2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测十三理科数学(含答案)

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B. 2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.3．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，而直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＝k ，k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.4．若下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－53解析：选A 由题意知，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∵a ≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，f (1)＝13－1＋1＝13.5．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝x －x －x>0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．－427，0B ．0，－427C.427，0 D ．0，427解析：选C 由题意知，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x＝13或x ＝1，易得当x ＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0. 8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)·f (x 2－1)，所以0<x ＋1<x 2－1，解得x >2.9.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点 解析：选D 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(0,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，而0<1e <1<e<3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．11．(2017·成都模拟)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t，2处的切线与曲线C 2：y＝ex ＋1－1也相切，则t ln 4e2t的值为( )A ．4e 2B ．8eC ．2D ．8解析：选D 由y ＝tx ，得y ′＝12t ·x －12，则曲线C 1在x ＝4t 时的切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1－1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1－1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4－1，故切线方程又可表示为y－t 4＋1＝t 4x －ln t 4＋1，即y ＝t 4x ＋t 4ln 4t ＋t 2－1，所以由题意，得t 4ln 4t ＋t 2－1＝1，即t ln 4t＋2＝8，整理得t ln 4e2t＝8，故选D.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2D.[)e 2－2，＋∞解析：选A 由题意，知方程x 2－a ＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x－2x ＝－x ＋x －x.易知x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )>0，x ∈[1，e]时f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)＝2－e 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e2，f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选A.二、填空题13．(2017·张掖模拟)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，∵函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，∴f ′(x )≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 14．(2017·山东高考)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析：设g (x )＝e x f (x )，对于①，g (x )＝e x ·2－x， 则g ′(x )＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求； 对于②，g (x )＝e x ·3－x，则g ′(x )＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求； 对于③，g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数g (x )在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求； 对于④，g (x )＝e x ·(x 2＋2)，则g ′(x )＝[e x·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x ·[(x ＋1)2＋1]>0， 所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④15．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的导数f ′(x )＝e x－m ，即切线斜率k ＝e x－m ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则满足(e x －m )e ＝－1，即e x －m ＝－1e 有解，即m ＝e x ＋1e 有解，∵e x＋1e ＞1e ，∴m ＞1e.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 16．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝e x＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1>x 2时都有f (x 1)－f (x 2)>x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1>x 2时，都有f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x－1)，x >0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1>(0＋1)e 0－1＝0(x >0)，h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(2017·陕西质检)设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选D f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0得tan x ＝－x ，所以tan 2x 0＝x 20，故(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝(1＋tan 2x 0)·2cos 2x 0＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0＝2，故选D.2．(2017·开封模拟)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选A 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7>0；x 0＝2时，y ＝－1<0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.3．(2017·惠州调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析：选D f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )，所以f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)可变形为f (ln x )<f (1)．f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，因为2＋cos x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (ln x )<f (1)等价于|ln x |<1，即－1<ln x <1，所以1e<x <e.故选D.4．设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由正弦型函数的图象可知：f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3，则πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z)，从而得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k ∈Z)．所以不等式x 20＋[f (x 0)]2<m 2即为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3<m 2，变形得m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3，其中k ∈Z.由题意，存在整数k 使得不等式m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3成立．当k ≠－1且k ≠0时，必有⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122>1，此时不等式显然不能成立，故k ＝－1或k ＝0，此时，不等式即为34m 2>3，解得m <－2或m >2.5．若对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，函数f (x )＝12x 2－ax －2b 与g (x )＝2a ln(x －2)的图象均有交点，则实数b 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫158＋ln 2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1516＋12ln 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞ 解析：选A 依题意，原问题等价于对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，关于x 的方程12x 2－ax －2a ln(x －2)＝2b 有解．设h (x )＝12x 2－ax －2a ln(x －2)，则h ′(x )＝x －a －2a x －2＝xx －a －x －2，所以h (x )在(2，a ＋2)上单调递减，在(a ＋2，＋∞)上单调递增，当x →2时h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，h (a ＋2)＝－12a 2－2a ln a ＋2，记p (a )＝－12a 2－2a ln a ＋2，则h (x )的值域为[p (a )，＋∞)，故2b ∈[p (a )，＋∞)对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，即2b ≥p (a )max ，而p ′(a )＝－a －2ln a －2≤－12＋2ln 2－2<0，故p (a )单调递减，所以p (a )≤p ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝158＋ln2，所以b ≥1516＋12ln 2，故选A.6．(2017·张掖模拟)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.。

课时跟踪检测（三)1．已知命题p：∀x〉0，x3〉0，那么綈p是( ）A．∃x0≤0，x错误!≤0B．∀x〉0，x3≤0C．∃x0〉0,x错误!≤0D．∀x<0，x3≤0答案:C解析：全称命题的否定为特称命题,所以应将“∀"改成“∃”，结论中的“〉”改成“≤”．2．已知命题p:∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1,则綈p为（）A．∃x0≤0，使得（x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1）e x0≤1C．∀x＞0,总有（x＋1)e x≤1D．∀x≤0,总有(x＋1)e x≤1答案：B解析：命题p为全称命题，所以綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1。

