河南省郑州市实验中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin sin =B A ，则(a = )B.2C. 1D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理化简即可求解．【详解】解：sin sin B A =，∴由正弦定理可得：b =，∴解得2a =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 2.已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列结论中必然成立的是( ) A. 若a b >，c b >，则a c > B. 若a b >，c d >，则a b c d> C. 若22a b >，则a b > D. 若a b >-，则c a c b -<+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。
详解】解：A ．a 与c 的大小关系不确定；B ．取2a =，1b =，1c =-，3d =-，满足a b >，c d >，则a bc d>不成立． C ．取2a =-，1b =-，不成立；D ．a b >-，a b ∴-<，则c a c b -<+，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A. 18 B. 36C. 45D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前n 项和公式求得9S 的值.【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以由28515a a a +=-得52815a a a ++=，即131215a d +=，而()19191289933123154522a a a dS a d ++=⨯=⨯=⨯+=⨯=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量计算，属于基础题. 4.不等式230x x -<的解集为（ ） A. {}03x x << B. {}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {}33x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】将不等式表示为230x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集.【详解】将原不等式表示为230x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<.因此，不等式230x x -<的解集为{}3003x x x -<<<<或，故选：B.【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.5.为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路,C D 两点进行测量.在C 点测得塔底B 在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿着南偏东40方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30，则塔的高度为 A. 5米 B. 10米 C. 15米 D. 20米【答案】B 【解析】 【分析】设出塔高为h ，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h 的值． 【详解】如图所示：设塔高为AB ＝h ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°， 则BC ＝AB ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD 3=； 在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD ， 3）2＝h 2+102﹣2h ×10×cos120°， ∴h 2﹣5h ﹣50＝0，解得h ＝10或h ＝﹣5（舍去）； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，43a =，则26(+a a ) A. 有最小值3B. 有最小值6C. 有最大值6D. 有最大值9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．【详解】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中，43a =，则262426226a a a a a +≥⋅== 当且仅当26a a =时，取等号。
2020-2021学年河南郑州高二上数学期中试卷一、选择题1. 命题“若x >2020，则x >0”的否命题是( ) A.若x >0，则x >2020 B.若x ≤2020，则x ≤0 C.若x >2020，则x ≤0 D.若x ≤0，则x ≤20202. 已知△ABC 中，角A ，B 的对边为a ，b ，a =1，b =√3，B =120∘，则A 等于( ) A.60∘ B.30∘ C.30∘或150∘ D.60∘或120∘3. 已知c >1，则不等式x 2−(c +1c )x +1>0的解集为( ) A.{x|x >1c或x >c} B.{x|1c<x <c}C.{x|x <1c或x >c} D.{x|c <x <1c}4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B sin C =sin 2A ，则△ABC 的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰且非等边三角形 D.直角三角形5. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如表给出了S n 的部分数据：那么数列 a n 4等于( ) A.−278或278B.−8116或8116C.8116D.2786. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≥x ，x +3y ≤4,x ≥−2， 则x −2y 的最大值为（ ）A.4B.−6C.−1D.27. 下列说法中，一定成立的是（ ）A.若1a>1b，则a <bB.若a >b ，c >d ，则ab >cdC.若a >b ，则a 2>b 2D.若|a|<b ，则a +b >08. 若a ，b 为实数，则"b <1a"是“ab <1"的（ ）A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME −7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=⋯=A 7A 8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，⋯OA n ，⋯的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )A.a n =n 2，n ∈N ∗B.a n =√n ，n ∈N ∗C.a n =n ，n ∈N ∗D.a n =√n +1，n ∈N ∗10. 给出下列结论：①在△ABC 中， sin A >sin B ⇔a >b ； ②常数列既是等差数列又是等比数列；③数列 {a n }的通项公式为 a n =n 2−kn +1，若{a n }为递增数列，则k ∈(−∞,2]； ④△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin A:sin B:sin C =3:5:7，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确结论的个数为（ ） A.3 B.2 C.0 D.111. 