列结论不正确的是()A.BC=DEB.∠E=∠CC.∠EAC=∠BADD.∠B=∠E解析:∵ΔABC绕点A旋转之后得ΔADE,∴ΔABC≌ΔADE,∴AD=AB,AC=AE,BC=DE,∠E=∠C,∠B=∠D,∠CAB=∠EAD,∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,∴∠EAC=∠BAD.∴D选项不正确.故选D.3.如图所示,ΔABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,若以点C为旋转中心,将ΔABC旋转θ角到ΔDEC的位置,使点B恰好落在边DE上,则θ等于()A.55°B.50°C.65°D.70°解析:∵∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠ABC=65°,∵ΔABC绕点C旋转θ角到ΔDEC的位置,使点B恰好落在边DE上,∴CB=CE,∠ECB=∠ACD=θ,∠E=∠ABC=65°,∴∠E=∠CBE=65°,∴∠BCE=180°-2×65°=50°,即θ=50°.故选B.4.如图所示,ΔABC是等边三角形,D是BC边上的中点,ΔABD经过旋转后到达ΔACE的位置,那么:(1)旋转中心是点;(2)点B,D的对应点分别是点;(3)线段AB,BD,DA的对应线段分别是;(4)∠B的对应角是;(5)旋转角度为;(6)ΔACE的形状为.解析:(1)旋转中心是点A;(2)点B,D的对应点分别是点C,E;(3)线段AB,BD,DA的对应线段分别是线段AC,CE,EA;(4)∠B的对应角是∠ACE;(5)旋转角度为∠BAC=60°;(6)∵ΔABC 是等边三角形,D是BC边上的中点,∴∠ADB=90°,∴∠AEC=90°,∴ΔACE的形状为直角三角形.答案:(1)A(2)点C,E (3)线段AC,CE,EA(4)∠ACE (5)60°(6)直角三角形5.如图所示,ΔABC绕点C旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B的对应点的位置,以及旋转后的三角形.解:(1)连接CD.(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD.(3)在射线CE上截取CB'=CB,则点B'即为所要求的点B的对应点.(4)连接DB',则ΔDB'C就是ΔABC绕点C旋转后的图形.如图所示.23.1图形的旋转一、共同探究1旋转的概念二、共同探究2旋转的性质三、共同探究3例题四、共同探究4选择不同的旋转中心,不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果.一、教材作业【必做题】教材第62页习题23.1的1,4题.【选做题】教材第63页习题23.1的9,11题.二、课后作业【基础巩固】1.A,B,C,D四幅“福牛乐乐”的图案中,能通过左图按顺时针方向旋转180°得到的是()2.时钟的时针从中午12时整到下午1:30旋转的角度为()A.30°B.45°C.60°D.75°3.ΔABC按顺时针方向旋转一个角度后成为ΔAB'C',则下列是旋转中心的是()A.点AB.点BC.点CD.点B'4.如图所示,将正方形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转120°后,得到正方形A'B'CD',则∠BCD'等于()A.120°B.130°C.140°D.150°5.如图所示,RtΔABC绕着B点逆时针旋转90°后得到ΔEBD,则AC与ED的位置关系是.6.如图所示,4×4的正方形网格中,ΔMNP绕某点旋转一定的角度,得到ΔM1N1P1,则其旋转中心可能是A,B,C,D四个点中的点,旋转角等于.7.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,ΔABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).画出ΔABC绕点O逆时针旋转90°后的ΔA'B'C'.8.如图所示,将ΔABC绕点B按顺时针方向旋转60°后得ΔA'BC'.(1)找出旋转中心;(2)指出对应顶点和对应边;(3)指出旋转角;(4)连接AA',CC',则ΔABA'和ΔCBC'是什么三角形?为什么?【能力提升】9.如图所示,正方形ABCD的边长是3 cm,一个边长为1 cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA连续翻转(小正方形起始位置在AB边上),那么这个小正方形翻转到DA边的终点位置时,它内部箭头的方向正确的是 ()10.