3．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x错误!＝1－x错误!，则下列命题中为真命题的是（) A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧（綈q) D．(綈p)∧（綈q）答案：B解析:当x＝－1时，错误!〉错误!，故p为假命题．由于x3在第一象限是增函数，1－x2在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题q为真命题．4．下列命题中，真命题是( ）A．∀x∈R，－x2－1<0B．∃x0∈R，x20＋x0＝－1C．∀x∈R，x2－x＋错误!〉0D．∃x0∈R，x20＋2x0＋2〈0答案：A解析:A真；由x2＋x＝－1无解，所以x错误!＋x0＝－1不成立，B假；由x2－x＋错误!＝错误!2≥0，C假；x错误!＋2x0＋2＝(x0＋1)2＋1>0，D假．5．如果命题“p∧q”是假命题，綈p也是假命题,则( )A．命题“(綈p)∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“(綈p）∧q”是真命题D．命题“p∧（綈q)”是假命题答案：A解析：由“綈p”是假命题可得p为真命题．因为“p∧q”是假命题，所以q为假命题．所以命题“（綈p)∨q”是假命题,即A正确；“p∨q”是真命题,即B错误；“(綈p）∧q"是假命题,C错误;“p∧(綈q)"是真命题，即D错误．6．已知命题p：函数y＝a x＋1＋1（a〉0且a≠1）的图象恒过点（－1，2)；命题q：已知平面α∥平面β，则“直线m∥α”是“直线m∥β”的充要条件．下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．（綈p）∧q D．p∧（綈q)答案：D解析：由指数函数恒过点(0，1)知,函数y＝a x＋1＋1是由y＝a x先向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到．所以函数y＝a x＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m⊂β，故q是假命题．所以“p∧(綈q)”为真命题．7．若命题“∃x0∈R，x错误!＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．B．（－1，3)C．（－∞,－1]∪∪∪1．给定命题p：函数y＝ln为偶函数;命题q：函数y＝错误!为偶函数．下列说法正确的是（)A．p∨q是假命题B．（綈p）∧q是假命题C．p∧q是真命题D．(綈p)∨q是真命题答案:B解析：对于命题p：令y＝f(x）＝ln，由(1－x）(1＋x）＞0，得－1＜x＜1,∴函数f(x)的定义域为(－1，1），关于原点对称，又∵f（－x）＝ln＝f(x),∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题；对于命题q：令y＝f（x)＝错误!，函数f（x)的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝错误!＝错误!＝错误!＝－f（x），∴函数f（x)为奇函数，∴命题q为假命题，∴(綈p)∧q是假命题，故选B。

课时跟踪检测（五）一、选择题1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1]解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所以m ≤－2或m ≥1，故选C.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2³3x ³79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12³5³22＝52，故选C. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，则B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→²CP ―→＝－32，则λ＝( ) A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→²CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12. 二、填空题7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a²b b²b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b²a a²a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1. 又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a <1. ∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12. ①³②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：328.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 所以cos ∠PAQ ＝AP ―→²AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347³3＝32114. 答案：321149．(2017²石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组。

课时跟踪检测（三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质量检测)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1 C. 3D ． 2解析：选D 由正弦定理asin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，即112＝b 22，∴b ＝2，故选D.2．(2017·张掖模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则sin B ＝( )A.74 B.34 C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，得b 2－a 2＝12ac ，∵c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，则sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 3．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12解析：选A ∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， ∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－2.4．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A成等差数列，则B ＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 由题意知2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ，解得cos B ＝12，所以B ＝60°.5．(2018届高三·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 6．(2017·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.7．(2017·惠州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.2＋1B.3＋1 C ．2D. 5解析：选B 由正弦定理bsin B ＝csin C，得sin B ＝b sin Cc ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 8．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝4a ＋2b －5且a 2＝b 2＋c 2－bc ，则sin B 的值为( )A.32B.34 C.22D.35解析：选B 由a 2＋b 2＝4a ＋2b －5可知(a －2)2＋(b －1)2＝0，故a ＝2且b ＝1.又a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故sin A ＝32.根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝322＝34，故选B.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2－c 2＝0，∴b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形，故选C.10．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233，故选D.11．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos ∠A ＝( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin ∠A ，所以BD ＝AD ＝22sin ∠A .因为AD＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BDsin ∠C ＝BC sin ∠BDC ，得22sin ∠A 32＝4sin 2∠A ，整理得cos ∠A ＝64.12．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 二、填空题13．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°14．(2017·广州模拟)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sinC ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sinC (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32.答案：3215．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝277，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝217，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.答案： 5B 组——能力小题保分练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝( )A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.2．(2017·合肥质检)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sinπ3＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4 ⎩⎪⎨⎪⎧1－cos 2B 2＋1－A ＋B2⎭⎪⎬⎪⎫＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]，故选A.3.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m .答案：1504．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.解析：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，AB ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a . 在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a .∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12BC ·AD ，即12×23a ×53a ·sin∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝31010.答案：310105.如图，在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，则AC ＝________.解析：因为BD ＝2DC ，设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，因为cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，所以sin ∠DAC ＝1010，sin ∠C ＝55，在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin ∠C ＝CDsin ∠DAC ，即y55＝x 1010，即y ＝2x .又cos ∠ADB ＝cos(∠DAC ＋∠C )＝31010×255－1010×55＝22，则∠ADB ＝π4.在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ×AD cos π4，即2＝4x 2＋2x 2－2×2x ×2x ×22，即x 2＝1，所以x ＝1，即BD ＝2，DC ＝1，AD ＝2，在△ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ×AD cos 3π4＝5，得AC ＝ 5.答案： 56．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ，即32＝12×2×6×sin∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠DAC <3π4，又∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ，所以∠ACB <3π4，则∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝π6，在△BCD 中，BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠ABC ，即622＝CD 12，解得CD ＝ 3.答案： 3。

