初中八年级下册练习题18.2.1 第1课时 矩形的性质2

第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。

《矩形》矩形的性质和判定
学习目标：1.复习矩形的性质和判定.
2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.
重点：掌握矩形的性质和判定定理
难点：会运用矩形的性质和判定方法解决相关问题。

一、基础应用
4、在矩形ABCD内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD的长为____________________.
5、在矩形ABCD中, AB=3, BC=4, P为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD的最小值为__________________.
二. 能力提升
8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE ＝20°，求∠EFC′的度数．
11.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时，观察或测量BM 与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

12.已知矩形A BCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置时，易证得结论：2222PD PB PC PA +=+.请你探究：当点P 分别在图（2），图（3）中的位置时，2PA 、2PB 、2PC 、2
PD 又有怎样的数量关系？请写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论。

§18.2.1.1矩形的性质一、知识导航1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角，二者缺一不可；（2）矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形2.矩形的性质类别性质符号语言图形角四个角都是直角 四边形ABCD 是矩形ABC BCD CDA ∴∠=∠=∠90DAB =∠=︒对角线对角线相等四边形ABCD 是矩形AC BD ∴=对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（对边中点所连成的直线）二、重难点突破重点1利用矩形的性质求线段长度例1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5AB cm =，则矩形对角线BD 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OD ，结合120AOD ∠=︒得到30ADO DAO ∠=∠=︒，进一步得到BD=2AB ．【详解】因为四边形ABCD 为矩形，所以AC BD =，90BAD ∠=︒12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，所以OA OD =，所以ADO DAO ∠=∠，因为120AOD ∠=︒所以1801801203022AOD ADO DAO ︒-∠︒-︒∠=∠==︒因为90BAD ∠=︒，所以12AB BD =，故22 2.55BD AB cm ==⨯=．故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和含30°的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解．变式1-1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若6AB cm =，8BC cm =，则EF 的长是（）A ．2.2cmB ．2.3cmC ．2.4cmD ．2.5cm【答案】D 【分析】由勾股定理求出BD 的长，根据矩形的性质求出OD 的长，最后根据三角形中位线定理得出EF 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，AC=BD ，OA=OC=OD=OB ，∵6AB cm =，8BC cm =，∴AC 10cm==∴BD =10cm ，∴152OD BD cm ==，∵点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，∴115 2.522EF OD cm ==⨯=．重点点拨：在矩形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．变式1-2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是（）A ．1B ．125C ．2D ．53【答案】D 【分析】连接CE ，由矩形的性质得出∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，OA ＝OC ，由线段垂直平分线的性质得出AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝6−x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】连接CE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，OA ＝OC ，∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝6﹣x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：x 2+42＝（6﹣x ）2，解得：x ＝53，即DE ＝53；故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．重点2利用矩形的性质求角度例2.如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，60∠=o，延长BC到E使CE=BD，连接ABDAE，则AEB∠的度数为（）A．15 B．20 C．30 D．60【答案】A【分析】如图，连接AC．只要证明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解决问题．【详解】如图，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．变式2-1将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（）A．125°B．115°C．110°D．120°【答案】B【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1+∠BFE＝180°，∵∠1＝125°，∴∠BFE ＝55°，∵在△EGF 中，∠EGF ＝90°，∠FEG ＝30°，∴∠EFG ＝180°﹣∠EGF ﹣∠FEG ＝60°，∴∠BFG ＝∠BFE+∠EFG ＝55°+60°＝115°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．变式2-2如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE ⊥AC 于点E ，若∠AOD ＝110°，则∠CDE ＝________°．【答案】35【分析】先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD 的度数，再根据DE ⊥AC 即可得到∠CDE 的度数．【详解】∵∠AOD ＝110°，∴∠ODC+∠OCD=110°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴∠ODC=∠OCD=55°，又∵DE ⊥AC ，∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=180°-55°-90°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解题关键．重点3利用矩形与折叠的性质进行计算例3.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点1D 、1C 的位置，1ED 的重点点拨：矩形的每条对角线都将矩形分成两个直角三角形，因此利用矩形的性质求线段的长度，可以转化为在直角三角形中求线段的长度，利用勾股定理等来解答.延长线交BC 于点G ，若64EFG ∠=︒，则EGB ∠等于（）A ．128︒B ．130︒C ．132︒D ．136︒【答案】A 【分析】由矩形得到AD //BC ，∠DEF =∠EFG ，再由与折叠的性质得到∠DEF =∠GEF =∠EFG ，用三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∵矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，∴∠DEF =∠GEF ，又∵AD //BC ，∴∠DEF =∠EFG ，∴∠DEF =∠GEF =∠EFG =64︒，∵EGB ∠是△EFG 的外角，∴EGB ∠=∠GEF +∠EFG =128︒故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．变式3-1将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB 的大小是()A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°【答案】D【分析】首先根据折叠的性质得出∠DEA=∠D′EA=55°，然后由余角的性质得出∠DEA=∠EAD′=35°，进而得出∠D′AB=20°，最后即可得出∠EAB.