海淀高三数学期末试题

海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可 知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分 显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分 令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。

2022-2023学年北京市海淀实验中学高三（上）期末数学试卷1. 若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2>1}，则A∪B=( )A. {x|0≤x≤1}B. {x|x>0或x<−1}C. {x|1<x≤2}D. {x|x≥0或x<−1}2. 在复平面内，复数z=(1+2i)i对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )A. y=1xB. y=−x|x|C. y=e x−e−xD. y=−lnx4. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为s1，s2，则下面正确的是( )A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s25. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，a2+a5=4，则S9等于( )A. 27B. 24C. 21D. 186. 已知a，b，c∈R，在下列条件中，使得a<b成立的一个充分而不必要条件是( )A. a3<b3B. ac2<bc2C. 1a >1bD. a2<b27. 已知ABCD为正方形，若椭圆M与双曲线N都以A、B为焦点，且图象都过C、D点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为( )A. √2−1B. √2+1C. 1D. √28. 过点(1,1)的直线l与圆C：x2−4x+y2=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 49. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为f(x)图像的对称中心，B ，C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的对称轴方程为x =43+4k(k ∈Z)B. 若函数f(x)在区间(0,m)内有5个零点，则在此区间内f(x)有且只有2个极小值点C. 函数f(x)在区间(0,2)上单调递增D. f(x −π3)的图像关于y 轴对称10. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 4√3B. 12C. 12√3D. 3611. 已知α为第二象限角，tanα=−43，则sin(α−π4)的值为______.12. (2x −1x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______. 13. 已知函数f(x)={log 14x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是______. 14. 点A(1,m)在抛物线C ：y 2=2px(p >0)上，若点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为2，O为坐标原点，则△AOF 的面积为______.15. 如图，已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠BAD =120∘，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P −ABCD 所得的截面多边形，有以下几个结论： ①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形且只与四棱锥P −ABCD 四条侧棱中的三条相交； ③截面与底面所成锐二面角为45∘； ④截面在底面的投影面积为5√3. 其中，正确结论的序号是______.16. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且cos2A −sin(π2−A)+1=0.(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅰ)若△ABC 的面积S △ABC =3√34，b =32，求sinC 的值．17. 2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如图： (Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； (Ⅰ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(Ⅰ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值．(结论不要求证明)18. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面A 1C 1CA ⊥平面BCC 1B 1，侧面A 1C 1CA 是边长为2的正方形，C 1B =C 1C =2，E ，F 分别为BC ，A 1B 1的中点． (Ⅰ)证明：EF//平面A 1C 1CA ；(Ⅰ)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题．①直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的大小为π4；②三棱锥F −BC 1E 的体积为13；③BC 1⊥A 1C. 若选择条件_____；求(i)求二面角F −BC 1−E 的余弦值； (ii)求直线EF 与平面A 1C 1CA 的距离．19. 已知函数f(x)=e x(lnx−a).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a的值；(Ⅰ)若函数f(x)在(0,1)内存在极值，求a的取值范围；(Ⅰ)若对任意的实数x∈[1,+∞),f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和长半轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x=4相交于点M，N.求证：以MN 为直径的圆恒过点F.21. 已知a为实数，数列{a n}满足a1=a，a n+1={a n−3,a n>3−a n+4,a n≤3(n∈N∗).