2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2017考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。

下面将对这道题目进行详细的解析。

题目内容如下：已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。

求f(x)的表达式。

解析：首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。

我们需要求解f(x)的表达式。

根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。

这是一个一阶线性常微分方程。

我们可以通过分离变量的方法来求解。

首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。

接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。

对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。

其中C1是积分常数。

接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。

其中C2是积分常数。

综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。

然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。

由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。

因此，我们可以将上式分为两种情况来讨论。

情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。

此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。

情况二：当f(x)<0时，|f(x)|= -f(x)。

此时，我们可以得到-f(x)= e^(e^(-x) + C2)。

综上，我们可以得到f(x)的表达式为：f(x)= e^(e^(-x) + C2)，当f(x)>0时；f(x)= -e^(e^(-x) + C2)，当f(x)<0时。

．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。

（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。

2017考研数学一答案及解析（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P X P X====，Y的概率密度为2,01 ()0,y yf y<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}P Y EY ≤；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度。

【答案】 （Ⅰ）49（Ⅱ）()11()(1)22Z Y Y F z F z F z =+- 【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：1202()23EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰，则{}2233024()239P Y EY P Y f y dy ydy -∞⎧⎫≤=≤===⎨⎬⎩⎭⎰⎰ （Ⅱ）先求Z 的分布函数，由分布函数的定义可知：(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤。

由于X 为离散型随机变量，则由全概率公式可知(){}{}{}{}{}{}{}0|01|111Y z 12211()(1)22Z Y Y F z P X Y z P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z =+≤==+≤=+=+≤==≤+≤-=+- （其中()Y F z 为Y 的分布函数：(){}Y F z P Y z =≤）（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计σ （Ⅰ）求1Z 的概率密度；（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。

【答案】（Ⅰ）()222,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩（Ⅱ）^1n i i Z σ===（Ⅲ）^σ=【解析】（Ⅰ）因为2~(,)i X N μσ，所以2~(0,)i i Y X N μσ=-，对应的概率密度为()22y Y f y σ-=，设i Z 的分布函数为()F z ，对应的概率密度为()f z ； 当0z <时，()0F z =；当0z ≥时，(){}{}{}22y z i i i F z P Z z P Y z P z Y z dy σ--=≤=≤=-≤≤=⎰；则iZ 的概率密度为()22,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩；（Ⅱ）因为2220z i EZ dz σ-+∞==⎰i σ=，从而σ的矩估计量为^1n i i Z σ===；（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为()22121,,,i Z nn i L z z z σσ-==……，，取对数得：221ln ln 2n i i Z L σσ=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑，所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑，令ln ()0d L d σσ=，得σ=σ的最大似然估计量为^σ=。