……观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是()11.如图所示,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,ΔABC的三个顶点都在6×6网格的格点上.(1)将ΔABC绕点B顺时针旋转90°得到ΔA'BC',请在网格中画出ΔA'BC';(2)在(1)旋转条件下,点A的对应点为点A',连接AA',请写出ΔA'AB的面积S.【拓展探究】12.如图所示,四边形ABCD是正方形,P是正方形内任意一点,连接PA,PB,将ΔPAB绕点B顺时针旋转至ΔP'CB处.(1)猜想ΔPBP'的形状,并说明理由;(2)若PP'=2 cm,求SΔPBP'.【答案与解析】1.B(解析:顺时针旋转180°后,头应朝下,牛尾巴应该在左边.故选B.)2.B(解析:从中午12时整到下午1:30共90分钟,0.5°×90=45°.故时钟的时针从中午12时整到下午1:30旋转的角度为45°.故选B.)3.A(解析:因为ΔABC按顺时针方向旋转一个角度后成为ΔAB'C',所以旋转中心是点A.故选A.)4.D(解析:∵正方形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转120°后,得到正方形A'B'CD',∴∠DCD'=120°,∵∠BCD=90°,∴∠BCD'=360°-(120°+90°)=150°.故选D.)5.互相垂直(解析:先确定两个旋转图形中的对应点,即可确定旋转角.AC与ED的位置关系是互相垂直.)6.B 90°或270°(解析:根据旋转变换的性质,结合网格结构的特点作出线段NN1,PP1的垂直平分线,两垂直平分线的交点即为旋转中心.观察可得顺时针旋转时旋转角为270°,逆时针旋转时旋转角为90°.故填90°或270°. )7.解:如图所示,ΔA'B'C'即为所求.8.解:(1)∵将ΔABC绕点B按顺时针方向旋转60°后得ΔA'BC',∴旋转中心是点B. (2)对应顶点:A与A',B与B,C与C';对应边:AB与A'B,AC与A'C',BC与BC'. (3)旋转角:∠ABA'或∠CBC'. (4)ΔABA'和ΔCBC'是等边三角形.理由如下:∵由旋转的性质得AB=A'B,BC=BC',∠ABA'=∠CBC'=60°,∴ΔABA'和ΔCBC'是等边三角形.9.C(解析:根据题意分析可得小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA连续地翻转,由于正方形ABCD的边长是3 cm,小正方形的边长为1 cm,故这个小正方形回到DA边的终点位置时需16次翻转90°,而每翻转4次,它内部箭头的方向重复一次,故回到DA边的终点位置时它内部箭头的方向是向下的.故选C.)10.D(解析:根据图形,有规律可循.从左到右是顺时针旋转图形,可得到第四个图形是D.故选D.)11.解:(1)ΔA'BC'如图所示. (2)由勾股定理得AB==,所以ΔA'AB的面积S=×=.12.解:(1)∵ΔPAB绕点B顺时针旋转至ΔP'CB处,∴BP=BP',∠ABP=∠CBP',∵∠ABP+∠PBC=90°,∴∠CBP'+∠PBC=90°,∴∠PBP'=∠ABC=90°,∴ΔPBP'是等腰直角三角形. (2)∵PP'=2 cm,∴点B到PP'的距离=PP'=×2= (cm),∴SΔPBP'=×2×=2 (cm2).学生在已经学习了平移和轴对称相关概念及性质的基础上学习本节,已经有了一定的探究能力,“旋转”是一种现实生活中常见的现象,因此在教学中要创设生活情境,让学生感知旋转现象,找到解决问题的规律.这节课我十分重视学生的动手实践活动,学生通过对学具的拼、拉、转在游戏中体会旋转,感受旋转的奇妙,在动手、动脑的过程中“做数学”.整个教学过程以学生为中心,以学生的自主活动为基础,在“做数学”过程中培养学生的空间观念,发展学生的数学思维.本节课是通过生活实例归纳旋转的概念,然后探究旋转的性质,再根据旋转的性质画旋转图形,课堂上教师的引导是必要的,学生在探索性质后的叙述中,语言不够完整,归纳有困难时,教师没有及时给予指导,让学生语言叙述尽量完整.该环节耽误时间过长,造成后边图案设计学生练习较少,应在课下强化练习.本节课知识较为简单,又和生活息息相关,学生会有激情和兴趣探索新知识,所以在教学中注重培养学生自主学习、合作交流的能力,教师要适时指导,同时引领学生认识和体会数学内在的美感.