数列专题 1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的和型一：a nS 1(n 1 )S nSn 1(n 2 )【方法】：“ S n S n 1 ”代入消元消 a n 。
【注意】 漏检验 n 的值 (如 n1的情况【例 1】 .（1）已知正数数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n ，且对任意的正整数 n 满足 2 S n a n 1，求数列 { a n } 的通项公式。
（ 2 ）数 列 { a n } 中 ， a 1 1 对 所有 的 正整数 n 都 有 a a a a 2 n { a } 的通项公式1 2 3 n ，求数列n 【作业一】a3a2n 1an*1－ 1.数列an满足2 3 a3( nN )13n3，求数列 a n 的通项公式．（二） . 累加、累乘型如 a nan 1f (n) ,a nf (n)an 1型一： a n a n 1 f (n) ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】a nan 1f (n) ，a n 1an 2f (n 1)，⋯⋯，a 2 a 1 f (2) n 2 ，从而 a na 1 f (n) f (n 1)f (2) ，检验 n1的情况型二： a nf (n) ，用累乘法求通项公式（推导等比数列通an 1项公式的方法）a nan 1a 2 f (n) f (n 1)f (2)【方法】 n 2 ， an 1aan 21即 a nf (n) f (n 1)f (2) ，检验 n 1的情况a1【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有 n 1 个等式相加（相乘） .【例 2】. (1) 已知 a 11 a nan 11 (n 2)a2，n n 2 1 ，求 n.（2）已知数列an满足an 1a n ，且 a12，求 a n .n 23【 例 3】 . （ 2009广 东 高 考 文 数 ） 在 数 列 { a n }中 ，a 1 1,a n 1 (11)a n n1 b na n{ b }n n ，求数列的通项公式n 2.设n（三） . 待定系数法 ?acap（ c , 为p 非零常数 ,c1 , p 1n 1n）【 方 法】 构 造 an 1 x c(a n x) ， 即 an 1ca n (c 1)x ，故 (c 1)x p ， 即 { a n p } 为等比数c 1列【例 4】. a 1 1， a n 1 2a n 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列的求和与通项公式推导在数学中，数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
而数列的求和以及推导通项公式是数列研究中的重要内容。
本文将介绍数列的求和以及通项公式推导，并通过实例进行说明。
一、等差等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差是一个常数，这个常数被称为公差。
我们将针对等差数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，我们要求前n项的和Sn。
我们可以观察等差数列的前n项和与首项与末项的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + (aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁)根据等差数列的性质，我们可以得到：Sn = (a₁ + aₙ)(n/2)这就是等差数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等差数列的通项公式，我们假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
通过观察等差数列的规律，我们可以发现：aₙ = a₁ + (n-1)d二、等比等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之比是一个常数，这个常数被称为公比。
我们将针对等比数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们要求前n项的和Sn。
类似地，我们观察等比数列的前n项和与首项与末项之间的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)Sn * r = (a₁r + a₂r + ... + aₙr)通过两式相减，我们可以得到：Sn * (1 - r) = a₁(1 - rⁿ)化简后得到：Sn = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)这就是等比数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等比数列的通项公式，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an。
通过观察等比数列的规律，我们可以发现：an = a₁ * r^(n-1)综上所述，我们介绍了等差数列和等比数列的求和以及通项公式推导。
这些公式在数列相关问题的求解中起到重要的作用。
