福建省福州市仓山区2016_2017学年高二数学下学期期中试题文

福建省2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合{13}A x x =-<<，{}B x x a =<，若AB A =，则实数a 的取值范围是（ ）A.3a >B. 3a ≥C. 1a ≥-D. 1a >- 2.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A.-1 B.-3 C.1 D.23.计算235log 5log 2log 3⋅⋅的值为（ ）A.1B.2C.4D.84.已知x 与y 之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y 与x 的线性回归方程必过点（ ）A.（2，4）B.（1.5，2）C.（1，2）D.（1.5，4）5.已知函数2,0()21,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()1f x ≥，则x 的取值范围是（ ）A.(,1]-∞-B. [1,)+∞C. (,0][1,)-∞+∞UD.(,1][1,)-∞-+∞U6.已知()f x 是定义在[0,)+∞上单调递增的函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ） A. 12(,)23 B. 2(,)3-∞ C. 12[,)23 D. 2(,]3-∞ 7.参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A.圆和直线 B.直线和直线 C.椭圆和直线 D.椭圆和圆8.“0,0a b >> ”是“2()2a b ab +<”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知实数,,a b c 满足1()32a =，31log 2b =-，21()log 3c c =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<10.若直线l 的参数方程为1324x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ） A.45- B. 35- C. 35 D. 4511.已知函数()()()f x x a x b =-- ()a b >的图象如图所示，则函数g（x ）=a x+b 的图象是（ ） A. B. C. D.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则(2016)f +(2015)f -=（ ）A.1e -B.1e -C. 1e --D. 1e +二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.全称命题：2,1x R x ∀∈>的否定是 ______ ．14. .已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，(2)0f =，且当120x x << 时有121()()0xf x f x x x ->-，则不等式()0f x <的解集是 ______ ． 15.已知复数z x yi =+(,,0)x y R x ∈≠且2z -y x 的范围为 ______ ． 16.对函数1()1ax f x x +=-（其中a 为实数，1x ≠），给出下列命题； ①当1a =时，()f x 在定义域上为单调递减函数；。

福建省福州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.4.27第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数2(12)i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 ①y ＝cos x(x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x(x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．②①③3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…… A ．1 111 110B ．1 111 111C ．11 111 110D ．11 111 1114．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角 C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角5. 给出下列命题：①对任意x ∈R ，不等式x 2＋2x>4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >cb ”的逆否命题．其中真命题只有A ． ①③B ．①②C ． ①②③D ．②③6．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离7．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是A ．3B ．4C ．5D ．68．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 A ．4B ．1C ．2D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．在极坐标系中，定点A(1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________ 10．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是______11．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧∧=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为 12. 给出下列等式：221121213-=⨯⨯；2223112132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ =三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分12分）已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x<4.若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x的取值范围． 14. （本小题满分 12 分）已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．15．（本小题满分12分）已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos (θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y)中x·y 的最大值和最小值．第Ⅱ卷四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A ．一条直线B ．圆C ．两条直线D ．椭圆17．用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是A ．3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1B ．4×42k＋9×3kC ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋118．设F 1和F 2是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，那么△F 1PF 2的面积是 A ．2B.52C ．1D ．519．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n 的最小值是A ．2nB.1nC.nD. n五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2rsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为21．已知关于x 的不等式 ()7a x 1x 22≥-+在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_______六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22．（本小题满分12分）已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点． (1)请写出该直线的参数方程以及BC 中点坐标； (2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．23.（本小题满分14分）（1）已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． （2）请用数学归纳法证明： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n≥2，n ∈N ＋)．高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDB CBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 9. ⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-n n 2)1(1∙+ 三、解答题：本大题共有4个小题，共36分 13．（本小题满分12分）解: 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，∴x≥3，或x≤－1.即p ：x≥3，或x≤－1. …………………２分 ∴非p ：－1<x<3.又∵q ：0<x<4，∴非q ：x≥4，或x≤0. …………………５分 由p 且q 为假，p 或q 为真知p ，q 一真一假，…………………６分当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，或x≤－1，x≥4，或x≤0，得x≥4，或x≤－1； …………………9分当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3，0<x<4，得0<x<3，∴实数x 的取值范围是{x|x≤－1，或0<x<3，或x≥4}．………………１２分 14. （本小题满分12分）解：(1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c≥|(x＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ，……３分当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a ＋b|＝a ＋b ，所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c. …………………６分 又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c×12＝(a ＋b ＋c)2＝16，……………9分即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. ………………１０分 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87. ………………１２分 15．（本小题满分12分）解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分设cos θ＝2－2，sin θ＝2－2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)．…………………６分(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②…………………８分 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．…１０分所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1. 当t ＝－2时xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9. ………………１２分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 ＢＤＣＤ二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 21. ２三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 22． （本小题满分１２分） 解: (1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，…………………２分代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.