江苏省扬州市广陵区2016届九年级数学第二次模拟试题

江苏省扬州市树人学校2016年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四个数中，最小的数是（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a5B．a6÷a3=a2C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab3．下列说法正确的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式B．要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式C．一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定4．代数式x2﹣2x﹣1的最小值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．如图，已知△ABC中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．130°B．230°C．270°D．310°6．如图是一个三棱柱的展开图．若AD=10，CD=2，则AB的长度可以是（）A．2 B．3 C．4 D．57．一个几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．πcm2C．2πcm2D．4πcm28．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）9．植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树累计创造价值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为____________．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是____________．11．因式分解：a2﹣9a=____________．12．已知点A（1，2）在反比例函数y=的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是____________．13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是____________．14．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．15．如图，每个小正方形的边长为l，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于____________．16．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=____________度．17．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数为____________度．18．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是____________．三、解答题（本题共有10小题，共96分）19．（1）计算：（）﹣2+﹣8cos60°﹣（π+）0；（2）已知a﹣b=，求（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．20．（1）解不等式：1﹣≥；（2）解方程组．21．某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了50名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下：（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由；（3）如果该市今年有3万名九年级男生，根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？22．某中学准备随机选出七、八、九三个年级各1名学生担任学校国旗升旗手．现已知这三个年级每个年级分别选送一男、一女共6名学生作为备选人．（1）请你利用树状图或表格列出所有可能的选法；（2）求选出“一男两女”三名国旗升旗手的概率．23．（10分）（2016•扬州校级二模）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用3200元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用6800元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？24．（10分）（2007•青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．25．（10分）（2016•泰州二模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cosC=，AC=6，求BF的长．26．（10分）（2016•泰州二模）类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y 轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB 上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为____________；（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．27．（12分）（2016•泰州二模）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．28．（12分）（2016•泰州二模）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W 的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=____________；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=____________；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为____________；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．2016年江苏省扬州市树人学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四个数中，最小的数是（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣【考点】实数大小比较．【分析】根据实数的大小比较法则进行比较即可．【解答】解：﹣3＜﹣＜0＜1，故选：C．【点评】本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a5B．a6÷a3=a2C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；完全平方公式．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3•a2=a5，正确；B、应为a6÷a3=a3，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、2a与3b不是同类项的不能合并，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式B．要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式C．一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定【考点】方差；全面调查与抽样调查；概率的意义．【分析】本题需先根据调查方式的选择和方差的概念以及方差表示的意义，对每一项分别进行分析即可得出答案．【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，故本选项错误；B、要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式，故本选项正确；C、一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定绝对会中奖，故本选项错误；D、若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误．故选B．【点评】本题主要考查了方差和数据的调查方式，在解题时要能结合实际问题进行综合分析得出正确结论是本题的关键．4．代数式x2﹣2x﹣1的最小值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】二次函数的最值．【分析】将已知代数式配方成二次函数的顶点式的形式，运用二次函数的性质求最小值．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，二次项系数为1＞0，∴代数式x2﹣2x﹣1有最小值为﹣2．故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．如图，已知△ABC中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．130°B．230°C．270°D．310°【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】因∠1和∠BDE组成了平角，∠2和∠BED也组成了平角，平角等于180°，∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED），又三角形的内角和是180°，∠BDE+∠BED=180°﹣∠B=180°﹣50°=130°，再代入上式即可．【解答】解：∠BDE+∠BED=180°﹣∠B，=180°﹣50°，=130°，∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED），=360°﹣130°，=230°．故选：B．【点评】本题考查了学生三角形内角和是180°和平角方面的知识．关键是得出∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED）．6．如图是一个三棱柱的展开图．若AD=10，CD=2，则AB的长度可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】几何体的展开图；三角形三边关系．【分析】根据图形得出AD=AB+BC+CD，再根据AD=10，CD=2，得出AB+BC=8，然后设AB=x，得出BC=8﹣x，最后根据三角形的三边关系列出不等式组，求解得到AB的取值范围，即可得出答案．【解答】解：由图可知，AD=AB+BC+CD，∵AD=10，CD=2，∴AB+BC=8，设AB=x，则BC=8﹣x，则解这个不等式组得：3＜x＜5，∴AB的长度可以是4，故选C．