第2讲 不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 例1 (2017届四川省成都市三诊)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|， ∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] . ∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎡⎦⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2 ＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4. (1)解 由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4， 解得a ＝－3，b ＝1. (2)证明 由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2 ≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16， 所以－3t ＋12＋t ≤4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立． 又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)， 所以－3t ＋12＋t ≥2， 当且仅当t ＝4时等号成立， 综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1， 由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1， 即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|. 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3， 所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)， 于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3. (1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于 －(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3， 即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1， ∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于 －(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7， ∴－4≤x ≤－2＋7； ③当x >2时，原不等式等价于 (x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}． (2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6， 且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6， ∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ， ∴f (x －3)＝|x |－m ≥0. ∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0， 解得t ≤12或t ≥1.即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ， 当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立， 当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0； 当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅， 综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}． (2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |， ∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n | ≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5| ＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2， ∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34； (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由． (1)证明 记f (x )＝|x ＋2|－|1－x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12，∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14.∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， ∴|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1. (1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1； (2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |， a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以|am |＋|bn |＋|cp | ≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1. 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.B 组 能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解 令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1， 当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4， 当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0， ∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． (2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc . 7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0， 根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和． 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)， 这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)， 这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

课时跟踪检测（二十）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( )A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF ―→＝y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选 A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M 为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3.6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 由题可知，双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5. 二、填空题7．设P ，Q 分别为圆x 2＋y 2－8x ＋15＝0和抛物线y 2＝4x 上的点，则P ，Q 两点间的最小距离是________．解析：由题意知，圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C (4,0)，半径为1.由题意知P ，Q 间的最小距离为圆心C (4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝r 2，与y 2＝4x 联立，消去y 整理得，x 2－4x ＋16－r 2＝0，令Δ＝16－4(16－r 2)＝0，解得r ＝23，所以|PQ |min ＝23－1.答案：23－18．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 9．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，则x 1x 2＝－4；①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0.②由①②解得x 21＝2，x 22＝8，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[]y 1＋＋y 2＋＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝94.答案：94三、解答题10．(2017·合肥质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．解：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a ＋43b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)，则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3， 得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3， 则线段A 2B 的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3. ①∵P 是椭圆E 上的点，∴x 203＋y 202＝1，即x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，将其与椭圆方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x03y 0x －x 0，x 23＋y 22＝1.又2x 20＋3y 20＝6，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0， ∵Δ＝0，∴直线PQ 与椭圆E 相切，即直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．11．(2018届高三·广西三市联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1， ①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m m 2＋，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.当m ＝0时，k ＝0； 当m ≠0时，k ＝m4m 2＋4＝14m ＋4m， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18， ∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综上可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.12．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k23＋4k ，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k 23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．。