2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x0 在 x 0 处连续，则axb, x 0（ A ） ab1 （ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x 1 【详解 】 limf ( x)lim 2 ， lim f ( x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，x 0x 0axx 0 ax2a x 0必须满足1 bab1 ．所以应该选（ A ）2a22．设函数 f ( x) 是可导函数，且满足f ( x) f ( x)0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （ B ） f (1) f ( 1) （ C ） f (1)f ( 1) （ D ） f (1)f ( 1)【详解 】设 g( x)( f ( x)) 2 ，则 g (x)2 f ( x) f ( x)0，也就是2是单调增加函数．也就得到f ( x)2f ( 1) 2f (1) f ( 1) ，所以应该选（C ）f (1)3．函数 f ( x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为（A ） 12 （B ） 6(C ） 4（D ） 2【详解】f2xy,fx 2 , f2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf4,1,0， 所 以xyzf ( x, y, z) x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方向导数为f gradf n4,1,01(1,2,2) 2 应该选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t ) （单位： 米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t) （单位： 米 /秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时刻为 t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（D ） t 0 25【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t) T 2 S 1, S 2 , S 3 分别运动的速度函数时， v(t )dt 表示时刻 T 1 ,T 2内所走的路程．本题中的阴影面积T 1表示在时间段 0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差， 显然应该在 t25 时乙追上甲， 应该选（ C ）．5．设 为 n 单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（A ） ET不可逆（B ） E T不可逆（C ） E2T不可逆（D ） E2T不可逆【详解 】矩阵T的特征值为1和 n1个0，从而 E T, ET, E 2T,E 2T的特征值分别为 0,1,1,1； 2,1,1, ,1 ；1,1,1,,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 ET存在零特征值，所以不可逆，应该选（ A ）．2 0 0 2 1 01 0 0 6．已知矩阵 A0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则0 010 010 0 2（A ） A,C 相似， B,C 相似 （B ） A,C 相似， B,C 不相似（ C ） A,C 不相似， B, C 相似（ D ） A, C 不相似， B,C 不相似【详解 】矩阵 A, B 的特征值都是122,31．是否可对解化，只需要关心2 的情况．0 0 0对于矩阵 A ，2E A0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值2 存在两个线性无关的0 01特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C ．0 1 0对于矩阵 B ，2E B0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2 只有一个线性无关的1特征向量，也就是不可以对角化，当然7．设 A, B 是两个随机事件，若B,C 不相似故选择（ P(A) 1， 0 P( B)B ）．1，则 P(A / B)P(A / B) 的充分必要条件是（A ） P(B / A)P(B / A) （B ） P(B / A) P(B / A)（C ） P(B / A)P(B / A)（D ） P(B / A)P(B / A)【详解】由乘法公式：P( AB ) P( B)P( A / B), P( AB) P(B)( P( A / B) 可得下面结论：类似，由 P( AB) P( A)P( B / A), P( AB)P( A) P(B / A) 可得所以可知选择（A）．8．设X1, X2,, X n (n 2) 为来自正态总体N (1n，则下列结论中,1) 的简单随机样本，若 X X in i 1不正确的是（）n)2服从 2 分布22 分布（ A ）( X i（ B）2 X n X1服从i 1n2222服从C( X i X )分布（D） n(X)服从分布（）i1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）显然( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,n 且相互独立，所以( X i) 2服从i12(n) 分布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n 1)S~( n1)，所以（ C）结论也是正确的；2i1（3）注意X ~ N(,1)n( X) ~ N (0,1)n( X)2 ~2 (1)，所以（ D）结论也是正确的；n（ 4）对于选项（ B）：( X n X1) ~ N (0,2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1 )2 ~2 (1)，所以（B）22结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数f ( x)1，则 f (3) (0)．1x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f(n ) (0) x n，知f(n )(0)n!a n，其中 a n为展开式中 x n的n 0n!系数．由于 f ( x)11x2x4( 1)n x2n, x1,1，所以 f (3) (0)0 ．1x210．微分方程y 2 y 3 y 0 的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30有一对共共轭的根r12i ，所以通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11xdx aydy 在区域D(x, y) | x2y21内与路径无关，则a .．若曲线积分Lx2y21【详解】设 P( x, y)x,Q ( x, y)ay，显然P( x, y), Q (x, y) 在区域内具有连续的偏x2y2x21y 2 1导数，由于与路径无关，所以有Q P1 xay12．幂级数( 1)n 1nx n 1在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解】(1)n 1 nx n 1n 1所以 s( x)12 , x (1x)1013．设矩阵A1101( 1)n 1 (x n )( 1)n 1 x n x1n 1n 1 1 x(1 x)2(1,1)12，1, 2 , 3为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1,A 2,A 3的秩1为．101101101【详解】对矩阵进行初等变换 A 11201101 1 ，知矩阵A的秩为2，由于0110110001, 2, 3 为线性无关，所以向量组A1,A 2, A 3的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数 F (x)0.5 ( x)0.5x4，其中( x) 为标准正态分布函数，则2EX．【详解】随机变量 X 的概率密度为 f (x) F (x)0.5( x)0.25( x 4) ，所以2三、解答题15．（本题满分 10 分）设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，y f (e x ,cos x) ，求dy|x 0， d 2 y|x 0．dx dx2【详解】dyx,cos x)exf2x,cos x)( sin x)， dyf1 (1,1)；dx f1 (e(e dx|x0d 2 y |0f1(1,1) f (1,1)f2(1,1)．dx 2x11 16．（本题满分 10 分）求 lim n k2 ln1knk 1 n n 【详解】由定积分的定义17．（本题满分10 分）已知函数 y(x) 是由方程 x3y33x 3 y 2 0 ．【详解】在方程两边同时对x 求导，得3x2 3 y2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对x 求导，得也就是 y 2( x y( y )2 )1y2令 y0 ，得x 1 ．当x11时，y11；当x2 1 时， y20当 x11时， y0 ， y10 ，函数 y y(x) 取极大值 y11；当 x2 1 时， y0 ， y10函数 y y(x) 取极小值 y20 ．18．（本题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间0,1 上具有二阶导数，且 f (1)0 ， lim f ( x)0 ，证明：x0x（ 1）方程f ( x)0在区间0,1至少存在一个实根；（ 2）方程f ( x) f( x)( f( x)) 20 在区间0,1 内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件lim f ( x)0 可知，存在01，及 x1(0,) ，使得x 0xf ( x1 )0 ，由于 f (x) 在x1,1上连续，且 f ( x1 ) f (1)0 ，由零点定理，存在(x1,1)(0,1) ，使得 f ()0 ，也就是方程 f ( x)0 在区间0,1 至少存在一个实根；（ 2）由条件lim f (x)0 可知 f (0)0 ，由（1）可知 f ()0 ，由洛尔定理，存在(0,) ，使得x0xf ( )0 ；设 F ( x) f ( x) f(x) ，由条件可知 F (x) 在区间0,1上可导，且 F (0)0,F( )0,F()0，分别在区间 0,,,上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在1(0,)(0,1),2( ,)(0,1), 使得12, F( 1 )F( 2)，0也就是方程 f ( x) f ( x) ( f( x)) 20 在区间0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10 分）设薄片型 S 是圆锥面 z x2y2被柱面z22x 所割下的有限部分，其上任一点的密度为9 x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求C在xOy布上的投影曲线的方程；（2）求 S 的质量 M .