【详解】根据折叠的性质，∠CED'=70°，得∠DEA=∠D′EA=18070552︒-︒=︒∵∠ADE=∠AD′E=90°∴∠DAE=∠EAD′=90°-55°=35°∴∠D′AB=90°-∠DAE-∠EAD′=90°-35°-35°=20°∴∠EAB=∠EAD′+∠D′AB=35°+20°=55°故答案为D.【点睛】此题主要考查折叠的性质以及余角的性质，熟练掌握，即可解题.变式3-2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（）A．95B．185C．165D．125【答案】B【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=125，即可得BF=245，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=18 5．【详解】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴=，∵1122AB BE AE BH⋅=⋅，∴1134522BH ⨯⨯=⨯⨯，∴BH=125，则BF=245，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴=18 5．故选B．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质及勾股定理的应用，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．变式3-3如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解重点4直角三角形斜边上的中线的性质的运用例4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．【答案】2【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】在Rt △ABC 中，∵AD=BD=4，∴CD=12AB=4，∵AF=DF ，AE=EC ，∴EF=12CD=2，故答案为2.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．变式4-1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，点F 是BC 的中点，点D 是AB 的中点，连接AF 和DF ，若△DBF 的周长是11，则AB ＝_____．【答案】8【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=12AB ，EF=12BC ，然后代入数据计算即可得解．重点点拨：通过图形的折叠分别找出折叠部分与原图形之间线段和角的关系，将条件集中在一个直角三角形中，再利用勾股定理求解.【详解】解：∵AF ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 是AB 的中点，∴DE=DF=12AB ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴点F 是BC 的中点，∴BF=FC=3，∵BE ⊥AC ，∴EF=12BC=3，∴△DEF 的周长=DE+DF+EF=AB+3=11，∴AB=8，故答案为8．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．变式4-2如图，在Rt △BAC 和Rt △BDC 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO ．若AO ＝3，则DO 的长为_____．【答案】3【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.【详解】∵在Rt △BAC 和Rt △BDC 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，O 是BC 的中点，∴12AO BC =,12DO BC =,∴DO =AO =3.故答案为3.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.重点5利用矩形的性质进行证明例5.在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB =重点点拨：含两直角的四边形中，若出现一条对角线将该四边形分割成两个直角三角形的情形，且已知斜边上的中点，一半可作斜边上的中线（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .【分析】（1）利用“AAS”证△ADF ≌△EAB 即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF ，根据DF=AB 可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠DAF ，又∵DF ⊥AE ，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B ，又∵AD=EA ，∴△ADF ≌△EAB ，∴DF=AB ．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF ，∵DF=AB ，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．变式5-1已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE =CF ，EF ⊥DF ，求证：BF =CD ．【分析】由四边形ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由EF 与FD 垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形BEF 与三角形CFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠C =90°∵EF ⊥DF∴∠EFD =90°∴∠EFB +∠CFD =90°∵∠EFB +∠BEF =90°∴∠BEF =∠CFD在△BEF 和△CFD 中，BEF CFD BE CF B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BEF ≌△CFD （ASA ）∴BF =CD ．【点睛】考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质三、提升训练1.下列说法正确的是（）A ．矩形的对角线互相垂直且平分B ．矩形的邻边一定相等C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D【分析】根据矩形的性质可知：A 、B 两个选项错误；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C 选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D 选项正确．【详解】A ：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误；B ：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误；C ：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误；重点点拨：矩形的对边平行且相等，对角线相等且互相平分，这些性质都可以用来证明线段相等或线段的倍分问题.D ：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确．故选：D【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质．2.如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE =1，BC =3，则CD 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】先根据翻折变换的性质得出EF =BE =1，BC =CF =AD =3，可证得△AED ≌△FDC 进而求得CD 的长．【详解】解：由题意得：E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，可得BE =EF =1，CF =BC =3，∠EFC =∠B =90︒，ABCD 为矩形，可得∠AED =∠CDF ，在△AED 与△FDC 中，AD =CF ，∠A =∠DFC =90︒，∠AED =∠CDF ，∴△AED ≌△FDC ，ED =CD ，设CD 的长为x ，在Rt △EAD 中，有222ED AE AD =+，即222(1)3x x =-+，解得x =5，故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键．3.如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠EAO ＝15°，则∠BOE 的度数为（）．A ．85°B ．80°C ．75°D ．70°【答案】C【分析】由矩形的性质得出OA ＝OB ，再由角平分线得出△ABE 是等腰直角三角形，得出AB ＝BE ，证明△AOB 是等边三角形，得出∠ABO ＝60°，OB ＝AB ，得出OB ＝BE ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∵∠EAO ＝15°，∴∠BAO ＝45°+15°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，OB ＝AB ，∴∠OBE ＝90﹣60°＝30°，OB ＝BE ，∴∠BOE ＝12（180°﹣30°）＝75°．