如“旋转点”“基本形”等数学语言所体现的简约美,让学生感受数学的魅力,激发学生进一步学习数学的欲望,培养学生的思维广阔性.练习(教材第59页)2.解:从上午6时到上午9时,时针旋转的旋转角是30°×3=90°,从上午9时到上午10时,时针旋转的旋转角是30°.3.解:杠杆的旋转中心是点O,旋转角是∠BOB'(或∠AOA').练习(教材第61页)1.解:图略.(1)这两个点到旋转中心的距离相等. (2)80°.2.解:经过两次顺(或逆)时针旋转120°,就可以得到右面的图形.习题23.1(教材第62页)3.解:如图所示.6.解:五角星绕着点O至少旋转=72°能与自身重合,等边三角形绕着中心至少旋转=120°能与自身重合.7.解:由绕着中心经过三次逆(或顺)时针旋转90°得到.(答案不唯一)8.提示:旋转角度可以是=72°.9.解:(1)如图所示. (2)连接AA',如图所示.∵BC=3,AC=4,∴AB=5,由旋转的性质可知AB=A'B=5,∠ABA'=90°.∴在RtΔABA'中,A'A===5.10.提示:BE=DC,ΔADC绕着点A逆时针旋转60°与ΔABE重合.11.提示:B(-5,4).(1)本节课的重点是通过观察旋转图形,探究旋转的性质.由于数学来源于生活,所以以生活中的旋转现象导入新课,引出旋转的概念,通过观察、测量、交流等活动让学生发现旋转的性质,并能应用旋转的性质解决问题,既突破了本节课的难点,又很自然地为下节课做好铺垫.同时数学课堂应该关注学生的观察能力和创新意识的培养,所以本节课的设计让学生在图案的赏析、设计过程中增强创新意识.(2)本节课重、难点的突破取决于学生在学习过程中是否主动观察、思考,是否主动参与小组的研讨,能否有条理地表达自己的意见和想法,所以本节课的探究活动从设计问题入手,通过学生独立思考后,小组合作交流,共同归纳结论,让学生经历新知识的形成过程中,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结能力.如图所示,已知正方形ABCD内一点P,且PA=1,PD=2,PC=3,将ΔDCP绕点D顺时针旋转90°得ΔDAP',则∠APD为度.解析:连接PP',∵PA=1,PD=2,PC=3,将ΔDCP绕点D顺时针旋转90°得ΔDAP',∴PD=P'D,∠P'PD=45°,∵AP'=PC=3,AP=1,PP'=2 ,∴∠P'PA=90°,∴∠APD=90°+45°=135°.故填135.23.2中心对称1.理解中心对称、中心对称图形等有关概念.2.探究并掌握中心对称、中心对称图形的性质.3.会作一个图形关于某一点对称的中心对称图形或找对称中心.4.掌握关于原点对称的两个点坐标之间的关系.5.能利用旋转、中心对称图形进行简单的图案设计.1.通过探索中心对称、中心对称图形性质,体会对比思想、数形结合思想在数学中的应用.2.利用该对称性质在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形,形成观察、分析、探究、合作交流的学习习惯,体验事物的变化之间是有联系的.1.经历观察、发现、探索中心对称图形的有关概念和基本性质的过程,发展空间观念,增强审美意识.2.通过学习中心对称的定义与性质,体会事物在生活中的数学应用,通过学生动手、合作和讨论,培养学生的参与意识,加强学生的合作与交流精神.【重点】1.理解中心对称、中心对称图形的概念、基本性质及其应用.2.探究关于原点对称的点的坐标的规律.【难点】1.中心对称、中心对称图形的性质的探索过程.2.关于原点对称的点的坐标的规律的灵活运用.23.2.1中心对称1.了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念.2.探究并掌握中心对称的性质.3.会作一个图形关于某点成中心对称的对称图形.在发现、探究的过程中完成对中心对称变换从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变,发展学生直观想象能力,分析、归纳、抽象、概括的思维能力.1.经历利用图形探索中心对称的性质的过程,体验数学与生活是紧密联系的.体会生活中的对称美,发展学生的审美能力,增强对图形的欣赏意识.2.通过动手操作、合作交流,培养学生的参与意识,增强合作精神.【重点】1.利用中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念解决一些问题.2.中心对称的两条基本性质及其运用.【难点】中心对称的性质及利用中心对称的性质进行作图.。