【点评】本题考查了几何体的展开图，利用三角形的三边关系任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组是解题的关键．7．一个几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．πcm2C．2πcm2D．4πcm2【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积．【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2，因此侧面面积为2×π×1×2÷2=2πcm2．故选C．【点评】本题中要先确定出几何体的面积，然后根据其侧面积的计算公式进行计算．本题要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．8．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图1，从点M、N、P、Q的位置分析得到甲虫运动时距离点M、N、P、Q的距离的变化情况，从而得解．【解答】解：由图可知，A、甲虫与点M的距离先逐渐增大，至点B时最大，然后逐渐变小，与图2不符合；B、甲虫与点N的距离从A到O逐渐变小，从O到B逐渐变大，从B到ON与半圆的交点逐渐变小，然后至点A逐渐变大，且甲虫在点A、B时与点N的距离相等，因此应出现3次与起始距离相等的情况，与图2不符合；C、甲虫与点P的距离从点A至点B减小，从点B至OP与半圆的交点减小，然后增大直至点A，图2不符合；D、甲虫与点Q的距离，从点A值点OB的过点Q与AB的垂线的垂足减小，再至点B增大，从点B值OP与半圆的交点减小，然后至点A一直增大，图2符合．故选：D．【点评】本题考查了动点问题函数图象，仔细观察图形，判断出甲虫爬行时与M、N、P、Q 点的距离的变化情况是解题的关键．二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）9．植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树累计创造价值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为 1.96×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：196 000=1.96×105，故答案为：1.96×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x＞2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．因式分解：a2﹣9a= a（a﹣9）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：原式=a（a﹣9），故答案为：a（a﹣9）．【点评】本题考查了因式分解，提公因式是解题关键，注意分解要彻底．12．已知点A（1，2）在反比例函数y=的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是0＜y ＜2 ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点A（1，2）在反比例函数y=的图象上，求出k的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求出y的取值范围．【解答】解：将点A（1，2）代入反比例函数y=的解析式得，k=1×2=2，则函数解析式为y=，当x=1时，y=2，由于图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，则x＞1时，0＜y＜2．故答案为0＜y＜2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，求出反比例函数解析式是解题的关键．13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是0.3 ．【考点】概率公式．【分析】让1减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率．【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5=0.3．【点评】用到的知识点为：各个部分的概率之和为1．14．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质．【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【解答】解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．15．如图，每个小正方形的边长为l，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；特殊角的三角函数值．【分析】连接AC，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC，BC及AB的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为等腰直角三角形，可得出∠ABC为45°，利用特殊角的三角函数值即可求出sin∠ABC的值．【解答】解：连接AC，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．则sin∠ABC=．故答案为：【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．16．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO= 25 度．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO==25°，故答案为：25．【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．17．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数为40 度．【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】首先连接BC ，由AB 是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B 的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B ，所对的圆周角为∠ADC ，继而求得答案．【解答】解：连接BC ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B ，所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB ﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故答案为：40．【点评】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠BDC=∠B 是解此题的关键．18．关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的解是x 1=2，x 2=﹣1，（a ，b ，m 均为常数，a ≠0），则方程a （x+m+2）2+b=0的解是 x 3=0，x 4=﹣3 ． 【考点】一元二次方程的解．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x 求解．【解答】解：∵关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的解是x 1=2，x 2=﹣1，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），∴方程a （x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，解得x=0或x=﹣3．故答案为：x3=0，x4=﹣3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．三、解答题（本题共有10小题，共96分）19．（1）计算：（）﹣2+﹣8cos60°﹣（π+）0；（2）已知a﹣b=，求（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．【考点】实数的运算；整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=4+2﹣8×﹣1=2﹣1；（2）原式=a2﹣4a+4+b2﹣2ab+4a﹣4=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，∵a﹣b=，∴原式=2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）解不等式：1﹣≥；（2）解方程组．【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组．【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．【解答】解：（1）去分母得，6﹣2（2x+1）≥3（1﹣x）去括号得，6﹣4x﹣2≥3﹣3x，移项得，﹣4x+3x≥3+2﹣6，合并同类项得，﹣x≥﹣1，把x的系数化为1得，x≤1；（2），①×2+②得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，2+y=1，解得y=﹣1，故方程组的解为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．21．某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了50名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下：（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由；（3）如果该市今年有3万名九年级男生，根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；中位数；统计量的选择．【分析】（1）根据出现最多的是众数；把这组数据按大小关系排列，中间位置的是中位数（偶数个数据取中间两个数的平均值）；平均数是总成绩除以次数；（2）根据中位数或众数比较接近大部分学生成绩，故中位数或众数作为合格标准次数较为合适；（3）根据50人中，有42人符合标准，进而求出3万名该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数即可．【解答】解：（1）平均数为（1×1+1×2+6×3+18×4+10×5+6×6+2×7+2×8+1×9+1×10+2×11）÷50=5个；众数为4个，中位数为4个．（2）用中位数或众数（4个）作为合格标准次数较为合适，因为4个大部分同学都能达到．（3）（人）．故估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是25200人．