…………………５分 (2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋tcos α，y ＝－3＋tsin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，…………………８分 整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. …………………１０分 又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，由cos α＝0得t 1＝3，由8cos α－15sin α＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝817，cos α＝1517，可得t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.…………１２分23. （本小题满分１４分）解：（1）由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a－1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， …………………４分∴9[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a＋2b ＋c －1)2. …………………５分 ∵2a＋2b ＋c ＝8，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.…………………６分（2）证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.所以等式成立．…………………８分(2)假设当n ＝k(k≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k≥2，k ∈N ＋)．…………………１０分当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·（k ＋1）2－1（k ＋1）2＝（k ＋1）k·（k ＋2）2k·（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）＝（k ＋1）＋12（k ＋1），…13分 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n ∈N ＋时，等式成立．………………１４分。

2016-2017学年福建高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．12．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣14．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．198．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=010．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣111．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= ，f（n）= ．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=4x+1上，那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．故选：D．2．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．3．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由纯虚数的定义可得：m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m．【解答】解：复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，∴m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m=0．故选：A．4．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”，不正确，比如a=1，b=﹣2；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”，正确；③在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故正确；④若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故错误．故选：B．5．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项B：是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，C是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项D：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提，单位圆的面积S=π为结论；故选：D．7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】EF：程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：第一次循环得：a=153﹣119=34；第二次循环得：b=119﹣34=85；第三次循环得：b=85﹣34=51；同理，第四次循环b=51﹣34=17；第五次循环a=34﹣17=17，此时a=b，输出a=17，故选：B．8．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），利用两点之间的距离公式可得线段|AC|．【解答】解：圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程：x2+y2=4x﹣2y，配方为：（x﹣2）2+（y+1）2=5．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），则线段|AC|==．故选：A．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 + f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．10．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的求导公式，即可得到结论．【解答】解：f′（x）=f′（）cosx+1，∴f′（）=f′（）cos+1，∴f′（）=2，∴f′（π）=2cosπ+1=﹣2+1=﹣1，故选：D．11．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ﹣1﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= 41 ，f（n）= 2n2﹣2n+1 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=5时，f（5）=41．故答案为：41；2n2﹣2n+1．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．可得函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，利用单调性即可解出；x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，利用单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．∴函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，∴π＞x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，∴．综上可得：x∈：．故答案为：．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（I）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（Ⅰ）列出下列表格，x i 1 2 3 4y i12 28 42 561 4 9 16x i y i12 56 126 224x i y i=418，=30， =， =…代入公式得：b==，…a=﹣b=﹣×=﹣2．…故y与x的线性回归方程为y=x﹣2．…（Ⅱ）当x=9万元时，y=×9﹣2=129.4（万元）．…所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．…．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据题意，填写列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：根据题意，得出2×2列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700 100 800^非青年人800 200 1000总计300 1500 1800…计算K2==18＞7.879，…根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．…[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（﹣2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=﹣2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|•|FB|=2．法二：几何法：∵左焦点为（﹣2，0）．左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：，将直线参数方程带入椭圆x2+3y2=12，可得：t2﹣2t﹣2=0．那么|FA|•|FB|=|t1t2|=2（2）设椭圆在第一象限上一点P（2cosθ，2sinθ），（）内接矩形周长为：L=8cosθ+8sinθ）=16sin（θ+），∴当时，周长取得最大值为为16．∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；（II）判断f（x）的单调性，利用单调性列方程组解出m．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，由不等式f（x）＞4得|x﹣1|+|x﹣2|＞4，∴或或，解得或，∴原不等式的解集为．（Ⅱ）当m＞1时，，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，m）上为常数函数，在（m，+∞）上单调递增，∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，∴，即，解得m=3．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax+b+a）﹣2x﹣4因为曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，所以，即，解得a=b=4，经检验a=b=4符合题意，所以a=b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ln2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣ln2，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，﹣ln2）递减，在（﹣ln2，+∞）递增，故x=﹣2时，函数f（x）取极大值，极大值是f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（ I），由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知，，…（i）若，则，故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…所以，存在x0≥1，使得 a，b的充要条件为，…即，所以，满足，所以符合题意…（ii）若，则，故当x∈（1，）时，f'（x）＜0，x∈（）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，）上单调递减，f （x）在（）单调递增．…所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，而，所以不合题意．…（ⅲ）若a＞1，则．所以a＞1符合题意．…综上，a的取值范围为：…21。