(Ⅰ)当a=0.2和a=7时，分别写出数列{a n}的前5项；(Ⅰ)证明：当a>3时，存在正整数m，使得0<a m≤2；(Ⅰ)当0≤a≤1时，是否存在实数a及正整数n，使得数列{a n}的前n项和S n=2019？若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|0≤x ≤2}， B ={x|x 2>1}={x|x >1或x <−1}， ∴A ∪B ={x|x ≥0或x <−1}. 故选：D.先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B.本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z =(1+2i)i =−2+i ，∴复数z =(1+2i)i 对应的点为(−2,1)，位于第二象限． 故选：B.根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A ，由题意可得定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，为奇函数，在(−∞,0)和(0,+∞)上均为减函数，但在定义域内不是减函数，故不符题意；对于B ，y =−x|x|={−x 2,x ≥0x 2,x <0，x ∈R ，因为f(−x)=−(−x)|−x|=x|x|=−f(x)，所以为奇函数，由二次函数的性质可知y =f(x)在R 上单调递减，符合题意；对于C ，y =e x −e −x ，x ∈R ，因为y =e x 在R 上单调递增，y =−e −x 在R 上单调递增，所以y =e x −e −x 在R 上单调递增，故不符题意；对于D ，y =−lnx ，x >0，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故不符题意． 故选：B.根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可． 本题考查了函数的奇偶性及单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，∴m1<m2，由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，∴s2<s1.故选：D.利用频率分布直方图求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．本题考查方差、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=13，a2+a5=4，∴2a1+5d=23+5d=4，解得d=23，∴a5=a1+4d=13+83=3，∴S9=9(a1+a9)2=9a5=9×3=27.故选：A.根据已知条件，先求出等差数列的公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：对于A：a3<b3⇔a<b是充要条件；对于B：若ac2<bc2，得c≠0，则a<b，反之不成立，即B是a<b成立的充分不必要条件，；对于C：a<b与1a >1b互相推不出是既不充分也不必要条件．对于D：a<b与a2>b2互相推不出是既不充分也不必要条件．故选：B.根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．7.【答案】C【解析】解：已知ABCD为正方形，若椭圆M与双曲线N都以A、B为焦点，且图象都过C、D 点，设|AB|=t，则椭圆的长轴长为|CA|+|CB|=(√2+1)t，双曲线的实轴长为||AC|−|CB||=(√2−1)t，又椭圆M与双曲线N的焦距为t，则椭圆M与双曲线N的离心率之积e1e2=(√2+1)t(√2−1)t=1，故选：C.由椭圆与双曲线的性质，结合椭圆与双曲线的离心率的求法求解即可．本题考查了椭圆与双曲线的性质，重点考查了椭圆与双曲线的离心率，属基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设M(1,1)，圆C：x2+y2−4x=0的圆心为C，圆C：x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，圆心C为(2,0)，半径r=2，圆心到直线l的距离为d，则|AB|=2×√r2−d2=2×√4−d2，当d最大时，弦长|AB|最小，∵M在圆C内部，故d的最大值为|MC|=√1+1=√2，则|AB|的最小值为2×√4−2=2√2，故选：B.根据题意，设M(1,1)，圆x2+y2−4x=0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意知，f(x)的最大值为√3，最小值为−√3，因为B，C是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，所以B，C两点横坐标之间的距离为√42−(2√3)2=2，即最小正周期T=2×2=4，而T=2πω，所以ω=2πT=π2，由A(13,0)为f(x)图像的对称中心，知f(13)=0，即√3sin(π2⋅13+φ)=0，所以π6+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=kπ−π6，k ∈Z ，又−π2<φ<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=√3sin(π2x −π6)，选项A ，令π2x −π6=π2+kπ，k ∈Z ，则x =43+2k ，k ∈Z ，即A 错误； 选项B ，由x ∈(0,m)，知π2x −π6∈(−π6,π2m −π6)，若函数f(x)在区间(0,m)内有5个零点，则函数f(x)在y 轴右侧的图像包含两个半周期的图像， 所以在此区间内f(x)有且只有2个极小值点，即B 正确；选项C ，令π2x −π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k ∈Z ，则x ∈[4k −23,4k +43]，k ∈Z ， 所以f(x)的单调增区间为[4k −23,4k +43]，k ∈Z ， 同理可得，f(x)的单调减区间为[4k +43,4k +103]，k ∈Z ，所以f(x)在(0,43]上单调递增，在(43,2)上单调递减，即C 错误；选项D ，f(x −π3)=√3sin[π2(x −π3)−π6]=√3sin(π2x −π3)，其图像不关于y 轴对称，即D 错误． 故选：B.根据ω和φ的几何意义，可得其值，从而知f(x)的解析式，再结合正弦函数的图像与性质，逐一分析选项，即可．