课时跟踪检测（一）集合、常用逻辑用语1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m ＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．2．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是( )A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D 因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.7.(2017·唐山模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan x ＝sin xcos x， ∴0<cos x <1，tan x >sin x ， ∴q 为真命题，选C.9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q ，则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，则P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．11．(2018届高三·广西五校联考)命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”，命题q ：“关于x 的方程2x－m ＝0有正实数解”，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,10]B ．(－∞，－2)∪(1,10]C ．[－2,10]D ．(－∞，－2]∪(0,10]解析：选B 若命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”为真命题，则Δ＝m 2－8m －20＞0，∴m ＜－2或m ＞10；若命题q 为真命题，则关于x 的方程m ＝2x有正实数解，因为当x ＞0时，2x＞1，所以m ＞1.因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故p 真q 假或p 假q真，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－2或m ＞10，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤10，m ＞1，所以m ＜－2或1＜m ≤10.12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1，m )与b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错； B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0， 解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n 0∈N *，3n 0≤(n 0＋2)·2n 0－1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确．13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1814．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}．(2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)3216．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若a ∈R ，则“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件；②“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件； ③若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则p 是真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”．解析：由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，∴“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件，故①正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， ∴命题p 为真命题，③正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故④不正确． 答案：②④课时跟踪检测（二） 平面向量与复数1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i1＋i ＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3 C.π4 D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝2＋32＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i＝＋2＋－＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322解析：选 A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCD S △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝△ABC＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i＝a－＋－＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a2＝－1，解得a ＝－2. 答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝＋2m2＋m －2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]课时跟踪检测（三） 不等式1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－12或x ＞2，则m－n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m (m ＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a＋4b≥22a·22b＝22a ＋2b＝22，当且仅当2a ＝22b，即a ＝12，b ＝14时取等号．3．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．5B ．7C ．8D ．23解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7.4．(2017·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.5．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x－2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x－2，x ＜2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3； 当x ＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．6．(2017·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点A 处z有最小值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，即A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ×a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5. 当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．7．(2017·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.8．(2017·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max＝|OA |2＝13，故选C.9．(2017·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63 B.233 C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x－0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，则4x ＋yxy的最小值为( )A ．16B ．18C ．20D ．27解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，∴|AB ―→|·|AC ―→|cos π6＝23，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin π6＝14bc ＝1.∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴4x ＋yxy＝1x ＋4y ＝3(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋y x＋4x y ≥3⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝27， 当且仅当y ＝2x ＝29时取等号，故4x ＋yxy的最小值为27.12．(2017·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选 D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：314．(2017·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.答案：－12515．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ， 由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2. 综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]． 答案：[－2,1]课时跟踪检测（四） 函数的图象与性质[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A.43 B.73 C ．4D.133解析：选D 将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c 19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133.2.(2018届高三·武汉调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x ＞0，x →0时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．选D.3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．