【详解 】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，得到 x 2y 22x ．z 2 2x所以 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 2 2x .z 0（ 2）利用第一类曲面积分，得20．（本题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1 , 2 ,3有三个不同的特征值，且3122.（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解 】（ 1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A) 1 ．假 若 r ( A )1时 ， 则 r 0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r ( A )2，又因为31220 ，也就是1,2 ,3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220，1所以基础解系为 x2 ； 11又由12 ,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为1 ； 1方程组 Ax的通解为 x21．（本题满分 11 分）设 二 次 型 f ( x , x , x )12311k 21 ，其中 k 为任意常数． 112 2 x2在x 正x 交 变 换下的标准形为2xa x 2 x x 8 x x 2x Qy12312132 31 y 12 2 y 22 ，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4【详解 】二次型矩阵 A1 1 14 1a因为二次型的标准形为1 y 122 y 22．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以A 0 ，故 a 2.令 E A0 得矩阵的特征值为13, 26, 3 0 ．1(iEA)x 0 得矩阵的属于特征值3 的特征向量 11通过分别解方程组 11 ，属于特征值特31111征值 2 6 的特征向量， 3 0 的特征向量1232 ，21611 1 13 2 6所以 Q1, 2,1 0 2为所求正交矩阵．33 61 1 132622．（本题满分 11 分）设随机变量 X,Y 相互独立，且 X的概率分布为 P X0 P{X 2}1，Y 的概率密度为22y,0y 1f ( y)0, 其他 ．（ 1）求概率 P （Y EY ）； （2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解 】（ 1） EYyf Y ( y)dy2y 2dy0 32 24 .所以PYEYP Y32 ydy39（ 2） ZX Y 的分布函数为故 Z X Y 的概率密度为23．（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果 X 1,X 2, , X n 相互独立且均服从正态分布 N ( , 2). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i X i,( i 1,2, , n) ，利用 Z 1, Z 2 , , Z n 估计参数．（ 1）求 Z i 的概率密度； （ 2）利用一阶矩求的矩估计量；（ 3）求参数 最大似然估计量．【详解 】（ 1）先求 Z i 的分布函数为当 z0 时，显然 F Z ( z) 0 ；当 z0 时， F Z (z) P Z i z P X iX iz2zz P1 ；2 所以 Z i 的概率密度为 f Z ( z) F Z ( z)e20,z 222, z 0 ．z 02z 22（ 2）数学期望EZ izf ( z)dzze22，0 0dz221n2Z2n令EZ ZZ i ，解得 的矩估计量 22nZ i ．n i1i 1（3）设 Z 1, Z 2, , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 ,, z n ．当 z i0, i 1,2,n 时n1nz i 2似然函数为 L()n)2ef (z ,2 2 i 1 ，i 1i ( 2 )nnln(21n取对数得： ln L() n ln 2 )nln2 z i222i 1d ln L( )n1n20 ，得参数 最大似然估计量为 1 n 2．令3z in iz i di 11。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]A.ab=B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案：A参考解析：2 [单选题]设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)>0，则（）．A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>|f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案：C参考解析：3 [单选题]函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为（）．A.12B.6C.4D.2正确答案：D参考解析：4 [单选题]甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图所示，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．A.t0=10B.15<t0<20C.t0=25D.t0>25正确答案：C参考解析：5 [单选题]设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案：A参考解析：A项，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆．6 [单选题]A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似正确答案：B参考解析：由(λE-A)=0，可知A的特征值为2，2，1．7 [单选题]设A，B为随机事件，若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则P(A|B)>P(A|)的充分必要条件是（）．A.P(B|A)>P(B|)B.P(B|A)<P(B|)C.P(|A)>P(B|)D.P(|A)<P(B|)正确答案：A参考解析：8 [单选题]设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）．A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9 [填空题]参考解析：【解析】10 [填空题]微分方程y”+2y'+3y=0的通解为y=______.参考解析：【解析】11 [填空题]内与路径无关，则a=______.参考解析：-1【解析】12 [填空题]______.参考解析：【解析】13 [填空题]为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______.参考解析：2【解析】由α1，α2，α3线性无关可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)，再由r(A)=2得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．14 [填空题]设随机变量X的分布函数为，其中(x)为标准正态分布函数，则E(X)=______.参考解析：2【解析】15 [简答题]参考解析：16 [简答题]参考解析：17 [简答题]已知函数y(x)由方程x3+y3—3x+3y-2=0所确定，求y(x)的极值．参考解析：解：两边求导得18 [简答题](I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．参考解析：证明：(I)又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)<0,f(1)>0，根据零点定理得至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证．19 [简答题]设薄片形物体S是圆锥面被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为u(x，y，z)=9，记圆锥面与柱面的交线为C．(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程；(Ⅱ)求S的质量M．参考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)20 [简答题]设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．(I)证明：r(A)=2；(11)如果β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．参考解析：解：(I)由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，即A的特征值必有0．又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0，21 [简答题]设二次型f(x1，x2，x3)=在正交变换x=Qy下的标准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．参考解析：22 [简答题]设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=，Y的概率密度为(I)求P{Y≤E(Y)}；(II)求Z=X+Y的概率密度．参考解析：某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，X n相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z i=|X i-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Z n估计σ．(I)求Z i的概率密度；(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；(Ⅲ)求σ的最大似然估计量．参考解析：。