旋转性质的综合应用课教材背景分析和教学安排说明：本节课是人教版数学九年级上册第二十三章《旋转》第7课时，是一节综合应用课；在此之前学生已经学完了旋转的单元知识，本节课主要目的是培养学生综合运用能力，锻炼学生的分析问题，解决问题的能力。

本节课的教学我以实例为切入点，以探究活动为主线设计了5个环节，让学生通过具体实例进一步学习旋转,动手进行数学实验探索，经历旋转现象的观察分析,证明过程，引导学生用旋转的思想解决有关问题。

近几年，有关旋转知识，在某某中考中所占分值统计表旋转已成为某某中考的重点与热点内容之一,当图形的形状不规则，难以直接应用数学知识求解或是条件比较分散，难以发现其内在联系时，可通过旋转使不规则图形转化为规则图形，使分散的条件发生“转移”，变得相对集中，从而使待求问题明朗化，这种解决问题的思想就是旋转变换思想.教学任务分析教学流程安排教学过程设计的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处， 则ΔCBD 的形状是 ∠BDC 的度数为2如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10。

若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P/AB 。

（1）∠PA P′的度数是多少？（2）求点P 与点P′之间的距离； （3）求∠APB 的度数。

分析题意①∠PA P′是什么角？②PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10。

你想到了什么？（勾股定理）但是这三条线段不在同一个三角形中？如何转化？教师巡视，收集学生的典型问题。

拿学生的学案，投影点评。

探索知识，面对这样的活动，学生有亲切感，即使在探索中历程艰难，也会倾其全力，寻找思路。

同时也体会数学与生活密切相关。

训练学生转化的思想【环节5】小结 几种有关旋转的图形FGBC ADE证明两条线段相等的一般方法是什么？证明一条线段等于另两条线段的和相等的一般方法是什么？归纳一些常见的旋转基本图形什么情况下考虑旋转？【设计意图】 通过上面的解题分析，对整个教学过程进行总结，提高学生认识水平，培养对知识框架的构建。