2015-2016学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=06．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1） B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2]B．C．[2）D．[0，4]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ=．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P （﹣2，1，2）到α的距离为．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．18．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值2015-2016学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间点、线、面的位置；向量的共线定理．【专题】证明题．【分析】本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．②如果=，则与不一定共线，所以②错误；③不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立．④若=x +y，则共面，故四点P、M、A、B共面，故④正确．所以①④正确．故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．【解答】解：∵方程表示双曲线∴（k﹣4）（k+4）＞0解得：k＞4或k＜﹣4∵k≤﹣5⇒k＞4或k＜﹣4是真命题，反之是假命题∴p是q的充分非必要条件故选A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．【考点】向量的几何表示；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．【解答】解：∵======故选A．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】计算题．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选B【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】解：设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，①﹣②，得4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，∴，∴这条弦所在的直线的方程，即x+4y﹣10=0．故选B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．6．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．【解答】解：二次曲线为双曲线，则，∴，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1） B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】设圆心为（x，y），则动圆的半径为x，因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x的范围为0＜x≤1．再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），由动圆切于y轴，故r=|x|．又由动圆与已知圆内切可知=2﹣|x|，整理得y2=﹣4|x|+4．由于半圆需满足0≤x≤2的条件，∴y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）．故选A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件．8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0，①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x 轴的双曲线，结合选项可判定【解答】解：若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义B：由于2q+p＞q＞0，表示焦点在x轴上的椭圆，D：由于2p+q＞p＞0，表示焦点在x轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线A：由于﹣（2q+p）＞﹣p＞0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆B：由于2q+p＜q＜0，方程没有意义C：由于﹣2p﹣q＞﹣p＞0，表示焦点在x轴上上的椭圆D：由于2p+q＜p＜0，方程没有意义综合可得C符合题意故选C【点评】本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点纵坐标范围计算即可．【解答】解：由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0≤y1≤，≤y2≤2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=y1++y2﹣y1+a﹣ey2=+a+y2=3+y2，∵，≤y2≤2，∴≤3+y2≤4故选C．【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2]B．C．[2）D．[0，4]【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．【解答】解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ=0．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】根据向量的夹角公式即可求出答案．【解答】解：向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），∴=2×3+2λ﹣1×4=2+2λ，||==3，||==，∵、的夹角的余弦值为，∴==，解得λ=0，故答案为：0．【点评】考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】先求出的坐标，利用向量的知识，点P（﹣2，1，2）到α的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值．【解答】解：=（﹣1，﹣2，2），在法向量方向上的投影等于=，∴则点P（﹣2，1，2）到α的距离为故答案为：【点评】本题考查点面距离的计算．利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8【点评】本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为3．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值．【解答】解：椭圆：，a=3，b=，∴c=2，左、右焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=2|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）又△ABF2的面积═×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|=×1×（2a+2a）=2a=6．所以2|y2﹣y1|=6，|y2﹣y1|=3．故答案为3．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF2的面积，属于中档题．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=1．【考点】双曲线的简单性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意可得直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1，可得==，求得FA1的值，直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，由此求出a 的值．【解答】解：如图所示：由题意可得实轴A1A2 =4，B1B2，=2，FA1⊥面A1B1B2，直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1．∴==，∴FA1=．又FO=c=，A1O=2．直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，即4+a=4+，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出═即可；（2）利用（1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得．【解答】解：（1）====（2）==×4+×4++++2×2×3cos45°=+，【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律．17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）求出异面直线EB1与HF的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB1与HF之间的距离等于．（2）求出平面HB1E的法向量为，平面A1B1E的法向量为，二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．【解答】解：如图建立直角坐标系D1﹣xyz，则E（2，0，2），B1（4，4，0），H（1，0，4）（1）=（2，4，﹣2），=（﹣1，4，﹣3）=（﹣1，0，2），设=（x，y，z）即，取x=1，则z=﹣3，y=﹣2，则=（1，﹣2，﹣3）异面直线EB1与HF之间的距离为=（2））=（2，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（﹣1，0，2），设平面HB1E的法向量为=（x，y，z）则即取x=2，则y=，z=1．∴=（2，，1）令平面A1B1E的法向量为=（x，y，z）则取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）∴|cos|==．∵二面角H﹣B1E﹣A为钝二面角．∴二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．18．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）直线l方程与椭圆方程联立，求出交点M的坐标，利用得到e值．（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）y=ex+a，∴A（﹣，0），B（0，a）由，∴∴M（﹣c，），由，得（﹣c+，）=（，a），即∴e2=1﹣=，∴e=（2）∵e=，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=x﹣+a即消y，得4x2+（4a﹣2）x+a2﹣4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C （x2，y2）∴x1+x2=﹣，x1x2=∴l===∴a=∴椭圆的方程为【点评】本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）由，得，由此能求出双曲线方程．（2）由，知．由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．【解答】解：（1）∵，∴a=，c=2，∴双曲线方程为=1．（2），∴（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0，由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，即k2≠，且k2＜1①x1+x2=，由＞2，得x1x2+y1y2＞2，而=（k2+1）x1x2+=．于是＞2，即，∴＜3，②由①②得＜1，．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用求得x和y的关系．