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．4.如图，将矩形纸条ABCD 折叠，折痕为EF ，折叠后点C ，D 分别落在点C '，D '处，D E '与BF 交于点G ．已知30BGD '∠=︒，则α∠的度数是（）A ．30°B ．45°C ．74°D ．75°【答案】D 【分析】依据平行线的性质，即可得到AEG ∠的度数，再根据折叠的性质，即可得出α∠的度数．【详解】∵矩形纸条ABCD 中，//AD BC ，∴30AEG BGD '∠=∠=︒，∴18030150DEG ∠=︒-︒=︒，由折叠可得，111507522DEG α∠=∠=⨯︒=︒，故选：D ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5.如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若4MN =，则AC 的长为__．【答案】16.【分析】根据中位线的性质求出BO 长度，再依据矩形的性质2AC BD BO ==进行求解问题．【详解】M 、N 分别为BC 、OC 的中点，2248BO MN ∴==⨯=，四边形ABCD 是矩形，216AC BD BO === ，故答案为16．【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．6.如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若5AB =，12AD =，则四边形ABOM 的周长为_______.【答案】20【分析】先由5AB =，12AD =得到13AC =，然后结合矩形的性质得到 6.5OB =，再结合点O 和点M 分别是AC 和AD 的中点得到OM 和AM 的长，最后得到四边形ABOM 的周长．【详解】5AB = ，5CD ∴=，12AD =∵，90D ∠=︒，13AC ∴=，点O 和点M 分别是AC 和AD 的中点，6.5OB ∴=，162AM AD ==，OM 是ACD ∆的中位线，1 2.52OM CD ∴==，5 6.5 2.5620ABOM C AB BO OM MA ∴=+++=+++=四边形．故答案为：20．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．7.如图，E 是矩形ABCD 的对角线的交点，点F 在边AE 上，且DF =DC ，若∠ADF =25°，则∠BEC =________．【答案】115°【分析】由∠ADF 求出∠CDF ，再由等腰三角形的性质得出∠DFC ，从而求出∠BCE ，最后用等腰三角形的性质即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，BE =CE ．∵∠ADF =25°，∴∠CDF =∠ADC ﹣∠ADF =90°﹣25°=65°．∵DF =DC ，∴∠DFC =∠DCA =（180°-∠CDF ）÷2=（180°-65°）÷2=1152，∴∠BCE =∠BCD ﹣∠DCA =90°﹣1152 =652．∵BE =CE ，∴∠BEC =180°﹣2∠BCE =180°﹣65°=115°．故答案为：115°【点睛】本题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是求出∠DFC ．是一道中考常考的简单题．8.如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=2，DF=8，则AB 的长为______．【答案】3【分析】先证明∠ADE=∠DEC ，设∠CED=x ，则∠AED=2x ，∠ADE=x ，证明∠AED=∠AGE=2x ，则AE=AG=4，由勾股定理计算AB 的长即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠BAD=90°，∴∠ADE=∠DEC ，设∠CED=x ，则∠AED=2x ，∠ADE=x ，在Rt △FAD 中，G 是DF 的中点，DF=8，∴AG=DG=4，∴∠GAD=∠ADE=x ，∴∠AGE=∠GAD+∠ADE=2x ，∴∠AGE=∠AED=2x ，∴AE=AG=4，由勾股定理得：2222AE BE 42-=-3故答案为:3【点睛】本题考查了矩形的性质，还考查了等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，设未知数，分别表示相关的角，根据等角对等边证明边相等，从而可以利用勾股定理计算边的长度．9.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，如果∠ADB ＝38°，则∠E 等于_____度．【答案】19【分析】由矩形性质可得∠E=∠DAE 、BD=AC=CE ，知∠E=∠CAE ，而∠ADB=∠CAD=38°，可得∠E 度数．【详解】解：如图，记矩形的对角线的交点为O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC=BD ，,OA OD OB OC ===∴∠E=∠DAE ，∠ADB=∠CAD=38°，又∵BD=CE ，∴CE=CA ，∴∠E=∠CAE ，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE ，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故答案为：19．【点睛】本题主要考查矩形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．10.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=3，动点P 满足PAB S ∆=13ABCDS 矩形，则PA+PB 的最小值为_____．【答案】【分析】首先由PAB S ∆=13ABCDS 矩形，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值．【详解】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ，∵PAB S ∆=13ABCD S 矩形，∴1123AB h AB AD = ，∴223233h AD ===，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=8，AE=2+2=4，∴222284805AB AE ++即PA+PB 的最小值为5故答案为：45【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．根据面积关系得出动点P 所在的位置是解题的关键．11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【答案】22【分析】取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=12AB=2，22AD AE +22222+，∴OD 的最大值为：22，故答案为22【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．12.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P ，E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（1）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长；（2）求证：PC ⊥CF ．【分析】（1）先求出AC ，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（2）连接PF ，DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连接OC ，根据矩形的性质解答即可．【详解】（1）在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，22AD DC +=10；要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：①当CP=CD 时，CP=6，∴AP=AC-CP=4；②当PD=PC 时，∠PDC=∠PCD ，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA ，∴PD=PA ，∴PA=PC ，∴AP=AC 2，即AP=5；③当DP=DC 时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ=CQ ，∵S △ADC =12AD·DC=12AC·DQ ，∴DQ=AD·DC 24AC 5=，∴2218DC DQ 5-=，∴PC=2CQ =365,∴AP=AC-PC=145.综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或145.（2）连接PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连接OC ，四边形ABCD 是矩形，1BCD 90,OE OD,OC ED 2∠∴=︒=∴=在矩形PEFD 中,PF DE =,∴1OC PF 2=,1OP OF PF 2== ,OC OP OF ∴==,OCF OFC ∠∠∴=,OCP OPC∠∠=又OPC OFC PCF 180∠∠∠++=︒ ，2OCP 2OCF 180∠∠∴+=︒,PCF 90∠∴=︒∴PC ⊥CF ．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算．。

