３.３导数在研究函数中的应用３.３．１函数的单调性与导数
学习目
标核心素养
１．理解函数的单调性与导数的关系．（重点）
２．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．（重点）
３．能根据函数的单调性求参数．（难点）１．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．２．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.
１．函数的单调性与导数的关系
（１）在区间（a，b）内函数的导数与单调性有如下关系：
导数函数的单调性
f′（x）>0单调递增
f′（x）<0单调递减
f′（x）＝0常函数
（２）在区间（a，b
函数的单调性导数
单调递增f′（x）≥0
单调递减f′（x）≤0
常函数f′（x）＝0
思考：在区间（a，b
[提示] 必要不充分条件．
２．函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
１．函数y＝x３＋x的单调递增区间为（）
Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（—∞，１）
Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，＋∞）
D[y′＝３x２＋１>0，故选Ｄ．]
２．函数f（x）＝２x—sin x在（—∞，＋∞）上（）
Ａ．增函数Ｂ．减函数
Ｃ．先增后减Ｄ．先减后增
A[∵f（x）＝２x—sin x，∴f′（x）＝２—cos x>0，∴f（x）在R上是增函数．]
３．若函数f（x）的导数f′（x）＝x（x—２），则f（x）在区间________上单调递减．
[0,２] [∵f′（x）＝x（x—２），由f′（x）≤0得，0≤x≤２，
∴f（x）在[0,２]上单调递减．]
导数与函数图象的关系
的图象可能是（）
（２）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f′（x）的图象可能是图中的（）
（１）D（２）C[（１）由f′（x）>0（f′（x）<0）的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示：
x（—∞，0）（0,
２）
（２，＋∞）
f′（x）＋—＋
f（x）↗↘↗
由表可知f（x
有D，故选Ｄ．
（２）由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′（x）的正、负情况如下表：
x（—１，b）（b，a）（a,１）
f（x）↘↗↘
f′（x）—＋—
由表可知函数y＝f′（x轴下方；当x∈（b，a）时，函数图象在x轴上方；当x∈（a,１）时，函数图象在x轴下方．故选Ｃ．]
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
错误!
１．函数y＝f（x）在定义域错误!内可导，其图象如图所示，记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）<0的解集为__________．
错误!∪（２,３）[根据导数和图象单调性的关系知当x∈错误!∪（２,３）时f′（x）<0．]
利用导数求函数的单调区间
（１）f（x）＝３x２—ln x；
（２）f（x）＝—错误!ax３＋x２＋１（a≤0）．
[思路点拨] 错误!―→错误!―→
错误!―→错误!
[解] （１）函数的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝6x—错误!＝错误!，
令f′（x）>0，则错误!>0．
又x>0，则6x２—１>0，解得x>错误!.
所以函数的单调增区间为错误!.
令f′（x）<0，则错误!<0，解得0所以函数的单调减区间为错误!.
（２）因为f′（x）＝—ax２＋２x（a≤0），
当a＝0时，f′（x）＝２x，函数在（—∞，0）上是递减的，在（0，＋∞）上是递增的，当a<0时，令f′（x）>0，
则—ax２＋２x>0，解得x>0或x<错误!，
所以函数的单调增区间为错误!，（0，＋∞）．
令f′（x）<0，则—ax２＋２x<0，解得错误!所以函数的单调减区间为错误!.
综上，当a＝0时，函数在（—∞，0）上是递减的，在（0，＋∞）上是递增的；
当a<0时，函数在错误!和（0，＋∞）上是递增的，在错误!上是递减的．
利用导数求函数f x的单调区间的一般步骤
１确定函数f x的定义域；
２求导数f′x；
３在函数f x的定义域内解不等式f′x>0和f′x<0；
４根据３的结果确定函数f x的单调区间.
提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
错误!
２．求下列函数的单调区间：
（１）f（x）＝错误!；
（２）f（x）＝错误!；
（３）f（x）＝e x—x.
[解] （１）函数定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.
令f′（x）>0，即１—ln x>0，解得0令f′（x）<0，即１—ln x<0，解得x>e.
所以函数的单调递增区间是（0，e），递减区间是（e，＋∞）．
（２）函数定义域为R，
f′（x）＝错误!＝错误!.
令f′（x）>0，即４—x２>0，解得—２令f′（x）<0，即４—x２<0，解得x<—２或x>２；
所以函数的单调递增区间是（—２,２），递减区间是（—∞，—２）和（２，＋∞）．
（３）函数定义域为R，f′（x）＝e x—１．
令f′（x）>0，即e x—１>0，解得x>0；
令f′（x）<0，即e x—１<0，解得x<0；
所以函数的单调递增区间是（0，＋∞），递减区间是（—∞，0）．