（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，令，则可推断出，进而表示出（x1﹣2）•（x2﹣2）和（x1﹣2）+（x2﹣2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．【解答】解：（I）由x2=4y得，∴．∴直线l的斜率为y'|x=2=1，故l的方程为y=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）．设M（x，y），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k（x﹣2）（k≠0）=1 ①，将①代入，整理，得（2k2+1）x2﹣8k2•x+（8k2﹣2）=0，由△＞0得．设E（x1，y1）、F（x2，y2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．（Ⅱ）由圆过点O，F1可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程与椭圆方程联立，得x1x2与x1+x2，再代入，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1 ∵过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB为椭圆通径，CD为抛物线通经，∵，∴=，b2=a，∵a2=b2+c2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（﹣，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=﹣﹣（﹣2）=∴，n=，∴所求圆方程为．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，∴x1x2=，x1+x2=..=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2==﹣﹣∵k2∈[0，+∞），∴∈[﹣1，）②当直线l斜率不存在时，可得啊（﹣1，）B（﹣1，﹣），此时，=．综上，∈[1，]．∴最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．。

福建省福州市文博中学2016-2017学年高二（下）期中试卷（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b32．（5分）不等式﹣x2+4x﹣4＜0的解集为（）A．R B． C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．{2} 3．（5分）“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．45．（5分）原命题为“若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、假、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=7．（5分）关于x的不等式2ax2+ax﹣＜0对一切实数x都成立，则a的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（0，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0] 8．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线﹣y2=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．1 D．11．（5分）已知函数y=|x﹣4|﹣|x﹣6|，则当其取最小值时，自变量x的取值范围是（）A．[4，6] B．[6，+∞）C．（﹣∞，4] D．（4，6）12．（5分）若x，y∈R+，且x+y=5，则的最大值是（）A．B．C．9 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）命题“空集是任何集合的真子集”的否定是．14．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．15．（5分）若x，y满足，则z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的取值范围是．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，其中F1，F2是椭圆的两焦点，则椭圆离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．18．（12分）已知命题p：关于x的不等式sin x≥a恒成立，命题q：y=﹣（5﹣2a）x为减函数，若命题p，q中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．19．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程（Ⅰ）过点（3，﹣1），且离心率；（Ⅱ）一条渐近线为，顶点间距离为6．20．（12分）已知直线l：y=kx+1与椭圆+y2=1交于M、N两点，且|MN|=．求直线l的方程．21．（12分）中心在原点，一焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的动直线与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．参考答案一、选择题1．D【解析】A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．2．C【解析】不等式﹣x2+4x﹣4＜0可化为x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．故选：C．3．B【解析】若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．4．A【解析】椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．5．B【解析】“若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”的逆命题是”两条直线平行、两条直线的斜率相等“是假命题，直线斜率可能不存在，”若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”的否命题是“若两条直线的斜率不相等，则这两条直线不平行”是假命题、直线斜率可能不存在，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”是真命题，故其逆否命题是真命题，故选：B．6．D【解析】由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．7．D【解析】当a=0时，不等式化为﹣＜0，对一切实数x都成立；当a≠0时，由题意得，，即，解得﹣3＜a＜0；综上，a的取值范围是（﹣3，0]．故选：D．8．D【解析】曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．9．D【解析】|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c,∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．10．C【解析】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2=16，而|F1F2|2=4c2=16，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=（）×（）=1．故选C．11．C【解析】作出函数的图象，如图所示当其取最小值时，自变量x的取值范围是（﹣∞，4]，故选C．12．A【解析】方法一：x，y∈R+，则满足，根据柯西不等式可得≤•=•=3，当且仅当=，即x=，y=时等号成立．∴则的最大值3，故选A．方法二：x，y∈R+，且x+y=5，故y=5﹣x，y+3=8﹣x，则Z==+，∵（）2+（）2=x+1+8﹣x=9，∴设=3sinα，=3cosα，（0≤α≤），则Z==+=3sinα+3cosα=3sin（α+），故当α+=，即α=时，Z取最大值3，则的最大值3，故选A．二、填空题13．存在某一个集合使得空集不是它的真子集【解析】命题“空集是任何集合的真子集”的否定是：存在某一个集合使得空集不是它的真子集．故答案为：存在某一个集合使得空集不是它的真子集．14．【解析】∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是,故答案为：．15．[]【解析】由约束条件作出可行域如图，z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，3）距离的平方．由图可知，最小值为P到直线x+3y﹣3=0的距离的平方，等于；最大值为．∴z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的取值范围是[]．故答案为：[]．16．[，1）【解析】设，P（x1，y1），F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°===﹣，解得：=．∵x12∈（0，a2]，∴0＜≤a2，整理得：4c2﹣3a2≥0，∴e=≥，0＜e＜1∴故椭圆离心率的取范围是[，1），故答案为：[，1）．三、解答题17．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=218．解：若关于x的不等式sin x≥a恒成立，则a≤﹣1，即命题p：a≤﹣1，若y=﹣（5﹣2a）x为减函数，则5﹣2a＞1，解得：a＜2，即命题q：a＜2，若命题p，q中至少有一个是真命题，则a＜2．19．解：（I）∵离心率，∴此双曲线为等轴双曲线，过点（3，﹣1），因此焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为：x2﹣y2=a2（a＞0），∴a2=9﹣1=8，∴双曲线方程为x2﹣y2=8．（II）①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：﹣=1（a，b＞0）．由题意可得：=，2a=6，解得a=3，b=．∴标准方程为：﹣=1．②当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为：﹣=1（a，b＞0）．由题意可得：=，2a=6，解得a=3，b=2．∴标准方程为：=1．20．解：设直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，所以x1+x2=﹣=0，由|MN|=，得（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=，∵y1=kx1+1，y2=kx2+1，∴y1﹣y2=k（x1+x2），所以（1+k2）（x1﹣x2）2=，即（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=，所以，化简得k4+k2﹣2=0，解得k2=1，所以k=±1，所以所求直线l的方程是y=x+1或y=﹣x+1．21．解：由题意可知：焦点为，可知焦点在y轴上，设（a＞b＞0），则c=5，直线y=3x﹣2与椭圆相交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（a2+9b2）x2﹣12b2x+b2（4﹣a2）=0，由韦达定理可知：x1+x2=，由中点坐标公式可得，=，即=，整理得：a2=15b2，∴，解得：，∴椭圆的标准方程为：．22．解：（1）设F（c，0），，解得，又，∴a=2，b=1，∴椭圆E：；（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由△=16（4k2﹣3）＞0，得，即或k．，从而=，又点O到直线PQ的距离，∴△OPQ的面积，设，则t＞0，∴，当且仅当t=2，即时，等号成立，且△＞0．此时．。

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案）。