【点评】此题主要考查了平均数、中位数和众数的定义以及利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的定义以及平均数的计算方法解答是解题关键．22．某中学准备随机选出七、八、九三个年级各1名学生担任学校国旗升旗手．现已知这三个年级每个年级分别选送一男、一女共6名学生作为备选人．（1）请你利用树状图或表格列出所有可能的选法；（2）求选出“一男两女”三名国旗升旗手的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．（2）据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：解法一：（1）用表格列出所有可能结果：（2）从上表可知：共有8种结果，且每种结果都是等可能的，其中“一男两女”的结果有3种．所以，P（一男两女）=．解法二：（1）用树状图列出所有可能结果：（3）从上图可知：共有8种结果，且每种结果都是等可能的，其中“一男两女”的结果有3种．所以，P（一男两女）=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．23．（10分）（2016•扬州校级二模）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用3200元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用6800元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？【考点】分式方程的应用．【分析】设商场第一次购进x套运动服，则第二次购进2x套运动服，抓住每套进价多了10元列分式方程求解即可．【解答】解：设商场第一次购进x套运动服，由题意得：﹣=10．（3分）解这个方程，得x=20．经检验，x=20是所列方程的根．2x+x=2×20+20=60．答：商场两次共购进这种运动服60套．【点评】本题涉及分式方程的应用，难度中等．考生做此类题主要是要抓住关键条件列出方程解答即可．24．（10分）（2007•青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．【考点】全等三角形的判定；菱形的判定．【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【解答】（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．在△ABE和△AD′F中∵∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．【点评】此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．25．（10分）（2016•泰州二模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cosC=，AC=6，求BF的长．【考点】切线的判定；解直角三角形．【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD=4，在Rt△ACB中可计算出BC=9，则BD=BC﹣CD=5，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设BF=x，则DF=FH=5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC==，再利用比例性质可求出BF．【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴=，∴∠EAB=∠EAD，∵∠ACB=2∠EAB，∴∠ACB=∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作FH⊥AB于H，如图，在Rt△ACD中，∵cosC==，∴CD=×6=4，在Rt△ACB中，∵cosC==，∴BC=×6=9，∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，而FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD=FH，设BF=x，则DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB=∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC==，∴=，解得x=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．26．（10分）（2016•泰州二模）类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y 轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB 上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为3x+4y=12 ；（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【考点】坐标与图形性质．。

2016年中考数学二模试卷（扬州市附答案和解释）2016年江苏省扬州市XX学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请根据正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列无理数中，在�1与2之间的是（）A．� B．� C． D． 2．我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（） A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．1.6710×106 3．在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（） A．138 B．183 C．90 D．93 4．下列二次根式中，最简二次根式是（） A． B． C． D． 5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（） A． B． C． D． 6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（） A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC=BD 7．已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（） A．5 B．10 C．36 D．72 8．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（） A．9：4 B．3：2 C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解决过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）9．�2的相反数是． 10．分解因式：�x3+2x2�x= ． 11．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A，B 两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是． 12．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A 平均每100次发生的次数是． 13．已知x2�2x�3=0，则2x2�4x 的值为． 14．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为． 15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为． 16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1+∠2=°． 17．如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为． 18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）计算：|1�|�（�）�2�2sin60°；（2）解不等式组：． 20．先化简，再求值：÷（1�），其中m 满足一元二次方程m2�4m+3=0． 21．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？ 22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率． 23．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形． 24．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）26．定义：如果代数式a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式” （1）写出�x2+2x�3的“牛郎织女式”；（2）若�x2�18mx�3与x2�2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值；（3）无论x取何值时，代数式x2�2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围． 27．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式： y= ．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价�成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？ 28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．2016年江苏省扬州市XX学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请根据正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列无理数中，在�1与2之间的是（） A．�B．�C． D．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可．【解答】解：A．�＜�1，故错误； B．�＜�1，故错误； C．�1＜，故正确； D. ＞2，故错误；故选：C． 2．我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（） A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．1.6710×106 【考点】科学记数法―表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于167000有6位，所以可以确定n=6�1=5．【解答】解：167 000=1.67×105．故选C． 3．在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（） A．