18.3矩形【知识点】1 矩形的定义：有一个角是____________的____________叫做矩形.2 矩形的性质：（1）矩形的四个角都是____________.（2）矩形的对角线____________.3 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于_________的一半.4 矩形的判定：（1）有一个角是____________________的平行四边形是矩形；（2）____________________的平行四边形是矩形；（3）____________________都是直角的四边形是矩形.【例题讲解】例1 如图，在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE＝AF，连接AE，DE，BF.（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求证：AE平分∠DEB.例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，求CD的长.例3 如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形.【举一反三】1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，四边形ACDF为矩形，试求出∠BCD的度数.2 如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CE是高，连接DE.（1）求证：BC＝2DE；（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数.3 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD. 求证：四边形ABCD是矩形.【知识操练】中位线定理1 如图18-16-8，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠BOC ＝120°，则BC 的长为（ ） A.32cm B. 4 cm C.34cm D. 8 cm2 如图18-16-9，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 164 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A. AB=BEB. BE ⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE ⊥DE5 如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ）A. ∠1＝∠2B. ∠ABC ＝90°C. AC ⊥BDD. AB ＝BC6 如图18-17-6，在△ABC 中，AC 的中垂线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E. 若∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ） A.32 B. 22 C. 33 D. 237 如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E ，F 分别是BD ，DC 的中点，若AB ＝8，BC ＝6，则AE+EF 的长为____________.8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，试添加一个条件：_________________________,使四边形ABCD 为矩形.9 如图18-16-12，四边形ABCD 为矩形，AE ⊥EG ，已知∠1＝25°，则∠2＝____________________10 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________________________________.11 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，AC ＝4，CD ＝3. 求直角边BC 的长.12 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P沿A→B→C→O运动，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为_________________________.13 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则矩形OABC的对角线AC长是________.14 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，OE交CD于点F. 求证：AD＝2EF.15 如图，AB丄AC于点A，BD丄CD于点D，O是BC的中点，若BC=6 cm，∠AOD=60°，求AD的长.16 如图，在矩形ABCD中，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4 cm，AD＝5 cm，当EF⊥BD时，求四边形ABFE的面积.17 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为点F，G. 求证：PF+PG=AB.18 如图，在☐ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形.19 在平面直角坐标系中，A（-2，-2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为__________________时，四边形ABCD是矩形.20 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，若DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？20如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON=OB，再延长OC至点M，使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形．21 如图，☐ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE的位置，已知AO＝1，BO＝2，AB＝5. 求证：四边形OCED是矩形.22 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，连接AE,AF. （1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.。