2016-2017学年福建师大二附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a≥﹣1D．a＞﹣1 2．（5分）复数z＝的虚部为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．23．（5分）计算log25•log32•log53的值为（）A．1B．2C．4D．84．（5分）已知x与y之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y与x的线性回归方程必过点（）A．（2，4）B．（1.5，2）C．（1，2）D．（1.5，4）5．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）≥1，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）6．（5分）已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）参数方程（θ为参数）和极坐标方程ρ＝﹣6cosθ所表示的图形分别是（）A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆8．（5分）“a＞0，b＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知实数a，b，c满足＝3，log3b＝﹣，c，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 10．（5分）若直线l的参数方程为，则直线l倾斜角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x﹣）＝f（x+），当x∈[0，2）时，f（x）＝e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2015）＝（）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（2）＝0，且当0＜x1＜x2时有＞0，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|＝，则的范围为．16．（5分）对函数（其中a为实数，x≠1），给出下列命题；①当a ＝1时，f （x ）在定义域上为单调递减函数； ②对任意a ∈R ，f （x ）都不是奇函数； ③当a ＝1时，f （x ）为偶函数；④关于x 的方程f （x ）＝0最多有一个实数根，其中正确命题的序号为 ，（把所有正确的命题序号写入横线） 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：＝，＝﹣，＝x +．18．（12分）在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种，统计数据显示．100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名．（1）根据已知条件完成2×2列联表：（2）判断是否有99%的把握认为“观影类型与性别有关”？ 随机变量K 2＝（其中n ＝a +b +c +d ）临界值表：19．（12分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（2，1），倾斜角，（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆O：ρ＝2相交于两点A，B，求线段AB的长度．21．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．22．（12分）已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（I）求f（0）的值和实数m的值；（II）当m＝1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．2016-2017学年福建师大二附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a≥﹣1D．a＞﹣1【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A∩B＝A，∴A⊂B，∴a≥3．∴实数a的取值范围是a≥3．故选：B．2．（5分）复数z＝的虚部为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．2【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部为﹣3．故选：B．3．（5分）计算log25•log32•log53的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：原式＝＝1，故选：A．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y与x的线性回归方程必过点（）A．（2，4）B．（1.5，2）C．（1，2）D．（1.5，4）【解答】解：∵，＝4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y＝bx+a必过点（1.5，4）故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）≥1，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤﹣1．故选D．6．（5分）已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式等价为0≤2x﹣1＜，即≤x＜，即不等式的解集为，故选：C．7．（5分）参数方程（θ为参数）和极坐标方程ρ＝﹣6cosθ所表示的图形分别是（）A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆【解答】解：极坐标ρ＝﹣6cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝﹣6ρcosθ，化为普通方程为x2+y2＝﹣6x，即（x+3）2+y2＝9．表示以C（﹣3，0）为圆心，半径为3的圆．参数方程（θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ，化为普通方程为，表示椭圆．故选：D．8．（5分）“a＞0，b＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“a＞0，b＞0”时，，当a＝b时，“”不成立，故“a＞0，b＞0”是“”的不充分条件，“”时，a，b可以异号，故“a＞0，b＞0”不一定成立，故“a＞0，b＞0”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．9．（5分）已知实数a，b，c满足＝3，log3b＝﹣，c，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵＝3，∴a＝＜0；∵log3b＝﹣，∴b＝＝∈（0，1）；由c，作出指数函数与对数函数的图象如图：可知c＞1．∴a＜b＜c．故选：A．10．（5分）若直线l的参数方程为，则直线l倾斜角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l的参数方程为，∴，即，∴直线L的普通方程为4x+3y﹣10＝0直线的斜率k＝即∴∴＝＝故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象可得：0＜a＜1，b＜﹣1，故g（x）＝a x+b的图象如下图所示：故选：A．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x﹣）＝f（x+），当x∈[0，2）时，f（x）＝e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2015）＝（）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+1【解答】解：∵y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，∴y＝f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝e x﹣1，∴f（2016）+f（﹣2015）＝f（2016）﹣f（2015）＝f（0）﹣f（1）＝0﹣（e﹣1）＝1﹣e，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞1的否定是：，故答案为：14．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（2）＝0，且当0＜x1＜x2时有＞0，则不等式f（x）＜0的解集是（0，2）．【解答】解：∵当0＜x1＜x2时有＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2）＝0，f（x）＜0，∴f（x）＜f（2），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴不等式f（x）＜0的解集是（0，2）．故答案为：（0，2）．15．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|＝，则的范围为．【解答】解：∵|z﹣2|＝|x﹣2+yi|，，∴．∴（x﹣2）2+y2＝3．设，则y＝kx．联立，化为（1+k2）x2﹣4x+1＝0．∵直线y＝kx与圆有公共点，∴△＝16﹣4（1+k2）≥0，解得．∴则的范围为．故答案为．16．（5分）对函数（其中a为实数，x≠1），给出下列命题；①当a＝1时，f（x）在定义域上为单调递减函数；②对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；③当a＝1时，f（x）为偶函数；④关于x的方程f（x）＝0最多有一个实数根，其中正确命题的序号为②④，（把所有正确的命题序号写入横线）【解答】解：对于①，当a＝1时，f（x）＝1+，是由y＝向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，∴不正确．对于②，用分离常数法转化，f（x）＝，易得其图象关于（1，a）对称，若为是奇函数，则图象关于原点对称，∴正确；对于③，当a＝1时，f（x）＝1+，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数，∴不正确；对于④，方程f（x）＝0⇒ax+1＝0且x﹣1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确；故答案为：②④三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：＝，＝﹣，＝x+．【解答】解：（1）求回归直线方程＝＝5＝＝50b＝＝6.5a＝50﹣6.5×5＝17.5∴因此回归直线方程为y＝6.5x+17.5；（2）当x＝12时，预报y的值为y＝12×6.5+17.5＝95.5万元．即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．18．（12分）在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种，统计数据显示．100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名．（1）根据已知条件完成2×2列联表：（2）判断是否有99%的把握认为“观影类型与性别有关”？随机变量K2＝（其中n＝a+b+c+d）临界值表：【解答】解：（1）由题可得（2）由题可得∴有99%的把握认为“观影类型与性别有关”19．（12分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△＝4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．20．（12分）（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（2，1），倾斜角，（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆O：ρ＝2相交于两点A，B，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），∵直线l经过点P（2，1），倾斜角，∴PQ的斜率k＝＝tan＝，因此，设y﹣1＝t sin＝t，x﹣2＝t cos＝t，可得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）圆O的方程为ρ＝2，平方得ρ2＝4，即x2+y2＝4，将直线l的参数方程代入x2+y2＝4，整理得．设A（2+t1，1+t1），B（2+t2，1+t2），∴，t 1t2＝1，可得线段AB长为：＝＝．21．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝2，即ρ（cosθ﹣sinθ）＝2，即x﹣y﹣4＝0．曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得+＝1．（2）设点P（2cosα，sinα）为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d＝＝＝，其中，cosβ＝，sinβ＝，即tanβ＝，故当cos（α+β）＝﹣1时，d取得最大值为．22．（12分）已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（I）求f（0）的值和实数m的值；（II）当m＝1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．【解答】解：（I）∵f（0）＝log a1＝0．因为f（x）是奇函数，所以：f（﹣x）＝﹣f（x）⇒f（﹣x）+f（x）＝0∴log a+log a＝0；∴log a＝0⇒＝1，即∴1﹣m2x2＝1﹣x2对定义域内的x都成立．∴m2＝1．所以m＝1或m＝﹣1（舍）∴m＝1．（II）∵m＝1∴f（x）＝log a；设设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0∴t1＞t2．当a＞1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（III）由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），∵函数f（x）是奇函数∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b），∴0＜a＜1由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函数∴∴∴b的取值范围是。