138 B．183 C．90 D．93 【考点】极差．【分析】根据极差的定义，用最大值减最小值即可求得答案．【解答】解：由题意可知，极差为183�93=90．故选C． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（） A． B． C． D．【考点】最简二次根式．【分析】A选项的被开方数中，含有能开得尽方的因式a2；B、C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式． D选项的被开方数是个平方差公式，它的每一个因式的指数都是1，所以D选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、 = |a|； B、 = ；C、 = ；所以，这三个选项都可化简，不是最简二次根式．故本题选D． 5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（） A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱．故选：A． 6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（） A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC=BD 【考点】菱形的判定．【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．故选：A． 7．已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（） A．5 B．10 C．36 D．72 【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n= =36．故选C． 8．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（） A．9：4 B．3：2 C． D．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，再利用三角形内角和得到∠A+∠D=180°，则sinA=sinD，然后根据三角形面积公式得到S△BAC= sinA，S△EDF=2sinD，再计算它们的比值．【解答】解：∵△ABC与△DEF都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B+∠E=90°，∴∠A+∠D=180°，∴sinA=sinD，∵S△BAC= AB•ACsin∠A= sinA，S△EDF= DE•DFsin∠D=2sinD，∴S△BAC：S△EDF= ：2=9：4．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解决过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．�2的相反数是 2 ．【考点】相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“�”号，求解即可．【解答】解：�2的相反数是：�（�2）=2，故答案为：2． 10．分解因式：�x3+2x2�x= �x（x�1）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式�x，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a�b）2=a2�2ab+b2．【解答】解：�x3+2x2�x， =�x（x2�2x+1）…（提取公因式） =�x（x�1）2．…（完全平方公式） 11．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或�2＜x＜0 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据反比例函数图象的特点得出B点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为�2．∵由函数图象可知，当x＞2或�2＜x＜0时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或�2＜x＜0．故答案为：x＞2或�2＜x＜0． 12．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 ．【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义解答即可．【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100× =5．故答案为：5． 13．已知x2�2x�3=0，则2x2�4x的值为6 ．【考点】代数式求值．【分析】利用提取公因式法得出2x2�4x=2（x2�2x）即可得出代数式的值．【解答】解：∵x2�2x�3=0，∴x2�2x=3，∴2x2�4x=2（x2�2x）=2×3=6．故答案为：6． 14．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为10 ．【考点】圆锥的计算．【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【解答】解：设母线长为x，根据题意得： 2πx÷2=2π×5，解得x=10．故答案为：10． 15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC 与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为．【考点】平行线分线段成比例．【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH=2，HB=1，∴AB=AH+BH=3，∵l1∥l2∥l3，∴ = ；故答案为：． 16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1+∠2=90 °．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质，垂直的定义即可解决问题．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1=∠3，∵l3⊥l4，∴∠4=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，故答案为∠1+∠2=90°17．如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 4 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A′BC′，A′B=AB=4，所以△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A′BA+S△A′BC′�S△ABC=S△A′BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴△ABC≌△A′BC′，∴A′B=AB=4，∴△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，∴S△A′BA= ×4×2 =4 ，又∵S阴影=S△A′BA+S△A′BC′�S△ABC，S△A′BC′=S△ABC，∴S阴影=S△A′BA=4 ．故答案为：4 ． 18．如图，等腰△ABC 中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】先证明△BPD∽△CQP，得出，求出CQ= x（m�x）=� x2+ mx，由二次函数得出当x= m时，CQ取最大值，最大值为 m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，得出m2≤4，因此0＜m≤4 ，即可得出答案．【解答】解：设BP=x，则PC=m�x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DPQ=∠B，∴∠C=∠DPQ，∵∠PQC=180°�∠QPC�∠C，∠BPD=180°�∠DPQ�∠QPC，∴∠PQC=∠BPD，∴△BPD∽△CQP，∴ ，即，∴CQ= x（m�x）=� x2+ mx，当x= m时，CQ取最大值，最大值为 m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，∴ m2≤4，∴m2≤32，∴0＜m≤4 ，∴m的最大值为4 ；故答案为：4 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）计算：|1� |�（�）�2�2sin60°；（2）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）原式= �1�4�2×= �1�4� =�5；（2）∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞�2，∴不等式组的解集为�2＜x≤3． 20．先化简，再求值：÷（1�），其中m满足一元二次方程m2�4m+3=0．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到m的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式= ÷ = • = ，由m2�4m+3=0，变形得：（m�1）（m�3）=0，解得：m=1（不合题意，舍去）或m=3，则当m=3时，原式= ． 21．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了240 份学生试卷；扇形统计图中a= 25 ，b= 20 ；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用得0分24人对应的分率是10%用除法求得抽取学生试卷数，再求得3分试卷数量，进一步求得3分和8分试卷数量占总数的分率得出a、b的数值即可；（2）利用（1）中的数据补全条形统计图；（3）利用加权平均数的计算方法得出平均得分，利用所占总数的百分数得出得8分的有多少名考生．【解答】解：（1）24÷10%=240份， 240�24�108�48=60份，60÷240=25%，48÷240=20%，抽取了240份学生试卷；扇形统计图中a=25，b=20；（2）如图：（3）0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6分，4500×20%=900名．答：这道8分解答题的平均得分是4.6分；得8分的有900名考生． 22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到10 元购物券，至多可得到50 元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．【解答】解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）= ；解法二（列表法）：第二次第一次 0 10 20 30 0 �� 10 20 30 10 10 �� 30 40 20 20 30 �� 50 30 30 40 50 ��（以下过程同“解法一”） 23．