:899*()):899*()):899*()):8999*())):8*(*((18)(本题满分10分）f(x)设函数f(x)在区间[0, 1]上具有2阶导数，且八1)> 0, lim < 0. 证明：x---->O+ X(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(II)方程f(x)f"(x)+ [ /'(x) ]2 =0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根．(19)(本题满分10分）设薄片刑物体S是圆锥面z=�了石了被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为µ(x,y,z) =9心；2+y2 +z2. 记圆锥面与柱面的交线为C.(I)求C在x Oy平面上的投影曲线的方程；(II)求S的质量M.(20)(本题满分11分）设3阶矩阵A= («1 , «2 , «3)有3个不同的特征值，且也=«1+ 2也·(I)证明r(A)=2;(II)设/3=«1 +«2十也，求方程组Ax=/3的通解．—3—(21)(本题满分11分）设二次型/(X 1,x2 ,x3) =2xf -式+a式+2x1 x2 -8x1 x3 + 2x2x3在正交变换X=Qy下的标准形为入忒＋入义，求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分11分）设随机变械X,Y相互独立，且X的概率分布为PjX=Of=P1X=2f =—,Y的概率密度为2/(y) =( 2y, 0 <y < 1,0, 其他(I)求PjY�E(Y) f;(II)求Z=X+Y的概率密度(23)(本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测蜇，该物体的质量µ是已知的．设n次测量结果X1,X2'…, x n相互独立且均服从正态分布N(µ,矿），该工程师记录的是n次测械的绝对误差z i= I x i-µI (i =1,2, …，n). 利用Z1,Z2'…，Z n估计O".(I)求Z1的概率密度；(II)利用一阶矩求6的矩估计酰；c m)求6的最大似然估计量．—4—。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩ 或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()10()15A t B =【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则()s210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。