本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握利用函数图像求函数解析式的方法，正弦函数的图像与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−8,0),B(−6,2√3)，圆D 的方程为x 2+y 2=3，则可设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3cosα+6,√3sinα−2√3)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3cosα+12+6sinα−12=4√3sin(α+π6)≤4√3，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4√3. 故选：A.建立直角坐标系，可得A(−8,0),B(−6,2√3)，设P(√3cosα,√3sinα)，表示出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由三角函数的性质得解．本题考查平面向量的数量积以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】7√210【解析】解：因为α为第二象限角，tanα=−43，所以{sinαcosα=−43sin 2α+cos 2α=1，且sinα>0，cosα<0，解得sinα=45，cosα=−35，所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=√22[45−(−35)]=7√210. 故答案为：7√210.利用同角三角函数的基本关系，可得sinα=45，cosα=−35，再根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．本题考查三角函数求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】−160【解析】解：由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n =6；(2x −1x )6的展开式为T r+1=C 66−r ⋅(2x)6−r ⋅(−1x )r =(−1)r ⋅26−r ⋅C 66−r⋅(x)6−2r ，令6−2r =0，可得r =3， 则展开式中常数项为−160. 故答案为：−160.根据题意，(2x −1x)n 的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n =6；进而可得二项展开式，令6−2r =0，可得r =3，代入二项展开式，可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．13.【答案】(−1,116)【解析】解：当a >0时，log 14a >12，解得0<a <116，当a ≤0时，2a >12，解得−1<a ≤0， 综上所述，a 的取值范围是(−1,116)，故答案为：(−1,116).分a>0和a≤0两种情况求解即可．本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：由已知得，焦点F为(p2,0)，故点A到抛物线C的焦点F的距离为2，则根据抛物线的性质，可得1+p2=2，得到p=2，焦点F(1,0)，故|AF|=2，得到|m|=2，所以S△AOF=12×|OF|×|m|=1，故答案为：1.根据抛物线的性质求出p，然后求出|AF|和|m|，进而利用三角形面积公式，可以直接计算求解．本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．15.【答案】②③④【解析】解：取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E，F，G，H，I，设FG∩AC=M，BD∩AC=N，则M为CN中点，N为AC中点，∴M为AC四等分点，∴IM//PC，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=120∘，∴△ABC是正三角形，AC⊥BD，又PA=AB=4，∴AC=AB=4，BD=2×2√3=4√3，PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥BD，∴PC=4√2，∵E，F，H，G分别是棱PB，BC，PD，CD的中点，∴EF//PC//HG，EH//BD//FG，且EF=HG=12PC=2√2，EH=FG=12BD=2√3，综上，多边形EFGHI即为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形，其面积为2√2×2√3=4√6，设FG∩AC=M，BD∩AC=N，则M为CN中点，N为AC中点，∴CM=12CN=14AC=1，AM=34AC=3，∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF//平面PAC，∵平面EFGH∩平面PAC=IM，∴EF//IM//PC，且IM=34PC=3√2，∴EH⊥IM，∴△IEH的边EH上的高IJ=IM−MJ=IM−EF=√2，∴S△IEH=12×2√3×√2=√6，故①错误；由图可知截面是一个五边形，只与四棱锥P−ABCD四条棱中的侧棱PA，PB，PD相交，故②正确；IM⊂截面EFGHI，AM⊂平面ABCD，EH//BD//FG，则FG⊥平面PAC，IM，AM⊂平面PAC，则FG⊥IM，FG⊥AM，∴∠IMA是截面EFGHI与底面ABCD所成锐角二面角，则在Rt△IMA中，cos∠IMA=AMIM =33√2=√22，∴截面与底面所成锐二面角为45∘，故③正确；取AB，AD中点K，则KE//PA//HL，则EK⊥底面ABD，HL⊥底面ABCD，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，KF//AC//LG，且KF=LG=12AC=2，则多边形AKFGL的面积为：S平行四边形ABCD−S△BKF−S△DLG−S△CFG=12×4×4√3−2×12×2×√3−12×2√3×1=5√3，故④正确．故答案为：②③④．取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E，F，G，H，I，则多边形EFGHI即为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形；FG∩AC=M，结合垂直关系可证明∠IMA为截面与底面所成锐二面角；取AB，AD中点K，L，结合垂直关系证明多边形AKFGL为截面在底面的投影．本题考查截面多边形、线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由cos2A−sin(π2−A)+1=0，得2cos2A−1−cosA+1=0，解得cosA=0或cosA=12，又A ∈(0,π2)， 所以A =π3； (Ⅰ)∵S △ABC =3√34，b =32，∴12bcsinA =3√34，即12×32c ×√32=3√34，解得c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =94+4−2×32×2×12=134， 所以a =√132，由正弦定理可得，asinA=csinC，则sinC =csinAa=2×√32√132=2√3913.