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．（2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得．（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，∴∠ACE= = =40°；（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°�∠BAE�∠ABD�∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形． 24．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道（1+20%）x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得： + =27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，答：引进新设备前工程队每天改造管道30米． 25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD 的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．（1）求证：AC 是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B= ∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC 是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE= BD= ，∵sin∠COD= ，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA= ，∴AC=2 ，∴S阴影= ×2×2 �=2 �． 26．定义：如果代数式a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式” （1）写出�x2+2x�3的“牛郎织女式”；（2）若�x2�18mx�3与x2�2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值；（3）无论x取何值时，代数式x2�2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】（1）根据定义即可求出�x2+2x�3的“牛郎织女式”；（2）根据定义求出m与n的值，代入原式求值即可；（3）利用作差法即可求出a的范围．【解答】解：（1）设�x2+2x�3的“牛郎织女式”为ax2+bx+c 由题意可知：a=1，b=�2，c=3，∴�x2+2x�3的“牛郎织女式”为x2�2x+3；（2）由题意可知：�18m�2n=0，�3+n=0，解得：m=�，n=3，∴原式=（�1）2015=�1；（3）x2�2x+a的“牛郎织女式”为�x2+2x�a，∴由题意可知：x2�2x+a＞�x2+2x�a对于任何x都成立，∴x2�2x+a�（�x2+2x�a）＞0，∴a＞�x2+2x，∴a＞�（x�1）2+1对于任何的x都成立，∵�（x�1）2+1的最大值为1，∴a＞1， 27．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y= ．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价�成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w=（6�4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6�4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=741（元）；③9＜x≤15时，w=（6�0.1x�3.2）×（30x+120）=�3x2+72x+336，∵a=�3＜0，∴当x=� =12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w 有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a�p）（30x+120）=510（a+1.5），∴510（a+1.5）�768≥48，解得a≥0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元． 28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD= ，由勾股定理得：BD= = = ．∵S△ABD= BD•AE= AB•AD，∴AE= = =4．在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′=3，即m=3；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，∴BB′=BD�B′D= �3= ，即m= ．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如答图3�1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ．∴DQ=BQ�BD= �；②如答图3�2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′�A′Q=4�BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：32+（4�BQ）2=BQ2，解得：BQ= ，∴DQ=BD�BQ= �= ；③如答图3�3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°�∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°�∠1．∴∠A′QB=∠4=90°�∠1，∴∠A′BQ=180°�∠A′QB�∠1=90°�∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=A′Q�A′F′=5�4=1．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ，∴DQ=BD�BQ= �；④如答图3�4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=5，∴DQ=BD�BQ= �5= ．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形； DQ 的长度分别为�、、�或． 2017年2月22日。

2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考第二次模拟考试数学试题说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．4．如有作图需要，请用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果规定收入为正，那么支出负，收入3元记作+3元，支出5元记作A ．-5元B ．+5元C ．-3元D ．元2．下列计算正确的是A ．B ．C ．D ．3．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车（如果3人一辆车），二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何?设有车辆，则根据题意，可列出方程是A ．B ．C ．D ．4．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是A ．B ．C ．D ．5．如图，平行于主光轴MN 的光线AB 和CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE 、DF 的反向延长线交于MN 上一点．若，则的度数是3±235x x x+=236x x x= 32x x x÷=()32626x x =x 3(2)29x x +=-3(2)29x x -=+3(2)29x x +=+3(2)29x x -=-P 160,150ABE CDF ︒︒∠=∠=EPF ∠A ．B ．C ．D ．6．一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是A ．3个球都是黑球B ．3个球都是白球C ．3个球中有黑球D ．3个球中有白球7．已知点都在反比例函数的图像上．下列结论正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则8．若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是合作方式甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊戊、甲所需时间（h ）13910128A ．甲B ．戊C ．丁D ．丙二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9有意义的条件是______．10．2024年3月31日，我市重大城建项目——大运河“十里外滩”综合整治提升项目正式开工建设，预计总投资约82.88亿元，数据82.88亿用科学记数法表示为______．11．将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为，则______（填“>”“=”或“<”）.20︒30︒50︒70︒()()1122,,,A x y B x y 6y x=-120x x +=12y y =120x x +=120y y +=12x x <12y y <12x x <12y y >22s s 甲乙、2s 甲2s 乙12．化简的结果是______．13．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则它的侧面展开图的圆心角为______．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端观察井水水岸，视线DC 与井口的直径AB 交于点，如果测得米，米，米，那么AC 为______米．15．如图，在中，，则的度数为______．16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则的值为______．17．如图，中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分，交DE 于点，若，则EF 的长是______．2222x xx x+--B D C E 1.8AB =1BD =0.5BE =O ,60OA BC AOB ︒⊥∠=ADC ∠sin ADC ∠ABC ABC ∠F 12,9AB BC ==18．如图，在菱形ABCD 中，，点为对角线AC 上一动点，于点，连接CF ．在点运动的过程中，CF 长的最小值为______．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）计算或化简：（1）；（2）．