已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin B +cos B 的取值范围是( ) A.[12, √2] B.(1, √2] C.(1, 1+√32] D.[12, 1+√32]12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是( )①若S 10=0，则S 2+S 8=0；②若S 4=S 12，则使S n >0的最大的n 为15； ③若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大； ④若S 7<S 8，则S 8<S 9. A.4个 B.3个 C.1个 D.2个二、填空题若实数 a ， b ∈(0,1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为________. 三、解答题已知p:x 2−7x +10<0，q:x 2−4mx +3m 2<0，其中m >0． (1)若m =4，且p ∧q 为真，求x 的取值范围；(2)若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．在公比大于0的等比数列{a n }中，已知a 3a 5=a 4，且a 2,3a 4,a 3成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)已知S n =a 1a 2⋯a n ，试问当n 为何值时，S n 取得最大值，并求S n 的最大值．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b sin B+C 2=a sin B ．(1)求角A ；(2)若a =√7，△ABC 的面积为3√32，求△ABC 的周长．已知函数y =√ax 2+2ax +1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围．(2)若函数的最小值为√22，解关于x 的不等式x 2−x −a 2−a <0．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x (x >0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a −3x 50)(a >0)万元．(1)若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且12， a n ，S n 成等差数列．(1)判断数列{a n }是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由；(2)若b n =−2log 2a n , 设c n =bn a n, 求数列{c n }的前n 项和T n ；(3)若不等式3n−28nT n ≤14m 2−m −1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年河南郑州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】四种正键的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理三角形水来状判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式数于术推式归都读理等差都升的确定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用正因归理数正且概夏粒简单表示法数列体函硫特性三角形水来状判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理等比使香的性质基本常等式簧最母问赤中的应用两角和与表擦正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用等差数常的占n项和等差数来的通锰公式等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】逻辑使求词“或”“且”“非”根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质等比数表的弹项公式等差数常的占n项和等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理二倍角三余弦公最余于视理解都还形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质数于术推式数使的种和数列与验流式的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc22．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．403．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．637．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥011．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin （A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc2解：对于A，B：取a＝1，b＝﹣2，显然错误，对于D：取c＝0，显然错误，对于C：若a＞b，c＞d，则﹣d＞﹣c，故a﹣d＞b﹣c，故C正确，故选：C．2．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．40解：由于在等比数列{a n}中，每相邻两项的和仍然构成等比数列，a4+a5＝10，a6+a7＝20，故10、20、a8+a9构成等比数列，故a8+a9＝40，故选：D．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，可得（1﹣cos A）＝（1﹣），即有cos A＝，即2b2＝2bc cos A＝b2+c2﹣a2，可得b2+a2＝c2，则∠C为直角，即有△ABC为直角三角形．故选：A．4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2＝0（a＜0）的两根∴∴a＝﹣1，b＝1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选：B．5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）解：∵圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为（3，0），∴椭圆的一个焦点为F（3，0），得c＝3又∵短轴长为2b＝8，得b＝4∴a＝＝5，可得椭圆的左顶点为（﹣5，0）故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63解：因为a1+a7＝a2+a6＝3+11＝14，所以7．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＞0，b＞0，则a+b++＝（a+）+（b+）≥2+2＝4，当且仅当a＝且b＝时等号成立，即a＝1且b＝1时a+b++＝4；反之，若a＞0，b＞0，由（a+b）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝时等号成立，即a＝b时，a+b++＝4不成立．故若a＞0，b＞0，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆解：由已知，动点M到点P（﹣1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＝2，所以动点M的轨迹为线段，故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．