【解析】(Ⅰ)由二倍角公式及诱导公式展开，结合A 的范围即可得解；(Ⅰ)先由三角形的面积公式求得c ，再由余弦定理求得a ，最后由正弦定理得解．本题主要考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．17.【答案】解：(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1=5万人； (Ⅰ)由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X =0，1，2， 则P(X =0)=C 52C 82=514， P(X =1)=C 51C 31C 82=1528，P(X =2)=C 32C 82=328， X 的分布列如下：故E(X)=0⋅14+1⋅28+2⋅28=4，(Ⅰ)m 的最小值为4.【解析】(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，再求出结论即可； (Ⅰ)根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X =0，1，2，求出分布列和数学期望； (Ⅰ)根据题意，求出即可．本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能力和实际应用能力，中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取A1C1中点G，连接FG，CG，∵E，F分别为BC，A1B1的中点，∴在三棱柱ABC−A1B1C1中，FG//B1C1//EC，且FG=EC=12B1C1，∴四边形FECG为平行四边形，∴EF//CG，∵EF⊄平面A1C1CA，CG⊂平面A1C1CA，∴EF//平面A1C1CA；(Ⅰ)平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，又侧面A1C1CA是边长为2的正方形，∴AC⊥CC1，A1C1⊥CC1，∴AC⊥面BCC1B1，A1C1⊥面BCC1B1，∵BC⊂面BCC1B1，∴AC⊥BC，取B1C1中点I，作IJ⊥BC1于J，连接FI，IE，FJ，则FI//A1C1，FI⊥面BCC1B1，FI=12A1C1=1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴FI⊥BC1，∵FI∩IJ=I，∴BC1⊥平面FIJ，∵FJ⊂平面FIJ，∴BC1⊥FJ，∴∠FJI为二面角F−BC1−E的平面角的补角，∵EF//平面A1C1CA，∴直线EF与平面A1C1CA的距离即为平面A1C1CA的距离，作EK⊥CC1于K，∵平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，∴EK是E到平面A1C1CA的距离，即直线EF与平面A1C1CA的距离，选①，∵AC⊥平面BCC1B1，∴∠ABC是直线AB与平面BCC1B1所成角，∴∠ABC=π4，∴BC=AC=C1B=2，(i)在正△B1BC1中，由题意得IJ=12×√22−12=√32，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√32√(√32)2+12=√217，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√217；(ii)在正△BCC1中，EK=12×√22−12=√32，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为√32.选②，FG//B1C1//EC，E为BC的中点，∴V G−ECC1=V F−BC1E=13，∵A1C1⊥面BCC1B1，∴13S△ECC1⋅GC1=13，∴S△ECC1=1，∵C1B=C1C=2，∴EC1⊥EC，∴{12⋅EC⋅EC1=1EC2+EC12=4，解得EC=EC1=√2，∴BC=2√2，BC1⊥CC1，(i)在正△B1BC1中，IJ=12BB1=12CC1=1，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√1+1=√22，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√22；(ii)在正△BCC1中，EK=12BC1=1，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为1.选③，取AB中点H，AC1∩A1C=O，连接OH，则O为AC1中点，则OH//BC1且OH=12BC1=1，由BC1⊥A1C，∴OH⊥OC，则HC=√12+(√2)2=√3，∵AC⊥BC，∴AB=2HC=2√3，∴BC=√(2√3)2−22=2√2，BC1⊥CC1，(i)在正△B1BC1中，IJ=12BB1=12CC1=1，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√1+1=√22，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√22；(ii)在正△BCC1中，EK=12BC1=1，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为1.【解析】(Ⅰ)取A1C1中点G，连接FG，CG，由EF//CG，证明EF//平面A1C1CA；(Ⅰ)取B1C1中点I，作IJ⊥BC1于J，由垂直关系可证明∠FJI为二面角F−BC1−E的平面角的补角，作EK⊥CC1于K，由垂直关系及线面距离定义可知EK即为直线EF与平面A1C1CA的距离，三个条件均可根据几何关系求出BC，再进一步求cos∠FJI、EK即可．本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、直线与平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：显然，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x(lnx+1x−a)，(Ⅰ)由题意知f′(1)=(1−a)e=0，解得a=1；(Ⅰ)由已知得lnx +1x−a =0在(0,1)内有变号根， 令g(x)=lnx +1x −a ，x ∈(0,1)，g′(x)=x−1x 2<0， 故g(x)在(0,1)内单调递减，且x →0limlnx1x=x →0lim1x −1x2=x →0lim(−x)=0，故x →0时，g(x)→+∞，故要使g(x)在(0,1)内有变号零点，只需g(1)=1−a <0，解得a >1， 故当a ∈(1,+∞)时，f(x)在(0,1)内存在极值；(Ⅰ)由(Ⅰ)知，当x ≥1时，g′(x)>0，g(x)=lnx +1x−a 在[1,+∞)上是增函数，则g(x)min =g(1)=1−a ，①a ≤1时，f′(x)≥0在[1,+∞)上，f(x)是增函数，要使结论成立，只需f(1)=−ea ≥−1，解得a ≤1e；②a >1时，f(x)在(1,x 0)上单调递减，则f(x)≤f(1)=−ae <−e ，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(−∞,1e ]. 