20．（本题满分8分）解不等式组并在数轴上表示出不等式组的解集．21．（本题满分8分）甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．①甲小区用气量频数分布直方图如右图（数据分成5组：）②甲小区用气量的数据在这一组的是：③甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：小区平均数中位数众数60,4B AD ︒∠==E DEF ∠=60,DF EF ︒⊥F E 11tan 45|2|2-︒⎛⎫++- ⎪⎝⎭(21)(21)4(1)a a a a +---542(1),31,32x x x x +-⎧⎪+⎨+<⎪⎩...510,1015,15x x <<......20,2025,2530x x x <<<.........1520x < (151516161616181818181819)甲17.218乙17.71915根据以上信息，回答下列问题：（1）表中的值为______；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由；（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．22．（本题满分8分）某市开展“弘扬家风家教，创建文明家庭”系列活动，某校团委积极响应，为宣传活动招募学生宣传员，八年级（1）、（2）班共有六名学生报名，其中八（1）班两名男生、一名女生，八（2）班一名男生、两名女生．（1）现从六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，抽取女生的概率是______．（2）现从八年级（1）、（2）班各随机抽取一名学生作为宣传员，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生是一男一女的概率．23．（本题满分10分）某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．求足球的单价．24．（本题满分10分）如图，已知，点在射线OA 上，点D ，E 在射线OB 上，其中，四边形CEDF 是平行四边形．（1）请只用无刻度的直尺画出菱形CODN ，并请明理由.（2）作出（1）中菱形CODN 后，若，求ON 的长.25．（本题满分10分）如图，AB 为的直径，C ，D 是上不同于A ，B 的两点，，连接CD ．过点作，交DB 的延长线于点，延长CE ，交AB 的延长线于点．（1）求证：CF 是的切线．（2）当时，求EF 的长.26．（本题满分10分）阅读感悟：mm 1p 2p 1p 2p AOB ∠C OC OD =60OC AOB ︒=∠=O O ABD ∠2BAC =∠C CE DB ⊥E F O 36,sin 5BD F =∠=代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：例：已知实数x 、y 满足，证明：．证明：因为且x ，y 均为正，所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）所以．（不等式的传递性）解决问题：（1）请将上面的证明过程填写完整．（2）尝试证明：若，则．27．（本题满分12分）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABCD 的CD 边上取一点，将沿BE 翻折，使点恰好落在AD 边上点处．实践探究：（1）如图1，若，则的值为______；（2）如图2，当时，求的值；问题解决：（3）如图3，延长EF ，与的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点，当时，求的值．28．（本题满分12分）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA ，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA 的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．0x y >>22x y >x y >2x >xy >22x y >a b <2a bb +<E BCE C F 15CBE ︒∠=ABBC 4,12CE AF FD == ABBCABF ∠N NF AN FD=+AB BC O A（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA 水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA 的距离为米，求的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B 、C 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子OA 的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．2024年九年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案ACBACCBD二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．10．11．>12．13．14．2.615．1617．1.518．1三、解答题（本大题共有10小题，共96分）19．（本题满分8分）解：（1）原式……………………………………………………………………………………3分…………………………………………………………………………………………………………1分（2）原式……………………………………………………………………………3分………………………………………………………………………………………………………1分O x y d d 45︒P 4OP =2024x ≥98.28810⨯x 120︒30︒122=++5; =224144a a a =--+4 1.a =-解：由得：，……………………………………………………………………2分由得：，………………………………………………………………………………2分则不等式组的解集为，………………………………………………………………………………2分将解集表示在数轴上如下：21．（本题满分8分）（1）16；……………………………………………………………………………………………………2分（2），理由：甲小区，（户）；乙小区中位数高于平均数，则至少为15户，；………………………………………………………………………………………………3分（3）由题意得：（户）答：甲小区中用气量超过15立方米约180户．……………………………………………………………3分22．（本题满分8分）解：（1）；……………………………………………………………………………………………………2分（2）列表如下：男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）（女，女）共有9种等可能的结果，其中抽取的两名学生是一男一女的结果有5种，…………………………………………………………4分抽取的两名学生是一男一女的概率为．………………………………………………………………2分23．（本题满分10分）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是3x 元，………………………………………………………1分由题意得：，………………………………………………………………………………4分解得：，………………………………………………………………………………………………3分经检验，是原方程的解，且符合题意，……………………………………………………………1分答：足球的单价是30元．……………………………………………………………………………………1分542(1)x x +≥-2x ≥-3132x x ++<3x >-2x ≥-12p p <166214p =++=2p 12p p ∴<106230018030++⨯=12∴59x 750900153x x-=30x =30x =解：（1）如图，连接CD ，EF ，相交于点，连接OG 并延长，交CF 的延长线于点，连接DN ，则四边形CODN 是菱形，即菱形CODN 为所求．……………………………………………………………………………2分理由：四边形CEDF 是平行四边形，，，四边形CODN 是平行四边形．………………………………………………………………………………2分为等腰三角形，，即，四边形CODN 是菱形.………………………………………………………………………………………2分（2）四边形CODN 是菱形，．……………………………………………………………1分在Rt 中，，………………………………………………3分25.（本题满分10分）（1）证明：如图，连接OC ．是的半径，是的切线；………………………………………………………………5分（2）解：连接AD，G N ,//,CG DG CF ED CNG DOG ∴=∴∠=∠,(AAS),OGD NGC CNG DOG OG NG ∠=∠∴≅∴= ∴,OC OD COD =∴ ,CG DG OG CD =∴⊥ CD ON ⊥∴ ,,CON BON CD ON OG NG ∴∠=∠⊥=60,30.AOB CON ︒︒∠=∴∠= COG30OC COG ︒=∠=cos303,2 6.OG OC ON OG ︒∴===∴== ,12,OA OC =∴∠=∠ 312,321,∠=∠+∠∴∠=∠ 2,3,//,ABD BAC ABD OC BD ∠=∠∴∠=∠∴ ,,CE DE OC CF ⊥∴⊥ OC O CF ∴O是的直径，，，，，，，解得，，在Rt 中，由勾股定理得：．………………………………………………5分26．（本题满分10分）（1）……………………………………………………………………………………………………4分（2），，…………………………………………………………………………………………………3分………………………………………………………………………………………………………3分27．（本题满分12分）解：（1）；……………………………………………………………………………………………………2分（2）设，则，将沿BE 翻折，使点恰好落在AD 边上点处，，又矩形ABCD 中，，，，AB O 90ADB ︒∴∠=,//,DE CF CF AD BAD F ⊥∴∴∠=∠ 35sin sin ,1053BD BAD F AB BD AB ∴∠=∠==∴==152OC AB == 3,5,sin 5OC CF OC F ⊥=∠= 3sin 5OCOC F OF OC BF ∴∠===+103BF =33sin ,255BEF BE BF BF ∴∠==∴==BEF 83EF ==2xyy a b < 2a b b ∴+<2a b b +∴<12AB CD a ==4DE a =- BCE C F 90,BFE C CE EF ︒∴∠=∠== 90A D ︒∠=∠=90,90AFB DFE DEF DFE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=,~,,AF ABAFB DEF FAB EDF AF DF AB DE DE DF∴∠=∠∴∴=∴=，解得或（舍去），，由折叠可得：，，，；………………………………………………………………………………………5分（3）过点作于点，，，，设，设，则，，解得，……………………………………………………………………………………5分28.