第二十三章旋转23．1图形的旋转1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．3．旋转的基本性质．重点旋转及对应点的有关概念及其应用．难点旋转的基本性质．一、复习引入(学生活动)请同学们完成下面各题．1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？(口述)老师点评并总结：(1)平移的有关概念及性质．(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质．(3)什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心．从现在到下课时针转了________度，分针转了________度，秒针转了________度．2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？(老师点评略)3．第1，2两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．下面我们来运用这些概念来解决一些问题．例1如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．自主探究：请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心的距离相等．2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．综合以上的实验操作得出：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．例2如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．三、课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．四、作业布置教材第62～63页习题4，5，6.23．2中心对称23．2.1中心对称1．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点．2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．重点中心对称的概念及性质．难点中心对称性质的推导及理解．复习引入问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．探索新知(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC.第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图(1)和图(2)所示．从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．证明：(1)在△ABC和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB ≌△A′OB′，∴AB＝A′B′，同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′；(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．因此，我们就得到1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．例题精讲例1如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．例2(学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．作业布置教材第66页练习23.2.2中心对称图形了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用．重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用．难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．一、复习引入1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．2．(学生活动)作图题．(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如图所示．二、探索新知从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示．∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD∴△AOB≌△COD∴AB＝CD也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(学生活动)例1从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答的特点．(学生活动)例2请说出中心对称图形具有什么特点？老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．例3求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC，BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD 是平行四边形．三、课堂小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1．中心对称图形的有关概念；2．应用中心对称图形解决有关问题．四、作业布置教材第70页习题8，9，10.23.2.3关于原点对称的点的坐标理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)及其运用．难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、复习引入(学生活动)请同学们完成下面三题．1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)二、探索新知(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；(2)在射线AO上截取OA′＝OA；(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.∵△AD′O与△A′D″O全等，∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，∴A′(3，－1)，同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．例1如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′，B′即可．解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．连接A′B′.则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.(学生活动)例2已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC 关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.三、巩固练习教材第69页练习．四、课堂小结点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．五、作业布置教材第70页习题3，4.23．3课题学习图案设计利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．重点设计图案．难点如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下面的各题．1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答AB与CD有什么位置关系．错误!,第2题图),第3题图)2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？老师点评：1．AB与CD平行且相等；2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则C′D′即为所求．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.二、探索新知请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计．例1(学生活动)学生亲自动手操作题．按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保持不动)；(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．老师必要时可以给予一定的指导．三、课堂小结本节课应掌握：利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．。

人教版九年级上册第二十三章旋转全章复习教学设计人教版九年级上册第二十三章《旋转》这一章节主要介绍了图形的旋转概念、性质以及应用。

设计一个有效的复习课，可以帮助学生更好地理解和掌握本章内容。

以下是一个基于此目标的教学设计方案：一、教学目标1.知识与技能：能够准确理解旋转的概念；掌握旋转中心、旋转角度等基本要素；能利用旋转解决简单的几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作等活动体验旋转的过程，发展学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学之美。

二、重点难点●重点：旋转的基本性质及其应用。

●难点：如何灵活运用旋转解决问题。

三、教学过程(一) 导入新课●通过展示生活中常见的旋转现象（如风扇叶片转动），引导学生思考“什么是旋转？”激发学习兴趣。

(二) 知识回顾1.定义讲解：明确旋转的定义，包括旋转中心、旋转方向和旋转角等关键术语。

2.性质归纳：●旋转前后对应点到旋转中心的距离相等。

●任意两点连线段经过旋转后其长度不变。

●旋转角相同。

3.例题分析：选取教材中典型题目进行详细解析，强调解题思路与步骤。

(三) 实践探索●分组活动：让学生分组完成一些关于旋转的操作实验（比如使用纸片制作模型并演示旋转过程），促进理论知识向实践技能转化。

●互动讨论：鼓励学生分享自己的发现，并就遇到的问题展开交流探讨。

(四) 巩固练习●提供不同难度层次的习题供学生选择性完成，旨在巩固所学知识的同时满足不同程度学生的需求。

●对于较难题目可设置小组合作解答环节，增强团队协作精神。

(五) 课堂小结●回顾本节课主要内容，强调旋转在实际生活中的广泛应用。

●鼓励学生反思自己在学习过程中存在的困惑或不足之处，并提出改进措施。

四、作业布置●完成课本相关练习题。

●观察身边是否存在其他可以体现旋转原理的现象，并尝试用所学知识解释。

通过这样一套完整的复习流程，不仅能让学生系统地梳理了旋转的相关知识点，还增强了他们解决问题的能力，达到了预期的教学效果。

图形的旋转旋转前后能够重合的点叫做时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意．图15.2.1 教师提问 （1）上面的情景中，哪些零部件做转动？ （1）在这些转动中有哪些共同特征？ （1）在转动过程中，它们的形状、大小、和位置是否发生了改变？ 提问预设在这里为避免学生对问题理解的偏差，可以引导学生和前面平移特征作类似的探讨。