【解析】(Ⅰ)令f′(1)=0，解出a ；(Ⅰ)问题可化为f′(x)=0在(0,1)内有变号根，再结合导数研究函数的单调性、极值情况即可； (Ⅰ)分离参数，研究函数的最值即可．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值等，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由焦距和长半轴长都为2，可得c =1，a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆方程为x 24+y 23=1；(Ⅰ)证明：F(1,0)，A(−2,0)，直线l 的方程为y =k(x −1)， 联立椭圆方程可得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，直线l 过椭圆的焦点，显然直线l 与椭圆相交．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，直线AP 的方程为y =y1x 1+2(x +2)， 可令x =4，得y M =6y 1x 1+2，即M(4,6y1x 1+2)，同理可得N(4,6y 2x 2+2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 1x 1+2)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 2x 2+2)， 又FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+36y 1y2(x 1+2)(x 2+2)=9+36k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+2)(x 2+2)=9+36k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=9+36k 2(4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 2+1)4k 2−123+4k 2+16k23+4k 2+4=9+36k 2⋅−93+4k 236k 23+4k 2=9−9=0. 所以以MN 为直径的圆恒过点F.【解析】(Ⅰ)求得c ，a ，b ，可得椭圆方程；(Ⅰ)直线l 的方程为y =k(x −1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：当a =0.2时，a 1=0.2，a 2=3.8，a 3=0.8，a 4=3.2，a 5=0.2；当a =7时，a 1=7，a 2=4，a 3=1，a 4=3，a 5=1. (Ⅰ)证明：当a >3时，a n+1=a n −3.所以，在数列{a n }中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n }是以a 为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n =a +(n −1)(−3)=a +3−3n.所以，当n 足够大时，总可以找到n 0，使0<a n 0≤3.(1)若0<a n 0≤2，令m =n 0，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2. (2)若2<a n 0≤3，由a n 0+1=−a n 0+4，得1≤a n 0+1<2， 令m =n 0+1，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2. 综述所述，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2.(Ⅰ)①当a =0时，a 1=0，a 2=4，a 3=1，a 4=3，a 5=1，…… 当n =1时，S 1=0≠2019，当n ≥2时，S n ={2n −1,n =2k +12nn =2(k +1)(k ∈N)，令2n −1=2019，n =1010，而此时n =2k +1为奇数，所以不成立； 又2n =2019不成立，所以不存在正整数n ，使得S n =2019.②当0<a <1时，a 1=a ，a 2=−a +4，a 3=−a +1，a 4=a +3，a 5=a ，…… 所以数列{a n }的周期是4，当n =4k +1，k ∈N 时，S n =8k +a =2(n −1)+a =2n +a −2； 当n =4k +2，k ∈N 时，S n =2(n −2)+a +(−a +4)=2n ；当n =4k +3，k ∈N 时，S n =2(n −3)+a +(−a +4)+(−a +1)=2n −a +3； 当n =4(k +1)，k ∈N 时，S n =2n. 所以S n ={2n +a −2,n =4k +12n,n =4k +22n −a −1,n =4k +32n,n =4(k +1)(k ∈N). 所以S n 或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n ，使得S n =2019. ③当a =1时，a 1=1，a 2=3，a 3=1，a 4=3，a 5=1，……， S n ={2n −1,n =2k +12n,n =2(k +1)(k ∈N)，不存在正整数n ，使得S n =2019. 综述所述，不存在实数a 正整数n ，使得S n =2019.【解析】(Ⅰ)当a =0.2和a =7时，利用数列递推式依次求出数列{a n }的前5项；(Ⅰ)当a >3时，a n+1=a n −3.可知在数列{a n }中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n }是以a 为首项，−3为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n 足够大时，总可以找到n 0，使0<a n 0≤3.然后分0<a n 0≤2与2<a n 0≤3两类分析； (Ⅰ)分a =0，0<a <1及a =1三类，分别写出S n 后分析．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．。

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。