2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科数学）一、选择题1．已知f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．2 D．ln22．下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处就没有切线B．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处有切线，则f′（x）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在D．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处没有切线，则f′（x）有可能存在3．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．14 D．164．下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx5．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+5，则f（3）+f'（3）=（）A．B．1 C．2 D．06．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣167．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．288．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．（1，]9．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．210．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1211．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）12．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，记a=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为．14．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= ．16．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是．三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．18．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？19．已知曲线C：y=经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21．已知函数f（x）=1n（ax+1）+（x≥0，a为正实数）．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文）参考答案与试题解析一、选择题1．已知f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．2 D．ln2【考点】6F：极限及其运算．【分析】由f（x）=，求导，f′（x）=﹣，由导数的定义可知=f′（2）=﹣，即可求得答案．【解答】解：f（x）=，求导，f′（x）=﹣，=f′（2）=﹣，故选：B．2．下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处就没有切线B．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处有切线，则f′（x）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在D．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处没有切线，则f′（x）有可能存在【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在．【解答】解：根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在．故选：C．3．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．14 D．16【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+8，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=8，故抛物线的准线方程是x=﹣4，∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+8，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+8=14故选C．4．下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【考点】63：导数的运算．【分析】由导数的运算法则逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，（x+）′=1﹣，故错误；选项B，（log2x）′=，故正确；选项C，（3x）′=3x ln3，故错误；选项D，（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．故选：B5．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+5，则f（3）+f'（3）=（）A．B．1 C．2 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】在点P处的斜率就是在该点处的导数，f′（3）就是切线y=﹣x+5的斜率，问题得解．【解答】解：在点P处的斜率就是在该点处的导数，f′（3）就是切线y=﹣x+5的斜率，即f′（3）=﹣1，∵f（3）=﹣3+5=2，∴f（3）+f'（3）=2﹣1=1，故选：B．6．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A7．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．28【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2=22，△ABF2的周长是（ AF1+AF2）+（ BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2﹣BF1=2a，∴AF2+BF2﹣AB=4a=16，即AF2+BF2﹣6=16，AF2+BF2=22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（ AF1+AF2）+（ BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故选 D．8．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．（1，]【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的下支上，可得|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：∵|PF1|=4|PF2|，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=a，∵点P在双曲线的下支，∴a≥c﹣a，即a≥c，∴e≤，∵e＞1，∴1＜e≤，∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，]．故选：D．9．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解：∵e=，2c=2，c=1∴a=，c=1，则b==1，∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1），B（，）∴|AB|=，故选：B10．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12【考点】K5：椭圆的应用．【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选B．11．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故选A．12．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，记a=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性以及数的大小比较判断即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）递减，∵20.2＞20=1，0.22═0.04，log25＞log24=2，故g（log25）＜g（20.2）＜g（0.22），即c＜a＜b，故选：C．二、填空题13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（1，2）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，方程中x2、y2的分母均大于0，且y2的分母较大，由此建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴可得，解之得1＜m＜2即实数m的取值范围为（1，2）故答案为：（1，2）14．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为 1 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1；从而解得．【解答】解：y′=acosx﹣sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，而x﹣y+1=0的斜率为1；故acos0﹣sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．16．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立⇔m（x2﹣x+1）＜6恒成立，继而可求得m＜恒成立，依题意，可求得（）=，从而可得m的取值范围．min【解答】解：依题意，x∈[1，3]，mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立⇔m（x2﹣x+1）＜6恒成立，∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴m＜恒成立，x∈[1，3]，又当x=3时，x2﹣x+1取得最大值7，=，∴m＜（）min即m的取值范围是：m＜．故答案为：（﹣∞，）．三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的方程；（2）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=26，c=5，∴a=13，b=12，∴椭圆的标准方程： =1；（2）依题意，可设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），则点A（，﹣2）和B（﹣2，1）代入可得，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为=1．