二、学生活动学生先独立思考、然后交流讨论，形成共识，并回答老师三个提问。

这就是我们的今天所要研究的课题“图形的旋转”（板书）三、讲授新课 （一）旋转的定义如图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面．学生在独立思考、相互探讨、交流的过程中形成共识后，教师再归纳关板书旋转的定义： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。

这个定点叫旋转中心。

转动的角称为旋转角。

旋转不变图形的形状和大小〔强调〕（1）旋转过程中，旋转中心始终保持不动。

（2）旋转过程中，旋转的方向是相同的。

（3）旋转过程静止时，图形上的每一点的旋转 角是一样的。

2、增强学生的合作交流意识，形成共识，引入新课.3、教师归纳概括，使学生在原有认知的基础上，理解旋转的概念。

4、对旋转的概念加以巩固和深化。

5、动手操作，体会知识的形成过程，加深对旋转的理解。

OAAO B15.2.6图15.2.615.2.7(1)，点M是线段ＡＢ上一点，将线段Ａ顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线?如果逆时针方向旋转图15.2.7、如图，△ＡＢＣ按逆时针方向转动一个角后成为△ＡＢ′C′，图中哪一点是旋转中心?旋转了多少度(第3题)如图，△ＡＢＣ与△都是等腰直角三角形，∠CA ED都是直角，点E针旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心(第4题)一、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质二、会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转《23.1图形的旋转》第3课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十三章旋转《23.1图形的旋转》第3课时教案，主要讲述了图形的旋转性质及其在实际问题中的应用。

本节课内容是学生在学习了图形的平移、翻转的基础上，进一步探究图形的旋转特点，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的图形变换基础，对于图形的平移、翻转有一定的了解。

但学生在理解和应用图形旋转方面可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过实际操作来掌握图形旋转的性质，提高学生的空间想象能力。

三. 教学目标1.理解图形旋转的性质，掌握图形旋转的基本方法。

2.能够运用图形旋转解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

四. 教学重难点1.图形旋转的性质及其在实际问题中的应用。

2.学生空间想象能力的培养。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，掌握图形旋转的性质。

同时，运用多媒体技术辅助教学，提高学生的空间想象能力。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.图形旋转的实际问题案例。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的旋转现象，如旋转门、风车等，引导学生关注图形旋转现象，激发学生的学习兴趣。

同时，提问：“你们认为图形旋转有哪些性质呢？”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示图形旋转的性质，如旋转变换不改变图形的形状和大小，对应点、对应线段、对应角相等等。

