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非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2）εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。
（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。
线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。
一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。
在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。
而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。
二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。
2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。
3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。
4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。
三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。
1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。
可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。
2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。
通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。
四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。
通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。
在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1b a yx2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=ab/xe其中a>0，7.S型曲线(Logistic) y1 abex8.对数曲线y=a+blogx,x>0bx9.指数曲线y=ae其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程s?a btct2.t(s)1/302/303/304/305/306/307/30s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解：b/x，建立M文件volum.m如下：e1.对将要拟合的非线性模型y=afunctionyhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3．求回归系数：[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta2.y11.6036ex即得回归模型为：4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数b y＝ax c＝lnavlnx＝u＝ylnu＝cbvbx y＝ae c＝alnu＝ylnu＝cbvc＝alny＝a1bvxxeu＝ylnu＝cbvy＝abxvlnxln＝＝u＝abvuy。
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