f (x )＝x 3，x ∈(－3,3) B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝ln 2e e －－x x解析：选D 选项A 、B 、C 、D 对应的函数都是奇函数，但选项A 、B 、C 对应的函数在其定义域内都不是减函数，故排除A 、B 、C ；对于选项D ，因为f (x )＝ln 2e e －－x x，所以f (x )＝(e －x －e x)ln 2，由于函数g (x )＝e －x与函数h (x )＝－e x 都是减函数，又ln 2＞0，所以函数f (x )＝(e －x－e x)ln 2是减函数，故选D.4．函数f (x )＝ －x 2＋9x ＋10－2x －的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选 C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 6．函数f (x )＝x x2的图象大致是( )解析：选 A 由题意知，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－πx－x2＝x x2＝f (x )，∴f (x )为偶函数，排除C 、D ； 当x ＝1时，f (1)＝cos π1＝－1＜0，排除B ，故选A. 7．(2018届高三·衡阳八中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72＞3＞52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 8．(2017·甘肃会宁一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 法一：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12.法二：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.9.(2018届高三·辽宁实验中学摸底)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致为( )解析：选A 由一元二次方程的解法易得(x －a )(x －b )＝0的两根为a ，b ，根据函数零点与方程的根的关系，可得f (x )＝(x －a )(x －b )的零点就是a ，b ，即函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标为a ，b .观察f (x )＝(x －a )·(x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间(－2，－1)与(0,1)上，又由a ＞b ，可得－2＜b ＜－1,0＜a ＜1.函数g (x )＝a x＋b ，由0＜a ＜1可知其是减函数，又由－2＜b ＜－1可知其图象与y 轴的交点在x 轴的下方，分析选项可得A 符合这两点，B 、C 、D 均不满足，故选A.10．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．11．(2017·安徽六安一中测试)已知函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域为[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：选B 函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x ＞0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2,3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．13．若函数f (x )＝a －12x＋1为奇函数，则a ＝________. 解析：由题意知f (0)＝0，即a －12＋1＝0，解得a ＝12.答案：1214．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2 017)＝k ，则f (－2 017)＝________.解析：由f (2 017)＝k 可得，a ×2 0173＋b ×2 017＋1＝k ，∴2 0173a ＋2 017b ＝k －1，∴f (－2 017)＝－a ×2 0173－b ×2 017＋1＝2－k .答案：2－k15．(2017·安徽二校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－221log 3－＝－13.答案：－1316．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x，且当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是________．解析：∵当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立， ∴n ≤f (x )min 且m ≥f (x )max ，∴m －n 的最小值是f (x )max －f (x )min ， 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当x ∈[－3，－1]时，函数的最值与x ∈[1,3]时的最值相同，又当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f (1)＞f (3)， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (1)－f (2)＝5－4＝1. 故m －n 的最小值是1. 答案：1[B 级——中档小题强化练]1．函数f (x )＝1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2e 的图象大致是( )解析：选D 因为f (0)＝ln 2＞0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D. 2．(2018届高三·东北三校联考)已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2＋1，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选A 易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2＋1 是增函数， ∴使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 满足|2x －1|＜|x |， 解得13＜x ＜1.3．(2017·潍坊一模)设函数f (x )为偶函数，且∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 所以f (x )＝f (x ＋2)，得f (x )的周期为2. 因为当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ， 所以当x ∈[0,1]时，x ＋2∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.又f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，f (x )＝f (－x )＝－x ＋2，当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0,1]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4，所以当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3－|x ＋1|.4.(2017·安庆二模)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在t ＝0时，圆O 与l 2相切于点A ，圆O 被直线l 2所截得到的两段圆弧中，位于l 2上方的圆弧的长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 法一：如图所示，cosx2＝设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t ＝1时，圆O 在直线l 2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A 、D ；当t ＝12时，如图所示，易知∠BOC ＝2π3，所以cos 2π3＝－12＜0，排除C ，故选B.5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－126．(2017·张掖模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，又f (x )＋3＋f (x ＋2)≥f (x ＋3)＋f (x )＋2， 即f (x ＋2)＋1≥f (x ＋3)，∴f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，利用叠加法，得f (2 017)＝2 018.答案：2 018[C 级——压轴小题突破练]1．设m ∈Z ，对于给定的实数x ，若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤m －12，m ＋12，则我们就把整数m 叫做距实数x 最近的整数，并把它记为{x }，现有关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12；②函数f (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；③函数f (x )是奇函数；④函数f (x )是周期函数，其最小正周期为1. 其中，真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－12＋1＝12， 所以①是假命题；②令x ＝m ＋a ，m ∈Z ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，则f (x )＝x －{x }＝a ，∴f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以②是真命题； ③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－0＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴函数f (x )不是奇函数，故③是假命题； ④∵f (x ＋1)＝(x ＋1)－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )， ∴函数f (x )的最小正周期为1，故④是真命题． 综上，真命题的个数为2，故选B.2.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以 1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )解析：选A 当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24； 当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A. 3．(2017·河北邯郸一中月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x－f 2x2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b－a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1xf 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：54．(2017·湘中名校联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：因为f (x －2)是偶函数， 所以函数f (x )的图象关于x ＝－2对称． 又f (x )在(－∞，－2)上为增函数， 则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|， 即|2sin x |＜|sin x ＋1－m |，两边同时平方， 得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0， 即(3sin x ＋1－m )(sin x －1＋m )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＞0，sin x －1＋m ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＜0，sin x －1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＞m －1，sin x ＜1－m 或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＜m －1，sin x ＞1－m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜－3，1－m ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞3，1－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)课时跟踪检测（五） 基本初等函数、函数与方程[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．