人教版八年级下册第1课时矩形的性质(379)1.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=．2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，则BD=．3.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，重叠部分为△EBD，则下列说法错误．．的是（）A.AB=CDB.∠BAE=∠DC′EC.EB=EDD.∠ABE一定等于30∘4.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC,BD的交点，且∠CAE=15∘.(1)求证：△AOB为等边三角形；(2)求∠AOE的度数．5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(填序号)．①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90∘；⑥轴对称图形．6.已知矩形的对角线长是4cm，一边长是2√3cm，则该矩形的面积是cm2.7.矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O,∠AOB=60∘,OA=3,则AC=，AB=,BC=．8.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40∘，则两条对角线相交所成的锐角的度数是（）A.20∘B.40∘C.60∘D.80∘9.如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC，BD上的点，且AE=DF．求证：BE=CF．10.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB=10，则CE=．参考答案1.【答案】:2.52.【答案】:2【解析】:∵AO=CO=BO=DO=1，∴BD=23.【答案】:D4(1)【答案】证明：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=45∘.又∵∠CAE=15∘，∴∠BAC=60∘.又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形．(2)【答案】∵△AOB为等边三角形，∴BO=AB．∵在Rt△ABE中，∠BAE=45∘，∴AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO．又∵∠OBE=90∘−60∘=30∘,∴∠BOE=∠BEO=75∘,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135∘.5.【答案】:④⑤⑥6.【答案】:4√37.【答案】:6；3；3√38.【答案】:D9.【答案】:证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB=OC=OD．∵AE=DF，∴OE=OF．在△BOE与△COF中，{OB=OC,∠BOE=∠COF, OE=OF,∴△BOE≅△COF，∴BE=CF．10.【答案】:5。