18．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．19．已知曲线C：y=经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）代入（2，﹣1），可得t=1，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）设出切点，求得切线的斜率和切线的方程，代入原点，解方程可得m，切线的斜率，进而得到切线的方程．【解答】解：（1）由题意可得=﹣1，解得t=1，即有y=，导数为y′=，曲线C在点P处的切线斜率为1，可得曲线C在点P处的切线方程为y+1=x﹣2，即为x﹣y﹣3=0；（2）设切点为（m，），可得切线的斜率为，切线的方程为y﹣=（x﹣m），代入点（0，0），可得﹣=﹣，解得m=，切线的斜率为4，即有与曲线C相切的切线方程为y=4x．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．21．已知函数f（x）=1n（ax+1）+（x≥0，a为正实数）．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率k=f′（1），进而可求切线方程（Ⅱ）先对函数求导，可得．通过讨论a﹣2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，以判断函数的单调区间（Ⅲ）结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1n（x+1）+则．…所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切线方程为y=ln2．…（Ⅱ）．…（1）当a﹣2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．…（2）当a﹣2＜0，即0＜a＜2时，令f′（x）=0，则ax2+a﹣2=0（x≥0），所以．因此，当x∈[0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，．所以函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），，函数f（x）的单调递减区间为[0，）…（Ⅲ）当a≥2时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（0）=1，满足题意．…当0＜a＜2时，由（Ⅱ）知函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），函数f（x）的单调递减区间为[0，）则f（x）的最小值为f（），而f（0）=1，不合题意．所以a的取值范围是[2，+∞）．…22．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P （x 1，），Q （x 2，），可得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣24， 由y=x 2的导数为y′=x ，设R （t ，﹣1），可得k PR ==x 1，可得t=x 1﹣，再由Q ，F ，R 共线，可得=，消去t ，可得=，即有16x 1x 2=4（x 12+x 22）﹣16﹣（x 1x 2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k ）2+2×24]﹣16﹣242， 解方程可得k=±，即有直线m 的方程为y=±x+6．。

福建省福州市八县（市）2016-2017学年高二数学下学期期中试题理一、选择题（每题5分，12题共60分）1i1.已知复数z满足( 为虚数单位)，则等于（）z i|z|1i1A. B. C. D.122 22.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线b//平面，直线a平面，则直线b//直线a”．你认为这个推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误3.若定义在R上的函数y f(x)在x2处的切线方程是y x1，则f(2)+f’(2)=（）A．2B．1C．0 D．14．函数()12ln的单调递减区间为()f x x x2A．(,1)B．(1，＋∞)C．(0，1) D．（0，＋∞）5．若p a6a4，q a5a3（a0），则p、q的大小关系是（）A．p q B. p q C. p q D.由a的取值确定6．下列计算错误的是（）1211212πB. C. D.1x dx22dx1x dx x dx A. sin xdx0π400107．已知函数f(x)x3ax2(a6)x3有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．3,6 B.,3(6,) C.3,6D.,36,1 1 1 18．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时n n＋1 n＋2 2n不等式左端的变化是()．1 1 1A．增加了这一项B．增加了和两项2k＋1 2k＋1 2k＋21 1 1C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对2k＋1 2k＋2 k9.已知函数y f(x)(x R)的图像如右图所示，则不等式（x 1）f (x ) 0 的解集为（ ）11A ．,0( ,1)B ．， ,1(2 )221， ,1 (3， )C ．,(1 2) D ．210.下面给出了四个类比推理：- 1 -①a，b为实数，若a2b20,则a b0；类比推出: 1,2为复数，若120则.z z z2z2，z 1z201②若数列{a}是等差数列，b（a a a），则数列{b}也是等差数列；n n12n nn类比推出：若数列{}是各项都为正数的等比数列，，则数列c d n n c1c2c nn{d}也是等比数列.n③若a,b,c R,则(ab)c a(bc)；类比推出：若a,b,c为三个向量，则(a b)c=a(b c).④若圆的半径为a,则圆的面积为a2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,则椭圆的面积为ab.上述四个推理中，结论正确的是（）A．①②B．②③C．①④ D. ②④11.设f x是定义在R上的奇函数，且f20，当x0时，有恒成立，xf x f x20x则不等式xf x0的解集是（）A. 2,02,B. 2,00,2C. ,20,2D.,22,112．已知函数g(x)满足g(x)g()，当x[1,3]时，g(x)ln x.若函数f(x)g(x)mxx1在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）[,3]m3ln31311,[ln3,)[ln3,)（0，）A．B．C．D．3e e e e二、填空题（每空4分，共20分）13.复数z满足：z(2i)3i(i为虚数单位) ，则复数z的共轭复数z= .14.由曲线y x22x与直线y x围成的平面图形的面积为.15.观察下列数表：y=e x1 43 537 9 11 13215 17 19 21 23 25 27 29………12O2- 2 -设2017是该表第m行的第n个数，则m_____，n_______.16.某同学在研究函数y e x在x0处的切线问题中，偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当x R时，e x1x，仿照该同学的研究过程，请你研究函数y ln x 的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式：.三、解答题（6题,其中第17题10分,18-22每题12分,共70分）17．（本小题满分10分）已知m R,复数z(2i)m2m(1i)(12i)（其中i为虚数单位）.（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.18．(本小题满分12分）已知函数f(x)x33ax2bx a2。

2016-2017学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数3．（4分）已知a≥5，P=，，则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．与a的值有关4．（4分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．5．（4分）已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点6．（4分）已知函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，则f（2017）与f（﹣2016）的大小关系是（）A．f（2017）＞f（﹣2016）B．f（2017）＜f（﹣2016）C．f（2017）=f（﹣2016）D．不能确定7．（4分）若函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0）B．（，+∞）∪（﹣∞，0）C．（，1）D．（，2）8．（4分）若函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．或a＞1B．C．或a≥1D．9．（4分）没有砝码，用天平比较甲、乙、丙、丁四件物品的大小，当甲、乙放一边，丙、丁为另一边时，恰好平衡；当甲与丙对调之后，甲、丁比乙、丙重；而仅乙一件物品就比甲、丙的组合重，那么甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是（）A．丁、乙、甲、丙B．乙、丁、甲、丙C．丁、乙、丙、甲D．乙、丁、丙、甲10．（4分）设函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），且xf'（x）＞x2+2f（x），则不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2•f（2）＞0的解集是（）A．（2014，2017）B．（2017，+∞）C．（2014，2016）D．（2016，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分．11．（3分）．12．（3分）对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V n=．13．（3分）设直线y=t与函数，g（x）=e x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．14．（3分）已知函数，g（x）=x2+e1﹣x+a，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）复平面上点P所对应的复数为z，已知|z|与复数z+2i的虚部相等．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积．16．（10分）是否存在常数a，b，使等式对一切n∈N*都成立？若存在，请用数学归纳法证明；若不存在，说明理由17．（10分）某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数．已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．18．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果过点（1，m）可以作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．19．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：当x＞0时，f（x）＜e x﹣1．2016-2017学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z===i，则•i=•i=在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．2．（4分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．3．（4分）已知a≥5，P=，，则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．与a的值有关【解答】解：P===﹣，===﹣，设f（a）=﹣，则当a≥5，f（a）是增函数，则f（a+3）=﹣=﹣，∵当a≥5，f（a）是增函数，∴f（a+3）＞f（a），即﹣＜﹣，即P＜Q，故选：C．4．（4分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选：B．5．