（本题满分12分）12,(4)12AF DF AB DE a a =∴=-= 6a =2a =-C 642DE DC E ∴=-=-=4CE EF ==12DF AF ∴===∴=÷=BC AD AF DF ∴==+=+=AB BC ∴==N NG BF ⊥G 11,22NF AN FD NF AD BC =+∴== 1,2BC BF NF BF =∴= ,90NFG AFB NGF BAF ︒∠=∠∠=∠= 1,,2NG FG FN NFG BFA AB FA BF ∴∴=== ∽AN x = ,,,BN ABF AN AB NG BF ∠⊥⊥ 平分,2,AN NG x AB BG x ∴====FG y =2AF y =222,AB AF BF += 222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+43y x =4102,33BF BG GF x x x ∴=+=+=23.1053AB AB x BC BF x ∴===解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为（1，2.25），A （0，1.25），设第一象限内的抛物线解析式为，将点代入物线解析式，，解得，第一象限内的抛物线解析式为；…………………………………………………3分（2）根据题意，令，即，解得，，抛物线开口向下，当时，，的取值范围为；……………………………………………………………………………4分（3）过抛物线上点作，垂足为点，过点作轴，交BP 于点，如图所示，由题意可知：为等腰直角三角形，．设，则，轴，即当时，有最小值，此时．米．……………………………………………………5分2(1) 2.25y a x =-+(0,1.25)A 21.25(01) 2.25a =-+1α=-∴2(1) 2.25y x =--+1.76y =2(1) 2.25 1.76x --+=120.3, 1.7x x ==10-< ∴0.3 1.7x << 1.76y >d ∴0.3 1.7d <<D DE BP ⊥E D //DF x F DEF DF =()2,2 1.25,(,4)D m m m F m n m n -+++--+DF n =//DF x 22 1.254m m m n ∴-++=--+2213 2.75( 1.5)2n m m m ∴=-+=-+1.5m =n 1211,22DF DE DF ====∴。

一、选择题（本大题共有8题，每题3分，共计24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在相应的表格内.）1．下列说法中，正确的是（）A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式B．两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是1 3D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件【答案】A.考点：1.方差；2.全面调查与抽样调查；3.随机事件；4.概率公式．2．下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【答案】D．【解析】试题解析：由于方差反映数据的波动情况，所以能够刻画一组数据离散程度的统计量是方差．故选D．考点：统计量的选择．3．关于x的方程x2有两个不相等的实数根，则k（）A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞1 D．k≥0【答案】D．【解析】试题解析：∵关于x的方程x2有两个不相等的实数根，∴△＞0且k≥0，△=（2+4＞0，解得k＞-1，∴k≥0．故选D．考点：根的判别式．4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选A．考点：点与圆的位置关系．5．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）A．-2 B． C．1 D【答案】D．【解析】试题解析：由图象可知：抛物线与y轴的交于原点，所以，a2-2=0，解得，由抛物线的开口向上所以a＞0，∴a=舍去，即．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=70°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．20° B．24° C．25° D．26°【答案】A.考点：1.圆周角定理；2.平行四边形的性质．7.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子必定成立的是（）A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=c•tanB D．a=c•1 tan B【答案】B．【解析】试题解析：A 、sinB=b c ，则b=c•sinB，故选项错误； B 、cosB=a c，则a=c•cosB，故选项正确； C 、tanB=b a，故a=c•tanB 错误； D 、tanB=b a ，故a=c•1tan B错误． 故选B ．考点：锐角三角函数的定义．8．如图，PA ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D ．若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan∠APB 的值是（ ）A B ．125 C D 【答案】B ．【解析】试题解析：连接OA 、OB 、OP ，延长BO 交PA 的延长线于点F ．∵PA，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE ，DB=DE ，PA=PB ，∵△PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r ，∴PA=PB=32r ． 在Rt△PBF 和Rt△OAF 中，FAO FBP OFA PFB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴Rt△PBF∽Rt△OAF． ∴2332AF AO r FB BP r ===， ∴AF=23FB ， 在Rt△FBP 中，∵PF 2-PB 2=FB 2∴（PA+AF ）2-PB 2=FB 2 ∴（32r+23BF ）2-（32r ）2=BF 2， 解得BF=185r ， ∴tan∠APB=18125352r BF PB r ==， 故选B ．考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.锐角三角函数的定义．二、填空题（本大题共有10题，每题3分，共30分，请把结果直接填在题中的横线上.）9．如果函数y=（k-3）232k k x-++kx+1是二次函数，那么k 的值一定是 ．【答案】0.【解析】试题解析：由题意得：k 2-3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k -3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．考点：二次函数的定义．10．数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是．【答案】0.8.【解析】试题解析：数据“1，2，1，3，3”平均数x=121335++++=2，S2=15[（1-2）2+（2-1）2+…+（3-2）2]=45=0.8.考点：方差．11．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个白球，1个红球．从中摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出1个球．则两次都摸出红球的概率是．【答案】1 16.【解析】试题解析：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸出红球的只有1种情况，∴两次都摸出红球的概率是：1 16．考点：列表法与树状图法．12．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则此三角形周长是．【答案】13.【解析】试题解析：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系．13.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15，sinC=35，则AB= ．【答案】9．【解析】试题解析：∵∠B=90°，sinC=35 ABAC=，∴AB=35×15=9．考点：解直角三角形．14．如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是．【答案】60°．【解析】试题解析：∵∠ABC=12∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴12∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．考点：圆周角定理．15．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【答案】26.【解析】试题解析：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i=12.4 AEBE=，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，=26（米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．16．如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于．【答案】35°或145°.【解析】试题解析：①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=12∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=12（360°-70°）=145°考点：1.三角形的外接圆与外心；2.圆周角定理．17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a ＜0；④abc＞0，其中所有正确结论的序号是．【答案】①④.【解析】试题解析：①当x=1时图象在x轴下方时，y＜0，即a+b+c＜0，①正确；②当x=-1时图象在x轴上方，y＞0，即a-b+c＞0，②错误；③由抛物线的开口向上知a＞0，∵-2b a＜1， ∴2a+b＞0，③错误；④∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y 轴右侧∴b＜0，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，④正确，考点：二次函数图象与系数的关系．18．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则EH 的值为 ．【答案】34. 