2019年宁夏银川市高考数学一模试卷和答案(理科)
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2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．73．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．14．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．107．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣108．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．39．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．611．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g （x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝＝＝1﹣i．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，∴x＝1，2，3，y＝1，2，3．当x＝1时，x﹣y＝0，﹣1，﹣2；当x＝2时，x﹣y＝1，0，﹣1；当x＝3时，x﹣y＝2，1，0．即x﹣y＝﹣2，﹣1，0，1，2．即B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．3．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（3）＝log24＝2，又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣2；故选：A．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行知，双曲线的渐近线方程为x﹣2y＝0，即y＝x，∵双曲线的渐近线为y＝±，即＝，离心率e＝＝＝＝＝＝，故选：B．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝1，S＝1不满足条件n＞k，n＝4，S＝6不满足条件n＞k，n＝7，S＝19不满足条件n＞k，n＝10，S＝48由题意，此时应该满足条件n＝10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣10【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，∴+4q＝﹣10，解得q＝﹣（舍去），或q＝﹣2，∴a1＝＝1，∴S4＝＝﹣5，故选：C．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．3【解答】解：由，可得点P为线段BC的三等分点且靠近点C，设，的夹角为θ，由||cosθ的几何意义为在方向上的投影，则有：＝||||cosθ＝||2＝（）2＝3，故选：D．9．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n＝＝36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m＝＝6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p＝＝．故选：A．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y＝﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝﹣3+2×4＝5．故选：C．11．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g（x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的图象向左平移个单位得到g（x）＝sin（2x+）＝cos2x的图象，在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件，在区间[﹣，0]上，则2x∈[﹣π，0]，g（x）单调递增，故A不满足条件；在区间[，]上，则2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B不满足条件；在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件；在区间[，π]上，则2x∈[π，2π]，g（x）没有单调性，故D不满足条件，故选：C．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）+x2，则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g （x+2），若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g （x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|⇒（x+1）2＞（x+2）2，解可得x＞﹣，即不等式的解集为（﹣，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是y＝x．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1的导数为f′（x）＝e x﹣1，∴切线的斜率k＝f′（1）＝1，切点坐标为（1，1），∴切线方程为y﹣1＝x，即y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是2．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值，就是PF的距离减去y轴与准线方程的距离，可得最小值为：﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．【解答】解：点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，∴a n＝2n．∴S n＝＝n（n+1）．∴＝＝﹣．则数列的前n项和＝1﹣+……+﹣＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．【解答】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2﹣（R﹣2）2＝1，解得R＝，∴＝，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：【解答】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取100×＝40（人），从非示范性高中抽取100×＝60（人）；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：（60×0.005+80×0.018+100×0.02+120×0.005+140×0.002）×20＝92.4，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有100×0.002×20＝4（人），且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算K2＝＝42.982＞6.635，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意△ABP是等腰直角三角形，则a＝2，B（2，0），设点Q（x0，y0），由＝，则x0＝，y0＝，代入椭圆方程解得b2＝1，∴椭圆方程为+y2＝1．（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y＝kx+2，则M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理可得（1+4k2）x+16kx+12＝0，∴△＝（16k）2﹣48×（1+4k2）＞0，解得k2＞，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，当∠MON为直角时，k OM•k ON＝﹣1，∴x1x2+y1y2＝0，则x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝（1+k2）•+2k（﹣）+4＝0，解得k2＝4，即k＝±2，故存在直线l的斜率为±2，使得∠MON为直角．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．【解答】解：（1）证明：由题意：BC⊥AC且BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，则BC⊥DC1．又∵D是AA1的中点，AC＝AD，且∠CDA＝90°，∴∠ADC＝45°，同理∠A1DC1＝45°．∴∠C1DC＝90°，则DC1⊥DC，∴DC1⊥平面BCD；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AD＝h，则D（1，0，h），B（0，1，0），C1（0，0，2）．由条件易知CA⊥平面BC1C，故取＝（1，0，0）为平面BC1C的法向量．设平面DBC1的法向量为＝（x，y，z），则且，∵，，∴，取z＝1，得．由|cos＜＞|＝＝，解得h＝，即AD＝．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+1+a，∵函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0}处取得极小值﹣1，∴，得当a＝﹣1时，f'（x）＝lnx，则x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数f（x）取得极小值﹣1，∴a＝﹣1（2）由（1）知，函数g（x）＝xf（x）+b＝x2lnx﹣x2+b（b＞0），定义域为（0，+∞），g'（x）＝2x（lnx﹣），令g'（x）＜0，得0＜x＜，令g'（x）＞0，得x＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当x＝时，函数g（x）取得最小值b﹣，当b﹣＞0，即b＞时，函数g（x）没有零点；当b﹣＝0，即b＝时，函数g（x）有一个零点；当b﹣＜0，即0＜b＜时，g（e）＝b＞0，∴g（）g（e）＜0存在x1∈（，e），使g（x1）＝0，∴g（x）在（，e）上有一个零点x1设h（x）＝lnx+﹣1，则h'（x）＝﹣＝，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即当x∈（0，1）时，lnx＞1﹣，当x∈（0，1）时，g（x）＝x2lnx﹣x2+b＞x2（1﹣）﹣x2}+b＝b﹣x，取x m＝min{b，1}，则g（x m）＞0，∴g（）g（x m）＜0，∴存在x2∈（x m，），使得g（x2）＝0，∴g（x）在（x m，）上有一个零点x2，∴g（x）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，综上可得，当b＞时，函数g（x）没有零点；当b＝时，函数g（x）有一个零点；当0＜b＜时时，函数g（x）有两个零点．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．设B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，∵|OA||OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8，∴＝2cosθ，ρcosθ＝4，∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4（2）由题意知|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC＝|OC||ρB cosθ|＝|4﹣2cos2θ|，当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．【解答】解：（1）f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|＝，显然，f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴t＝﹣2，证明（2）g（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|+|x+1|＝2|x﹣1|，∴g（m+2）+g（2n）＝2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，由于m＞0，n＞0，且＝2，∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝（m+2n）（）＝2++≥4，当且仅当＝，即当n＝，m＝1时取“＝”，故g（m+2）+g（2n）≥4。