同时，引导学生观察图形旋转前后的变化，总结旋转的规律。

3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用图形旋转的性质进行解决。

如：“一个正方形绕着其一个顶点旋转90度后，求得旋转后的正方形面积。

”学生在教师的指导下，进行动手操作，巩固图形旋转的应用。

4.巩固（10分钟）教师给出一些关于图形旋转的练习题，让学生独立完成。

第二十三章旋转23.1 图形的旋转【知识与技能】1.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.2.进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计.【过程与方法】1.在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力.2.经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系.【情感态度与价值观】学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力，调动学生学习数学的主动性.探索图形旋转的基本性质，形成旋转作图的基本技能.探索并理解图形旋转的基本性质，以及图形旋转的应用.多媒体课件.问题 1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征呢？想想看，并与同伴交流.问题2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展示）：（1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）；（2）风车的转动；（3）电扇上扇叶的转动；（4）小朋友荡秋千；（5）汽车雨刷的转动；以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中的情境吗？【教学说明】问题1的回顾，可让学生感受到现实生活中存在着平移，轴对称变换，结合问题2，可进一步感受生活中存在着旋转变换，增强探究欲望，进而导入新课.对于问题2，应鼓励学生通过观察、思考、讨论，用自己的语言来描述这个现象的共同特征，初步感受到旋转的基本性质是绕某一固定点转动一定的角度.问题3请同学独立完成下面的作图题.如图,△AOB绕O点旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形.【教学说明】要作出△AOB旋转后的三角形,应找出三方面:第一,旋转中心:O;第二,旋转角:∠BOG;第三,A点旋转后的对应点:A'.一、思考探究，获取新知探究1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教师事先准备好实物），当小球绕点O由A摆动至B，由B摆动至A的过程中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？转动的角度是哪个角？探究2 如图，用一根较长细线系住木棒AB的两端，再将细线固定于支架上的点O（教师事先准备好实物），再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问：在转动过程中，木棒AB绕着哪一点在转动？木棒AB的长度发生了变化吗？A和A′到点O的距离发生了变化吗？B和B′点呢？由此你能发现哪些重要结论？【教学说明】1.在演示探究2中，应将细线缠绕在支架上点O处，使之不能滑动.2.引导学生认真观察，独立思考过程中，教师可适时予以点拨，从而引出旋转的相关定义，并初步感受旋转的性质，最后师生共同总结.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一个点（如点O）旋转一个角度，就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（注意突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转角和旋转方向）对应点：如果图形上的点P经过旋转变为P′，则这两个点叫做这个旋转的对应点.对应线段：如果图形上的线段AB经过旋转变为线段A′B′，则这两条线段称为对应线段，同样地，如果图形上的一个角∠A经过旋转后变为∠A′，则∠A和∠A′称为对应角.对应点和旋转中心之间的夹角称为旋转角.【教学说明】给出相关概念过程中，教师可结合图形让学生明确旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心等，及时巩固旋转及其相关概念，同时简要说出一些简单的旋转性质，为后面探索旋转的性质作铺垫.探究3 如图，在硬纸片上，挖一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面再放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.试问：在旋转的过程中，线段OA 与线段OD 的大小关系如何？∠AOD 与∠BOE 及∠COF 有什么关系？旋转前后三角形的形状和大小发生了改变吗？【归纳结论】旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全等的.二、典例精析，掌握新知例1 如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,且DE=41,△ABF 是△ADE 的旋转图形.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)AF 的长度是多少?(4)如果连接EF,那么△AEF 是怎样的三角形?【分析】 由△ABF 是△ADE 的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF 的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE 的长度,由勾股定理很容易得到.△ABF 与△ADE 是完全重合的,所以它是直角三角形.【解】(1)旋转中心是A 点.(2)∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的;∴B 是D 的对应点;∴∠DAB=90°就是旋转角.（3）AD=1,DE=1/4∴勾股定理求得AE，AF=AE(4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE;∴△EAF是等腰直角三角形.例2 如图是菊花一叶和中心与圆圈,现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案.【分析】只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化,旋转长度为菊花的最长OA,按菊花叶的形状画出即可.【解】(1)连接OA.(2)以O点为圆心,OA长为半径旋转45°,得A.(3)依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A.(4)按菊花一叶图案画出各菊花一叶.那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形.三、运用新知，深化理解1.将图形绕点O旋转，且图形上点P、Q旋转后的对应点分别为P′、Q′，若∠POP′=80°，则∠QOQ′=____，若OQ=2.5cm，则OQ′=____。