【解析】试题解析：作OG⊥AD 于G ，连结OH ，如图，∵点O 为矩形ABCD 的对称中心，∴OG=12AB=1，DG=12AD=12BC=2， ∵OH 与⊙D 切于点H ，∴DH⊥OH，∴DH=1，在Rt△ODG 和△DOH 中，OG DH OD DO =⎧⎨=⎩， ∴Rt△ODG≌Rt△DOH（HL ），∴∠ODG=∠DOH，∴EO=ED，设OE=x ，则DE=x ，GE=DG-DE=2-x ，在Rt△OGE 中，∵GE 2+OG 2=OE 2，∴（2-x ）2+12=x 2，解得x=54，∴EH 34= 考点：切线的性质．三、解答题（本大题共10题，共96分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.）19．计算：（1）02sin 30|2|1)︒+-+-（2）4022|14sin 60|()3π--︒+-．【答案】（1）2；（2）-16.【解析】试题分析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果；（2）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：（1）原式=2×12+2+1-2=2；（2）原式．考点：1.实数的运算；2.零指数幂；3.特殊角的三角函数值．20．已知：关于x的方程x2-6x+m-5=0的一个根是1，求m值及另一根．【答案】m的值为10，另一根为5．考点：一元二次方程的解．21．为了了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图；（2）表示“50元”的扇形的圆心角是多少度？被调查的学生每人一周零花钱数的中位数是多少元？（3）四川雅安地震后，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区建设．请估算全校学生共捐款多少元？【答案】（1）40人；补图见解析；（2）圆心角36°，中位数是30元；（3）16500元．【解析】试题分析：（1）零用钱是40元的是10人，占25%，据此即可求得总人数，总人数乘以所占的比例即可求得零用钱是20元的人数，则统计图可以作出；（2）求出零用钱是50元的所占的比例，乘以360度即可求得对应的扇形的圆心角，根据中位数的定义可以求得中位数；（3）首先求得抽取的学生的零用钱的平均数，平均数的一半乘以1000即可求解．试题解析：（1）随机调查的学生数是：10÷25%=40（人），零花钱是20元的人数是：40×15%=6（人）．（2）50元的所占的比例是：414010=，则圆心角36°，中位数是30元；（3）学生的零用钱是：620203010404503340⨯+⨯+⨯+⨯=（元），则全校学生共捐款12×33×1000=16500元．考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图；4.中位数．22．四张大小、质地均相同的卡片上分别标有：1，2，3，4．现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，然后由小明从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的3张中随机取第二张．（1）用画树状图的方法，列出小明前后两次取得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）求取到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．【答案】（1）所有可能情况见解析；（2）16.【解析】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．试题解析：（1）所有可能的情况如下：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）．（2）由（1）知，所有可能的积有12种情况，其中出现奇数的情形只有2种，且每一种情形出现的可能性都是相同的，所以，P（积为奇数）=21 126．考点：列表法与树状图法．23．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）【答案】大楼AB的高度约为68.1米．【解析】试题分析：首先过P 作PC⊥AB，垂足为C ，进而求出PC 的长，利用tan37°=PC BC，得BC 的长，即可得出答案．试题解析：过P 作PC⊥AB，垂足为C ，由已知∠APC=60°，∠BPC=37°，且由题意可知：AC=120米．在Rt△APC 中，由tan∠APC=PC BC，即tan60°=120PC ，得． 在Rt△BPC 中，由tan∠BPC=PC BC ，即tan37°=PC BC，得 因此AB=AC-BC=120-51.9=68.1，即大楼AB 的高度约为68.1米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．24．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1． （1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．【答案】+1；12． 【解析】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出，然后根据BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE=CE-CD ，然后在Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1， ∴AB=sin AD B =3，=，+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=1212，∴DE=CE -12，∴tan∠D AE=12DE AD =-． 考点：解直角三角形．25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点M 在⊙O 上，∠M=∠D．（1）判断BC 、MD 的位置关系，并说明理由；（2）若AE=16，BE=4，求线段CD 的长；（3）若MD 恰好经过圆心O ，求∠D 的度数．【答案】（1）BC∥MD；理由见解析；（2）16；（3）30°．【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=12∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=12∠BOD，故可得出∠D的度数．试题解析：（1）BC∥MD．理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，∴BC∥MD；（2）∵AE=16，BE=4，∴OB=1642=10，∴OE=10-4=6，连接OC，∵CD⊥AB，∴CE=12 CD，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，∴CD=2CE=16；（3）如图2，∵∠M=12∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=12∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=13×90°=30°．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.圆周角定理．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）52.【解析】试题分析：（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB-OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长．试题解析：（1）连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=12 BF，又∵OE=12 BD，则BF=BD；（2）设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=312x+，AO=AB-OB=5x-312x+=712x-，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=co sB，即35OEOA=，即31327152xx+=-，解得：x=43，则圆O的半径为315 22x+=．考点：1.切线的性质；2.圆周角定理．27．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F．（1）求OA，OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OC=3，OA=5；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.（2）连接O′D；∵在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=52，∴△0CE≌△ABE，∴EA=EO，∴∠EOA=∠EAO；∵在⊙O′中，O′O=O′D，∴∠O′OD=∠O′DO，∴∠O′DO=∠EAO，∴O′D∥AE；∵DF⊥AE，∴DF⊥O′D，∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线；（3）存在，理由如下：①当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=0C=3；∵AP l=OA=5，∴AH=4，∴OH=l，求得点P1（1，3）同理可得：P4（9，3）；②当OA=OP时，同上可求得P2（4，3），P3（-4，3），∴在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．考点：圆的综合题．28．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ 与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，于是得到结论；（2）当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长=5065 1803ππ⨯⨯=，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长=1306131803ππ⨯⨯=．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；（2）∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，∵AB=12，∴AO=6，当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长=5065 1803ππ⨯⨯=，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长=1306131803ππ⨯⨯=，当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长=2306231803ππ⨯⨯=，∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为53π或133π或233π．考点：1.切线的性质；2.弧长的计算高考一轮复习：。