解：由B∈（0，π），可得sin B＝＝＝，由a＝5，△ABC的面积为10，可得ac sin B＝•5c•＝10，解得c＝5，从而b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝25+25﹣2•5•5•＝20，即b＝2，则＝＝＝．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥0解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；对于B：在△ABC中“∠A＞∠B”⇔“2R sin A＞2R sin B”⇔“a＞b”⇔“∠A＞∠B“，所以在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件，故B正确；对于C：命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”故C错误；对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x﹣1≥0，故D错误．故选：B．11．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列解：∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴＝，根据正弦定理可得＝+，∴2ac cos B＝bc cos A+abcsC，∴a2+c2﹣b2＝+，∴a2+c2＝2b2，∴a2，b2，c2依次成等差数列．故选：B．12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1＝m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．解：由命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”是真命题，知存在x0∈R，使得x02﹣x0+a＜0成立，所以（x2﹣x+a）min＝﹣+a＜0；所以a＜．故答案为：（﹣∞，）．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝0．解：数列{a n}中，a1＝1，，整理得，令n＝1时，a2﹣a1＝0，解得a2＝1，令n＝2时，a3﹣a2＝﹣1，解得a3＝0，令n＝3时，a4﹣a3＝0，解得a4＝a3＝0，令n＝4时，a5﹣a4＝1，解得a5＝1，令n＝5时，a6﹣a5＝0，解得a6＝1，令n＝6时，a7﹣a6＝﹣1，解得a7＝0，…，所以该数列为1，1，0，0，1，1，0，0，…故数列的周期为4，所以a2020＝a505×4＝a4＝0．故答案为：0．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．解：∵c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，b＝1，∴sin C cos B+sin B cos C＝4sin A sin B sin C，∴sin（B+C）＝sin A＝4sin A sin B sin C．∵sin A≠0，∴sin B sin C＝，∴sin C＝，当sin B取得最大值1时，sin C最小，且sin C＝．此时，由正弦定理可得＝，即＝，∴c＝，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．解：（1）由a1＝b1，a4＝b2，则S4﹣T2＝（a1+a2+a3+a4）﹣（b1+b2）＝a2+a3＝12设等差数列{a n}的公差为d，则a2+a3＝2a1+3d＝6+3d＝12，所以d＝2．所以a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1设等比数列{b n}的公比为q，由题b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝3．所以；（2），所以{a n+b n}的前n项和为（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）＝（3+5+…+2n+1）+（3+32+…+3n）＝＝．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin（A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为3cos2C＝2sin（A十B）﹣1，所以6cos2C﹣3﹣2sin C+1＝0，所以3sin2C+sin C﹣2＝0，因为0＜C＜，所以sin C＝，（负值舍去），可得cos C＝＝．（Ⅱ）由题意可得+＝2，所以a2+b2+2ab cos C＝4CD2＝4，所以（a+b）2﹣2ab+ab＝4，因为a+b＝，所以ab＝，所以S△ABC＝ab sin C＝×＝．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，x2﹣3x+4≤2，即为（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，则不等式的解集为[1，2]；（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，可得x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，即a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈（1，4]时，，由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，则，当且仅当时，即x﹣1＝2，即x＝3时取“＝”．∴a≤4．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，4]．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．解：（1）如图所示，△ABC中，∠ABC＝60°+（180°﹣120°）＝120°，AB＝18，设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时，则BC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC；即（21x）2＝182+（15x）2﹣2×18×15x×cos120°，化简得4x2﹣5x﹣6＝0，解得x＝2或x＝﹣（不合题意，舍去）；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；（2）△ABC中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，所以cos∠BAC＝＝，所以sin∠BAC＝＝，计算cosα＝cos（∠BAC+60°）＝cos∠BAC cos60°﹣sin∠BAC sin60°＝×﹣×＝﹣，所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值是﹣．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．解：（1）椭圆过点，离心率为，可得解得所以（2）斜率不存在时x＝﹣1，不满足．斜率存在设为k，过F1（﹣1，0）的直线方程为：y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，联立直线方程与椭圆方程，即，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＞0恒成立，由韦达定理可得，|AB|＝•＝，，所以，解得k＝±1，所以直线的方程y＝±（x+1）．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】（1）解：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴．（2）证明：∵（n∈N*），∴，∵，∴，∴，…，，…，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴＝．。