（4分）已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点【解答】解：∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x），∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x0处先减后增，∴F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．故选：B．6．（4分）已知函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，则f（2017）与f（﹣2016）的大小关系是（）A．f（2017）＞f（﹣2016）B．f（2017）＜f（﹣2016）C．f（2017）=f（﹣2016）D．不能确定【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，∴f′（x）=2xf′（1）﹣2，∴f′（1）=2f′（1）﹣2，解得f′（1）=2，∴f（x）=2x2﹣2x，∴f（x）是开口向上的抛物线，对称轴为x=，∴f（2017）=f（﹣2016）．故选：C．7．（4分）若函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0）B．（，+∞）∪（﹣∞，0）C．（，1）D．（，2）【解答】解：∵函数f（x）=e2x（1﹣ax），∴f′（x）=e2x（2﹣2ax﹣a），设g（x）=e2x（2﹣2ax﹣a），∵函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，∴g（x）=e2x（2﹣2ax﹣a）在区间（0，1）内有零点，∴g（0）g（1）＜0，∴（2﹣a）[e2（2﹣2a﹣a）]＜0，解得．∴实数a的取值范围是（）．故选：D．8．（4分）若函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．或a＞1B．C．或a≥1D．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=﹣2a2x+a≤0，在（1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣2a2x+a，x∈（1，+∞）．∴g′（x）=﹣﹣2a2＜0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递减．∴f′（x）=﹣2a2x+a=g（x）＜g（1）=1﹣2a2+a≤0，解得：a≥1或a≤﹣．∴实数a的取值范围是或a≥1．故选：C．9．（4分）没有砝码，用天平比较甲、乙、丙、丁四件物品的大小，当甲、乙放一边，丙、丁为另一边时，恰好平衡；当甲与丙对调之后，甲、丁比乙、丙重；而仅乙一件物品就比甲、丙的组合重，那么甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是（）A．丁、乙、甲、丙B．乙、丁、甲、丙C．丁、乙、丙、甲D．乙、丁、丙、甲【解答】解：设甲、乙、丙、丁四件物品的质量分别为a，b，c，d，由题意得：，∵a+b=c+d，a+d＞b+c，相加得，a＞c，d＞b∵b＞a+c，a+b=c+d，相加得，d＞2a∵a+d＞b+c，b＞a+c，相加得，d＞2c，∴d＞b＞a＞c，故甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是丁，乙，甲，丙．故选：A．10．（4分）设函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），且xf'（x）＞x2+2f（x），则不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2•f（2）＞0的解集是（）A．（2014，2017）B．（2017，+∞）C．（2014，2016）D．（2016，+∞）【解答】解：由xf′（x）＞x2+2f（x），（x＜0），得：x2f′（x）﹣2xf（x）＜x3，∵x＞0，∴x3＞0，即x2f′（x）﹣2xf（x）＞0，设F（x）=，则即[]′=＞0，则当x＞0时，得F'（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴F（x﹣2014）=，F（2）=，即不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2f（2）＞0等价为F（x﹣2014）﹣F（2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是增函数，∴由F（x﹣2014）＞F（2）得，x﹣2014＞2，即x＞2016，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分．11．（3分）4π．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以41为半径的圆的面积的四分之一，故dx=×π×42=4π，由于y=为奇函数，且积分上下限关于原点对称，故=0，故dx+=4π，故答案为：4π12．（3分）对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V n=．【解答】解：推广到棱长为1的正方体中，第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为=，第二步，执行同样的操作，其体积为，依此类推，到第n步，所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，∴到第n步，所得几何体的体积V n=故答案为．13．（3分）设直线y=t与函数，g（x）=e x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【解答】解：∵函数，∴f﹣1（x）=x2，x≥0，∴g（x）=e x，∴g﹣1（x）=lnx，x＞0，设h（x）=x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，令h′（x）=0，解得x=，∴x＞时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴x=时，h（x）取得最小值，即|MN|达到最小值，此时t=．故答案为：．14．（3分）已知函数，g（x）=x2+e1﹣x+a，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数a的取值范围是[．【解答】解：由于对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则f（x1）min≥g（x2）min．f′（x）=x2﹣2x，令f′（x）=0，得x=2∈（1，3），当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0，所以，函数f（x）在x=2处取得极小值，亦即最小值，即．g′（x）=2x﹣e1﹣x，所以，函数g′（x）在区间[1，3]上单调递增，且g′（x）≥g′（1）=1＞0，所以，函数g（x）在区间[1，3]上单调递增，则函数g（x）在x=1处取得最小值，即g（x）min=g（1）=a+2，所以，a+2，解得，因此，实数a的取值范围是，故答案为：[﹣．三、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）复平面上点P所对应的复数为z，已知|z|与复数z+2i的虚部相等．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则z=x+yi，∵|z|与复数z+2i的虚部相等，∴z+2i=x+yi+2i=x+（y+2）i，对应的虚部为y+2，则=（y+2），y≥﹣2，平方得x2+y2=（y+2）2=y2+4y+4，即x2=4y+4，即点P的轨迹方程x2=4y+4，（y≥﹣2）；（Ⅱ）由x2=4y+4得y=﹣1，由y=﹣1=0，得x2=4，即x=±2，则P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积S=∫（0﹣（﹣1））dx═∫（1﹣）dx=（x﹣x3）|=（2+×8）﹣（﹣2+×8）=4．16．（10分）是否存在常数a，b，使等式对一切n∈N*都成立？若存在，请用数学归纳法证明；若不存在，说明理由【解答】解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则等式对于一切n∈N*都成立．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即等式成立，则当n=k+1时，等式+=（k+1）•===．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．17．（10分）某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数．已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）∵销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg，∴，解得a=5；（Ⅱ）当商品成本为6元/kg时，结合（I）可知商品销售利润为：，①当6＜x＜9时，利润，∵=5[（x﹣6）（x2﹣18x+81）]'=15（x﹣7）（x﹣9），∴y1在区间（6，7）上单调递增，在区间（7，9）上单调递减，∴当x=7时利润最大，最大值为170元；②当9≤x≤15时，利润，而y2是开口向下的二次函数，其对称轴是x=3，∴y2在区间（9，15）上单调递减，∴当x=9时利润最大，最大值为150元；综上可知，当销售价格为7元/kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元．18．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果过点（1，m）可以作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值，∴，解得a=0，b=﹣1．（Ⅱ）∵a=1，b=﹣1，∴f（x）=x3﹣x，过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0），则y0=x03﹣x0，k=f'（x0）=3x02﹣1．则切线方程为y﹣（x03﹣x0）=（3x02﹣1）（x﹣x0），将A（1，m）代入上式，整理得2x03﹣3x02+m+1=0．∵过点A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程2x3﹣3x2+m+1=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3﹣3x2+m+1，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1）、令g'（x）=0，得x=0或1、则x ，g '（x ），g （x ）的变化情况如下表当x =0，g （x ）有极大值m +1；x =1，g （x ）有极小值m ， 由题意有，当且仅当，即，解得﹣1＜m ＜0时函数g （x ）有三个不同零点、此时过点A 可作曲线y =f （x ）的三条不同切线．故m 的范围是（﹣1，0） 19．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x ）的单调性；（Ⅱ）若a =1，证明：当x ＞0时，f （x ）＜e x ﹣1．【解答】解：（Ⅰ）导数法研究单调性，先求出定义域（﹣1，+∞），，①当时，f '（x ）≥0恒成立，且当a =时仅仅在处取到等号，故函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增； ②当a ＜时，令x 2+x +a =0，得到，接下来将其中的小根和﹣1作比较，当﹣1＜时，即0＜a ＜时，x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，x ∈时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1=时，即a =0时，x ∈时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＞时，即a＜0时，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），无单调递减区间；当0＜a＜时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当a≤0时，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明：当a=1时，，欲证明x＞0时，f（x）＜e x﹣1，即证明x＞0时，恒成立．令，只需要证明g（x）max＜0即可．，令，则，当x＞0时，h'（x）＜0恒成立，故函数g'（x）单调递减，则有g'（x）＜g'（0）=0，即有x＞0时，g'（x）＜0恒成立，则x＞0时，函数g（x）单调递减，即有g（x）＜g（0）=0恒成立，即证明了x＞0时，f（x）＜e x﹣1．。