旋转一、内容和内容解析1．内容探索点的坐标和图形变换的关系，在坐标系中研究轴对称与旋转之间的转换．2．内容解析本节的数学活动将第二十三章“旋转”的知识运用于点的坐标的数学探究中，运用坐标探索轴对称和旋转的关系，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标和图形变化联系起来．本节课借助直角坐标系探究发现：作两次连续的轴对称变换相当于作一个关于原点的中心对称．另外，探究旋转中心是原点，旋转角为90°的点旋转前后点坐标的变化规律．让学生经历探究，积累数学活动的经验．二、目标和目标解析1．目标(1)通过借助直角坐标系探究中心对称和轴对称的关系．(2)通过借助直角坐标系探究发现：旋转中心是原点，旋转角为90°的点旋转前后点的坐标之间的变化规律．2．目标解析达成目标(1)的标志是：借助直角坐标系通过描点、观察、比较、分析得出中心对称和轴对称的关系，即若两对称轴互相垂直，则作两次连续的轴对称变换相当于作一次中心对称变换．达成目标(2)的标志是：借助直角坐标系通过描点、观察、比较、分析得出旋转中心是原点，旋转角为90°的点的坐标旋转前后的变化规律．三、教学过程设计活动1问题1 在平面直角坐标系中选一点A(－3，2)，作点A关于x轴的对称点，得到点B，作点B关于y轴的对称点，得到点C，点A和点C有什么关系？把点A的坐标换成其他数，再试一试，你能利用对称点坐标的关系说明你发现的规律吗？师生活动：学生小组合作完成猜想、验证后交流展示，教师巡视点评．利用对称点坐标的关系说明你发现的规律即点A和点C是关于原点的对称点．进一步发现：中心对称和轴对称之间的关系即若两对称轴互相垂直，则两次轴对称相当于一次中心对称．设计意图：在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在猜想之后要进行验证．教师追问：在平面直角坐标系中任选一点A(x，y)，作点A关于x轴的对称点，得到点B，作点B关于y轴的对称点，得到点C，点C的坐标是什么？师生活动：教师展示问题，学生思考并尝试回答．师生共同归纳得出：作点A(x，y)关于x 轴的对称点，得到点B(x，－y)，作点B关于y轴的对称点，得到点C(－x，－y)，则点A 和点C关于原点对称．设计意图：从平面直角坐标系出发，从特殊到一般的探究问题．让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，培养学生的推理能力．活动2问题2 把点P绕原点顺时针旋转90°后，得到点P′，，这两点的坐标之间有什么关系吗？师生活动：学生通过描点、观察、比较、分析小组合作完成猜想、验证后交流展示，教师提示：可以借助活动1的研究经验进行研究．师生共同归纳得出：设旋转前有一个点是(a，b)，那它旋转后就应该是a变成纵坐标，符号变；b变成横坐标，符号和原来相同，所以旋转后的坐标是(b，－a)．设计意图：在活动1的基础上，继续在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，进一步积累数学活动经验．以前我们研究点经过变换后坐标的变化只是符号变化，而问题2中坐标的变化不仅仅是符号的变化，还有横坐标与纵坐标的变换．打破了以前的思维定势．问题3 把点P绕原点逆时针旋转90°后，得到点P′，这两点的坐标之间有什么关系吗？师生活动：学生小组合作完成猜想、验证后交流展示，教师提示：可以借助问题2的研究经验进行研究．师生共同归纳得出：设旋转前有一个点是(a，b)，那它旋转后就应该是a变成纵坐标，符号不变；b变成横坐标，符号变，所以旋转后的坐标是(－b，a)．设计意图：在问题2的基础上进一步拓宽研究问题的全面性，体会数学知识间的联系和区别，进一步提高数学能力．3．小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学了哪些主要内容？(2)研究点的运动变化规律采用什么方法？(3)中心对称和轴对称之间有什么关系？师生活动：让学生谈体会，谈收获，师生共同归纳．设计意图：本环节是让学生及时总结这节课所学的重点知识，通过反思，提练学习的收获，并通过学生的反馈，了解学生掌握的情况，教师及时调整．五、目标检测设计1．在平面直角坐标系中选一点A(8，－9)，作点A关于x轴的对称点，得到点B的坐标是_______，作点B关于y轴的对称点，得到点C的坐标是_______，点A和点C的关系是_______．设计意图：对中心对称和轴对称之间关系的直接考查．2．在平面直角坐标系中选一点(－3，5)，把它绕原点顺时针旋转90°后，得到点的坐标是______，把它绕原点逆时针旋转90°后，得到点的坐标是______．设计意图：对旋转中心是原点，旋转角为90°的点的坐标旋转前后的变化规律的直接考查．3．在平面直角坐标系中任意画出△ABC，将△ABC先沿y轴进行翻折，在沿x轴进行翻折后，你有什么发现？设计意图：间接考查中心对称和轴对称之间的关系．。