若f (x )是幂函数，且满足f f＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由ff＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．(2017·云南模拟)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选D 因为a ＝60.7＞1，b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1，所以a ＞c ＞b . 3．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图． 由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.4．(2017·河南适应性测试)函数y ＝a x－a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 由函数y ＝a x－a (a ＞0，a ≠1)的图象过点(1,0)，得选项A 、B 、D 一定不可能；C 中0＜a ＜1，有可能，故选C.5．已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ＞0，g x ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x，故g (x )＝－2x，x ＜0，选D.6．已知f (x )＝a x和g (x )＝b x是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可得，a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1. 充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2， 由f (2)＞g (2)知，a 2＞b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增， 可知a ＞b ，故充分性成立； 必要性：由题可知a ＞b ＞0，构造函数h (x )＝f x g x ＝a x b x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ，显然ab＞1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b2＞h (0)＝1，所以a 2＞b 2，故必要性成立．7．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 法一：∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C.法二：函数f (x )＝e x＋x －2的零点，即函数y ＝e x的图象与y ＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C.8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( ) A ．0 B ．2 C ．5D ．7解析：选 C ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，g x ，x ＜0，若f (x )为奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14的值为( )A ．－14B.14 C ．－2D ．2解析：选D 法一：当x ＞0时，f (x )＝log 2x ， ∵f (x )为奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x )， 即g (x )＝－log 2(－x )， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－log 214＝2. 法二：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－log 214＝－log 22－2＝2.10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3。

课时跟踪检测（十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1 000人、高二1 200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n ×81＝30，解得n ＝1 040.2．(2018届高三·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，故选D.3．(2017·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.4．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4mnD.2m n解析：选C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m n. 5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列判断正确的是( )A.x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定 解析：选B x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以x 甲＜x 乙，s 2甲＞s 2乙，故乙比甲成绩稳定，故选B.7．(2017·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别为( )A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091D.91216，12解析：选A P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝60120＝12.8．(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79解析：选C 所求概率为P ＝C 15C 14＋C 14C 15C 19C 18＝59. 9．(2017·沈阳质检)将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率为( )A.12B.14C.16D.18解析：选B A ，B ，C ，D 这4名同学排成一排有A 44＝24种排法．当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14.10．(2018届高三·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域为如图所示的矩形OABC 内部(含边界)，其面积为2×4＝8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x 2表示的平面区域为图中阴影部分，其面积为⎠⎛02x 2d x ＝13x 320＝83，因此所求概率为838＝13，故选B.11．(2018届高三·广东五校联考)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12 B.13 C.24D.23解析：选C 若直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2<1，解得－24<k <24，故在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24.12．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析：选A 由题意可得，x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，则z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m ＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm＝n n ＋m·x ＋m n ＋m·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以n n ＋m＝a ，mn ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<nn ＋m <12<mn ＋m ，故n <m . 二、填空题13．(2017·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x －，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16. 答案：1614．(2017·云南模拟)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N (90，σ2)．若分数在(70,110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．解析：记这次考试考生的分数为ξ，则考试分数的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P (70<ξ≤110)＝0.7，所以P (ξ≤70)＝P (ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.答案：15015．(2017·张掖模拟)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为________．解析：由2≤2sin θ＋2cos θ≤2，得22≤sin θ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，得满足条件的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为π2π＝12.答案：1216．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲>x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m ＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲>x －乙，故所求概率为410＝25.答案：25B 组——能力小题保分练1．(2017·成都模拟)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34解析：选D 如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.2．(2017·广州模拟)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.12B.1532C.1132D.516解析：选C 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个人同时抛出自己的硬币，基本事件总数共有25＝32种．若五个人同时坐着，有1种情况；若四个人同时坐着，一个人站着，有C 15＝5种情况；若三个人同时坐着，不相邻的两个人站着，有(甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊)5种情况．没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋5＋5＝11种，故所求的概率为1132.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，即(8－2d )(8＋4d )＝64，又d ≠0，所以d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝＋10＝13，中位数为12＋142＝13.4．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9， 所以当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，则OG 的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG ＝OA ·sin 60°＝1×32＝32，即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ，则由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方． 故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n ，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n 6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6. 答案：6。