ODC B AONM DCBA E CBO EDCB A【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第1课时 矩形的性质1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 2. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A ．对角线互相平分且相等 B ．四个角相等 C ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直3. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=6, BC=8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.4. 一个矩形周长是16cm, 对角线长是7cm, 那么它的面积为__________________.5. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若OA=1, 3, 那么∠BDC 的大小为________________.6. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMDONCS S=. 其中正确的是______________.7. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.8. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.9. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_______. 10. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=23, CD=2, 那么CE=________；BE=_________PH DCBA FED C B AFED CB A11. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, （1）求证：△ABH ≌△PAD ； （2）求证: PB 平分∠CBH.12. 如图， 在矩形ABCD 中, △CEF 为等腰直角三角形, （1）求证：AE=AB ；（2）若矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm,求△CEF 的面积.13. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, （1）求证：AF=EF ； (2)求EF 长;14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△C1DE（2）求图中阴影部分的面积.★15.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

D ACF OEB第十八章 平行四边形18.2.1 矩形一、选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对边相等D ．对角线互相平分 2、在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．对角线互相垂直平分 3、下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形 4、四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件不能判定它是矩形的是（ ） A ．AB=CD ，AB ∥CD ，∠BAD=90° B ．AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC ．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D ．∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC=90°5、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4二、填空题6、长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .7、如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 是AB 上一点，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，点B 落在AD 边的点F 上，则AF 的长为________．第7题图 第8题图8、如图,在矩形ABCD 中,AB=3cm ，BC=4cm ，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 长为________．9、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD =60°，OB=•4，•则DC=________．第9题图 第10题图10、如图 所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题11、如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，AE =2BC ，且A E=AB ，求∠CBE 的度数．12、如左下图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分∠BAD ,若∠EAO ＝15°, 求∠BOE 的度数．13、如图，A BCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形.14、如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？15、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.16、如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小.17、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．18、如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？19、如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF CE=，且,2EF CE DE cm⊥=，矩形ABCD的周长为16cm，求AE与CF的长．20、如图，ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H.求证：EG = FH.21、已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD 落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．参考答案：一、1、A 2、D 3、C 4、C 5、D二、6、57、48、3或1.59、4310、8cm ,4cm三、11、15°12、∠BOE=○7513、提示：证明AC = BD14、解：四边形AECF是矩形．∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．15、【提示】由△DAF≌△CBE可知AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据∠A＝∠B，且∠A＋∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°；综上所述，四边形ABCD是矩形.16、解：如图，连接AC，则AC=BD=CF，所以∠F=∠5，而且∠1=∠3∠4=∠6-∠7=∠BEF+∠F-∠7=90°-∠7+∠F=∠1+∠F=∠3+∠5=∠2∴∠4=∠2= =45°，∴∠BAF的度数为45°。

18.2.1《矩形》矩形的性质1．已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_____cm．2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，•菱形的边长是________cm．3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．5 .若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为6.菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．7．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.12.在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为：13.菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为：14.菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为：15.菱形的两条对角线长之比是5：3，它们的差是4厘米，则这个菱形的面积是16.菱形ABCD的对角线AC＝16厘米，BD＝16厘米，BC＝10厘米，DE⊥BC，垂足为点E，则DE的长是17.菱形的一个内角为120度度，较短的对角线长为15，则该菱形的周长为4、菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为。

5、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为。

2、棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（）A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm11.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积．12. 在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．8．已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ．求证：∠AEF=∠AFE ．12、如图，菱形ABCD 中，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，请你猜想CE 与CF 的大小关系？并说明理由。

八年级下册18.2.1矩形课时练习一.选择题（共15小题）1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）答案：B知识点：坐标与图形性质；矩形的性质解析：解答：解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选B．分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．2.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M 运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A. B.C. D.答案：A知识点：函数的图像；分段函数；矩形的性质解析：解答：解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．故选A．分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．3.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE 的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.4答案：D知识点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，即x2＝（5﹣x）2+32，解得x＝3.4．故选D．分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．本题考查了利用线段的垂直平分线的性质.矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．4.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或20答案：C知识点：等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：△AEF中，AE＝AF＝10cm；S△AEF＝•AE•AF＝50cm2；②如图（2）：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB﹣AG＝16﹣10＝6cm；根据勾股定理有：BH＝8cm；∴S△AGH＝AG•BH＝×8×10＝40cm2；③如图（3）：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD﹣AM＝18﹣10＝8cm；根据勾股定理有DN＝6cm；∴S△AMN＝AM•DN＝×10×6＝30cm2．故选C．分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．题主要考查了等腰三角形的性质.矩形的性质.勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．5.菱形具有而矩形不具有性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分且相等答案：C知识点：菱形的性质；矩形的性质解析：解答：解：A.菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；B.菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；C.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；D.菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．分析：由于菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，据此进行比较从而得到答案．本题考查矩形与菱形的性质的区别：矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分.垂直且平分每一组对角．6.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④答案：D知识点：矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。